课件37张PPT。第二章 函数本章概览
一、地位作用
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,函数是高中数学的一条主线,函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终.本章的函数内容居于中学数学的关键地位,具有承上启下的作用.
二、内容标准
1.函数
(1)通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域.
(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
(3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.(4)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解奇偶性的含义.
(5)学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
2.函数与方程
(1)结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系.
(2)根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法.
3.撰写数学文化小论文
根据某个主题,收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物(开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉等)的有关资料或现实生活中的函数实例,采取小组合作的方式撰写有关函数概念的形成、发展或应用的小论文,在班级中进行交流.三、核心素养
1.通过本章的学习,能够从实际生活中体会函数思想、理解函数概念,培养数学抽象的核心素养.
2.从各种具体函数的研究中,归纳、类比、深入理解函数概念.培养逻辑推理、直观想象的核心素养.
3.通过体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型中,理解建模过程,解决实际问题,培养数学建模的核心素养.
4.通过以函数的图象为辅助工具,借助几何直观理解问题,建立数与形的联系,培养直观想象的核心素养.
5.通过对函数各种性质的研究,发展运算能力,通过运算促进数学思维的发展;通过二分法的学习,形成程序化解题的品质,培养数学运算的核心素养.2.1 函 数
2.1.1 函 数目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.函数的相关概念非空的数集任意唯一确定集合A自变量定义域函数的值域2.设a,b∈R,且a
满足 的全体实数x的集合叫做开区间,记作(a,b),满足 或
的全体实数x的集合,叫做半开半闭区间,分别记作 或
.a≤x≤b[a,b] a1.f(x)是一个整体,表示一个函数,f是对自变量x进行操作的程序或方法,是连接x与y的纽带,按照这一“程序”,从定义域集合A中任取一个x,可得到值域{y|y=f(x),且x∈A}中唯一的y值与之对应.如f(x)=x2,f表示“求平方”,f(x)=2x+1,f表示“乘2加1”.
2.同一“f”可以“操作”不同形式的变量,如f(x)是对x进行“操作”,而f(x2)是对x2进行“操作”,f(3)是对3进行“操作”,这些“操作”形式是完全相同的,都以“f”指出的方式进行.
3.对应关系f的给出形式多样,可以是文字描述,可以是一个或几个关系式,也可以是表格、图象等,对应关系的记号除f(x)之外,通常还用g(x),h(x),F(x),G(x),H(x)等.4.解函数问题必须遵循定义域优先的原则,即一切结论都要在定义域内才有意义,具体求解时,一般从以下几个方面考虑:
(1)如果f(x)为整式,其定义域为实数集R;(2)如果f(x)为分式,其定义域是使分母不为0的实数集合;(3)如果f(x)是二次根式(偶次根式),其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合;(4)如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的,其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;(5)f(x)=x0的定义域是{x∈R|x≠0}.
5.区间是数轴上某一线段或射线或直线上的点所对应的实数的取值集合的一种符号语言,区间符号内的两个字母(或数)之间用“,”隔开,如区间[a,b],左端点a一定要小于右端点b,并且把b-a叫做区间的长度.当一个集合不能用一个区间完全表示时,可以使用两个或两个以上的区间的并集来表示.自我检测1.下列函数中,与函数y=x(x≥0)有相同图象的一个是( )B2.若已知函数f(x)=x2-2x,则f(-1)的值为( )
(A)-2 (B)-1
(C)1 (D)3D解析:f(-1)=(-1)2-2×(-1)=1+2=3.故选D.B 4.用区间表示下列集合:
(1){x|1≤x≤4}用区间表示为 ;?
(2){x|2(3){x|x≥-1}用区间表示为 ;?
(4){x|x<-1或x>2}用区间表示为 .?答案:(1)[1,4] (2)(2,6] (3)[-1,+∞) (4)(-∞,-1)∪(2,+∞)类型一 函数概念的理解课堂探究·素养提升【例1】 下列从集合A到集合B的对应关系中,不能确定y是x的函数的是( )解析:①在对应关系f下,A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应,所以不能确定y是x的函数.②在对应关系f下,A中的数在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数.③在对应关系f下,A中的数(除去5与-5外)在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数.⑤A不是数集,所以不能确定y是x的函数.④⑥显然满足函数的特征,y是x的函数.故选D.方法技巧 判断某一对应关系是否为函数的步骤:(1)A,B为非空数集;(2)A中任一元素在B中有元素与之对应;(3)B中与A中元素对应的元素唯一;(4)满足上述三条,则对应关系是函数关系.变式训练1-1:已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关系:①y=x2,②y=x+1,③y=x-1,④y=|x|,其中能构成从M到N的函数的是( )
(A)① (B)② (C)③ (D)④解析:对应关系若能构成从M到N的函数,须满足:对M中的任意一个数,通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应,①中,当x=4时,y=42=16?N,故①不能构成函数;②中,当x=-1时,y=-1+1=0?N,故②不能构成函数;③中,当x=-1时,y=-1-1=-2?N,故③不能构成函数;④中,当x=±1时,y=|x|=1∈N,当x=2时,y=|x|=2∈N,当x=4时,y=|x|=4∈N,故④能构成函数.故选D.类型二 函数的概念思路点拨:从定义域和对应法则两个角度研究,如果两个函数的定义域和对应法则分别相同,就是相同的函数.如果解析式能够化简,要先化简,但是化简后定义域要与化简前保持一致.解:(1)不是,因为f(x),g(x)的定义域不同.
(2)是相同函数,尽管它们表示自变量的字母不同,但是f(x)与g(t)的定义域、对应法则相同.
(3)不是.因为f(x)与g(x)的定义域不同.
(4)不是.因为f(x)与g(x)的定义域不同.方法技巧 要使函数f(x)与g(x)是相等函数,必须满足定义域和对应关系完全相同,一般是先比较定义域是否相同,其次看对应关系或值域.解析:A.因为这两个函数的值域不同,所以这两个函数不是相等函数;B.这两个函数的定义域不同,所以这两个函数不是相等函数;C.这两个函数的定义域、值域与对应关系均相同,所以这两个函数为相等函数;D.这两个函数的定义域不同,所以这两个函数不是相等函数.故选C.类型三 求函数的定义域思路点拨:解答本题可根据函数解析式的结构特点,构造使解析式有意义的不等式(组),进而解不等式求解.解:(1)要使函数有意义,需满足|x|-2≠0.|x|≠2,即x≠±2,
所以原函数的定义域为{x|x≠±2}.(4)因为f(x-1)的定义域为(1,4],即x∈(1,4],所以0所以f(t)的定义域为(0,3].即f(x)的定义域为(0,3].方法技巧 (1)函数y=f(x)以关系式的形式给出时,函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合.具体来说,常有以下几种情况:
①f(x)为整式型函数时,定义域为R;
②f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数的全体构成的集合;
③f(x)为根式(偶次根式)型函数时,定义域为使被开方数非负的实数的全体构成的集合;
④若f(x)为0次幂或负指数幂型函数,则定义域为使得幂底数不等于零的实数的全体构成的集合;
⑤如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本函数定义域的交集;⑥由实际问题建立的函数,还要符合实际问题的要求.类型四 函数的值域解:(1)因为0<|x|≤4,所以-4≤x≤4且x≠0.
所以-8≤2x≤8且2x≠0.
所以-7≤2x+1≤9且2x+1≠1.
所以函数值域为{y|-7≤y≤9且y≠1}.
即y∈[-7,1)∪(1,9].方法技巧 求函数的值域,应先确定定义域,树立定义域优先原则,再根据具体情况求y的取值范围.
求函数值域的方法有
(1)逐个求法:当定义域为有限集时,常用此法;
(2)观察法:如y=x2,可观察出y≥0;
(3)配方法:对于求二次函数值域的问题常用此法;(2)当x=-2,-1,0,1,2,3时,y=11,6,3,2,3,6.
