专题二 函数与导数（原卷版）
考 点
考纲要求
考情分析
1.函数
(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.
(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.
(3)了解简单的分段函数,并能简单应用.
(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.
(5)会运用函数图像理解和研究函数的性质.
1．高频考点：求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题
2．特别关注：
备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．
2.指数函数
(1)了解指数函数模型的实际背景.
(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.
(4)知道指数函数是一类重要的函数模型.
3．对数函数
(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点.
(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.
(4)了解指数函数与对数函数y=loga x互为反函数(a?0,且a?1).
4．幂函数
(1)了解幂函数的概念.
(2)结合函数y=x ,y= x 2,y= x 3,y=,y= x 的图像,了解它们的变化情况.
5.函数与方程
(1)结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
(2)根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解.
6.函数模型及其应用
(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
7.导数概念及其几何意义
(1)了解导数概念的实际背景.
(2)理解导数的几何意义.
1．高频考点：以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．
2．特别关注：
利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．
8.导数的运算
(1)能根据导数定义求函数
(2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如 f (ax +b) 的复合函数)的导数.
(3)掌握常见基本初等函数的导数公式及常用的导数运算法则
9.导数在研究函数中的应用
(1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间
(其中多项式函数一般不超过三次).
(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
10.定积分与微积分基本定理
(1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.
(2)了解微积分基本定理的含义.
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知函数 ， .若 存在2个零点，则a的取值范围是(?? )
A.????????? ? B.????????????????
C.????????? D.?
2.（2018?卷Ⅰ）设函数 ，若 为奇函数，则曲线y=f(x)在点（0，0）处的切线方程为（?? ）
A.?y=-2x??????????????B.?y=-x??????????
C.?y=2x????????????? D.?y=x
3.（2018?卷Ⅰ）设函数 ,则满足f(x+1)A.?(-∞,-1]???????????? B.?(0,+∞)?????????????? C.?(-1,0)?????????? D.?(-∞,0)
4.（2018?浙江）函数y= sin2x的图象可能是（ ??）
A.????????????B.? C.???????????D.?
5.（2018?天津）已知 ， ， ，则a ， b ， c的大小关系为（ ??）
A.???????????B.????????????????
C.???????????D.?
6.（2018?卷Ⅱ）已知 是定义域为 的奇函数，满足 。若 ，则 （ ?）
A.-50 B.0 C.2 D.50
7.（2018?卷Ⅱ）函数 的图像大致为(?? )
A. B. C. D.
8.（2018?卷Ⅲ）下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线 对称的是（ ??）
A.??????????B.????????????????C.?????????D.?
9.（2018?卷Ⅲ）函数 的最小正周期为（ ??）
A.???????????B.?????? ?C.???? D.?2
10.（2018?卷Ⅲ）设 ， ，则（??? ）
A.?????????? B.???????
C.????????????D.?
11.（2018?卷Ⅲ）函数 的图像大致为(?? )
A.????????????????????
B.? C.???????????????
D.?
12.（2018?上海）设D是含数1的有限实数集， 是定义在D上的函数，若 的图像绕原点逆时针旋转 后与原图像重合，则在以下各项中， 的可能取值只能是（ ???）
A. B. C. D.0
二、填空题
13.（2018?卷Ⅰ）已知函数 ，则 的最小值是________.
14.（2018?卷Ⅰ）已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=________.
15.（2018?浙江）已知λ∈R，函数f(x)= ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
16.（2018?天津）已知 ，函数 若关于 的方程 恰有2个互异的实数解，则 的取值范围是________.
17.（2018?天津）已知函数f(x)=exlnx ， f?′(x)为f(x)的导函数，则f?′（1）的值为________．
18.（2018?天津）已知a∈R，函数 若对任意x∈［–3，+ ），f(x)≤ 恒成立，则a的取值范围是________．
19.（2018?卷Ⅱ）曲线 在点 处的切线方程为________.
20.（2018?卷Ⅱ）曲线 在点 处的切线方程为________.
21.（2018?江苏）若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小值的和为________
22.（2018?江苏）函数 满足 ,且在区间 上 ,则 的值为________
23.（2018?江苏）函数 的定义域为________.
24.（2018?卷Ⅲ）已知函数 ， ，则 ________。
25.（2018?卷Ⅲ）曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ________．
26.（2018?上海）设常数 ，函数 ，若 的反函数的图像经过点 ，则a=________。
27.（2018?上海）已知 ，若幂函数 为奇函数，且在 上递减，则α=________
28.（2018?上海）已知常数 >0，函数 的图像经过点 、 ，若 ，则 =________
29.（2018?北京）能说明“若f 对任意的x 都成立，则f 在 上是增函数”为假命题的一个函数是________
一、函数的零点与方程的根
(1)函数的零点
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．
(2)函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．
注意两点：
①满足条件的零点可能不唯一；
②不满足条件时，也可能有零点．
(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．
二、应用函数模型解决实际问题的一般程序
???
