2018年全国高等院校同一招生考试天津文科数学试卷（含答案）

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2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。【21cnj
y.co
m】
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。【21教育名师】
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件
A，B
互斥，那么
P(A∪B)=P(A)+P(B)．
21-cnjy
com
·棱柱的体积公式V=Sh.
其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．
·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高.
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合，，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
（A）6
（B）19
（C）21
（D）45
（3）设，则“”是“”
的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为
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（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
（5）已知，则的大小关系为
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
（A）在区间
上单调递增
（B）在区间
上单调递减
（C）在区间
上单调递增
（D）在区间
上单调递减
（7）已知双曲线
的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且
则双曲线的方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）在如图的平面图形中，已知,则的值为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（A）
（B）
（C）
（D）0
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）i是虚数单位，复数=__________．
（10）已知函数f(x)=exlnx，f?′(x)为f(x)的导函数，则f?′（1）的值为__________．21教育网
（11）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．
（13）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．
（14）已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．21·cn·jy·com
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．21·世纪
教育网
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
（16）（本小题满分13分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c．已知bsinA=acos(B–)．
（Ⅰ）求教B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值．
（17）（本小题满分13分）
如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（18）（本小题满分13分）
设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∈N
）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N
）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．21cnjy.com
（Ⅰ）求Sn和Tn；
（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
（19）（本小题满分14分）
设椭圆
的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若的面积是面积的2倍，求k的值.2-1-c-n-j-y
（20）（本小题满分14分）
设函数，其中,且是公差为的等差数列.
（I）若
求曲线在点处的切线方程；
（II）若，求的极值；
（III）若曲线
与直线
有三个互异的公共点，求d的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．
（1）C
（2）C
（3）A
（4）B
（5）D
（6）A
（7）A
（8）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．
（9）4–i
（10）e
（11）
（12）
（13）
（14）［，2］
三、解答题
（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．2·1·c·n·j·y
（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
（ii）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．21
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com
所以，事件M发生的概率为P（M）=．
（16）本小题主要考查同角三角函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．21
教
育
名
师
（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．
（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．
由，可得．因为a所以，
（17）本小题主要考查异面直线所成的角、直线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．21世纪教育网
（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．
（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．
在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．
在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．
所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．
（Ⅲ）解：连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．
在Rt△CAD中，CD==4．
在Rt△CMD中，．
所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．
（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.
（I）解：设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得.
因为，可得，故.所以.
设等差数列的公差为.由，可得.由，可得
从而，故，所以.
（II）解：由（I），知
由可得，
整理得
解得（舍），或.所以n的值为4.
（19）本小题主要考查椭圆
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.【21教育】
（I）解：设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得
由,从而.
所以，椭圆的方程为.
（II）解：设点P的坐标为，点M的坐标为
，由题意，，
点的坐标为
由的面积是面积的2倍，可得，
从而，即.
易知直线的方程为，由方程组
消去y，可得.由方程组消去，可得.由，可得，两边平方，整理得，解得，或.
当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意.
所以，的值为.
（20）本小题主要考查导
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分14分.
（Ⅰ）解：由已知，可得f(x)=x(x?1)(x+1)=x3?x，故f‵(x)=3x?1，因此f(0)=0，=?1，又因为曲线y=f(x)在点(0，
f(0))处的切线方程为y?f(0)=
(x?0)，故所求切线方程为x+y=0.
（Ⅱ）解：由已知可得
f(x)=(x?t2+3)(
x?t2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?))
(x?t2?3)=(
x?t2)3?9
(
x?t2)=x3?3t2x2+(3t22?9)x?
t22+9t2.
故=
3x3?6t2x+3t22?9.令=0，解得x=
t2?，或x=
t2+.
当x变化时，f‵(x)，f(x)的变化如下表：
x
(?∞，t2?)
t2?
(t2?，t2+)
t2+
(t2+，+∞)
+
0
?
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的极大值为f(t2?)=(?)3?9×(?)=6；函数小值为f(t2+)=()3?9×()=?6.www.21-cn-jy.com
（III）解：曲线y=f(x)与直线y=?(x?t2)?6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x?t2+d)
(x?t2)
(x?t2?d)+
(x?t2)+
6=0有三个互异的实数解，令u=
x?t2，可得u3+(1?d2)u+6=0.
设函数g(x)=
x3+(1?d2)x+6，则曲线y=f(x)与直线y=?(x?t2)?6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.【21·世纪·教育·网】
=3
x3+(1?d2).
当d2≤1时，≥0，这时在R上单调递增，不合题意.
当d2>1时，=0，解得x1=，x2=.
易得，g(x)在(?∞，x1)上单调递增，在[x1，
x2]上单调递减，在(x2，
+∞)上单调递增，
g(x)的极大值g(x1)=
g()=>0.
g(x)的极小值g(x2)=
g()=?.
若g(x2)
≥0，由g(x)的单调性可知函数y=f(x)至多有两个零点，不合题意.
若即，也就是，此时，
且，从而由的单调性，可知函数
在区间内各有一个零点，符合题意.
www-2-1-cnjy-com
所以的取值范围是
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