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2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第2章
第2节
函数的单调性及其最值（学生版）
备战基础·零风险
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性.
函数的单调性
定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1＜x2时，都有
，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有
，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是
的
自左向右看图象是
的
单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有
；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
(3)对于任意x∈I，都有
；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
结论
M为
。
M为
。
备战方法·巧解题
规律方法
1．一个区别：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集。2．两个防范：一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调。二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集3.对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．4.复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．
利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f(x1)－f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．5.求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x)，且当时其导函数满足,若2
）
A.??????????????????????????B.?
C.??????????????????????????D.?
2.已知定义域为的函数满足
，
则时，单调递增，若
，
且
，
则与0的大小关系是(?
)
A.???????????????????????????????????????????B.?
C.???????????????????????????????????????????D.?
3.函数的单调递增区间为（ ）
A.?[0,1]?????????????????????????????????B.????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
4.下列函数在区间[0，]上是减函数的是（?
）
A.?y=sinx????????????????????????????????B.?y=cosx????????????????????????????????C.?y=tanx????????????????????????????????D.?y=2
5.函数y=f（x），x∈[﹣4，4]的图象如图所示，则函数f（x）的所有单调递减区间为（??
）
A.?[﹣4，﹣2]????????????????B.?[1，4]??????????????????C.?[﹣4，﹣2]和[1，4]????????????????D.?[﹣4，﹣2]∪[1，4]
6.已知f（x）=x2+3x，若|x﹣a|≤1，则下列不等式一定成立的是（??
）
A.?|f（x）﹣f（a）|≤3|a|+3????????????????????????????????????B.?|f（x）﹣f（a）|≤2|a|+4
C.?|f（x）﹣f（a）|≤|a|+5??????????????????????????????????????D.?|f（x）﹣f（a）|≤2（|a|+1）2
7.下列函数在（0，+∞）上单调递增的是（??
）
A.?????????????????????????B.?y=（x﹣1）2????????????????????????C.?y=21﹣x????????????????????????D.?y=lg（x+3）
8.函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）满足f（1）＞1，则函数y=loga（x2﹣1）的单调减区间为（ ）
A.?（1，+∞）????????????????????B.?（﹣∞，0）????????????????????C.?（﹣∞，﹣1）????????????????????D.?（0，+∞）
9.已知定义在R上的函数f（x），若对于任意x1
，
x2∈R，且x1≠x2
，
都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），那么函数f（x）称为“Ω函数”．给出下列函数：
①f（x）=cosx；
②f（x）=2x；
③f（x）=x|x|；
④f（x）=ln（x2+1）．
其中“Ω函数”的个数是（ ）
A.?1
?B.?2
?C.?3
?D.?4
10.下列函数中，在区间为增函数的是（????）
A.??????????????????B.?????????????????????C.???????????????????????D.?
11.下列函数中，在区间（﹣∞，0）上是减函数的是（ ）
A.?y=
??????B.?y=
?????C.?y=
???D.?y=lgx
12.对于函数
，
若为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”．已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是（???）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
13.已知函数f（x）=x2+（a+8）x+a2+a﹣12（a＜0），且f（a2﹣4）=f（2a﹣8），则
的最小值为（??
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
14.函数y=log
（x2﹣4x﹣5）的递减区间为________．
15.已知函数f（x）=
满足对任意x1≠x2
，
都有
＜0成立，则a的取值范围是________．
16.函数y=x2﹣2x﹣3，x∈R的单调减区间为________?
17.已知函数y=2
在[﹣1，1]上是增函数，则a的取值范围是________．
18.已知定义在
上的偶函数
在区间
上是增函数.若存在实数
，对任意的
，都有
，则正整数
的最大值为________．
19.已知f（x）=
（a＞0且a≠1），g（x）=﹣
x3+
x2+4ax．若同时满足条件：①f（x）在R上单调递减；②g（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
20.已知函数
．
（1）判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明其结论；
（2）求函数f（x）在区间[2，9]上的最大值与最小值．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅲ）函数
的图像大致为(??