故函数的值域为{2,3,6,11}.谢谢观赏！课件37张PPT。2.1.2 函数的表示方法目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.函数的表示方法图象2.在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着 的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数. 不同【拓展延伸】
1.函数的表示方法2.关于分段函数的几点说明
(1)分段函数是一个函数而不是几个函数.处理分段函数问题时,首先要确定自变量的数值属于哪一个范围,从而选择相应的对应关系.
(2)分段函数的图象,应根据不同定义域上的解析式分别画出,再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象.特别要考虑区间端点是否包含在内,若端点包含在内,则用实心点“·”表示;若端点不包含在内,则用空心圆圈“??”表示.(3)写分段函数的定义域时,要注意区间端点值的取舍,区间端点应不重不漏.分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集,各段定义域的交集是空集.
(4)分段函数的值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集.
3.分段函数的定义域是各段定义域的并集;分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集;分段函数的最大(小)值则是分别在每段上求出最大(小)值,然后取各段中的最大(小)值.自我检测1.下列图形可作为函数y=f(x)的图象的是( )D解析:选项A、B、C中的图象都存在同一个x值与两个y值对应的情况不符合函数的概念.故选D.2.已知函数f(x)=x2-3x+1,则f(x-1)的解析式为( )
(A)x2-3x+1 (B)x2-x-1
(C)x2-5x+5 (D)x2-2x+1C解析:因为f(x)=x2-3x+1,所以f(x-1)=(x-1)2-3(x-1)+1=x2-5x+5.选C.A4.某班连续进行了5次数学测试,其中王明的成绩如下表所示:答案:{1,2,3,4,5} {76,84,88,90,91}从这张表中看出这个函数的定义域是 ,值域是 .?类型一 函数的表示方法课堂探究·素养提升解析:由题意f(0)=3,f(f(0))=f(3)=-1,f(f(f(0)))=f(-1)=2.
答案:2方法技巧 用列表法表示的函数,可以直接从表格中寻找自变量对应的函数值及函数值对应的自变量.变式训练1-1:已知函数f(x),g(x)分别由下表给出.则f(g(1))的值为 .?解析:由第2个表知g(1)=3,
所以f(g(1))=f(3)=1.
答案:1变式训练1-2:已知函数y=f(n)满足f(1)=1,f(n+1)=f(n)+2n,n∈N*,求f(2),f(3),f(4).解:因为f(1)=1,
所以f(2)=f(1)+2×1=3,
f(3)=f(2)+2×2=7,
f(4)=f(3)+2×3=13.类型二 作函数的图象【例2】 作出下列函数的图象:
(1)y=1-x(x∈Z且|x|≤2);(2)y=x2-2x-3(x∈R);方法技巧 画函数图象时,以定义域、对应法则为依据,采用列表、描点法作图,当已知是一次式或二次式时,可借助一次函数或二次函数的图象帮助作图.作图象时,应标出某些关键点,如图象的顶点、与坐标轴的交点、最高点、最低点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.(2)y=x2-2x+2,x∈(-1,2];解:(2)x∈(-1,2],图象如图.(3)y=|x-1|,x∈R.解:(3)法一 可用描点作图法,画出函数图象.
法二 可先作出y=x-1的图象,将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,x轴上方的图象保持不变可得y=|x-1|的图象.如图所示.类型三 分段函数思路点拨:(1)根据自变量的值所在区间选用相应的关系式求值;(2)作出函数的简图;
(3)求函数的值域.思路点拨:(2)分段作出函数的图象;(3)借助图象求函数的值域.
解:(2)在同一坐标系中分段画出函数的图象,如图所示.(3)由图象可知,函数的值域为[0,2]. 方法技巧 分段函数的值域是各段函数值的集合的并集,求值时,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求得,有多层“f”时,要按照“由里到外”的顺序,画图象时,要注意不同段的图象间的衔接不要出现“一对多”的现象.解:(1)f(-4)=-4+2=-2,f(3)=2×3=6,
f[f(-2)]=f(0)=02=0.
(2)当a≤-1时,a+2=10,得a=8,不符合;
当-1当a≥2时,2a=10,得a=5.所以a=5.类型四 实际应用中的分段函数【例4】 漳州市“网约车”的现行计价标准是:路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取,超过2 km后的路程按1.9元/km收取,但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1+50%)=2.85元).
(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用f(x)(单位:元)表示为行程x(060,单位:km)的分段函数;
(2)某乘客的行程为16 km,他准备先乘一辆“网约车”行驶8 km后,再换乘另一辆“网约车”完成余下行程,请问:他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱?请说明理由.思路点拨:根据漳州市“网约车”的计价标准,分段将乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(元)表示为行程x(0换乘两辆车的车费为2f(8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8(元).
因为40.3>38.8,所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.方法技巧 由实际问题决定的分段函数,要写出它的解析式,就是根据实际问题需要分成几类就分成几段,求解析式时,先分段分别求出它的解析式,再把各段综合在一起写一个函数.变式训练4-1:为了节约用水,某市打算出台一项水费政策,规定每季度每人用水量不超过5吨时,每吨水的水费为1.2元,若超过5吨而不超过6吨时,超过部分的水费按原价的200%收费,若超过6吨而不超过7吨时,超过部分的水费按原价的400%收费.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨,试计算本季度他应交的水费y(单位:元).类型五 易错辨析答案:x2-1.答案:x2-1(x≥1)变式训练5-1:某城市出租车按如下方法收费:起步价6元,可行3 km(含3 km),
3 km后到10 km(含10 km)每走1 km 加价0.5元,10 km后每走1 km加价0.8元,某人坐出租车走了12 km,他应交费 元.?答案:11.1谢谢观赏！课件29张PPT。2.1.3 函数的单调性目标导航新知探求课堂探究1.函数y=f(x)的图象上任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),自变量的改变量Δx=
,函数值的改变量Δy= .
2.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间M?A.
如果取区间M中的 两个值x1,x2.改变量Δx=x2-x1>0,则当
时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数.当
时,就称函数y=f(x)在区间M上是减函数.新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究x2-x1y2-y1任意Δy=f(x2)-f(x1)>0Δy=f(x2)-f(x1)<03.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有 .区间M称为 .单调性单调区间【拓展延伸】
1.判断(或证明)函数单调性时,通常要经过下列步骤:取值—作差—变形—定号—判断.
(1)取值. 即设x1,x2是该区间内的任意两个值且x1(2)作差、变形.求f(x2)-f(x1),通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.
(3)定号.根据给定的区间和x2-x1的符号确定f(x2)-f(x1)的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论.
(4)判断.根据单调性定义作出结论.
2.函数单调性定义中的x1,x2有三个特征:一是任意性,即“任意取x1,x2”,
“任意”二字决不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定x1一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M[或f(x)≥M];
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大(小)值.
5.若函数f(x)在闭区间[a,b]上是增函数,则f(x)在[a,b]上的最小值为f(a),最大值为f(b);若函数f(x)在闭区间[a,b]上是减函数,则f(x)在[a,b]上的最小值为f(b),最大值为f(a).6.判断函数单调性常用的结论.
(1)函数y=f(x)与函数y=-f(x)的单调性相反.
(2)函数y=f(x)与函数y=f(x)+c(c为常数)的单调性相同.
(3)当a>0时,函数y=af(x)与函数y=f(x)的单调性相同;当a<0时,函数y=
af(x)与函数y=f(x)的单调性相反.(6)若f(x)>0,g(x)>0,且在公共区间上都是增(减)函数,则y=f(x)g(x)在此区间上是增(减)函数;若f(x)<0,g(x)<0,且在公共区间上都是增(减)函数,则y=f(x)g(x)在此区间上是减(增)函数.(7)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数,增函数-减函数=增函数,减函数-增函数=减函数.
7.判断复合函数y=f(g(x))单调性的步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)将复合函数分解成y=f(u),u=g(x);
(3)分别确定这两个函数的单调性;
(4)若这两个函数在对应的区间上“同增或同减”,则y=f(g(x))为增函数;若这两个函数为一增一减,则y=f(g(x))为减函数,即“同增异减”.
