名师解读高考真题系列－高中数学（理数）：专题17+椭圆及其综合应用

一、选择题
1.【椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质】【2016，浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m1 D．m
【答案】A
2. 【椭圆方程与几何性质】【2016，新课标3理数】已知为坐标原点，是椭圆：
的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，
与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.

【答案】A
二、非选择题
3. 【椭圆离心率】【2016，江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是_______________.

【答案】
4. 【圆锥曲线综合问题】【2016，新课标1卷】设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（）（II）
5. 【椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，二次函数的图象和性质】
【2016，山东理数】平面直角坐标系中，椭圆C：?的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）略；（ii）的最大值为，此时点的坐标为
6. 【椭圆的标准方程和几何性质，直线方程】【2016，天津理数】设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
7. 【圆与椭圆的位置关系，椭圆的离心率】【2016，浙江理数】如图，设椭圆（a＞1）.
（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值
范围.

【答案】（I）；（II）．
8. 【椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系】【2016，新课标2理数】已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．
（Ⅰ）当时，求的面积；
（Ⅱ）当时，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
9. 【椭圆方程及其性质，直线与椭圆的位置关系】【2016，北京理数】已知椭圆C：（）的离心率为，，，，的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.
求证：为定值.

【答案】（1）；（2）略.
10. 【椭圆的标准方程及其几何性质】【2016，四川理数】已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T.
（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数，使得，并求的值.

【答案】（Ⅰ），点T坐标为（2,1）；（Ⅱ）.
11. 【椭圆的几何性质，圆的方程】【2015，新课标1，理14】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________.

【答案】
12. 【椭圆方程，直线与椭圆位置关系】【2015江苏高考，18】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于
点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

【答案】（1）（2）或．
13. 【椭圆的标准方程与几何性质，直线与椭圆位置关系综合问题，函数最值问题】【2015，山东，理20】平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.
( i )求的值；
（ii）求面积的最大值.

【答案】（I）；（II）( i )2；（ii） .
14. 【椭圆的简单几何性质，椭圆的方程，圆的方程，直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的位置】
【2015，陕西，理20】已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，
的直线的距离为．
（I）求椭圆的离心率；
（II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的
方程．

【答案】（I）；（II）．
15.【弦的中点问题，直线和椭圆的位置关系】【2015，新课标2，理20】已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
(Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．

【答案】(Ⅰ)略；（Ⅱ）能，或．
16. 【椭圆的标准方程与几何性质，直线与椭圆的位置关系】【2015，四川，理20】如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.
(1)求椭圆E的方程；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，Q点的坐标为.
17. 【椭圆的标准方程与几何性质，直线与椭圆相交问题】【2015，重庆，理21】如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且
（1）若，求椭圆的标准方程
（2）若求椭圆的离心率

【答案】（1）；（2）
18. 【椭圆的离心率，椭圆的标准方程，点点关于直线对称的应用】【2015，安徽，理20】设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.
（I）求E的离心率e；
（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.

【答案】（I）；（II）.
19. 【椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系，点和圆的位置关系】【2015，福建，理18】已知椭圆E：过点，且离心率为．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，
判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) G在以AB为直径的圆外．
20. 【椭圆的标准方程及其性质，直线与椭圆位置关系】【2015，湖南理20】已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向
（ⅰ）若，求直线的斜率
（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形

【答案】（1）；（2）（i），（ii）详见解析.
2017年真题
1. 【椭圆的简单几何性质】【2017，浙江，2】椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：，选B．
2. 【椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系】【2017，课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）
的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，
直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：，
整理可得，即，
从而，椭圆的离心率，
故选A.
【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式e＝；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
3. 【椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系】【2017，课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
【解析】
根据列出等式表示出和的关系，判断出直线恒过定点.
试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得.
故C的方程为.
由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而
.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，欲使l：，即，
所以l过定点（2，）
4. 【轨迹方程的求解，直线过定点问题】【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。
求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【答案】(1) 。
(2)证明略。
【解析】
试题分析：(1)设出点P的坐标，利用得到点P与点,M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为。
(2)利用可得坐标关系，结合(1)中的结论整理可得，即，据此即可得出题中的结论。
试题解析：（1）设,设, 。
由得。
因为在C上，所以。
因此点P的轨迹方程为。
（2）由题意知。设,则
，
。
由得，又由（1）知，故
。
所以，即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。
5. 【椭圆的标准方程及其几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系， 二次函数的图象和性质】
【2017山东，理21】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.
【答案】（I）.
（Ⅱ）的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
【解析】试题分析：（I）本小题由，确定即得.
（Ⅱ）通过联立方程组化简得到一元二次方程后应用韦达定理，应用弦长公式确定及
圆的半径表达式.
试题解析：（I）由题意知，，所以，
因此椭圆的方程为.
（Ⅱ）设，联立方程
得，由题意知，且，
所以.
由题意可知圆的半径为
由题设知，所以因此直线的方程为.
联立方程得，因此.
由题意可知，而
，令，则，
因此，
当且仅当，即时等号成立，此时，所以，因此，
所以最大值为.综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
6. 【直线与椭圆综合问题】【2017，天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.
【答案】（1），.（2），或.
【解析】
试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程.
试题解析：（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.
.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.
所以，直线的方程为，或.
7. 【椭圆方程，直线和椭圆的位置关系】【2017，江苏，17】
如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.

【答案】（1）（2）
【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，
解得，于是，
因此椭圆E的标准方程是.
因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，
从而直线的方程：，①
直线的方程：. ②
由①②，解得，所以.
因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.
又在椭圆E上，故.
由，解得；，无解.
因此点P的坐标为.