与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.
三、导数
1．导数的定义
f ′(x)＝ ＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f ′(x0)．
3．导数的运算
(1)基本初等函数的导数公式
①c′＝0(c为常数)；
②(xm)′＝mxm－1
③(sinx)′＝cosx
④(cosx)′＝－sinx
⑤(ex)′＝ex
⑥(ax)′＝axlna
⑦(lnx)′＝
⑧(logax)′＝
(2)导数的四则运算法则
①[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)；
②[f(x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
③[]′＝.
④设y＝f(u)，u＝φ(x)，则y′x＝y′uu′x.
4．函数的性质与导数
在区间(a，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．
在区间(a，b)内，如果f ′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．
四、定积分
定义
一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间
等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：
如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：
其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。
说明
（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法是：
①分割：等分区间； ②近似代替：取点；
③求和：； ④取极限：
几何意义
①当f(x)≥0时，定积分表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(图1)
②当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，如图2所示，则定积分表示介于x轴．曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即＝A1＋A3－A2.
物理意义
变速运动路程； 变力做功
定积分的性质
性质1
性质2 （其中k是不为0的常数）
性质3
性质4
五、微积分
基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)．那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．
考点一：函数的零点判断
例1：（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（ ）
A.?﹣ ?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?1
【解析】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+ ）=0， 所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解， 等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点． ①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾； ②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最高点为B（1，2a）， 由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象有两个交点，矛盾； ③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最低点为B（1，2a）， 由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a= ，符合条件； 综上所述，a= 。
【答案】C
考点二：二次函数的零点
例2：设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=ax﹣2a．
（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在[﹣2，0]上有两个零点，求实数a的取值范围；
（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≤0与g（x0）≤0同时成立，求实数a的最小值．
【答案】（1）解：由已知，h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2ax+3a+3=0在[﹣2，0]上有两个不同的实数解， 所以 ， 即 ， 解得 ， （2）由已知， ， ⑴+⑵得 ，得a≥3， 再由（2）得x0≤2，由（1）得 ，得x0＞1， 于是，问题等价于：a≥3，且存在x0∈（1，2]满足 ， 令t=x0﹣1∈（0，1]， ， 因为 在（0，1]上单调递减， 所以φ（t）≥φ（1）=7，即a≥7， 故实数a的最小值为7．
考点三：函数零点的应用
例3：（2018?卷Ⅰ）已知函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，证明：
【答案】（1）解： 的定义域为 ， . 若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减. 若 ，令 得， 或 . 当 时， ； 当 时， .所以 在 单调递减，在 单调递增. （2）解：由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 . 由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 . 由于， 所以 等价于 . 设函数 ， 由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而当 时， . 所以 ， 即 .
考点四：二次函数的模型
例4：经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）万元时，该商品的月供给量为y1吨，y1=ax+ a2﹣a（a＞0）：月需求量为y2吨，y2=﹣ x2﹣ x+1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量：当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．
（1）已知a= ，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；
（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当a= ，x=7时，y1= ×7+ ×（ ）2﹣ =1+ ﹣ = ， y2=﹣ ×（ ）2﹣ × +1= ，∴y1＞y2 ， ∴该月销售额为7× ×104≈50313（元） （2）解：令f（x）=y1﹣y2= x2+（ +a）x﹣a﹣1， 则f（x）在[6，14）上有零点， ∵a＞0，∴f（0）=﹣a﹣1＜0，又f（x）的图象开口向上， ∴f（x）在[6，14）上只有1个零点， ∴ ，即 ， 解得：0＜a≤
考点五：分段函数的模型
例5：（2017·天津）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
?[﹣ ，2]???? ?B.?[﹣ ， ]?????????????