判断方法如下表:自我检测1.函数f(x)=-x2+1的单调递增区间是( )
(A)(-1,1)
(B)(-1,0)
(C)(-∞,0)
(D)(0,+∞)C解析:二次函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=0,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0).故选C.2.下列说法正确的是( )
(A)定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1(B)定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2∈(a,b),使得当x1(C)若f(x)在区间I1上为增函数,在区间I2上也为增函数,那么f(x)在I1∪I2上也一定为增函数
(D)若f(x)在区间I上为增函数,且f(x1)所以f(-2)>f(1).
答案:f(-2)>f(1)类型一 用定义证明函数的单调性课堂探究·素养提升思路点拨:利用定义证明函数单调性的关键是对f(x2)-f(x1)进行合理的变形,尽量变为几个简单因式的乘积形式.方法技巧 (1)定义法证明函数的单调性主要步骤是取值、作差、定号、判断.
(2)定义法证明函数单调性步骤的核心是判断差的符号,为了确定符号,一般是将f(x2)-f(x1)尽量因式分解出含有x2-x1的因式,再将剩下的因式化成积、商的形式,或化成几个非负实数的和的形式,这样有利于该因式符号的确定.
(3)涉及根式的差时,常用分子有理化方法,涉及分式的差常用通分的方法.类型二 求函数的单调区间【例2】 求函数y=-(x-3)|x|的单调区间.思路点拨:化简函数解析式,画出函数图象求解.方法技巧 (1)求函数的单调区间时,若函数不是常见的一次函数、二次函数、反比例函数,则需作出函数图象,利用函数图象直观得到函数的单调区间.
(2)含绝对值号的函数解析式,作其图象时要先利用绝对值的性质去掉绝对值号,化简函数解析式.变式训练2-1:画出函数y=x2-2|x|-3的图象,并指出函数的单调区间.类型三 函数单调性的应用答案:(1)B(2)若函数f(x)=|2x+a|在[6,+∞)上是增函数,则a的取值范围是 .答案:(2)[-12,+∞)方法技巧 (1)解决此类与抽象函数有关的变量的取值范围问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为关于自变量的不等式,常见的转化方法为若函数y=f(x)在区间D上是增函数,对任意x1,x2∈D,且f(x1)x2.但需要注意的是不要忘记函数的定义域.变式训练3-1:(1)已知函数f(x)=x2+ax+1,①若f(x)在[-4,+∞)上是增函数,求a的取值范围;②若f(x)的单调递增区间是[-4,+∞),求a的取值;(2)已知函数f(x)是定义在[-2,3]上的减函数,且f(4-2x)>f(x-1),求x的取值范围.类型四 易错辨析答案:(-∞,0]谢谢观赏！课件34张PPT。2.1.4 函数的奇偶性目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.奇函数的定义都有x∈Df(-x)=-f(x)偶函数的定义都有-x∈D2.如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是 .
如果一个函数是偶函数,则它的图象是以 为对称轴的轴对称图形.反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是 .坐标原点奇函数y轴偶函数【拓展延伸】2.函数按奇偶性可分为四类:
(1)奇函数:对于定义域D内的任意一个x,且-x∈D,恒有f(-x)=-f(x)成立.
(2)偶函数:对于定义域D内的任意一个x,且-x∈D,恒有f(-x)=f(x)成立.
(3)既奇又偶函数:对于定义域D内的任意一个x,且-x∈D,恒有f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)成立.
(4)非奇非偶函数:对于定义域D内的任意一个x,且-x∈D,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不成立.3.奇函数、偶函数的和差积商:在函数的公共定义域上,偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数,奇函数的和差仍为奇函数,奇(偶)数个奇函数的积商(分母不为零)为奇(偶)函数.
4.若奇函数在原点处有定义,则由奇函数的定义有f(-0)=-f(0),即f(0)=0,利用这一性质可以快速解决与奇函数有关的求值问题.
5.奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,而偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),此时函数y=f(x)关于直线x=a对称;若函数y=f(x+a)是奇函数,则f(x+a)=-f(-x+a),此时函数y=f(x)关于点(a,0)对称.自我检测1.函数f(x)=x4+2x2的图象( )
(A)关于原点对称
(B)关于x轴对称
(C)关于y轴对称
(D)关于直线y=x对称C解析:由f(-x)=f(x)知函数为偶函数,故图象关于y轴对称.2.奇函数y=f(x)(x∈R)的图象必定经过点( )C解析:因为f(x)是奇函数,
所以f(-a)=-f(a),
所以f(x)经过点(-a,-f(a)),选C.C4.(2018·贵州贵阳期末)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,则f(-2)的值为 .?解析:因为x>0时,f(x)=2x-3.所以f(2)=2×2-3=1.
因为f(x)为奇函数,故f(-2)=-f(2)=-1,
答案:-1类型一 判断函数的奇偶性课堂探究·素养提升思路点拨:利用定义判断.先求定义域.在定义域关于原点对称之下,再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立,从而确定奇偶性.(3)f(-2)=(-2)2-2×(-2)-1=7,
f(2)=22-2×2-1=-1.
所以f(-2)≠-f(2)且f(-2)≠f(2),
所以f(x)为非奇非偶函数.
(4)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
当x>0时,-x<0,
所以f(-x)=(-x)2-x=x2-x=f(x);
当x<0时,-x>0,
所以f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x).
所以f(x)为偶函数.方法技巧(2)若函数定义域关于原点对称且f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)同时成立,则该函数既是奇函数,又是偶函数,其形式必为f(x)=0,x∈D(D关于原点对称).解:(1)f(x)定义域为R.
因为f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)由已知可得,函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),所以定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数.类型二 奇、偶函数的图象特点【例2】 (2018·广西玉林月考)已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示,则不等式xf(x)<0的解集为( )
(A)(1,2) (B)(-2,-1)
(C)(-2,-1)∪(1,2) (D)(-1,1)解析:因为函数f(x)是奇函数,所以图象关于原点对称,如图,补全当x<0时的函数图象,可知,当x>0时,f(x)<0,此时10,所以此时-2(1)请画出f(x)的另一部分图象;解:(1)由题意,f(x)的图象关于y轴对称,作图如图所示.(2)判断f(x)是否有最大值或最小值;
(3)设f(x)=0的根为x1,x2,求x1+x2.解:(2)由图象知f(x)有最小值,无最大值.
(3)因为f(x)的图象关于y轴对称,所以x1,x2互为相反数,从而x1+x2=0.类型三 由奇偶性求解析式【例3】 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-2x+1,求f(x)在R上的解析式.解:因为f(x)是R上的奇函数,且x>0时
f(x)=x2-2x+1,
当x<0时,-x>0,
所以f(-x)=x2+2x+1,
又f(-x)=-f(x),
所以f(x)=-x2-2x-1.
又f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0.方法技巧 利用函数的奇偶性求解函数的解析式,主要利用函数奇偶性的定义.求解一般分以下三个步骤:(1)设所求函数解析式中所给的区间上任一个x,即求哪个区间上的解析式,就设x在哪个区间上.(2)把所求区间内的变量转化到已知区间内.(3)利用函数奇偶性的定义f(x)=-f(-x)或f(x)=f(-x)求解所求区间内的解析式.变式训练3-1:已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=x3+x+1,求f(x)的解析式.类型四 奇偶性与单调性的综合应用方法技巧 (1)解决有关函数的奇偶性、单调性以及求参数取值范围的综合问题时,一般先利用奇偶性得出相应区间上的单调性,再利用单调性脱去函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题.需要注意的是:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上.
(2)对于偶函数可以利用f(x)=f(-x)=f(|x|)的性质,将问题转化为函数在[0,+∞)上的单调性求解.变式训练4-1:(2017·全国Ⅰ卷)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
(A)[-2,2]
(B)[-1,1]
(C)[0,4]
(D)[1,3]解析:因为f(x)是奇函数,且f(1)=-1,
所以f(-1)=-f(1)=1.