)
A.????????????????????B.?
C.???????????????????D.?
2.（2017?山东）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2
的图象与y=
+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ）
A.?（0，1]∪[2
，+∞）????????????????????????????????????B.?（0，1]∪[3，+∞）
C.?（0，
）∪[2
，+∞）?????????????????????????????D.?（0，
]∪[3，+∞）
3.（2017·天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A.?a＜b＜c?????????????????????????????B.?c＜b＜a?????????????????????????????C.?b＜a＜c?????????????????????????????D.?b＜c＜a
4.（2017·山东）若函数exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（ ）
A.?f（x）=2x??????????????????????B.?f（x）=x2??????????????????????C.?f（x）=3﹣x??????????????????????D.?f（x）=cosx
5.（2017?北京卷）已知函数f（x）=3x﹣（
）x
，
则f（x）（ ）
A.?是偶函数，且在R上是增函数??????????????????????????????B.?是奇函数，且在R上是增函数
C.?是偶函数，且在R上是减函数??????????????????????????????D.?是奇函数，且在R上是减函数
6.（2017?北京卷）已知函数f（x）=3x﹣（
）x
，
则f（x）（ ）
A.?是奇函数，且在R上是增函数??????????????????????????????B.?是偶函数，且在R上是增函数
C.?是奇函数，且在R上是减函数??????????????????????????????D.?是偶函数，且在R上是减函数
7.（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（???
）
A.?（﹣∞，﹣2）???????????????????B.?（﹣∞，﹣1）???????????????????C.?（1，+∞）???????????????????D.?（4，+∞）
8.（2017?新课标Ⅰ卷）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A.?[﹣2，2]??????????????????????????????B.?[﹣1，1]??????????????????????????????C.?[0，4]??????????????????????????????D.?[1，3]
二、填空题
9.（2018?天津）已知
，且
，则
的最小值为________.
10.（2018?天津）已知a
，
b∈R，且a–3b+6=0，则2a+
的最小值为________．
11.（2017?山东）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．
①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．
12.（2017?浙江）已知a∈R，函数f（x）=|x+
﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是________．
13.（2017?浙江）已知向量
、
满足|
|=1，|
|=2，则|
+
|+|
﹣
|的最小值是________，最大值是________．
三、解答题
14.（2018?卷Ⅲ）已知函数
．
（1）若
，证明：当
时，
；当
时，
；
（2）若
是
的极大值点，求
．
15.如图，在直角坐标系
中，已知点
直线
，将
分成两部分，记左侧部分的多边形为
，设
各边的平方和为
，
各边长的倒数和为
?.
?
（Ⅰ）求分别求函数
和
的解析式；??
（Ⅱ）是否存在区间
，使得函数
和
在该区间上均单调递减？若存在，求
的最大值；若不存在，说明理由.
16.（2017?浙江）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2
sinx
cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（
）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
考情分析
基础知识
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精品试卷·第
2
页
（共
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2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第2章
第2节
函数的单调性及其最值（教师版）
备战基础·零风险
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性.
函数的单调性
定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
结论
M为最大值
M为最小值
备战方法·巧解题
规律方法
1．一个区别：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集。2．两个防范：一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调。二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集3.对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．4.复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．
利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f(x1)－f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．5.求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
备战练习·固基石
一、单选题（
1.
已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x)，且当时其导函数满足,若2）
A.??????????????????????????B.?
C.??????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】复合函数的单调性
【解析】【解答】根据题意，由于函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=，
说明函数关于x=2对称，且当时其导函数满足那么可知x>2时，，
函数递增；x<2时，，
函数递减，可知函数，
则有，
故可知答案为C.
【分析】主要是考查了函数性质的运用，属于中档题。
2.
已知定义域为的函数满足
，
则时，单调递增，若
，
且
，
则与0的大小关系是(?
)
A.???????????????????????????????????????????B.?
