名师解读高考真题系列－高中数学（文数）：专题16+抛物线

一、选择题
1.【抛物线方程和性质】【2015，陕西，文3】已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．

【答案】
2. 【抛物线的定义】【2016，四川，文科】抛物线的焦点坐标是( )
(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)

【答案】D
3.【抛物线的性质，反比例函数的性质】【2016，新课标2，文数】设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ ）
（A） （B）1 （C） （D）2

【答案】D
二、非选择题
1.【直线与抛物线】【2016，新课标1，文数】（本小题满分12分）在直角坐标系中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C：于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.
（I）求；
（II）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.

【答案】（I）2（II）没有
2.【抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系、轨迹求法】【2016，新课标3，文数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
3.【直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆的性质】【2015，湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线的焦点F也是椭圆
的一个焦点，与的公共弦长为，过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向.
（I）求的方程；
（II）若，求直线的斜率.

【答案】（I） ；(II) .
4.【抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系】【2016，浙江，文数】（本题满分15分）如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.
（I）求p的值；
（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x
轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.

【答案】（I）；（II）.
5.【抛物线的几何性质、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系】【2015，浙江，文19】（本题满分15分）如图，已知抛物线，圆，过点作不过
原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.
（1）求点A，B的坐标；
（2）求的面积.
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公
共点为切点.

【答案】(1)；(2)
6.【抛物线标准方程、直线和圆的位置关系】【2015，福建，文19】已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．
2017年真题
1.【直线与抛物线位置关系】【2017，课标2，文12】过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方）， 为的准线，点在上且,则到直线的距离为
A. B. C. D.
【答案】C
2.【抛物线的方程、圆的方程】【2017，天津，文12】设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 .
【答案】
【解析】
试题分析：设圆心坐标为，则，焦点，
，，，由于圆与轴得正半轴相切，则取，所求圆得圆心为，半径为1，所求圆的方程为.
3.【直线与圆锥曲线的位置关系】【2017，课标1，文20】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．
【答案】（1）1； （2）．
于是直线AB的斜率．
（2）由，得．
设M（x3，y3），由题设知，解得，于是M（2，1）．
设直线AB的方程为，故线段AB的中点为N（2，2+m），|MN|=|m+1|．
将代入得．
当，即时，．
从而．
由题设知，即，解得．
所以直线AB的方程为．
4.【直线与圆锥曲线的位置关系】【2017，浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
试题解析：
（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则，∵，∴直线AP斜率的取值范围是．
（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是，因为|PA|==
|PQ|= ，所以|PA||PQ|=
令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．