课件22张PPT。3.2 对数与对数函数
3.2.1 对数及其运算
第1课时 对数的概念、常用对数目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.对数的概念
指数函数y=ax(a>0且a≠1),那么 叫做以 为底 的对数,记作x=logay,读作x等于 .一般地,对于指数式ab=N,有b=logaN(a>0,且a≠1),其中,数a叫做 ,N叫做 .幂指数xay以a为底y的对数对数的底数真数2.对数恒等式是 (a>0且a≠1).
3.对数logaN(a>0且a≠1)的性质
(1) 没有对数,即 ;
(2) 的对数为0,即 ;
(3) 的对数等于1,即logaa=1.
4.常用对数
以 为底的对数叫做常用对数,log10N记作 .0和负数N>01loga1=0底数10lg N1.(2018·甘肃兰州五十三中期中)如果N=a2(a>0且a≠1),则有( )
(A)log2N=a (B)log2a=N
(C)logNa=2 (D)logaN=2自我检测D解析:因为N=a2(a>0且a≠1),所以2=logaN,故选D.AB类型一 指数式、对数式互化课堂探究·素养提升思路点拨:利用指数式与对数式的互化公式ab=N?b=logaN来完成.解:(1)①因为54=625,所以log5625=4.方法技巧 并非任何指数式都可以直接化为对数式,如(-3)2=9就不能直接写成log-39=2,只有符合a>0,a≠1且N>0时,才有ax=N?x=logaN.变式训练1-1:(1)若log5x=2,则x= ;?
(2)若loga2=m,loga3=n,则a2m+n= .?解析:(1)由指数式与对数式互化公式得x=52=25.
(2)因为loga2=m,loga3=n,
所以am=2,an=3,
所以a2m+n=(am)2·an=4×3=12.
答案:(1)25 (2)12类型二 对数基本性质的应用【例2】 求下列各式中x的值:
(1)log3(x2-1)=0;(2)logx+3(x2+3x)=1.方法技巧 有关“底数”和“1”的对数,可利用对数的性质知其值为“1”和“0”,化为常数.变式训练2-1:求下列各式中x的值:
(1)log2(log5x)=0;
(2)log3(lg x)=1.解:(1)因为log2(log5x)=0,
所以log5x=20=1,所以x=51=5.
(2)因为log3(lg x)=1,所以lg x=31=3,
所以x=103=1 000.类型三 由对数的定义及对数恒等式求值方法技巧 对数恒等式是利用对数定义推出的,要注意结构特点:(1)它们是同底的;(2)指数中含有对数形式;(3)其值为对数的真数.(2)原式=10lg 9×10lg 2=9×2=18.
(3)原式=bc.谢谢观赏！课件27张PPT。第2课时 积、商、幂的对数与换底公式目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM2.以e为底的对数叫做 .logeN通常记作 .自然对数ln N3.对数换底公式是:logaN= (a>0且a≠1,b>0且b≠1,N>0),特别
地,换成以10为底时,logaN= ,换成以e为底时,logaN= .【拓展延伸】
1.指数与对数的对比自我检测CA解析:由对数运算性质知4个式子都不正确.A解析:log38-2log36=log323-2(log32+log33)
=3log32-2log32-2=a-2.答案:0 类型一 对数运算性质的应用课堂探究·素养提升解:(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2
=2lg 10+(lg 5+lg 2)2
=2+(lg 10)2
=2+1=3.方法技巧 利用对数的运算法则解答问题一般有两种思路:
(1)正用公式:将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商,然后化简求值.
(2)逆用公式:将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.解:(1)原式=2log32-(log332-log39)+3log32
=2log32-5log32+log39+3log32=2.类型二 换底公式思路点拨:由于所给对数的底数不同,无法直接进行计算,可利用换底公式计算.【例2】 计算:(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258).方法技巧
(2)换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数,然后查表求值,解决一般对数求值的问题.
(3)换底公式的本质是化同底,这是解决对数问题的基本方法.类型三 含附加条件对数式求值问题思路点拨:(1)利用已知条件,把a,b,c分别用含x的式子表示,代入所求式子即可.【例3】(1)已知logax=2,logbx=3,logcx=6,求logabcx的值;思路点拨:(2)解出x,y代入化简即可.方法技巧 涉及指数等式中的指数问题,可利用指、对数式的互化,将指数式化为对数式.类型四 易错辨析谢谢观赏！课件28张PPT。3.2.2 对数函数目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.一般地,函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)叫做 .其中x是 ,其定义域是 ,值域是 .