C.?[﹣2 ，2]???? D.?[﹣2 ， ]
【解析】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣x2+﹣3≤ +a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣ x+3，由y=﹣x2+ x﹣3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最大值﹣ ；由y=x2﹣ x+3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最小值 ，则﹣ ≤a≤ ①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣（x+ ）≤ +a≤x+ ，即有﹣（ x+ ）≤a≤ + ， 由y=﹣（ x+ ）≤﹣2 =﹣2 （当且仅当x= ＞1）取得最大值﹣2 ； 由y= x+ ≥2 =2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2． 则﹣2 ≤a≤2② 由①②可得，﹣ ≤a≤2．
【答案】A
考点六：导数的几何意义及应用
例6：（2017?天津）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
【解析】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣ ，切线的斜率为：k=f′（1）=a﹣1， 切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1）， l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1．
【答案】1
考点七：导数与函数的极值、最值
例7：（2017?新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（??? ）
A.?﹣1??????B.?﹣2e﹣3???????C.?5e﹣3???????D.?1
【解析】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 ， 可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1 ， x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点， 可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0． 解得a=﹣1． 可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1 ， =（x2+x﹣2）ex﹣1 ， 函数的极值点为：x=﹣2，x=1， 当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数， x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．
【答案】A
考点八：导数与函数的单调性
例8：（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（??? ）
A.?（﹣∞，﹣2）??????B.?（﹣∞，﹣1）??????
C.?（1，+∞）??? ?D.?（4，+∞）
【解析】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）， 令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt， ∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8为减函数； x∈（4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8为增函数； y=lnt为增函数， 故函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），
【答案】D
考点九：定积分及微积分基本原理
例9：如图所示，曲线围成的阴影部分的面积为（??）
????? B.??
C.??? D.?
【解析】由曲线的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即.
【答案】A
一、单选题
1.（2017?天津）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A.?[﹣2，2]??? B.??????
C.?????????D.?
2.（2017?天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（ ），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ）
A.?a＜b＜c??????????? B.?b＜a＜c?????????????
C.?c＜b＜a????????????D.?c＜a＜b
3.（2017?山东）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y= +m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ）
A.?（0，1]∪[2 ，+∞）???????????????????????????
B.?（0，1]∪[3，+∞） C.?（0， ）∪[2 ，+∞）??????????????????????????
D.?（0， ]∪[3，+∞）
4.（2017?山东）设函数y= 的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（ ）
A.?（1，2）???????? ?B.?（1，2]??????????
C.?（﹣2，1）??????????D.?[﹣2，1）
5.（2017?新课标Ⅲ）函数y=1+x+ 的部分图象大致为（ ）
A.?? ???B.??????
C.??? D.?
6.（2017·山东）设f（x）= 若f（a）=f（a+1），则f（ ）=（ ）
A.?2???????B.?4???????C.?6???????D.?8
7.（2017?北京卷）已知函数f（x）=3x﹣（ ）x ， 则f（x）（ ）
A.?是偶函数，且在R上是增函数???????????????????????
B.?是奇函数，且在R上是增函数 C.?是偶函数，且在R上是减函数???????????????????????
D.?是奇函数，且在R上是减函数
8.（2017?浙江）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（??? ）
A.?与a有关，且与b有关??????????????????????????
B.?与a有关，但与b无关 C.?与a无关，且与b无关??????????????????????????
D.?与a无关，但与b有关
9.（2017?浙江）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（??? ）
A.????????B.??????
C.???? ?D.?
10.（2017?新课标Ⅰ卷）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z ， 则（ ）
A.?2x＜3y＜5z????????? B.?5z＜2x＜3y??????
C.?3y＜5z＜2x??????????D.?3y＜2x＜5z
11.（2017?新课标Ⅰ卷）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A.?[﹣2，2]???? B.?[﹣1，1]?????C.?[0，4]?????D.?[1，3]
12.（2017?新课标Ⅰ卷）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）
A.?A∩B={x|x＜0}????????????? B.?A∪B=R????????
C.?A∪B={x|x＞1}????????????? D.?A∩B=?
13.（2017?新课标Ⅰ卷）函数y= 的部分图象大致为（ ）
A.?????????B.? C.????????D.?
14.由直线y=x，y=﹣x+1，及x轴围成平面图形的面积为（?? ）
A.?[（1﹣y）﹣y]dy????????????????????????????
B.?[（﹣x+1）﹣x]dx C.?[（1﹣y）﹣y]dy???????????????????????????
D.?x﹣[（﹣x+1）]dx
15.如图所示，在一个边长为1的正方形 内，曲线 和曲线 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形 内随机投一点(该点落在正方形 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( ??)
A.?????????B.??????????C.???? ??D.?
二、填空题
16.（2017?新课标Ⅰ卷）曲线y=x2+ 在点（1，2）处的切线方程为________．
三、解答题
17.（2018?北京）设函数 . （Ⅰ）若曲线 在点 处的切线斜率为0，求a； （Ⅱ）若 在 处取得极小值，求a的取值范围.
