名师解读高考真题系列－高中数学（理数）：专题18+双曲线

一、选择题
1. 【双曲线的性质】【2016，新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A. B. C. D.

【答案】A
2. 【双曲线的性质、离心率】【2016，新课标2理数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）
A. B. C. D.2

【答案】A
3. 【双曲线渐近线】【2016，天津理数】已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴
长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线
的方程为（ ）
A. B. C. D.

【答案】D
4. 【双曲线的标准方程和简单几何性质】【2015，新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，?ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．

【答案】D
5. 【双曲线渐近线】【2015，四川，理5】过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（ ）
A. B. C.6 D.

【答案】D
6. 【双曲线的标准方程，向量数量积坐标表示】【2015，新课标1，理5】已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )
A.（-，） B.（-，）
C.（，） D.（，）

【答案】A
7. 【双曲线的性质】【2015，重庆，理10】设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.

【答案】A
8. 【双曲线渐近线】【2015，安徽，理4】下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
A. B. C. D.

【答案】C
9. 【双曲线的性质，离心率】【2015，湖北，理8】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（）
A．对任意的， B．当时，；当时，
C．对任意的， D．当时，；当时，

【答案】D
10. 【双曲线的定义及标准方程】【2015，福建，理3】若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（　）

A．11 　　　 B．9 C．5 　　　D．3
【答案】B
二、非选择题
11. 【双曲线的性质】【2016，江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是________________.

【答案】
12. 【双曲线的几何性质】【2016，山东理数】已知双曲线E：（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.

【答案】2
13. 【双曲线的几何性质】【2015，北京，理10】已知双曲线的一条渐近线为，则 ．

【答案】
14. 【双曲线渐近线，恒成立转化】【2015，江苏，12】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为_______________.

【答案】
15. 【双曲线的标准方程与几何性质，抛物线的标准方程与几何性质】【2015，山东，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为_________.

【答案】
16. 【双曲线的标准方程及性质】【2015，浙江，理9】双曲线的焦距是，渐近线方程是_____________．

【答案】，.
17. 【双曲线的标准方程及其性质】【2015，湖南理13】设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为__________.

【答案】.
2017年真题
1. 【双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式】【2017，课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】
即：，整理可得：,
双曲线的离心率。故选A。
【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)。
2. 【双曲线与椭圆的共焦点问题，待定系数法求双曲线方程】【2017，课标3，理5】已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：双曲线C： (a＞0,b＞0)的渐近线方程为，
椭圆中：，椭圆，即双曲线的焦点为，
据此可得双曲线中的方程组：，解得：，
则双曲线的方程为 .
故选B.
3. 【双曲线的标准方程】【2017，天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A.B.C.D.
【答案】
【解析】由题意得，选B.
等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.
4. 【双曲线的简单性质】【2017，课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.
【答案】
【解析】试题分析：
点到直线的距离
在中，
代入计算得，即
由得
所以.
5. 【双曲线的几何性质，抛物线的定义及其几何性质】【2017，山东，理14】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为__________.
【答案】
【解析】试题分析：，
因为，所以渐近线方程为.
【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.
2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
6. 【双曲线的方程与几何性质】【2017，北京，理9】若双曲线的离心率为，则实数m=_________.
【答案】2