所以f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,
所以-1≤x-2≤1.
所以1≤x≤3.故选D.类型五 易错辨析纠错:错解忽略了定义域的限制条件,奇偶函数的前提是函数的定义域必须关于原点对称,错解没有求函数的定义域.谢谢观赏！课件30张PPT。2.2 一次函数和二次函数
2.2.1 一次函数的性质与图象目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究1.函数 叫做一次函数,它的定义域为 ,值域为 ,图象是 .
2.一次函数y=kx+b(k≠0)中,k叫直线的斜率,函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx成 .
当k>0时,一次函数是 函数,当k<0时,一次函数是 函数.y=kx+b(k≠0)RR直线正比增减(0,b)【拓展延伸】(2)截距b的几何意义:b是直线与y轴的交点的纵坐标,即直线与y轴的交点为(0,b).
当b>0时,交点在y轴正半轴上,当b<0时,交点在y轴负半轴上,当b=0时,交点为原点,此时一次函数为正比例函数.自我检测1.下列不是一次函数的是( )C2.如果一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限,那么( )
(A)k>0,b>0 (B)k>0,b<0
(C)k<0,b>0 (D)k<0,b<0B解析:经过第一、三、四象限的直线的大致位置如图.由图像可以看出:y随x的增大而增大,所以k>0.因为直线与y轴的交点在负半轴上,所以b<0.3.已知一次函数y=kx+b,x=1时,y=-2,且其图象在y轴上的截距是-5,那么它的解析式是( )
(A)y=3x+5 (B)y=-3x-5
(C)y=-3x+5 (D)y=3x-5D解析:在y轴上的截距是-5,则b=-5,又x=1时y=-2,即-2=k-5,所以k=3.答案:y=x 类型一 一次函数的概念与性质课堂探究·素养提升【例1】 已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m为何值时,
(1)这个函数为正比例函数;(2)这个函数为一次函数;
(3)这个函数是减函数;(4)这个函数的图象与直线y=x+1的交点在x轴上.方法技巧 函数y=kxα+b中,当α=1,k≠0时为一次函数;当α=1,k≠0,b=0时为正比例函数.变式训练1-1:已知函数f(x)为一次函数,且满足4f(1-x)-2f(x-1)=3x+18,求函数f(x)在[-1,1]上的最大值.类型二 一次函数的图象及应用【例2】 如图所示,在平面直角坐标系中,A,B均在边长为1的正方形网格格点上.
(1)求线段AB所在直线的函数解析式,并写出当0≤y≤2时,自变
量x的取值范围;思路点拨:(1)由题意知A(1,0),B(0,2),然后将其代入一次函数的解析式,利用待定系数法求该函数的解析式.(2)将线段AB绕点B逆时针旋转90°,得到线段BC,请在图中画出线段BC.若直线BC的函数解析式为y=kx+b,则y随x的增大而 (填“增大”或“减小”).?思路点拨:(2)根据旋转的性质,在图中画出线段BC,然后根据直线BC的单调性解答.解:(2)画出线段BC如图所示,由图知y随x的增大而增大.故填“增大”.方法技巧 本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式,一次函数图象与几何变换.解答此题时,采用了“数形结合”的数学思想,使问题变得形象、直观,降低了题的难度.解析:由y1=kx+b的图象知此函数递减,
所以k<0,所以①正确.
由y2=x+a的图象与y轴负半轴相交,
得a<0,所以②错误.
又由图象得当x<3时,
y1的图象在y2的图象上方,
所以y1>y2,所以③错误.故选B.变式训练2-1:一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示,则下列结论:①k<0;②a>0;③当x<3时,y1(A)0 (B)1
(C)2 (D)3类型三 一次函数的应用问题【例3】 某地的水电资源丰富,并且得到了较好的开发,电力充足.某供电公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法来计算电费.月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数关系如图所示.
(1)月用电量为100度时,应交电费多少元?
(2)当x≥100时,求y与x之间的函数解析式;
(3)月用电量为260度时,应交电费多少元?思路点拨:由题图可知,当月用电量在[0,100]时,电费y(元)与用电量x(度)是正比例函数关系;当用电量在[100,200]时,电费y(元)与用电量x(度)是一次函数关系,从而求出相应的函数解析式.解:(1)应交电费60元.方法技巧 (1)与图象有关的实际问题,要做好读图,识图分析,并注意数形结合思想的运用.变式训练3-1:某公司推销一种产品,设x(件)是推销产品的数量,y(元)是推销费,如图表示了该公司每月付给推销员推销费的两种方案.
看图解答下列问题:(1)求y1与y2的函数解析式;(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的.解:(2)方案一,没有基本工资,每推销1件产品,付推销费20元(即y1=20x).
方案二,每月发基本工资300元,每推销1件产品,付10元推销费(即y=10x+300).类型四 易错辨析【例4】 函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是( )
(A)2 (B)-2 (C)2或-2 (D)0错解:因为y=ax+1在[1,2]上的最大值是2a+1,最小值是a+1,
所以(2a+1)-(a+1)=a=2.故选A.
纠错:本题中a的值不确定,因此函数不一定是增函数.故应按a的正、负分类讨论.正解:当a>0时,y=f(x)的最大值为f(2)=2a+1,最小值为f(1)=a+1,
所以(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2.
当a<0时,y=f(x)的最大值为f(1)=a+1,最小值为f(2)=2a+1,
所以(a+1)-(2a+1)=2.
解得a=-2,综上所述,a=2或a=-2,选C.谢谢观赏！课件31张PPT。2.2.2 二次函数的性质与图象目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.函数 叫做二次函数,它的定义域是 .当 时,二次函数变为y=ax2(a≠0),它的图象是一条顶点为原点的抛物线, 时,抛物线开口向上,a<0时,抛物线 ,这个函数是 函数.
2.二次函数f(x)=a(x-h)2+k有如下性质:
(1)函数的图象是一条抛物线,抛物线顶点的坐标是 ,对称轴是 ;y=ax2+bx+c(a≠0)b=c=0R开口向下偶(h,k) x=ha>0(2)当a>0时,抛物线的开口向上,函数在x=h处取最小值ymin= ,在区间 上是减函数,在 上是增函数;
(3)当a<0时,抛物线开口向下,函数在 处取最大值ymax= ,在区间 上是增函数,在 上是减函数.
3.函数y=ax2+bx+c(a≠0)配方后为: .k=f(h) (-∞,h][h,+∞)x=hk=f(h) (-∞,h][h,+∞)【拓展延伸】2.二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论:(其中f(x)max表示最大值,f(x)min表示最小值)
(1)对称轴x=h在区间[m,n]左侧,即hf(x)max=f(n),f(x)min=f(m).