C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为已知定义域为的函数满足，
则说明函数关于（2，0)成中心对称，同时在x>2，函数递减，则说明x<2，函数也是递减的。由于，
则说明数比离开中心的距离远，且，
则说明,那么可知，的和会小于零，故选C.
【分析】解决该试题的关键是对于函数对称性的理解和单调性的运用。通过变量的不等式，来分析两个变量的位置关系，进而结合单调性得到函数值的不等关系，属于中档题。
3.
函数的单调递增区间为（ ）
A.?[0,1]?????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】复合函数的单调性
【解析】【分析】由题可知，该函数的定义域为而，
根据二次函数的图象及复合函数的定义域，可知该函数的单调递增区间为.选D。
【点评】考查函数的性质，先要求函数的定义域.
4.下列函数在区间[0，]上是减函数的是（?
）
A.?y=sinx????????????????????????????????B.?y=cosx????????????????????????????????C.?y=tanx????????????????????????????????D.?y=2
【答案】B
【考点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】根据题意，在区间[0，]上，对于选项A来说先增后减，故不成立，对于选项B来说，余弦函数是符合题意的，对于选项C，因为正切函数不能取
，
故不成立，对于选项D，由于常函数没有单调性，故不成立，选B.
【分析】考查了函数单调性的运用，常规试题，熟练的掌握常见函数单调性是解题的关键，属于基础题。
5.
函数y=f（x），x∈[﹣4，4]的图象如图所示，则函数f（x）的所有单调递减区间为（??
）
A.?[﹣4，﹣2]????????????????B.?[1，4]??????????????????C.?[﹣4，﹣2]和[1，4]????????????????D.?[﹣4，﹣2]∪[1，4]
【答案】C
【考点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：由如图可得，
f（x）在[﹣4，﹣2]递减，在[﹣2，1]递增，在[1，4]递减，
可得f（x）的减区间为[﹣4，﹣2]，[1，4]．
故答案为：C．
【分析】由图像可判断上升为增，下降为减。
6.
已知f（x）=x2+3x，若|x﹣a|≤1，则下列不等式一定成立的是（??
）
A.?|f（x）﹣f（a）|≤3|a|+3????????????????????????????????????B.?|f（x）﹣f（a）|≤2|a|+4
C.?|f（x）﹣f（a）|≤|a|+5??????????????????????????????????????D.?|f（x）﹣f（a）|≤2（|a|+1）2
【答案】B
【考点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】解：∵|x﹣a|≤1，∴a﹣1≤x≤a+1，
∵f（x）是二次函数，
∴f（x）在区间[a﹣1，a+1]上单调时，|f（x）﹣f（a）|取得最大值为|f（a+1）﹣f（a）|或|f（a﹣1）﹣f（a）|，
而|f（a+1）﹣f（a）|=|（a+1）2+3（a+1）﹣a2﹣3a）|=|2a+4|≤2|a|+4，
|f（a﹣1）﹣f（a）|=|（a﹣1）2+3（a﹣1）﹣a2﹣3a|=|﹣2a﹣2|=|2a+2|≤2|a|+2．
∴|f（x）﹣f（a）|≤2|a|+4，
故选B．
【分析】结合二次函数的图象可知，当f（x）在区间[a﹣1，a+1]单调时，|f（x）﹣f（a）|的最大值为|f（a+1）﹣f（a）|或|f（a﹣1）﹣f（a）|，从而得出结论．
7.
下列函数在（0，+∞）上单调递增的是（??
）
A.?????????????????????????B.?y=（x﹣1）2????????????????????????C.?y=21﹣x????????????????????????D.?y=lg（x+3）
【答案】D
【考点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：A中，
在（﹣1，+∞）和（﹣∞，﹣1）上单调递减，故在（0，+∞）上也单调递减，排除A；
B中，y=（x﹣1）2在（﹣∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，故在（0，+∞）上不单调，排除B；
y=21﹣x在R上单调递减，排除C；
y=lg（x+3）在（﹣3，+∞）上递增，故在（0，+∞）上也单调递增，
故选D．
【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断即可．
8.