18.（2018?卷Ⅰ）已知函数f(x)=aex-lnx-1
（1）设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间
（2）证明:当a≥ 时,f(x)≥0
19.（2018?浙江）已知函数f(x)= ?lnx ． （Ⅰ）若f(x)在x=x1 ， x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8?8ln2； （Ⅱ）若a≤3?4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．
（2018?天津）已知函数 ， ，其中a>1. （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证明 ； （Ⅲ）证明当 时，存在直线l ， 使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线.
21.（2018?卷Ⅱ）已知函数
（1）若a=3，求 的单调区间
（2）证明： 只有一个零点
22.（2018?卷Ⅱ）已知函数
（1）若a=1,证明：当 时，
（2）若 在 只有一个零点，求 .
23.（2018?江苏）记 分别为函数 的导函数.若存在 ，满足 且 ，则称 为函数 与 的一个“S点”.
（1）证明：函数 与 不存在“S点”.
（2）若函数 与 存在“S点”，求实数 的值.
（3）已知函数 ， ，对任意 ，判断是否存在 ，使函数 与 在区间 内存在”S点”，并说明理由.
24.（2018?卷Ⅲ）已知函数
（1）求函数 在点 处的切线方程
（2）证明:当 时，
24.（2018?卷Ⅲ）设函数
（1）画出 的图像
（2）当 时， ，求 的最小值。
25.（2018?卷Ⅲ）已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；
（2）若 是 的极大值点，求 ．
26.（2018?上海）设常数 ，函数
（1）若 为偶函数，求 的值；
（2）若 ，求方程 在区间 上的解。
27.（2018?北京）设函数 =[ -(4a+1)x+4a+3] . （I）若曲线y= f（x）在点(1, )处的切线与X轴平行,求a： (II)若 在x=2处取得极小值，求a的取值范围。
专题二 函数与导数（解析版）
考 点
考纲要求
考情分析
1.函数
(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.
(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.
(3)了解简单的分段函数,并能简单应用.
(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.
(5)会运用函数图像理解和研究函数的性质.
1．高频考点：求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题
2．特别关注：
备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．
2.指数函数
(1)了解指数函数模型的实际背景.
(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.
(4)知道指数函数是一类重要的函数模型.
3．对数函数
(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点.
(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.
(4)了解指数函数y=ax与对数函数y=loga x互为反函数(a?0,且a?1).
4．幂函数
(1)了解幂函数的概念.
(2)结合函数y=x ,y= x 2,y= x 3,y=,y= x 的图像,了解它们的变化情况.
5.函数与方程
(1)结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
(2)根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解.
6.函数模型及其应用
(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
7.导数概念及其几何意义
(1)了解导数概念的实际背景.
(2)理解导数的几何意义.
1．高频考点：以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．
2．特别关注：
利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．
8.导数的运算
(1)能根据导数定义求函数
(2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如 f (ax +b) 的复合函数)的导数.
(3)掌握常见基本初等函数的导数公式及常用的导数运算法则
9.导数在研究函数中的应用
(1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间
(其中多项式函数一般不超过三次).
(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
10.定积分与微积分基本定理
(1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.
(2)了解微积分基本定理的含义.
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知函数 ， .若 存在2个零点，则a的取值范围是(?? )
A.?????????????B.????????????????
C.??????????? D.?
【解析】由g（x）=0得f（x）=-x-a，作出函数f（x）和y=-x-a的图象如图： 当直线y=-x-a的截距-a≤1，即a≥-1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点， 故实数a的取值范围是[-1，+∞）， 故答案为：C
【答案】C
2.（2018?卷Ⅰ）设函数 ，若 为奇函数，则曲线y=f(x)在点（0，0）处的切线方程为（?? ）
A.?y=-2x???????????B.?y=-x???????????????????C.?y=2x????????? D.?y=x
【解析】解：∵ ，且 是奇函数， ∴a-1=0 a=1，. ∴ . ∴y-0=x-0 y=x . 故答案为：D.
【答案】D
3.（2018?卷Ⅰ）设函数 ,则满足f(x+1)A.?(-∞,-1]?????????? B.?(0,+∞)???????????????? C.?(-1,0)??????????? D.?(-∞,0)
【解析】函数 图象如图：
满足f（x+1）﹤f（2x） 可得： 或 解得：(-∞,0)
【答案】D
4.（2018?浙江）函数y= sin2x的图象可能是（ ??）
A.???????????B.?C.??????????D.?