(2)对称轴x=h在区间[m,n]右侧,即h>n时,
f(x)max=f(m),f(x)min=f(n).自我检测1.抛物线y=-5x2不具有的性质是( )
(A)开口向下 (B)对称轴是y轴
(C)与y轴不相交 (D)最高点是原点C解析:由y=-5x2,知该抛物线的开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),与y轴交于点(0,0).2.二次函数y=-2(x+1)2+8的最值情况是( )
(A)最小值是8,无最大值
(B)最大值是-2,无最小值
(C)最大值是8,无最小值
(D)最小值是-2,无最大值C解析:因为二次函数的图象开口向下,
故无最小值,且当x=-1时,y最大值=8.故选C.3.已知二次函数y=x2-2x+1,则它的图象大致为( )B 解析:由y=(x-1)2,可知其图象开口向上,顶点为(1,0).故选B.4.将函数y=3x2的图象向 平移2个单位,再向 平移3个单位,就得到y=3(x+2)2-3的图象.?答案:左 下类型一 二次函数的图象与性质课堂探究·素养提升【例1】 (1)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是( )
(A)a>0
(B)在(1,+∞)上,函数单调递增
(C)c<0
(D)3是方程ax2+bx+c=0的一个根解析:(1)因为抛物线开口向下,所以a<0,所以选项A错误;
又因为抛物线和y轴正半轴相交,
所以c>0,所以选项C错误;
又因为对称轴为x=1,
所以当x∈(1,+∞)时,函数单调递减,所以选项B错误;
又因为x=-1是ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,而另一个根到1的距离与-1到1的距离相等,
所以另一根为3,所以选项D正确.故选D.(2)函数f(x)=x2-(m+1)x+m2在(3,+∞)上单调递增,则m的取值范围是( )
(A)(-∞,5) (B)(-∞,5] (C)[5,+∞) (D)(5,+∞)方法技巧 二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质,一定要和相应函数的图象对应好,解题时要注意运用数形结合思想.变式训练1-1:(1)函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则a的取值范围是( )
(A)(-∞,-3] (B)[-3,+∞)
(C)(-∞,3] (D)[3,+∞)解析:(1)要使二次函数f(x)在(-∞,4]上是减函数,则其对称轴需在x=4的右边.所以-(a-1)≥4,解得a≤-3.故选A.(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式不正确的是( )
(A)a<0 (B)abc>0
(C)a+b+c>0 (D)b2-4ac>0类型二 二次函数的最值思路点拨: 首先用配方法确定抛物线的顶点坐标或对称轴,再看(1),(2),(3)各区间内是否包含对称轴(数值),从而确定各区间的性质后求其最值.【例2】 已知二次函数y=f(x)=x2-2x+2.
(1)当x∈[0,4]时,求f(x)的最值;
(2)当x∈[2,3]时,求f(x)的最值;
(3)当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t).解: y=f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1.
所以抛物线对称轴为x=1.
(1)因为x=1∈[0,4],且a=1>0,
所以当x=1时,y有最小值,ymin=f(1)=1.
因为f(0)=2所以当x=4时,y有最大值,ymax=f(4)=10.
(2)因为1?[2,3],且1<2,
所以f(x)在[2,3]上是单调增函数.
所以当x=2时,y有最小值,ymin=f(2)=2,
当x=3时,y有最大值,ymax=f(3)=5.方法技巧 二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为y=a(x-h)2+k的形式,得顶点(h,k)或对称轴方程x=h,可分为三个类型.
(1)轴固定,区间也固定.
(2)轴变动,区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外.
(3)轴固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数,确定轴与区间的相对位置.变式训练2-1:二次函数y=x2+2ax-3,x∈[1,2],求函数的最小值.类型三 确定二次函数的解析式思路点拨:由于题中给出了顶点坐标,可用顶点式设出二次函数,再由g(x)确定a的值.
解:如果二次函数的图象与y=ax2的图象开口大小相同,开口方向也相同,可知二次项系数相同,若顶点坐标为(h,k),则其解析式为y=a(x-h)2+k.【例3】 二次函数f(x)与g(x)的图象开口大小相同,开口方向也相同.已知函数g(x)的解析式和f(x)图象的顶点,写出函数f(x)的解析式.
(1)函数g(x)=x2,f(x)图象的顶点是(4,-7);
(2)函数g(x)=-2(x+1)2,f(x)图象的顶点是(-3,2).(1)因为f(x)与g(x)=x2的图象开口大小相同,开口方向也相同,f(x)的图象的顶点是(4,-7),
所以f(x)=(x-4)2-7=x2-8x+9.
(2)因为f(x)与g(x)=-2(x+1)2的图象开口大小相同,开口方向也相同,且g(x)=-2(x+1)2与y=-2x2的图象开口大小相同,开口方向也相同.
又因为f(x)图象的顶点是(-3,2),
所以f(x)=-2(x+3)2+2=-2x2-12x-16.方法技巧 二次函数常见设法:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0).
(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2是常数,a≠0).
要确定二次函数解析式,就是要确定解析式中的待定系数(常数),当已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式y=ax2+bx+c,然后列出三元一次方程组求解;当已知抛物线的顶点坐标和抛物线另一条件时,通常设函数解析式为顶点式y=a(x-h)2+k,再利用另一条件求解a;当已知抛物线与x轴交点或交点的横坐标时,通常设函数解析式为两根式y=a(x-x1)·(x-x2)求解.变式训练3-1:已知二次函数f(x)同时满足条件:
①f(1+x)=f(1-x);②f(x)的最大值为15;③f(x)=0的两根的立方和等于17.求f(x)的解析式.类型四 易错辨析【例4】 已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,求实数m的取值范围.错解:因为y=x2-2x+3=(x-1)2+2,
所以当x=0时,y=3;当x=1时,y=2,
且当x∈[0,1]时,y=x2-2x+3为减函数,
所以当m=1时,ymax=3,ymin=2.
纠错:错解只注意到二次函数在[0,m]上为递减时的情形,而忽略了二次函数的轴对称性,故当1因为函数的最小值为2,
所以1∈[0,m],
又当ymax=3时,解x2-2x+3=3得
x=0或x=2,由图象知1≤m≤2.谢谢观赏！课件31张PPT。2.2.3 待定系数法目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中 待定,然后,再根据题设条件求出这些待定系数,这种通过求 来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.待定系数系数【拓展延伸】用待定系数法解题的步骤
(1)设出含有待定系数的问题的解析式;
(2)根据恒等条件,列出含待定系数的方程或方程组;
(3)解方程(组),确定待定系数的值,从而使问题得到解决.
什么条件下可用待定系数法求已知函数的解析式;
只要已知条件告诉了函数(或曲线)的类型,便可设出方程,用待定系数法求出函数的解析式.自我检测1.已知一个正比例函数的图象过(2,8)点,则这个函数的解析式为( )A解析:设y=kx,将(2,8)代入得k=4.2.函数y=kx+b的图象经过P(3,-2)和Q(-1,2),则这个函数的解析式为( )
(A)y=x-1 (B)y=x+1
(C)y=-x-1 (D)y=-x+1D3.(2018·北京通州期中)已知函数f(x)=x2+bx+c的图象的对称轴是x=1,并且经过点A(3,0),则f(-1)等于( )
(A)6 (B)2 (C)0 (D)-4C4.已知抛物线y=ax2与直线y=kx+1交于两点,其中一点的坐标为(1,4),则另一交点的坐标为 .?类型一 待定系数法求函数解析式课堂探究·素养提升【例1】 求下列函数的解析式:
(1)一次函数在y轴上的截距是1,且与反比例函数的图象交于点P(1,3),求一次函数与反比例函数的解析式;思路点拨:(1)已知一次函数在y轴上的截距及与反比例函数的交点
P(1,3),代入可求.(2)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.思路点拨:(2)该二次函数可设顶点式、两根式及一般式.方法技巧 用待定系数法求函数解析式的具体做法是先根据题目中给出的函数类型设出解析式的一般形式,再由已知条件列方程或方程组,然后解出待定系数即可.注意设待定系数本着“宁少勿多”的原则进行,要根据条件选取适当的形式.变式训练1-:已知二次函数f(x)的二次项系数为a(a<0),方程f(x)+2x=0的两根是1或3.