函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）满足f（1）＞1，则函数y=loga（x2﹣1）的单调减区间为（ ）
A.?（1，+∞）????????????????????B.?（﹣∞，0）????????????????????C.?（﹣∞，﹣1）????????????????????D.?（0，+∞）
【答案】C
【考点】复合函数的单调性
【解析】【解答】∵f（x）=ax（a＞0且a≠1）满足f（1）＞1，
∴a＞1，
设t=x2﹣1，由t=x2﹣1＞0得x＞1或x＜﹣1，
∵y=logat是增函数，∴要求函数y=loga（x2﹣1）的单调减区间，
即求函数t=x2﹣1的单调减区间，
∵t=x2﹣1的单调减区间是（﹣∞，﹣1），
∴y=loga（x2﹣1）的单调减区间为（﹣∞，﹣1），
故选：C
【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解．
9.
已知定义在R上的函数f（x），若对于任意x1
，
x2∈R，且x1≠x2
，
都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），那么函数f（x）称为“Ω函数”．给出下列函数：
①f（x）=cosx；
②f（x）=2x；
③f（x）=x|x|；
④f（x）=ln（x2+1）．
其中“Ω函数”的个数是（ ）
A.?1?
?B.?2?
C.?3
D.?4
【答案】B
【考点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：对于任意x1
，
x2∈R，且x1≠x2
，
x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立；
∴（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立；
∴f（x）在R上为增函数；
①f（x）=cosx在R上没有单调性，∴该函数不是“Ω函数”；
②f（x）=2x在R上为增函数，∴该函数是“Ω函数”；
③；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递增，且02=﹣02；
∴f（x）在R上为增函数，∴该函数是“Ω函数”；
④令x2+1=t，t≥1，则y=lnt在[1，+∞）上单调递增，而t=x2+1在R上没有单调性；
∴f（x）在R上没有单调性，∴该函数不是“Ω函数”；
∴“Ω函数”的个数是2．
故选：B．
【分析】根据条件可以得到，对于任意的x1
，
x2∈R，且x1≠x2
，
都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，从而得出f（x）在R上为增函数，这样根据余弦函数，指数函数，二次函数，以及对数函数，复合函数的单调性判断每个函数在R上的单调性，从而便可得出“Ω函数”的个数．
10.
下列函数中，在区间为增函数的是（????）
A.???????????????????????B.???????????????????C.????????????????????D.?
【答案】A
【考点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】根据基本初等函数的性质可知，在区间为增函数，B,C,D均为减函数.选A.
【分析】解决本小题的主要依据是基本初等函数的单调性.
11.
(
2分
)
下列函数中，在区间（﹣∞，0）上是减函数的是（ ）
A.?y=
???B.?y=
??C.?y=
????D.?y=lgx
【答案】A
【考点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】y=x2在（﹣∞，0）上是减函数，y=2x和y=x3在（﹣∞，0）上都是增函数，y=lgx在（﹣∞，0）上不存在；
∴在区间（﹣∞，0）上是减函数的是A．
故选：A．
【分析】根据二次函数、指数函数及y=x3的单调性，以及对数函数的定义域便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．
12.
对于函数
，
若为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”．已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是（???）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】由已知得．
当时，，
由，
得；当时，显然是“可构造三角形函数”；当时，，
则．
综上所述：，
故选D．
13.
已知函数f（x）=x2+（a+8）x+a2+a﹣12（a＜0），且f（a2﹣4）=f（2a﹣8），则
的最小值为（??