2.对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)的图象特征:
(1)图象都在y轴的 .
(2)图象经过点 .
(3)a>1时,自左向右看图象是 ;对应区间(1,+∞)上的图象
,对应区间(0,1)上的图象 .自变量对数函数正实数集R右侧(1,0) 上升的在x轴上方在x轴下方(4)0
3.当a>1时,函数y=logax在定义域内是单调 函数;
当0对数函数的图象与性质(2)左右比较:比较图象与y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.自我检测CDD解析:log38-2log36=log323-2(log32+log33)
=3log32-2log32-2=a-2.解析:因为log2x>2log22,
所以log2x>log24,
因为y=log2x为(0,+∞)上的单调增函数,
所以x>4,即x的取值范围是(4,+∞).
答案:(4,+∞)4.若log2x>2log22,则x的取值范围是 .?类型一 对数函数的图象课堂探究·素养提升【例1】 函数f(x)=loga|x|(a>0且a≠1)的图象可能是( )解析:因为f(x)=loga|x|是一个偶函数,因此其图象关于y轴对称,故A,C不正确,又当x>0时,f(x)=logax,且当01时,函数f(x)=logax在(0,+∞)上是增函数,结合偶函数性质知,B正确.选项D的图象是y=|loga|x||(0a>1>d>c,
故选B.变式训练1-1:如图所示是对数函数C1:y=logax,C2:y=logbx,C3:y=logcx, C4:y=logdx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( )
(A)a>b>1>c>d
(B)b>a>1>d>c
(C)1>a>b>c>d
(D)a>b>1>d>c类型二 求函数的定义域、值域思路点拨:(1)由偶次根式被开方数为非负数及对数真数大于0进行求解.思路点拨:(2)根据对数真数大于0及偶次根号下被开方数非负,列出满足题意的不等式组求解.方法技巧 (1)对数函数的定义域是真数全为正数,含对数式的函数定义域,经常转化为对数不等式问题,它的求解方法是化为同底数的对数,利用对数函数的单调性予以解决.
(2)求对数型函数y=logaf(x)(a>0且a≠1)的值域,需根据a的范围及函数t=f(x)的值域求解.类型三 比较大小解析:(1)因为a=log23.6=log43.62,
f(x)=log4x在(0,+∞)上为增函数,
所以log43.62>log43.6>log43.2,
所以a>c>b.故选B.【例3】 (1)已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( )
(A)a>b>c (B)a>c>b
(C)b>a>c (D)c>a>b解析:(2)因为a=log3π>log33=1,0=log71所以a>b>c.故选A.(2)若a=log3π,b=log76,c=log20.8,则( )
(A)a>b>c (B)b>a>c
(C)c>a>b (D)b>c>a方法技巧 (1)比较同底数的对数值大小,直接使用对数函数的单调性.
(2)比较不同底数同真数的对数值大小,一个方法是利用图象的性质,另一种常用方法是换不同底的对数为同底数的对数,再结合单调性进行.
(3)底数与真数都不相同的对数值比较大小,可以采用放缩法,或借助中间数,或换底,或作差,或作商比较.
(4)利用函数图象及其相互位置关系来比较大小,是重要的数学思想——数形结合思想.变式训练3-1:若loga2(A)0(C)a>b>1 (D)b>a>1类型四 易错辨析【例4】 (2018·贵州铜仁思南中学期中)函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值集合是 .?纠错:求解含参数的与对数函数有关的复合函数问题时,不但要结合复合函数的单调性列出关于参数的取值范围问题,而且参数还要保证对数的真数应大于0的条件.答案:(-4,4]谢谢观赏！课件20张PPT。3.2.3 指数函数与对数函数的关系目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究1.反函数
(1)互为反函数的概念
当一个函数y=f(x)中x任取一个值时,y有唯一确定的值与之对应,反之,y任取一个值时,x有唯一确定的值与之对应,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 ,而把这个函数的自变量作为新的函数的 .我们称这两个函数互为 .
(2)反函数的记法:函数y=f(x)的反函数通常用 来表示.