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式;(2)求f(x)的最大值.类型二 数形结合与待定系数法【例2】 如图所示,一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A,B两点,如果A点的坐标为(2,0),且OA=OB,试求一次函数的解析式.思路点拨:通过观察图象可以看出,要确定一次函数的关系式,只要确定B点的坐标即可,因为OB=OA=2,所以点B的坐标为(0,-2),再结合A点坐标,即可求出一次函数的关系式.方法技巧 利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用,在解决有关函数问题时有着重要的作用.变式训练2-1:如图,函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成,求此函数的解析式.类型三 用待定系数法求恒等式【例3】 已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x-1,求f(x).思路点拨:本题主要考查利用待定系数法求函数的解析式,解决本题的关键是根据题目特征设出函数解析式,使用待定系数法确定出待定系数即可.方法技巧 利用多项式恒等,得两个标准多项式中同次项的系数对应相等,列出方程组求解.变式训练3-:已知函数y=f(x)是一次函数,且[f(x)]2-3f(x)=4x2-10x+4,则f(x)= .?答案:-2x+4或2x-1类型四 用待定系数法解实际应用题【例4】 如图,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位AB时宽20 m,水位上升3 m就达到警戒线CD,这时水面宽度为10 m.(1)在如图的坐标系中,求抛物线的解析式;
(2)若洪水到来时,水速以0.2 m/h的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能到拱桥顶?方法技巧 解决此类问题的关键是建立函数模型.本题是二次函数,顶点在原点,对称轴是y轴,可设y=ax2(a<0),然后利用待定系数法求出函数解析式,再去解决相应的有关问题.变式训练4-:如图所示,有一条双向公路隧道,其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成,隧道的最大高度为4.9 m,AB=10 m,BC=2.4 m.现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中,若有一辆装有集装箱的高为4 m,宽为2 m的汽车要通过隧道.问:如果不考虑其他因素,汽车的右侧离隧道右壁多少才不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部,AO,BC为壁)?谢谢观赏！课件29张PPT。2.3 函数的应用(Ⅰ)目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.解实际应用题建立数学模型的步骤
利用数学模型解决现实生活为原型的应用题时,一般按以下几步进行:
(1)识模:即把应用问题的外部信息与自己已有的内部经验相对照,初步判断问题解决的方向.
(2)析模:就是精读问题,做到“咬文嚼字”,抓住关键词,化简转换问题,注意已知量,发现未知量,挖掘隐含量.(3)建模:通过数学符号化,把问题转化为数学模型.
(4)解模:对所建模型求解,得出数学结果.
(5)验模:将所求结果进行检验,看是否合乎实际,得到实际问题的结果.
2.常见函数模型
(1)直线模型:即一次函数模型,直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k>0),通过图象可以很直观地认识它.
(2)二次函数模型:二次函数为生活中最常见的一种数学模型,因二次函数可求其最大值(或最小值),故常常最优、最省等问题是二次函数的模型,二次函数是数学高考中永恒的话题.
(3)分段函数模型:由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问题或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.自我检测1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )
(A)甲比乙先出发
(B)乙比甲跑的路程多
(C)甲、乙两人的速度相同
(D)甲先到达终点D解析:由图象知:s甲=v甲t甲,s乙=v乙t乙,最终两人跑相同的路程,但甲速度快,先到终点.2.一等腰三角形的周长是20,底边y是关于腰长x的函数,则其解析式是( )
(A)y=20-2x(x≤10) (B)y=20-2x(x<10)
(C)y=20-2x(5≤x≤10) (D)y=20-2x(50得x<10,又组成三角形需2x>y即x> 5.D答案:2 500万元类型一 一次函数模型的应用课堂探究·素养提升【例1】 某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司,甲分公司现有电脑6台,乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台,B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台.已知甲地运往A,B两地每台电脑的运费分别是40元和30元,乙地运往A,B两地每台电脑的运费分别是80元和50元.
(1)设甲地调运x台至B地,该公司运往A和B两地的总运费为y元,求y关于x的函数关系式;
(2)若总运费不超过1 000元,问能有几种调运方案?
(3)求总运费最低的调运方案及最低运费.思路点拨:解答本题首先表示出运至A,B两地的电脑台数,求得函数的解析式,再利用函数的单调性求出最低运费.
解:(1)甲地调运x台到B地,则剩下(6-x)台电脑调运到A地;乙地应调运(8-x)台电脑至B地,运往A地12-(8-x)=(x+4)台电脑(0≤x≤6,x∈N).
则总运费y=30x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20x+960,
所以y=20x+960(x∈N,且0≤x≤6).
(2)若使y≤1 000,即20x+960≤1 000,得x≤2.又0≤x≤6,x∈N,所以0≤x ≤2,x∈N.所以x=0,1,2,即能有3种调运方案.
(3)因为y=20x+960是R上的增函数,又0≤x≤6,x∈N,所以当x=0时,y有最小值为960.所以从甲地运6台到A地,从乙地运8台到B地、运4台到A地,运费最低为960元.方法技巧 (1)读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质,本题涉及电脑台数与运费的关系,解答本题的关键在于表示出运往A,B两地的电脑台数.
(2)根据已知条件建立函数关系式,将实际问题数学化,注意标注自变量的取值范围.
(3)本题通过一次函数的解析式,利用单调性,讨论了最值问题.变式训练1-1: 商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元,该商店现推出两种优惠办法:
(1)买一个茶壶赠送一个茶杯;
(2)按购买总价的92%付款.
某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯数x(个),付款为y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式,并指出如果该顾客需购买茶杯40个,应选择哪种优惠办法?解:付款分为两部分,茶壶款和茶杯款,需要分别计算.由优惠办法(1)得函数关系式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,x∈N+).由优惠办法(2)得函数关系式为y2=(20×4+5x)×92%=4.6x+73.6(x≥4,x∈N+).当该顾客需购买茶杯40个时,采用优惠办法(1)应付款y1=5×40+60=260元;采用优惠办法(2)应付款y2=4.6×40+73.6=257.6元,由于y2整理得y=-4x2+64x+30 720.【例2】 某工厂现有80台机器,每台机器平均每天生产384件产品,现准备增加一批同类机器以提高生产总量,在试生产中发现,由于其他生产条件没变,因此每增加一台机器,每台机器平均每天将少生产4件产品.
(1)如果增加x台机器,每天的生产总量为y件,请你写出y与x之间的函数关系式;解:(2)由y=-4x2+64x+30 720得y=-4(x-8)2+30 976.
所以增加8台机器每天的生产总量最大,最大生产总量为30 976件.(2)增加多少台机器,可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?方法技巧 二次函数模型的实际应用问题,主要有建立二次函数模型,利用二次函数求最值或转为求解二次不等式等,在求二次函数的最值时,一定要注意二次函数的定义域,并不一定是x∈R.类型三 分段函数模型的应用【例3】 某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示,该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如 下表:(1)根据提供的图象,写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式;(2)根据表中提供的数据,写出日销售量Q与时间t的一次函数关系式;解:(2)可设日销售量Q与时间t的一次函数关系式为Q=kt+b,将(10,40), (20,30)代入易求得k=-1,b=50,
所以日销售量Q与时间t的一个函数关系式为
Q=-t+50(020时,年销售总收入为260万元,记该工厂生成并销售这种产品所得的年利润为y万元(年利润=年销售总收入-年总投入).
(1)求y(万元)与x件的函数关系式;(2)当该工厂的年产量为多少时,所得年利润最大?最大年利润是多少?解:(2)当0所以当x=16时,ymax=156,
当x>20时,y=-x+160<140,
故当x=16时,所得年利润最大,最大值为156万元.类型四 数学建模【例4】 某商场经营一批进价为12元/个的小商品,在4天的试销中,对此商品的单价x(元)与相应的日销量y(个)作了统计,其数据如下:
(1)能否找到一种函数,使它反映y关于x的函数关系?若能,写出函数解析式;(2)设经营此商品的日销售利润为P(元),求P关于x的函数解析式,并指出当此商品的销售价每个为多少元时,才能使日销售利润P取最大值?最大值是多少?解:(2)利润P=(x-12)(-3x+90)
=-3x2+126x-1 080
=-3(x-21)2+243.
因为二次函数图象开口向下,所以当x=21时,P最大为243.即每件售价为21元时,利润最大,最大值为243元.方法技巧 这是数学建模问题,虽然问题简单,但体现了建模的主要思路,在现实生活中有许多问题,往往隐含着量与量之间的关系,我们可以先作出草图,猜测关系,再验证这个关系,最后研究这个关系的性质,使问题得到解答.谢谢观赏！课件24张PPT。2.4 函数与方程
2.4.1 函数的零点目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即 ,则α叫做这个函数的零点.
2.一般地,函数f(x)的零点与方程根的关系是f(x)的零点个数与方程根个数 .