）
A.??????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】解：函数f（x）=x2+（a+8）x+a2+a﹣12（a＜0）的对称轴为x=﹣
，
由题意可得a2﹣4=2a﹣8或a2﹣4+2a﹣8=2×（﹣
），
解得a=1或a=﹣4，
由a＜0，可得a=﹣4，f（x）=x2+4x，即有f（n）=n2+4n，
则
=
=
=（n+1）+
+2≥2
+2=2
+1，
当且仅当n+1=
即n=
﹣1时取等号，
但n为正整数，且
﹣1∈（2，3），由n=2时，
=
；
n=3时，
=
＜
．
故当n=3时原式取最小值
．
故选：A．
【分析】求出f（x）的对称轴，由题意可得a2﹣4=2a﹣8或a2﹣4+2a﹣8=2×（﹣
），解得a的值，取负的，化简可得f（x）的解析式，即有f（n），代入由基本不等式，注意n为正整数，计算即可得到所求最小值．
二、填空题
14.
函数y=log
（x2﹣4x﹣5）的递减区间为________．
【答案】（5，+∞）
【考点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：由x2﹣4x﹣5＞0，可得x＜﹣1或x＞5
令t=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，则函数在（5，+∞）上单调递增
∵
在定义域内为单调递减
∴函数
的递减区间为（5，+∞）
故答案为：（5，+∞）
【分析】求出函数的定义域，确定内外函数的单调性，即可得到结论．
15.
已知函数f（x）=
满足对任意x1≠x2
，
都有
＜0成立，则a的取值范围是________．
【答案】（0，
]
【考点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：∵对任意x1≠x2
，
都有
＜0成立；∴f（x1）﹣f（x2）与x1﹣x2异号，
即x1﹣x2＜0时，f（x1）﹣f（x2）＞0，即x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）；∴函数f（x）在R上是减函数；∴x＜0时，f（x）=ax
，
0＜a＜1；
x≥0时，f（x）=（a﹣3）x+4a，a﹣3＜0，a＜3，又ax＞1，（a﹣3）x+4a）max=4a≤1，∴
；
又0＜a＜1，∴0＜a≤
；∴a的取值范围是
．
故答案为：
．
【分析】由题目已知根据函数单调性的定义可证明函数f（x）在R上是减函数即分段函数的每一段都是R上的减函数，指数函数为减函数所以0＜a＜1一次函数为减函数a<3，又ax＞1所以（a﹣3）x+4a的最大值小于等于1，根据一次函数的单调性可得当时最大值为4a所以可得,再和前面得到的0＜a＜1，a<3求交集即可。
16.
函数y=x2﹣2x﹣3，x∈R的单调减区间为________?
【答案】（﹣∞，1]
【考点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】函数y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，
∵a=1，对称轴为直线x=1，
∴抛物线开口向上，
则函数y=x2﹣2x﹣3，x∈R的单调减区间为（﹣∞，1]，
故答案为：（﹣∞，1]
【分析】抛物线解析式配方后找出对称轴，根据a大于0，得到抛物线开口向上，利用二次函数单调性判断即可．
17.
(
1分
)
已知函数y=2
在[﹣1，1]上是增函数，则a的取值范围是________．
【答案】{a｜a≥2}
【考点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：∵函数y=2
在[﹣1，1]上是增函数，
则t=﹣x2+ax﹣1在[﹣1，1]上是增函数，
∴
≥1，求得a≥2，
故答案为：{a|a≥2}．
【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数、指数函数的性质，可得t=﹣x2+ax﹣1在[﹣1，1]上是增函数，可得
≥1，由此求得a的范围．
18.
已知定义在
上的偶函数
在区间
上是增函数.若存在实数
，对任意的
，都有
，则正整数
的最大值为________．
【答案】5
【考点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由题意，f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，又是偶函数，
∵f（x+t）≤f（1+
），又
可得|x+t|≤|1+
?|=1+
，
即
≤x+t≤1+
，
≤t≤1
?+
，
即
又
在
上单调递减，
∴
记
1
?+
在
上递增，在
上递减
∴
若存在实数
，对任意的
，都有
，
则
，即
有解
经检验：
，
∴正整数
的最大值为5
故答案为：5
【分析】结合f(x)的单调性，分析题意，建立不等式，构造g(x)，判断其单调区间，判断k的最大值，即可得出答案。
19.