2.指数函数与对数函数的关系
函数y=ax(a>0,a≠1)与y=logax(a>0,a≠1)互为 ,互为反函数的两个图象在同一坐标系内关于直线 对称.自变量因变量反函数y=f-1(x)反函数y=x【拓展延伸】
1.若点P(m,n)在函数y=f(x)(或在反函数y=f-1(x))的图象上,则点P′(n,m)在反函数y=f-1(x)(或在函数y=f(x))的图象上,利用这种对称性去解题,常常可以避开求反函数的解析式,从而达到简化运算的目的.
2.指数函数y=ax与对数函数y=logax的图象、性质对比自我检测B 2.函数y=log3x的定义域为(0,+∞),则其反函数的值域是( )
(A)(0,+∞)
(B)R
(C)(-∞,0)
(D)(0,1)A解析:原函数的定义域恰好是其反函数的值域.3.y=2x与y=log2x的图象关于( )
(A)x轴对称
(B)直线y=x对称
(C)原点对称
(D)y轴对称解析:由反函数的定义知y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,选B.B答案:y=4x类型一 指数函数与对数函数图象的关系课堂探究·素养提升【例1】 已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是( )思路点拨: 可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可利用函数的性质识别图象,特别要注意底数a对图象的影响.
解析:法一 首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面,从而排除A,C.
其次,从单调性着眼.y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除D.
故选B.
法二 若0若a>1,则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点(-1, 0),只有B满足条件.故选B.
法三 如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可直接选定B.方法技巧 要养成从多角度分析问题、解决问题的习惯,培养思维的灵活性.变式训练1-1:在同一平面直角坐标系中,函数y1=a-x,y2=-logax(其中a>0且a≠1)的图象只可能是( )类型二 反函数性质的应用思路点拨:先由A(1,2)在函数f(x)的反函数图象上得出A′(2,1)在f(x)的图象上,然后建立关于a,b的方程组求解.方法技巧 利用互为反函数的图象关于直线y=x对称,可由反函数图象过A(1,2)点得原函数图象过(2,1)点,可简化运算过程,达到事半功倍之功效.变式训练2-1:若a>0且a≠1,函数f(x)=ax-2-1的反函数图象过定点M,则M的坐标为 .?解析:由题意可得f(2)=0,所以函数f(x)的反函数图象过定点M(0,2).
答案:(0,2)谢谢观赏！课件28张PPT。3.3 幂函数目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.一般地,形如 (α∈R)的函数叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数.
2.幂函数随着α的取值不同,它们的定义域、性质和图象也不尽相同,但它们有一些共同的性质:
(1)所有的幂函数在 上都有定义,并且图象都通过点 .
(2)如果α>0,则幂函数的图象通过 ,并且在区间[0,+∞)上是 .xy=xαα(0,+∞)(1,1) 原点增函数(3)如果α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是 .在第一象限内,当x从右边趋于原点时,图象在y轴右方无限地逼近 轴,当x趋向于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴.
(4)如果幂函数图象过第三象限,则一定过点 .减函数y(-1,-1) 【拓展延伸】
各种幂函数的图象和性质
当指数α=1时,y=x的图象是直线;当α=0时,y=x0=1是断直线(除点(0,1)),除此以外幂函数的图象都是曲线.幂函数y=xα的图象在第一象限内具有如下特征:直线x=1,y=1,y=x将直角坐标平面在第一象限的直线x=1的右侧分为三个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ,如图.
则α∈(1,+∞)?y=xα的图象经过区域Ⅰ内;
α∈(0,1)?y=xα的图象经过区域Ⅱ内;
α∈(-∞,0)?y=xα的图象经过区域Ⅲ内.
并且在直线x=1的右侧,从x轴起,幂函数y=xα的指数α由小到大递增,即“指大图高”“指小图低”,在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小.自我检测1.下列所给出的函数中,是幂函数的是( )
(A)y=-x3 (B)y=x-3 (C)y=2x3 (D)y=x3-1B解析:由幂函数的定义知,只有B符合.D 3.若幂函数f(x)=xα在(0,+∞)上是增函数,则( )
(A)α>0 (B)α<0
(C)α=0 (D)α的大小不能确定解析:当α>0时,f(x)=xα在(0,+∞)上是增函数,选A.A答案:(-∞,+∞) 偶函数类型一 幂函数的概念课堂探究·素养提升方法技巧 根据幂函数的解析式特征求解.幂函数解析式的结构特征:(1)解析式是单项式;(2)幂指数为常数,底数为自变量,系数为1.变式训练1-1:(1)如果幂函数y=(m2-3m+3) 的图象不过原点,则m的取值是( )
(A)-1≤m≤2 (B)m=1或m=2
(C)m=2 (D)m=1
(2)已知幂函数y=f(x)的图象经过点(9,3),则f(100)= .?解析:(1)由幂函数的定义知m2-3m+3=1,所以m=1或m=2.又图象不过原点,所以m2-m-2≤0,经验证m=1或m=2均适合.所以选B.答案:(1)B (2)10类型二 幂函数的图象思路点拨:根据幂函数的图象特征确定相应的图象.
