名师解读高考真题系列－高中数学（理数）：专题19+抛物线

一、选择题
1.【抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用】【2016，四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )
A. B. C. D.1

【答案】C
2. 【抛物线的性质】【2016，新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8

【答案】B
3 . 【直线与圆锥曲线，不等式】【2015，四川，理10】设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

【答案】D
4. 【抛物线的标准方程及其性质】【2015，浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）
A. B. C. D.

【答案】A.
二、非选择题
5. 【抛物线定义】【2016，天津理数】设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛
物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，
则p的值为_________.

【答案】
6. 【抛物线的定义】【2016，浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．

【答案】
7. 【直线与抛物线位置关系】【2016，江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为；
②求p的取值范围.

【答案】（1）（2）①略，②
8. 【抛物线定义与几何性质，直线与抛物线位置关系，轨迹求法】【2016，新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）．
9. 【抛物线的切线，直线与抛物线的位置关系，探索性问题】【2015，新课标1，理20】在直角坐标系中，曲线C：y=与直线(＞0)交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在
2017年真题
1.【抛物线的简单性质】【2017，课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直
的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
同理直线与抛物线的交点满足
由抛物线定义可知
当且仅当（或）时，取得等号.
2. 【抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用】【2017，课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则___________________。
【答案】6
【解析】
试题分析：
【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。
3. 【抛物线方程，直线与抛物线的位置关系】【2017，北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为，联立求得点的坐标，证明.
试题解析：解：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.
，
所以.
故A为线段BM的中点.
【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整
体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.
4. 【直线与圆锥曲线的位置关系】【2017浙江，21】如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
求解的最大值．
试题解析：
（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则，∵，∴直线AP斜率的取值范围是．
（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是，因为|PA|==
|PQ|= ，所以|PA||PQ|=
令，因为，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．