2018年全国III卷高考理科数学真题试题及答案解析

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2018年普通高等学校招生全国统一考试
（新课标
III
卷）
理
科
数
学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。21教育网
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。2·1·c·n·j·y
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。【来源：21·世纪·教育·网】
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合）
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．（
）
A．
B．
C．
D．
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（
）
4．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．的展开式中的系数为（
）
A．10
B．20
C．40
D．80
6．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．函数的图像大致为（
）
8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则（
）21·cn·jy·com
A．0.7
B．0.6
C．0.4
D．0.3
9．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
10．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（
）21cnjy.com
A．
B．
C．
D．
11．设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（
）www.21-cn-jy.com
A．
B．2
C．
D．
12．设，，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量，，．若，则________．
14．曲线在点处的切线的斜率为，则________．
15．函数在的零点个数为________．
16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．21·世纪
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三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）www-2-1-cnjy-com
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
等比数列中，．
⑴求的通项公式；
⑵记为的前项和．若，求．
18．（12分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：21世纪教育网版权所有
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：，．
19．（12分）如图，边长为2的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
⑴证明：平面平面；
⑵当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．
20．（12分）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
⑴证明：；
⑵设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
21．（12分）已知函数．
⑴若，证明：当时，；当时，；
⑵若是的极大值点，求．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．
⑴求的取值范围；
⑵求中点的轨迹的参数方程．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数．
⑴画出的图像；
⑵当，
，求的最小值．
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（新课标
III
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理
科
数
学
答
案
一、选择题
1．答案：C
解答：∵，，∴.故选C.
2．答案：D
解答：，选D.
3．答案：A
解答：根据题意，A选项符号题意.
4．答案：B
解答：.故选B.
5．答案：C
解答：，当时，，此时系数.故选C.
6．答案：A
解答：由直线得，∴，圆的圆心为，∴圆心到直线的距离为，∴点到直线的距离的取值范围为，即，∴.
7．答案：D
解答：当时，，可以排除A、B选项；又因为，则的解集为，单调递增区间为，；的解集为，单调递减区间为，.结合图象，可知D选项正确.
8．答案：B
解答：由，∴，∴，解之得，由，有.
9．答案：C
解答：，又，故，∴.故选C.
10．答案：B
解答：如图，为等边三角形，点为，，，外接球的球心，为的重心，由，得，取的中点，∴，∴，∴球心到面的距离为，∴三棱锥体积最大值.
11．答案：C
解答：∵，，∴
；又因为，所以；
在中，；
∵在中，，
∴
.
12．答案：B
解答：∵，，
∴，，
∴，∴即，
又∵，，∴，故选B.
二、填空题
13．答案：
解答：，∵，∴，解得.
14．答案：
解答：，则，
所以.
15．答案：
解答：由，有，解得，由得可取，∴在上有个零点.
16．答案：
解答：依题意得，抛物线的焦点为，故可设直线，联立消去得，设，，则，，∴，.又，，∴
，∴.
三、解答题
17．答案：（1）或；（2）.
解答：（1）设数列的公比为，∴，∴.
∴或.
（2）由（1）知，或，
∴或（舍），
∴.
18．答案：见解析
解答：（1）第一种生产方式的平均数为，第二种生产方式平均数为，∴
，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.
（2）由茎叶图数据得到，∴列联表为
（3），∴有
的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19．答案：见解答
解答：（1）∵正方形半圆面，
∴半圆面，∴平面.
∵在平面内，∴，又∵是半圆弧上异于的点，∴.又∵，∴平面，∵在平面内，∴平面平面.
（2）如图建立坐标系：
∵面积恒定，
∴，最大.
，，，，,
设面的法向量为，设面的法向量为，
，，
，，
，
同理，，
∴，∴
.
20．答案：见解答：
解答：（1）设直线方程为，设,,
联立消得，
则，
得…①，
且，，
∵，∴
且.
且…②.
由①②得，
∴或.
∵，∴
.
（2），,
∵，，∴的坐标为.
由于在椭圆上，∴
，∴，，
又，，
两式相减可得，
又，，∴，
直线方程为，
即，
∴，
消去得，，
，
,
∴.
∴，，成等差数列，
.∴.
21．
答案：（1）见解答；（2）.
解答：（1）若时，，
∴.
令，
∴.
∴当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减.
∴，
∴恒成立，
∴在上单调递增，
又，
∴当时，；当时，.
（2），
，
，
，
.
设，
∴，，，
∴在邻域内，时，，时，.
时，，由洛必达法则得，
时，，由洛必达法则得，
综上所述，.
22．答案：见解析
解答：
（1）的参数方程为，∴的普通方程为，当时，直线：与有两个交点，当时，设直线的方程为，由直线与有两个交点有，得，∴或，∴或，综上.
（2）点坐标为，当时，点坐标为，当时，设直线的方程为，，∴有，整理得，∴，，∴
得代入④得.当点时满足方程，∴中点的的轨迹方程是，即，由图可知，，，则，故点的参数方程为（为参数，）.
23．答案：见解答
解答：
（1），如下图：
（2）由（1）中可得：，，
当，时，取最小值，
∴的最小值为.
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