【解析】解：令 ， 因为 ，所以 为奇函数，排除选项A,B; 因为 时， ，所以排除选项C，
【答案】D
5.（2018?天津）已知 ， ， ，则a ， b ， c的大小关系为（ ??）
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
【解析】解： 则a ， b ， c的大小关系为：c>a>b
【答案】D
6.（2018?卷Ⅱ）已知 是定义域为 的奇函数，满足 。若 ，则 （ ?）
A.-50 B.0 C.2 D.50
【解析】∵f（1-x）=f（1+x）∴y=f（x）图象关于x=1对称，又是奇函数∴f（x）是一个周期函数，且T=4又f（1）=2? f（x）= f（2-x）∴f（2）=f（0）=0f（3）=f（-1）=-f（1）=-2?? f（4）=f（0）=0∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=-2，f（4）=0∴原式f（1）+f（2）+…+ f（50）=f（1）+f（2）=2
【答案】C
7.（2018?卷Ⅱ）函数 的图像大致为(?? )
A. B. C. D.
【解析】f(x)= ?因为f(x)= =-f(x)? 所以f(x)为奇函数，排除A，又x , , ,但指数增长快些，
【答案】B
8.（2018?卷Ⅲ）下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线 对称的是（ ??）
A.?????????????B.????????
C.????????????D.?
【解析】f（x）=lnx与f（2-x）=ln（2-x）关于x=1对称，故答案为：B
【答案】B
9.（2018?卷Ⅲ）函数 的最小正周期为（ ??）
A.????????????????????B.????????????????????????????????C.?????????????????????D.?2
【解析】f（x）=函数的最小正周期为.
【答案】C
10.（2018?卷Ⅲ）设 ， ，则（??? ）
A.???????????B.????????C.????????? D.?
【解析】解： 所以ab＜0 又 则a+b＜0
【答案】B
11.（2018?卷Ⅲ）函数 的图像大致为(?? )
A.????????????????????B.? C.???????????????D.?
【解析】 因为y是偶函数，则只需考虑 当 时， 则 时
【答案】D
12.（2018?上海）设D是含数1的有限实数集， 是定义在D上的函数，若 的图像绕原点逆时针旋转 后与原图像重合，则在以下各项中， 的可能取值只能是（ ???）
A. B. C. D.0
【解析】根据函数性质定义，A，C，D在单位圆上取点后会出现一对多的情况舍去，故排除A，C，D。
【答案】B
二、填空题
13.（2018?卷Ⅰ）已知函数 ，则 的最小值是________.
【解析】解：由题意得：T=2π是 的一个周期。只需要考虑函数在[0，2π)上的值域， 先求该函数在[0，2π)上的极值点 ， 令 可得： 或 此时x= 或 ∴ 的最小值只能在点x= ,π或 和边界点x=0中取到，计算可得 ∴函数的最小值为：
【答案】
14.（2018?卷Ⅰ）已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=________.
【解析】解：∵ ，又 。
【答案】-7
15.（2018?浙江）已知λ∈R，函数f(x)= ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
【解析】详解：由题意得 或 ，所以 或 ，即 ，不等式f(x)<0的解集是 当 时， ，此时 ，即在 上有两个零点；当 时， ，由 在 上只能有一个零点得 .综上， 的取值范围为 .
【答案】(1,4)；?
16.（2018?天津）已知 ，函数 若关于 的方程 恰有2个互异的实数解，则 的取值范围是________.
【解析】解：∵ ∴ =0与 =0要么无根，要么有同号根，同号根时在范围内. 则 ?4a8
【答案】（4,8）
17.（2018?天津）已知函数f(x)=exlnx ， f?′(x)为f(x)的导函数，则f?′（1）的值为________．
【解析】解：∵ ∴ 【答案】e
18.（2018?天津）已知a∈R，函数 若对任意x∈［–3，+ ），f(x)≤ 恒成立，则a的取值范围是________．
【解析】解： 当 时， 又 ?? ∴ 当 时， 又 ∴ 综上所述
【答案】［ ，2］
19.（2018?卷Ⅱ）曲线 在点 处的切线方程为________.
【解析】 ∴在点（0,0）处的切线方程为：y=2（x-1）=2x-2 故答案为：y=2x-2
【答案】y=2x-2
20.（2018?卷Ⅱ）曲线 在点 处的切线方程为________.
【解析】y=2ln（x+1） ∴在点（0,0）处的切线方程为：y=2x
【答案】y=2x
21.（2018?江苏）若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小值的和为________
【解析】解： 当a≤0时， ∴ 时，则在 为零点，舍去 当a＞0时， 递减， 递增，又 只有一个零点， ∴ 在 递增，（0,1）递减 最大值与最小值和为-3
【答案】-3
22.（2018?江苏）函数 满足 ,且在区间 上 ,则 的值为________
【解析】解： 又
【答案】
23.（2018?江苏）函数 的定义域为________.