已知f（x）=
（a＞0且a≠1），g（x）=﹣
x3+
x2+4ax．若同时满足条件：①f（x）在R上单调递减；②g（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．
【答案】（
，
]
【考点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，
函数f（x）在R上单调递减，则：
，
解得
≤a≤
；
函数g（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，
即g′（x）＞0在（2，+∞）上有解
因为g′（x）=﹣x2+x+4a，
所以只需g′（2）＞0即可，
所以由g'（2）=﹣4+2+4a=4a﹣2＞0，解得a＞
，
∴当a＞
时，f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间．
∵同时满足条件：①f（x）在R上单调递减；②g（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，∴实数a的取值范围是（
，
]．
故答案为：（
，
]．
【分析】利用函数f（x）是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据g（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，得到a的大致范围，即可得出结论．
三、解答题
20.
已知函数
．
（1）判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明其结论；
（2）求函数f（x）在区间[2，9]上的最大值与最小值．
【答案】（1）解：f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．
证明如下：
任取x1
，
x2∈[0，+∞），且x1＜x2
，
=
=
．
∵x1﹣x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数
（2）解：由（1）知函数f（x）在区间[2，9]上是增函数，
故函数f（x）在区间[2，9]上的最大值为
，
最小值为
【考点】函数的最值及其几何意义
【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义可证明结果。（2）根据函数的单调性以及二次函数在指定区间上的最值可得结果。
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.
（2018?卷Ⅲ）函数
的图像大致为(??
)
A.????????????????????B.?
C.???????????????????D.?
【答案】D
【考点】函数的单调性及单调区间，函数奇偶性的判断，导数的几何意义
【解析】【解答】
因为y是偶函数，则只需考虑
当
时，
则
时
故答案为：D
【分析】先由函数奇偶性判断出只需考虑
情形，再由导数可知，函数先增后减.
2.
（2017?山东）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2
的图象与y=
+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ）
A.?（0，1]∪[2
，+∞）????????????????????????????????????B.?（0，1]∪[3，+∞）
C.?（0，
）∪[2
，+∞）?????????????????????????????D.?（0，
]∪[3，+∞）
【答案】B
【考点】函数的值域，函数单调性的性质，函数的图象
【解析】【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2
为二次函数，在区间（0，
）为减函数，（
，+∞）为增函数，
函数y=
+m为增函数，
分2种情况讨论：
①、当0＜m≤1时，有
≥1，
在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2
为减函数，且其值域为[（m﹣1）2
，
1]，
函数y=
+m为增函数，其值域为[m，1+m]，
此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；
②、当m＞1时，有
＜1，
y=（mx﹣1）2
在区间（0，
）为减函数，（
，1）为增函数，
函数y=
+m为增函数，其值域为[m，1+m]，
若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，
解可得m≤0或m≥3，
又由m为正数，则m≥3；
综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；
故选：B．
【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx﹣1）2
为二次函数，在区间（0，
）为减函数，（
，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有
≥1，②、当m＞1时，有
＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．
3.
（2017·天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A.?a＜b＜c?????????????????????????????B.?c＜b＜a?????????????????????????????C.?b＜a＜c?????????????????????????????D.?b＜c＜a
【答案】C
【考点】函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质，函数奇偶性的判断，对数值大小的比较，对数函数的图像与性质
【解析】【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，
∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，
∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），
则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，
由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），
∴b＜a＜c，
故选C．
【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c
4.
