一类常见数列的倒数裂项
引例. 已知数列满足.
（1）求证：；
（2）求证：，其中.
变式一.
已知数列满足且.
（1）求证：；
（2）设数列的前项和为，证明：.
变式二.
数列各项均为正数，，且对任意的，有.
（1）求的值；
（2）若，是否存在，使得，若存在，试求出的最小值，若不存在，请说明理由.
变式三.
已知数列.
（1）求证：对于恒有成立；
（2）求证：.
变式四.
已知函数，若数列满足： . 求证：.
课例点评
这是一堂高三复习课，也是一堂“新课”。数列综合问题自新课改以来成了高三学生的一个“心头病”，本堂课的教学，给学生指出了一个研究问题、解决问题的基本方向。
本堂课教学目标明确，重难点突出，例题设计合理，体现由易到难，层层递进的思想，并在课前让学生先研究例题进行思考，对课堂教学的顺利展开起了积极的作用。例题共4个，课堂上完成了三个，后面的例题和习题由学生课后继续研究完成。
课堂上由学生的讲练与老师的讲解相结合，老师抛出基本类型，后由学生接着给出后面几种模式的处理方案，并主要以学生分析为主，由学生和老师共同协作完成题型分析和例题解答。在课堂中，学生由于各种原因出现一些无法解决的问题，老师循循善诱，正确指引，尽量帮助学生。虽然对教学进程有一定的影响，但是对学生来说多了思考的时间，也是对学生学习的鼓励和充分肯定。
整堂课进程流畅，板书清晰美观，留给学生无限发展的空间。
一类常见数列的倒数裂项教学设计
教学内容解析
本节课是在高三学生二轮复习时的一节数列综合专题复习课。它是在复习了等差等比数列概念及相关性质和解递推公式和求和问题的基础上，对数列综合问题中的某一类常见问题的归纳、深化和整理，由此加深对之前数列及不等式知识的理解和认识，加深对归纳类比、倒数裂项、放缩思想等在数学学习中的应用的认识，同时也为进一步解决相关更加复杂的数列综合问题打下基础。
学生学习情况分析
任教的学生在年段属中等程度，学生学习兴趣较高，但数列综合问题，特别是跟不等式相结合的问题，对学生来说有一定的困难，尤其是不易找到解题的切入口。
教学策略分析
建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构。
基于以上理论，本节课遵循引导发现，循序渐进的思路，采用问题探究式教学，运用多媒体辅助，倡导"自主、合作、探究"的学习方式。本节课通过对一系列相似问题的探究，体验"数学是过程的思想"，改变课程实施过程中强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力。
教学目标设置
本堂课通过对一类数列问题的研究，让同学们在类比归纳中逐步掌握此类问题的基本解决办法倒数裂项，作差、作商比大小，不等式放缩，领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想。
教学重点与难点
教学重点： 对这一类数列综合问题的归纳和深化，掌握倒数裂项的基本技能。 教学难点：从一个问题到一类问题的自主探究。
教学过程设计
知识准备：上课前一天发下练习，由学生自主完成前三题的解答。
[设计意图]让学生对将要研究的问题有一个基本的思考和了解。
（二）新课引入：
对目前的高考现状中的数列考点进行简单的分析，并给出引例：
已知数列满足.
（1）求证：；
（2）求证：，其中.
由于学生有准备，可以由学生来进行解答。第（1）小题比较明显，第二小题在放缩上有些困难，可以适时给与些指导。
[设计意图]在此例中及时提出倒数裂项、作差比大小、放缩的思想方法，让学生在后面的学习中可以随时参考。
（三）题型变换，层层深入
变式一.
提问，由学生来对此等式进行倒数裂项的变化，并适当变形，掌握第二种形式。
例1．已知数列满足且.
（1）求证：；
（2）设数列的前项和为，证明：.
依然由学生进行求解，第（1）小题倒数裂项后变形，变形到一个合适的等式，叠加可得。但是在求解范围的时候又会有些麻烦，需要用到作差比大小及放缩，需要进行随时得提点和指导。第（2）小题用前面的结论即可解答，反而比较简单。
变式二.
提问，由学生来对此等式进行倒数裂项的变化，并适当变形，掌握第三种形式。
例2．数列各项均为正数，，且对任意的，有.
（1）求的值；
（2）若，是否存在，使得，若存在，试求出的最小值，若不存在，请说明理由.
此题含有参数c，不过第（1）小题不难，可直接求出前三项，或者运用刚才刚刚得到的结论来简化运算，由学生解答。但是第（2）小题就相对麻烦些，可让学生先自主分组交流，并由代表来解决此题，经由师生共同来完善。
[设计意图]通过两个例题，由易到难，给学生一个解题的阶梯，循序渐进，慢慢体会此类问题的一般解法。
变式三.
提问，由学生来对此等式进行倒数裂项的变化，并适当变形，掌握第四种形式。注意与前面三种形式的比较。
变式四.
提问，由学生来对此等式进行倒数裂项的变化，并适当变形，掌握第五种形式。注意在提出时说明为什么首位两项系数互为倒数，给学生予以证明。
（四）课堂小结
对这一类数列问题进行归纳，点明其中涉及到的解题基本方法和数学思想方法。
（五）课后练习
1．已知数列.
（1）求证：对于恒有成立；
（2）求证：.
2．已知函数，若数列满足： . 求证：.
[设计意图]课堂时间有限，希望通过学生课外通过对课堂知识的整理归纳，以及对两个习题的解答，让学生对所学的知识能够及时巩固，能够不再惧怕这样看似复杂的数列综合问题，有信心又有能力去完美解决这些问题。
教学反思
这是一堂高三复习课，也是一堂“新课”。数列综合问题今年来成了高三学生的一个“心头病”，希望通过本堂课的学习，能给与学生一个研究问题、解决问题的基本方向。
在课堂教学中，原本打算把引例的解答过程和五种形式的倒数裂项形式写在黑板上，后面两个例题的解答直接用电子白板写在屏幕上，便于修改和随时翻看，却由于微格教室里电子白板失灵，只好把所有的解答过程都写在黑板上，五种形式就只能写在后面那块黑板上，有些不方便，字也相对小了些，倒也一目了然。
另外，由于学生知道了要录课，竟比我还要紧张，一些并不难且课前思考过的问题，也出现了一时回答不上来的情况，意外时有发生，使得前面的上课速度有些慢，不过课堂上依然遵循着以学生为主的原则，给与学生充裕的时间。相信只要把一个问题研究透澈了，学生定能举一反三，解决好一类问题。
课件7张PPT。引例：一类常见数列的倒数裂项 题目自编谢谢!