【解析】解： ,即 。
【答案】
24.（2018?卷Ⅲ）已知函数 ， ，则 ________。
【解析】解：函数g（x）=ln（ -x） 满足g（-x）=ln（）=ln=-ln（）=-g（x） 所以g（x）是奇函数 函数f（x）=ln（）+1，f（a）=4 可得：f（a）=4=+1,可得：ln（）=3 f（-a）=-ln（）+1=-3+1=-2 故答案为：-2
【答案】-2
25.（2018?卷Ⅲ）曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ________．
【解析】解： 所以
【答案】-3
26.（2018?上海）设常数 ，函数 ，若 的反函数的图像经过点 ，则a=________。
【解析】 的反函数的图像经过点 ，故 过点 ，则 ， =3，1+a=23所以a=23-1，故a=7.
【答案】7
27.（2018?上海）已知 ，若幂函数 为奇函数，且在 上递减，则α=________
【解析】a=-2时， =x-2为偶函数，错误 a=-1时， =x-1为奇函数，在 上递减，正确 a=- 时， = 非奇非偶函数，错误 a= 时， = 非奇非偶函数，错误 a=1时， =x在 上递增，错误 a=2时， =x2在 上递增，错误 a=3时， =x3在 上递增，错误
【答案】-1
28.（2018?上海）已知常数 >0，函数 的图像经过点 、 ，若 ，则 =________
【解析】 ， ， 故 =1， 又 ， 所以 。 所以 =36， =6（ ＞0）
【答案】6
29.（2018?北京）能说明“若f 对任意的x 都成立，则f 在 上是增函数”为假命题的一个函数是________
【解析】解： 【答案】
一、函数的零点与方程的根
(1)函数的零点
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．
(2)函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．
注意两点：
①满足条件的零点可能不唯一；
②不满足条件时，也可能有零点．
(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．
二、应用函数模型解决实际问题的一般程序
???
与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.
三、导数
1．导数的定义
f ′(x)＝ ＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f ′(x0)．
3．导数的运算
(1)基本初等函数的导数公式
①c′＝0(c为常数)；
②(xm)′＝mxm－1
③(sinx)′＝cosx
④(cosx)′＝－sinx
⑤(ex)′＝ex
⑥(ax)′＝axlna
⑦(lnx)′＝
⑧(logax)′＝
(2)导数的四则运算法则
①[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)；
②[f(x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
③[]′＝.
④设y＝f(u)，u＝φ(x)，则y′x＝y′uu′x.
4．函数的性质与导数
在区间(a，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．
在区间(a，b)内，如果f ′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．
四、定积分
定义
一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间
等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：
如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：
其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。
说明
（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法是：
①分割：等分区间； ②近似代替：取点；
③求和：； ④取极限：
几何意义
①当f(x)≥0时，定积分表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(图1)
②当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，如图2所示，则定积分表示介于x轴．曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即＝A1＋A3－A2.
物理意义
变速运动路程； 变力做功
定积分的性质
性质1
性质2 （其中k是不为0的常数）
性质3
性质4
五、微积分
基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)．那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．
考点一：函数的零点判断
例1：（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（ ）
A.?﹣ ????B.?????????C.????????????D.?1
【解析】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+ ）=0， 所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解， 等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点． ①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾； ②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最高点为B（1，2a）， 由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象有两个交点，矛盾； ③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最低点为B（1，2a）， 由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a= ，符合条件； 综上所述，a= 。
【答案】C
考点二：二次函数的零点
例2：设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=ax﹣2a．
（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在[﹣2，0]上有两个零点，求实数a的取值范围；
（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≤0与g（x0）≤0同时成立，求实数a的最小值．
【答案】（1）解：由已知，h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2ax+3a+3=0在[﹣2，0]上有两个不同的实数解， 所以 ， 即 ， 解得 ， （2）由已知， ， ⑴+⑵得 ，得a≥3， 再由（2）得x0≤2，由（1）得 ，得x0＞1， 于是，问题等价于：a≥3，且存在x0∈（1，2]满足 ， 令t=x0﹣1∈（0，1]， ， 因为 在（0，1]上单调递减， 所以φ（t）≥φ（1）=7，即a≥7， 故实数a的最小值为7．
考点三：函数零点的应用
例3：（2018?卷Ⅰ）已知函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，证明：
【答案】（1）解： 的定义域为 ， . 若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减. 若 ，令 得， 或 . 当 时， ； 当 时， .所以 在 单调递减，在 单调递增. （2）解：由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 . 由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 . 由于， 所以 等价于 . 设函数 ， 由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而当 时， . 所以 ， 即 .