（2017·山东）若函数exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（ ）
A.?f（x）=2x??????????????????????B.?f（x）=x2??????????????????????C.?f（x）=3﹣x??????????????????????D.?f（x）=cosx
【答案】A
【考点】函数单调性的性质，函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：当f（x）=2x时，函数exf（x）=（2e）x在R上单调递增，函数f（x）具有M性质，
故选：A
【分析】根据已知中函数f（x）具有M性质的定义，可得f（x）=2x时，满足定义．
5.（2017?北京卷）已知函数f（x）=3x﹣（
）x
，
则f（x）（ ）
A.?是偶函数，且在R上是增函数??????????????????????????????B.?是奇函数，且在R上是增函数
C.?是偶函数，且在R上是减函数??????????????????????????????D.?是奇函数，且在R上是减函数
【答案】B
【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：显然函数的定义域为R,
f（x）=3x﹣（
）x=3x﹣3﹣x
，
∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数，
又由函数y=3x为增函数，y=（
）x为减函数，
故函数f（x）=3x﹣（
）x为增函数，
故选：B．
【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（
）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．
6.
（2017?北京卷）已知函数f（x）=3x﹣（
）x
，
则f（x）（ ）
A.?是奇函数，且在R上是增函数??????????????????????????????B.?是偶函数，且在R上是增函数
C.?是奇函数，且在R上是减函数??????????????????????????????D.?是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：显然，函数的定义域为全体实数，
f（x）=3x﹣（
）x=3x﹣3﹣x
，
∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数，
又由函数y=3x为增函数，y=（
）x为减函数，
故函数f（x）=3x﹣（
）x为增函数，
故选：A．
【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（
）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．
7.
（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（???
）
A.?（﹣∞，﹣2）???????????????????B.?（﹣∞，﹣1）???????????????????C.?（1，+∞）???????????????????D.?（4，+∞）
【答案】D
【考点】复合函数的单调性，一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），
令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，
∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8为减函数；
x∈（4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8为增函数；
y=lnt为增函数，
故函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），
故选：D．
【分析】由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．
8.（2017?新课标Ⅰ卷）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A.?[﹣2，2]??????????????????????????????B.?[﹣1，1]??????????????????????????????C.?[0，4]??????????????????????????????D.?[1，3]
【答案】D
【考点】函数的单调性及单调区间，函数奇偶性的性质，奇偶性与单调性的综合，抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．
若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，
又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，
∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），
∴﹣1≤x﹣2≤1，
解得：x∈[1，3]，
故选：D
【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．
二、填空题
9.（2018?天津）已知
，且
，则
的最小值为________.
【答案】
【考点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】解：∵a-3b+6=0
a-3b=-6又
【分析】对
用均值不等式.
10.
（2018?天津）已知a
，
b∈R，且a–3b+6=0，则2a+
的最小值为________．
【答案】
【考点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】解：∵a-3b+6=0
a-3b=-6又
【分析】直接对
用均值不等式，得到定值.
11.（2017?山东）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．
①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．
【答案】①④
【考点】函数单调性的性质，指数函数的图像与性质，利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x
，
则g（x）=exf（x）=
为实数集上的增函数；
对于②，f（x）=3﹣x
，
则g（x）=exf（x）=
为实数集上的减函数；
对于③，f（x）=x3
，
则g（x）=exf（x）=ex?x3
，
g′（x）=ex?x3+3ex?x2=ex（x3+3x2）=ex?x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，
∴g（x）=exf（x）在定义域R上先减后增；
对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=exf（x）=ex（x2+2），
g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，
∴g（x）=exf（x）在定义域R上是增函数．
∴具有M性质的函数的序号为①④．
故答案为：①④．
【分析】把①②代入exf（x），变形为指数函数判断；把③④代入exf（x），求导数判断．
12.