3.函数f(x)的图象与x轴有 叫这个函数有零点,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的 .f(α)=0相等公共点横坐标【拓展延伸】
1.函数零点的性质
对于任意函数y=f(x),只要它的图象是连续不间断的,则有:
(1)当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号.如函数f(x)=x2-2x-3的图象在零点-1的左边时,函数值取正号;当它通过第一个零点-1时,函数值由正变为负;再通过第二个零点3时,函数值又由负变为正,这样的零点叫变号零点.
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号.
(3)如果一个二次函数有二重零点,那么它通过这个二重零点时,函数值的符号并不改变,这样的零点叫做不变号零点.2.函数零点的判断
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,因此求函数的零点可以转化为求相应的方程的根.反之,若知道函数的零点,即“函数图象与横轴的交点的横坐标”,则可以直接写出函数对应的方程的根,即函数y=f(x)有零点?方程f(x)=0有实根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点.
因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程f(x)=0是否有实根,有几个实根.二次函数的零点与相应二次方程的实根个数的关系自我检测1.函数f(x)=x2-3x-4的零点是( )
(A)1,-4
(B)4,-1
(C)1,3
(D)不存在B2.函数y=2x-1的图象与x轴交点坐标及零点分别是( )B3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,a·c<0,则函数的零点有( )
(A)1个 (B)2个
(C)0个 (D)不确定
4.若函数f(x)=3x+b的零点为2,则b= .?解析:由已知f(2)=0,所以3×2+b=0,所以b=-6.
答案:-6B类型一 求函数的零点课堂探究·素养提升【例1】 (1)求函数f(x)=x4-2x2-3的零点;思路点拨:(1)利用因式分解法解方程f(x)=0可求零点;(2)求函数f(x)=-3x2-7x+6的零点.思路点拨:(2)令f(x)=0求出零点.方法技巧 由于函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解,所以,求函数的零点就是解与函数相对应的方程;一元二次方程可用求根公式求解,简单的高次方程可用因式分解法求解.另外分式方程求根,要验根.变式训练1-1:若函数f(x)=x2-ax-b的零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是 .?类型二 函数零点的判断思路点拨:判断函数是否有零点,即判断方程f(x)=0是否有根即可,求零点,即求方程根.解:(1)f(x)=-x2+2x+3=-(x-3)(x+1),
令f(x)=0,解得x=3或x=-1.所以函数存在零点且为3和-1.
(2)令f(x)=x2+x+2=0,Δ=1-4×1×2=-7<0,所以方程无实根.
所以f(x)=x2+x+2无零点.方法技巧 判断二次函数f(x)的零点个数,可转化为判断方程f(x)=0的实根的个数,进而转化为判断二次函数的图象与x轴的交点的个数问题.而这类问题一般通过一元二次方程的判别式来判断.变式训练2-1:若奇函数f(x)的定义域为R,且在(0,+∞)上是单调增函数,若f(1)=0,求函数f(x)在(-2,2)内的零点个数.解:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).
因为f(1)=0,所以f(-1)=0.
又因为f(x)在原点处有定义,所以f(0)=0.
因为f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,
所以f(x)在(0,+∞)上只有一个零点,
因为f(x)是奇函数,
所以f(x)在(-∞,0)上是单调增函数,
所以f(x)在(-∞,0)上也只有一个零点.
所以函数f(x)在(-2,2)内有3个零点,即-1,0,1.类型三 函数零点的综合应用【例3】 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.②当a=0或a∈(1,+∞)时,原方程有两个实数解;
③当a=1时,原方程有三个实数解;
④当0(A)k=0 (B)k>0
(C)0≤k<1 (D)k<0解析:因为函数f(x)=|x|-k有两个零点,所以函数y=|x|的图象与函数y=k的图象有两个交点,如图所示.数形结合可得,当k>0时,函数y=|x|的图象与函数y=k的图象有两个交点,故k的范围是(0,+∞).故选B.类型四 易错辨析【例4】 已知二次函数f(x)=x2-(m-1)x+2在[0,1]上有且只有一个零点,求实数m的取值范围.错解:根据函数零点的性质,f(0)·f(1)<0,
即2(4-m)<0,
所以m>4,
所以实数m的取值范围是(4,+∞).
纠错:错解的原因是没有考虑二次函数的各种情况,片面地使用了函数零点的性质.(2)当方程x2-(m-1)x+2=0有两个不相等的实数根时,又f(0)≠0,故
①若f(1)=0,则1-(m-1)+2=0,
解得m=4,则f(x)=x2-3x+2,解x2-3x+2=0得x1=1,x2=2,满足题意;
②若f(1)≠0,则f(0)·f(1)<0,
即2(4-m)<0,解得m>4.
综上所述,实数m的取值范围为[4,+∞).谢谢观赏！课件21张PPT。2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.零点的存在性、变号零点与不变号零点
(1)如果函数y=f(x)在一个区间[a,b]上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即f(a)f(b)<0,则这个函数在这个区间上 .
,即 .
(2)如果函数图象通过零点时 ,则称这样的零点为 .
(3)如果函数图象通过零点时 ,则称这样的零点为 .
.至少有一个零点存在一点x0∈(a,b),使f(x0)=0穿过x轴变号零点没有穿过x轴不变号零点2.用二分法求函数零点的一般步骤
已知函数y=f(x)定义在区间D上,求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它满足给定的精确度.用二分法求函数零点的一般步骤.
(1)在D内取一个闭区间[a0,b0]?D,使f(a0)与f(b0) ,即 ,零点位于区间[a0,b0]中.
(2)取区间[a0,b0]的中点,则此中点对应的坐标为x0= .
计算f(x0)和f(a0).并判断:
①如果 ,则x0就是f(x)的零点,计算终止;
②如果 ,则零点位于区间[a0,x0]中,令a1=a0,b1=x0;
③如果 ,则零点位于区间[x0,b0]中,令a1=x0,b1=b0.异号f(a0)f(b0)<0f(x0)=0f(a0)·f(x0)<0f(a0)·f(x0)>0(3)取区间[a1,b1]的中点,则此中点对应的坐标为x1= .
计算f(x1)和f(a1).并判断:
①如果 ,则x1就是f(x)的零点,计算终止;
②如果 ,则零点位于区间[a1,x1]上,令a2=a1,b2=x1;
③如果 ,则零点位于区间[x1,b1]上,令a2=x1,b2=b1.
……
继续实施上述步骤,直到区间[an,bn],函数的零点总位于区间[an,bn]上,当区间的长度bn-an不大于给定的精确度时,这个区间[an,bn]中的任何一个数都可以做为函数y=f(x)的近似零点,计算终止.f(x1)=0f(a1)·f(x1)<0f(a1)f(x1)>0【拓展延伸】
二分法的理解
(1)所谓二分法就是通过不断的把函数零点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法,它体现极限逼近的思想.
(2)用二分法求方程近似解应注意的问题为
①看清题目的精确度,它决定着二分法步骤的结束.
②根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间,高次方程要先确定有几个解再确定初始区间.
③初始区间的选定一般在两个整数间,不同初始区间结果是相同的,但分的次数相差较大.
④取区间中点c计算中点函数值f(c),确定新的零点区间.直至所取区间[an,bn]中,an与bn按精确度要求取值相等.这个相等的近似值即为所求零点的近似解.自我检测1.已知函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是连续不断的,且满足f(a)·f(b)<0 (a,b∈R,a(A)无零点
(B)有且只有一个零点
(C)至少有一个零点
(D)无法确定有无零点C解析:根据零点存在性定理,函数在区间[a,b]两端点的函数值异号时,函数在(a,b)内至少有一个零点,故选C.2.下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是( )A解析:只有A中函数零点不是变号零点.3.(2018·北京市海淀中关村中学高一上期中)已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
那么函数f(x)一定存在零点的区间是( )
(A)(-∞,1) (B)(1,2)
(C)(2,3) (D)(3,+∞)解析:定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,由表知满足f(2)f(3)<0,根据零点存在定理可知f(x)在(2,3)一定存在零点.故选C.C4.若函数f(x)=2x2+x+a有不变号零点,则a的值为 .?类型一 判断零点的特点课堂探究·素养提升【例1】 分别求出下列函数的零点,并指出是变号零点还是不变号零点.
