名师解读高考真题系列－高中数学（文数）：专题19+立体几何中体积与表面积

一、选择题
1.【旋转体的几何特征、几何体的体积】【2015，山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为?，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
（A）????（B）????（）?????（）????

【答案】
2.【平面的截面问题,面面平行的性质定理、异面直线所成的角】【2016，新课标1，文数】平面过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,,,则m,n所成角的正弦值为（ ）
（A）（B）（C）（D）

【答案】A
3.【球与几何体的切接问题及空间想象能力】【2015，新课标2，文10】已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）
A. B. C. D.

【答案】C
4.【三棱柱的内切球、球的体积】【2016，新课标3，文数】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（）
（A）4π （B） （C）6π （D）

【答案】B
5.【圆锥的性质与圆锥的体积公式】【2015，新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）
（A）斛（B）斛（C）斛（D）斛

【答案】B
二、非选择题
1.【几何体中的截面问题及几何体的体积的计算】【2015，新课标2，文19】（本小题满分12分）如图,长方体中AB=16,BC=10,,点E,F分别在上,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.

【答案】（I）见试题解析（II）或
2.【直线和平面垂直的判定、三棱锥体积】【2015，福建，文20】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．
（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；
（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；
（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
3.【线面位置关系及几何体体积的计算】【2016，新课标1，文数】（本题满分12分）如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.
（I）证明G是AB的中点；
（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF的体积．

【答案】（I）见解析（II）作图见解析,体积为
4.【线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式】【2015，北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，
且，，分别为，的中点．
（I）求证：平面；
（II）求证：平面平面；
（III）求三棱锥的体积．

【答案】（I）证明详见解析；（II）证明详见解析；（III）.
5.【直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积】【2016，新课标3，文数】如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（I）证明平面；
（II）求四面体的体积.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
6.【线面垂直的判定、面面垂直的性质定理、空间几何体的体积】【2015，陕西，文18】如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.
(I)证明：平面；
(II)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.

【答案】(I) 证明略，详见解析；(II) .
7.【线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定、三棱锥的体积与表面积的计算、逻辑推理能力、运算求解能力】【2015，新课标1，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，
（I）证明：平面平面；
（II）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.

【答案】（I）见解析（II）
8.【空间线面垂直关系、锥体的体积、方程思想】【2015，重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.
(Ⅰ)证明：AB平面PFE.
(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.

【答案】（Ⅰ）祥见解析，（Ⅱ）或.
9.【锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理】【2015，安徽，文19】如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，.
（Ⅰ）求三棱锥P-ABC的体积；
（Ⅱ）证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
10.【直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积】【2015，湖北，文20】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接.
（Ⅰ）证明：平面. 试判断四面体是
否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．

【答案】（Ⅰ）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面.四面体是一个鳖臑；（Ⅱ）
2017年真题
1.【圆柱体积】【2017，课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如果，画出圆柱的轴截面，
，所以，那么圆柱的体积是，故选B.
2.【球与几何体的组合体】【2017，天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .
【答案】
【解析】
试题分析：设正方体边长为，则，
外接球直径为.
3.【三棱锥外接球】【2017，课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
【答案】
因为平面平面
所以平面
设
所以，所以球的表面积为
4.【球的表面积】【2017，课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为
【答案】
【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以
5.【圆柱体积】【2017，江苏，6】如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是 ▲ .
【答案】
6.【线面平行判定定理、面面垂直性质定理、锥体体积】【2017，课标II，文18】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 ,
（1）证明：直线平面;
（2）若△面积为，求四棱锥的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
试题解析：（1）在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC∥AD.又，，故BC∥平面PAD.
（2）取AD的中点M，连结PM，CM，由及BC∥AD，∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为，所以PM⊥CM.
设BC=x，则CM=x，CD=，PM=，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，所以
因为△PCD的面积为，所以
，
解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=，
所以四棱锥P-ABCD的体积.
7.【线面垂直判定及性质定理、锥体体积】【2017，课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【答案】（1）详见解析；（2）1
试题解析：（1）证明：取中点，连
∵，为中点，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
又∵，∴平面，平面，
∴.
（2）设，∴，，
又∵，∴，
∴，∴，
又∵，，
∴，
在中，设，根据余弦定理
解得，∴点是的中点，则，∴.
8.【线面垂直的判断和性质、面面垂直的判断和性质、几何体的体积】【2017，北京，文18】如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．
【答案】详见解析
【解析】
（II）因为，为中点，所以，
由（I）知，，所以平面，
所以平面平面.
（III）因为平面，平面平面，
所以.
因为为的中点，所以，.
由（I）知，平面，所以平面.
所以三棱锥的体积.