考点四：二次函数的模型
例4：经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）万元时，该商品的月供给量为y1吨，y1=ax+ a2﹣a（a＞0）：月需求量为y2吨，y2=﹣ x2﹣ x+1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量：当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．
（1）已知a= ，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；
（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当a= ，x=7时，y1= ×7+ ×（ ）2﹣ =1+ ﹣ = ， y2=﹣ ×（ ）2﹣ × +1= ，∴y1＞y2 ， ∴该月销售额为7× ×104≈50313（元） （2）解：令f（x）=y1﹣y2= x2+（ +a）x﹣a﹣1， 则f（x）在[6，14）上有零点， ∵a＞0，∴f（0）=﹣a﹣1＜0，又f（x）的图象开口向上， ∴f（x）在[6，14）上只有1个零点， ∴ ，即 ， 解得：0＜a≤
考点五：分段函数的模型
例5：（2017·天津）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
?[﹣ ，2]?????B.?[﹣ ， ]?????????????????
C.?[﹣2 ，2]?????D.?[﹣2 ， ]
【解析】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣x2+﹣3≤ +a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣ x+3，由y=﹣x2+ x﹣3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最大值﹣ ；由y=x2﹣ x+3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最小值 ，则﹣ ≤a≤ ①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣（x+ ）≤ +a≤x+ ，即有﹣（ x+ ）≤a≤ + ， 由y=﹣（ x+ ）≤﹣2 =﹣2 （当且仅当x= ＞1）取得最大值﹣2 ； 由y= x+ ≥2 =2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2． 则﹣2 ≤a≤2② 由①②可得，﹣ ≤a≤2．
【答案】A
考点六：导数的几何意义及应用
例6：（2017?天津）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
【解析】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣ ，切线的斜率为：k=f′（1）=a﹣1， 切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1）， l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1．
【答案】1
考点七：导数与函数的极值、最值
例7：（2017?新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（??? ）
A.?﹣1?????B.?﹣2e﹣3???????C.?5e﹣3???????D.?1
【解析】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 ， 可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1 ， x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点， 可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0． 解得a=﹣1． 可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1 ， =（x2+x﹣2）ex﹣1 ， 函数的极值点为：x=﹣2，x=1， 当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数， x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．
【答案】A
考点八：导数与函数的单调性
例8：（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（??? ）
A.?（﹣∞，﹣2）?????B.?（﹣∞，﹣1）????????
C.?（1，+∞）???????D.?（4，+∞）
【解析】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）， 令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt， ∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8为减函数； x∈（4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8为增函数； y=lnt为增函数， 故函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），
【答案】D
考点九：定积分及微积分基本原理
例9：如图所示，曲线围成的阴影部分的面积为（??）
????? B.??
C.??? D.?
【解析】由曲线的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即.
【答案】A
一、单选题
1.（2017?天津）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A.?[﹣2，2]????? B.???????
C.??????????D.?
【解析】解：根据题意，函数f（x）= 的图象如图： 令g（x）=| +a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0）， 在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数， 若不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在 g（x）上的上方或相交， 则必有f（0）≥g（0）， 即2≥|a|， 解可得﹣2≤a≤2， 故选：A．
【答案】A
2.（2017?天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（ ），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ）
A.?a＜b＜c?????????B.?b＜a＜c????????????
C.?c＜b＜a?????????D.?c＜a＜b
【解析】解：奇函数f（x）在R上是增函数， ∴a=﹣f（ ）=f（log25）， b=f（log24.1）， c=f（20.8）， 又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25， ∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25）， 即c＜b＜a． 故选：C．
【答案】A
3.（2017?山东）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y= +m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ）
A.?（0，1]∪[2 ，+∞）??????????????????????????B.?（0，1]∪[3，+∞） C.?（0， ）∪[2 ，+∞）??????????????????
D.?（0， ]∪[3，+∞）
【解析】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0， ）为减函数，（ ，+∞）为增函数， 函数y= +m为增函数， 分2种情况讨论： ①、当0＜m≤1时，有 ≥1， 在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m﹣1）2 ， 1]， 函数y= +m为增函数，其值域为[m，1+m]， 此时两个函数的图象有1个交点，符合题意； ②、当m＞1时，有 ＜1， y=（mx﹣1）2 在区间（0， ）为减函数，（ ，1）为增函数， 函数y= +m为增函数，其值域为[m，1+m]， 若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m， 解可得m≤0或m≥3， 又由m为正数，则m≥3； 综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；
【答案】B
4.（2017?山东）设函数y= 的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（ ）
A.?（1，2）????????????B.?（1，2]????????????????C.?（﹣2，1）??????????D.?[﹣2，1）
【解析】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y= 的定义域[﹣2，2]， 由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1）， 则A∩B=[﹣2，1）， 故选D．
【答案】D
5.（2017?新课标Ⅲ）函数y=1+x+ 的部分图象大致为（ ）
A.?? ???B.??????