(1)f(x)=3x-6;
(2)f(x)=x2-x-12;
(3)f(x)=x2-2x+1;
(4)f(x)=(x-2)2(x+1)x.解:(1)零点是2,是变号零点.
(2)零点是-3和4,都是变号零点.
(3)零点是1,是不变号零点.
(4)零点是-1,0和2,其中变号零点是0和-1,不变号零点是2.方法技巧 图象连续不间断的函数f(x)在[a,b]上,若f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在该区间上至少有一个变号零点,也就是可能有多个变号零点,还可能有不变号零点,但至少有一个变号零点是肯定的.这一结论可直接应用于函数变号零点判定之中.变式训练1-1:下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )解析:二分法适合求变号零点.故选A.类型二 用二分法求函数的零点思路点拨:对函数f(x)的解析式进行分解因式或用试根法,求出对应方程的最大根,确定初始区间,用二分法求出根的近似值.
解:因为f(x)=x5-x3-3x2+3
=x3(x2-1)-3(x2-1)
=(x+1)(x-1)(x3-3),
所以f(x)最右边的一个零点的横坐标就是方程x3-3=0的根.
令g(x)=x3-3,以下用二分法求函数g(x)的零点.
由于g(1)=1-3=-2<0,g(2)=23-3=5>0,
故可取(1,2)作为计算的初始区间,列表如下:【例2】 求函数f(x)=x5-x3-3x2+3最右边的一个零点.(精确到0.01)因为|1.445 312 5-1.437 5|=0.007 812 5<0.01,
所以方程x3=3的根的近似值可取为1.44.
故函数f(x)最右边的一个零点的近似值为1.44.方法技巧 求函数f(x)最右边的一个零点,就是求方程f(x)=0的最大根.可以通过试根法、分解因式法、函数图象法,发现其最大根的特点,然后转化为求另一个方程的根.变式训练2-1:若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数值如下:
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为 .?解析:由表知,f(1.375)·f(1.437 5)<0,故方程的根x0∈(1.375,1.437 5),且|1.437 5-1.375|=0.062 5<0.1,
故x0≈1.4.
答案:1.4类型三 易错辨析【例3】 用二分法求方程x2-3=0的一个近似正解,要求精确到0.1.错解:因为f(1)=-2<0,f(2)=1>0,f(1)·f(2)<0,所以x0∈[1,2].
取区间[1,2]的中点x1=1.5,
f(1.5)=-0.75<0,
因为f(1.5)·f(2)<0,所以x0∈[1.5,2].
取区间[1.5,2]的中点x2=1.75,
f(1.75)=0.062 5,因为0.062 5<0.1,
所以原方程的近似解可取为1.75.
纠错:错解在于理解精确度不正确,精确度ε满足的关系式为|a-b|<ε,
错解中认为是|f(x)|<ε,
并且精确到0.1也误取成了小数点后两位.正解:因为f(1)=-2<0,f(2)=1>0,f(1)·f(2)<0,所以x0∈[1,2].
取区间[1,2]的中点x1=1.5,f(1.5)=-0.75<0,
因为f(1.5)·f(2)<0,所以x0∈[1.5,2].
取区间[1.5,2]的中点x2=1.75,f(1.75)=0.062 5,
因为f(1.5)·f(1.75)<0,所以x0∈[1.5,1.75].
取区间[1.5,1.75]的中点x3=1.625,f(1.625)=-0.359 375,
因为f(1.625)·f(1.75)<0,所以x0∈[1.625,1.75].
取区间[1.625,1.75]的中点x4=1.687 5,f(1.687 5)=-0.152 343 75,
因为f(1.687 5)·f(1.75)<0,所以x0∈[1.687 5,1.75].
因为|1.75-1.687 5|=0.062 5<0.1,
所以原方程的近似解可取为1.7.谢谢观赏！课件24张PPT。章末总结网络建构名师导学本章要解决的主要问题是:理解函数的概念,表示方法和函数的单调性、奇偶性、零点.通过一次函数、二次函数图象、性质的研究,掌握研究函数的思想方法.
解决上述问题的关键是:掌握几种重要的数学方法:待定系数法、换元法、配凑法和二分法.突出数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论及化归转化思想的作用,进一步的会应用这些思想方法研究函数.题型探究·素养提升类型一 函数的定义域答案:(1)[-1,2)∪(2,+∞)(2)若关于x的函数f(2x+3)的定义域是{x|-4≤x<5},则关于x的函数f(2x-3)的定义域是 .?解析:(2)因为f(2x+3)的定义域是{x|-4≤x<5},
所以-5≤2x+3<13
所以f(2x-3)中2x-3∈[-5,13),
所以x∈[-1,8)
所以f(2x-3)的定义域是[-1,8).答案:(2)[-1,8)(3)函数f(x2)的定义域为[-1,2],则函数f(2x-1)的定义域为 .?方法技巧 求函数的定义域,对于已知函数解析式求定义域问题,就是使解析式有意义的自变量x的范围;复合函数求定义域要明确中间变量是什么,定义域仍然是解析式中自变量的取值范围.类型二 求函数的解析式【例2】 (2018·河北石家庄辛集中学上期中)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=f(x)+ax,求函数g(x)在区间[-1,1]上的最小值.方法技巧 (1)已知函数解析式的特征,求函数解析式一般利用待定系数法,本题中由于函数为二次函数,因此可设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),利用待定系数法求a,b,c.
(2)本题中的(2)是含参数二次函数在定区间上的最值,因此可根据对称轴与区间的相对位置关系(对称轴在区间内,对称轴在区间两侧)分类讨论.类型三 分段函数(2)求函数f(x)的零点.②当a=1时,方程(*)无解;方法技巧 由于分段函数在不同定义域上函数的表达式不同,所以处理分段函数的问题,要依据自变量所在的范围选择相应的解析式.类型四 函数的图象解:(1)已知函数f(x)=min{(x-1)2,3-x,x+1},
如图所示.【例4】 (2018·河南濮阳一中高一上期中)用min{a,b,c}表示a,b,c中较小的一个,已知函数f(x)=min{(x-1)2,3-x,x+1}.
(1)画出函数f(x)的图象;解:(2)由(1)知f(x)的单调递增区间是(-∞,0),(1,2),
单调递减区间是(0,1),(2,+∞).(2)写出函数f(x)的单调区间.方法技巧 (1)函数图象是研究函数性质的重要方法,因此涉及非一次函数、二次函数的性质问题,常作出函数图象利用数形结合思想求解.(2)本题中函数的单调递增区间不能写为(-∞,0)∪(1,2),也不能写为(-∞,0)或(1,2).类型五 函数的单调性与奇偶性(3)若f(x)≤m2-2am+1对所有的a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.解:(3)因为f(1)=1,f(x)在[-1,1]上单调递增,
所以在[-1,1]上,f(x)≤1,问题转化为m2-2am+1≥1,
即m2-2am≥0,对a∈[-1,1]恒成立.下面来求m的取值范围.
设g(a)=-2m·a+m2≥0.
①若m=0,则g(a)=0≥0,显然对a∈[-1,1]恒成立.
②若m≠0,则g(a)为a的一次函数,若g(a)≥0对a∈[-1,1]恒成立,必须有g(-1)≥0,且g(1)≥0,所以m≤-2或m≥2,所以m的取值范围是(-∞,-2]∪ [2,+∞)∪{0}.方法技巧 涉及函数单调性与奇偶性的问题,一般利用奇偶性对函数解析式进行变形,利用单调性建立关于参数的不等式(组),如有必要可结合函数图象,不要忽视函数的定义域.类型六 二次函数性质的应用【例6】 设二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值,最小值分别为M,m.集合A={x|f(x)=x}
(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M和m的值;(2)若A={1},且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值.谢谢观赏！