（2017?浙江）已知a∈R，函数f（x）=|x+
﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是________．
【答案】（﹣∞，
]
【考点】函数的最值及其几何意义，绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：由题可知|x+
﹣a|+a≤5，即|x+
﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，
又因为|x+
﹣a|≤5﹣a，
所以a﹣5≤x+
﹣a≤5﹣a，
所以2a﹣5≤x+
≤5，
又因为1≤x≤4，4≤x+
≤5，
所以2a﹣5≤4，解得a≤
，
故答案为：（﹣∞，
]．
【分析】通过转化可知|x+
﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+
≤5，进而计算可得结论．
13
（2017?浙江）已知向量
、
满足|
|=1，|
|=2，则|
+
|+|
﹣
|的最小值是________，最大值是________．
【答案】4；
【考点】函数的最值及其几何意义，向量的模，余弦定理，三角函数的最值
【解析】【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，
由余弦定理可得：
|
+
|=
，
|
﹣
|=
，
令x=
，y=
，
则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，
令z=x+y，则y=﹣x+z，
则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4，
当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，
由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的
倍，
也就是圆弧MN所在圆的半径的
倍，
所以zmax=
×
=
．
综上所述，|
+
|+|
﹣
|的最小值是4，最大值是
．
故答案为：4、
．
【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知|
+
|=
、|
﹣
|=
，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．
三、解答题
14.（2018?卷Ⅲ）已知函数
．
（1）若
，证明：当
时，
；当
时，
；
（2）若
是
的极大值点，求
．
【答案】（1）证明：
当a=0时
所以
在（-1,0）
在（-1,0）
所以当
时，
当x≥0时，
，
＞0
（2）解：
2a(x+1)2ln(x+1)+(2ax+1)(x+1)+ax2+2ax-1≤0
2a(x+1)2ln(x+1)+3ax2+4ax+a≤0
a[2(x+1)2ln(x+1)+3x2+4x]
≤-x
设h(x)=
2(x+1)2ln(x+1)+3x2+4x
则
=4(x+1)ln(x+1)+2(x+1)+6x+4
=6＞0?
h(0)=0
所以在x=0邻域内，x＞0时，h(x)
＞0；x＜0时，h(x)
＜0
x＞0时，a≤
由洛必达法则得a≤-
x＜0时，a≥
由洛必达法则得a≥-
综上所述：a=-
【考点】函数单调性的判断与证明，利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出函数的导数的导数，研究其正负得到
的单调性，从而得到
，即
在
，因此
;（2）由函数的导数研究函数的极值.
15.
如图，在直角坐标系
中，已知点
直线
，将
分成两部分，记左侧部分的多边形为
，设
各边的平方和为
，
各边长的倒数和为
?.
?
（Ⅰ）求分别求函数
和
的解析式；??
（Ⅱ）是否存在区间
，使得函数
和
在该区间上均单调递减？若存在，求
的最大值；若不存在，说明理由.
【答案】解：（Ⅰ）当
时，多边形
是三角形（如图①），边长依次为t,
,2t当
时，多边形
是四角形（如图②），边长依次为
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）中
的解析式可知，函数
的单调递减区间是
，所以
另一方面，任取
，
，且
，则
=
由
知
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数单调性的判断与证明，分段函数的应用
【解析】【分析】(1)由图形的特点,将t分
0
<
t
≤
1和1
<
t
<
2两种情况,得到直线两偶的多边形,求出各边长,得到
Ω
各边的平方和
f
(
t
)
，
Ω
各边长的倒数和
g
(
t
)的分段函数解析式;
(2)由(1)中得到函数
f
(
x
)
的单调递减区间是
(
1
,
),
得到,要使
b
?
a
的最大,则g(x)也在(1,)上单调递减.从而求出b-a的最大值
.
16.（2017?浙江）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2
sinx
cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（
）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【答案】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2
sinx
cosx=﹣
sin2x﹣cos2x=2sin（2x+
）
（Ⅰ）f（
）=2sin（2×
+
）=2sin
=2，
（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，
即f（x）的最小正周期为π，
由2x+
∈[﹣
+2kπ，
+2kπ]，k∈Z得：
x∈[﹣
+kπ，﹣
+kπ]，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为[﹣
+kπ，﹣
+kπ]，k∈Z．
【考点】复合函数的单调性，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的化简求值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性
【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，
（Ⅰ）代入可得：f（
）的值．
（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间
考情分析
基础知识
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精品试卷·第
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