解析:由第一、二、三个图象在第一象限的单调性知,α<0,而第一个图象关于原点对称,为奇函数,第二个图象关于y轴对称,为偶函数;第三个在y轴左侧无图象,故这三个图象分别填⑥④③.
由第四、五、六个图象在第一象限的特征知,0<α<1,再由其奇偶性及定义域知这三个图象应依次填②⑦①.
第七个图象对应的幂指数大于1,故填⑤.
答案:⑥④③②⑦①⑤方法技巧类型三 比较大小思路点拨:本题是利用幂函数比较大小的基本题型,可利用幂函数的单调性或借助中间量(如“1”)进行比较.(3)0.70.8与0.80.7;解:(3)因为y=x0.8是增函数,0.7<0.8,
所以0.70.8<0.80.8.
又因为y=0.8x是减函数,0.7<0.8,
所以0.80.8<0.80.7.
所以0.70.8<0.80.8<0.80.7,即0.70.8<0.80.7.方法技巧 比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,需引入中间量,利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象.类型四 易错辨析谢谢观赏！课件29张PPT。3.4 函数的应用(Ⅱ)目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.平均增长率问题
如果原来产值的基数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值为 .
2.储蓄中的复利问题
如果本金为a元,每期利率为r,本利和为y,存期为x,则它们的关系为 .N(1+p)xy=a(1+r)x【拓展延伸】
1.反比例函数模型:y= (k>0)型,增长特点是y随x的增大而减小.
2.指数函数模型:y=a·bx+c(b>0,且b≠1,a≠0)型,其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b>1,a>0),常形象地称为指数爆炸.
3.对数函数模型:即y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0)型,增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的越来越慢(底数a>1,m>0).自我检测1.某种动物繁殖的数量y与繁殖次数x的关系如表:
则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是( )
①y=2x-1;②y=x2-1;③y=2x-1;④y=x2-x+1
(A)①② (B)③④ (C)②③ (D)②④B解析:将(1,1),(2,3),(3,7)代入验证即可.2.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
(A)一次函数 (B)二次函数
(C)指数型函数 (D)对数型函数解析:由题意可知,函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来越慢,故应采用对数型函数来建立函数模型,故选D.D答案:2 400类型一 增长率问题课堂探究·素养提升【例1】 某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择:一种是年利率10%,按单利计算利息,5年后收回本金和利息;另一种是年利率9%,按每年复利一次计算利息,5年后收回本金和利息.问哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元(结果精确到0.01万元)?思路点拨:这是一个单利和复利所获得利息多少的比较问题.可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少,再通过比较作答.解:本金100万元,年利率10%,按单利计算,5年后的本息和是100× (1+10%×5)=150万元.
本金100万元,年利率9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是
100×(1+9%)5=153.86万元.
由此可见,5年后按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利,多得利息3.86万元.方法技巧 在实际问题中,常常遇到关于平均增长率的问题,如果原来产值的基数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,可以用公式y=N(1+p)x表示.变式训练1-1:(2018·湖南衡阳联考)某科技股份有限公司为激励创新,计划逐年增加研发资金投入,若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长10%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据:lg 1.1≈0.041,lg 2≈0.301)
(A)2022年 (B)2023年 (C)2024年 (D)2025年类型二 指数函数、对数函数模型【例2】 某医药研究所研发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);(2)进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时,药物对治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病的有效时间.方法技巧 根据条件设出解析式和结合图象中的已知点求解析式是解答的关键.(2)若x0=5,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少个单位?(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min,雌鸟的飞行速度为1.5 km/min,那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍?类型三 选用函数模型解决问题【例3】 某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成表格:
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).解:只给出数据,没明确函数关系,这样就需要准确地作出函数图象.然后根据图象选择合适的函数模型来解决实际问题.
以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出函数图象,如图所示.
观察函数图象可以看出,A种商品的所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型来近似地表达,如图①所示.取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2,再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,
所以y=-0.15(x-4)2+2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型近似地表达,如图②所示.方法技巧 此题幂函数模型(y=a·xn+b(a≠0))的问题,关键是根据表中数据画出各点,由点的分布规律合理建模.类型四 构建函数模型【例4】 某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如表所示:
该市煤气收费的方法是:
煤气费=基本费+超额费+保险费.
若每月用量不超过最低限度A m3,只付基本费3元和每户每月的定额保险C元,若用气量超过A m3,超过部分每立方米付B元,又知保险费C不超过5元,根据上面的表格求A,B,C.思路点拨:此题属于图表信息题,涉及分段函数.主要考查学生阅读理解能力、构建数学模型的能力和应用数学知识解决问题的能力,这也是今后几年高考的热点之一.两式相减,得B=0.5,
所以A=2C+3.
再分析一月份的用气量是否超过最低限度.
不妨设A<4,
将x=4代入y=3+B(x-A)+C,
得3+0.5×[4-(3+2C)]+C=4,
由此推出3.5=4,矛盾,
所以A≥4,所以3+C=4,即C=1,
将C=1代入A=2C+3,
得A=5,所以A=5,B=0.5,C=1.方法技巧 此题为分段函数问题,题目所涉及的内容在求解过程中,要考虑结果是否满足各段的要求,这是解决此类综合应用题的特点.谢谢观赏！课件20张PPT。章末总结网络建构名师导学本章要解决的主要问题是:指数、对数、幂的计算和化简,指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象、性质及应用.
解决上述问题的关键是:理解并掌握好幂函数、指数函数、对数函数的运算,指数函数、对数函数、幂函数的概念、性质和图象等基础知识,做到基础知识无盲点.要注意函数与方程思想的应用,进一步形成应用函数思想、数形结合思想解决问题的能力.题型探究·素养提升类型一 幂、指、对数的运算思路点拨:利用指数幂、对数的运算法则及性质进行化简或计算,要注意法则的正、逆应用.方法技巧 (1)指数幂的运算关键是化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数.
(2)对数式的化简或计算要注意利用对数的运算性质或对数恒等式、换底公式来进行.类型二 比较大小问题方法技巧 将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值,利用函数的单调性比较是常用的一种方法,当两个幂形式的数的底数与指数都不同时,常利用选取中间量法进行比较.另外,还可以借助于图象法,比较(作差、作商)法等.类型三 幂、指数、对数函数的性质、图象【例3】 方程a-x=logax(a>0且a≠1)的实数解个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:利用数形结合法画出y2=a-x与y1=logax的图象,观察判断.
当a>1时,在同一坐标系中画出y1=logax的图象和y2=a-x的图象如图(1),由图象知两函数图象只有一个交点;同理,当0解:当x≤1时,x-1≤0,故0<3x-1≤1.
由此可得-2<3x-1-2≤-1.
当x>1时,1-x<0,
故0<31-x<1.
由此可得-2<31-x-2<-1.
故所求函数的值域为(-2,-1].方法技巧 指数函数、对数函数的性质主要是指两种函数的定义域、值域、单调性等,其中单调性是高考考查的重点,并且经常以复合函数的形式考查,求解此类问题时,要以基本函数的单调性为主,结合复合函数单调性判断法则,在函数定义域限制之下讨论.类型五 函数中的思想方法【例5】 设a∈R,试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根的个数.方法技巧 本题将函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想与化归思想有机地结合在一起,是考查数学思想方法的好题,本题的关键是数形结合.类型六 函数的实际应用题【例6】 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5千美元～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况的调查中发现:人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多,然后向两边递减.
(1)下列几个模拟函数中(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示A饮料的年人均销量,单位:升),用哪个模拟函数来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由.y=ax2+bx,y=kx+b,y=logax+b,y=ax+b.解:(1)用函数y=ax2+bx来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP的关 系更合适.因为函数y=kx+b,y=logax+b,y=ax+b在其定义域内都是单调函数,不具备先递增后递减的特征.(2)若人均GDP为1千美元时,A饮料的年人均销量为2升;若人均GDP为4千美元时,A饮料的年人均销量为5升,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,A饮料的年人均销量最多是多少?方法技巧 利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法:
(1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系;
(2)利用待定系数法,确定具体函数模型;
(3)对所选定的函数模型进行适当的评价、比较,并选择最恰当的模型;
(4)根据实际问题对模型进行适当的修正.谢谢观赏！