C.??? D.?
【解析】解：函数y=1+x+ ，可知：f（x）=x+ 是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称，则函数y=1+x+ 的图象关于（0，1）对称，当x→0+ ， f（x）＞0，排除A、C，当x=π时，y=1+π，排除B．故选：D．
【答案】D ．
6.（2017·山东）设f（x）= 若f（a）=f（a+1），则f（ ）=（ ）
A.?2????????B.?4??????????C.?6?? ?D.?8
【解析】解：当a∈（0，1）时，则a+1>1, 若f（a）=f（a+1），可得 =2a， 解得a= ，则：f（ ）=f（4）=2（4﹣1）=6． 当a∈[1，+∞）时．则a+1》2， 由f（a）=f（a+1），可得2（a﹣1）=2a，显然无解．
【答案】C
7.（2017?北京卷）已知函数f（x）=3x﹣（ ）x ， 则f（x）（ ）
A.?是偶函数，且在R上是增函数????????????????????????B.?是奇函数，且在R上是增函数 C.?是偶函数，且在R上是减函数???????????????????????
D.?是奇函数，且在R上是减函数
【解析】解：显然函数的定义域为R, f（x）=3x﹣（ ）x=3x﹣3﹣x ， ∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x）， 即函数f（x）为奇函数， 又由函数y=3x为增函数，y=（ ）x为减函数， 故函数f（x）=3x﹣（ ）x为增函数，
【答案】B
8.（2017?浙江）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（??? ）
A.?与a有关，且与b有关??????????????????????????B.?与a有关，但与b无关 C.?与a无关，且与b无关??????????????????????????D.?与a无关，但与b有关
【解析】解：函数f（x）=x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=﹣ 为对称轴的抛物线， ①当﹣ ＞1或﹣ ＜0，即a＜﹣2，或a＞0时， 函数f（x）在区间[0，1]上单调， 此时M﹣m=|f（1）﹣f（0）|=|a|， 故M﹣m的值与a有关，与b无关 ②当 ≤﹣ ≤1，即﹣2≤a≤﹣1时， 函数f（x）在区间[0，﹣ ]上递减，在[﹣ ，1]上递增， 且f（0）＞f（1）， 此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣ ）= ， 故M﹣m的值与a有关，与b无关 ③当0≤﹣ ＜ ，即﹣1＜a≤0时， 函数f（x）在区间[0，﹣ ]上递减，在[﹣ ，1]上递增， 且f（0）＜f（1）， 此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣ ）=a﹣ ， 故M﹣m的值与a有关，与b无关 综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关
【答案】B
9.（2017?浙江）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（??? ）
A.????B.???
C.?? ?D.?
【解析】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增， 则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C， 且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B， 故选D
【答案】D
10.（2017?新课标Ⅰ卷）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z ， 则（ ）
A.?2x＜3y＜5z???????B.?5z＜2x＜3y?????????
C.?3y＜5z＜2x???? ??D.?3y＜2x＜5z
【解析】解：x、y、z为正数， 令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0． 则x= ，y= ，z= ． ∴3y= ，2x= ，5z= ． ∵ = = ， ＞ = ． ∴ ＞lg ＞ ＞0． ∴3y＜2x＜5z．
【答案】D
11.（2017?新课标Ⅰ卷）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A.?[﹣2，2]??????B.?[﹣1，1]????C.?[0，4]???D.?[1，3]
【解析】解：∵函数f（x）为奇函数． 若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1， 又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1， ∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1）， ∴﹣1≤x﹣2≤1， 解得：x∈[1，3]，
【答案】D
12.（2017?新课标Ⅰ卷）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）
A.?A∩B={x|x＜0}???????B.?A∪B=R????
C.?A∪B={x|x＞1}???????D.?A∩B=?
【解析】解：∵集合A={x|x＜1}， B={x|3x＜1}={x|x＜0}， ∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误； A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误． 故选：A．
【答案】A
13.（2017?新课标Ⅰ卷）函数y= 的部分图象大致为（ ）
A.?????????????????????????B.? C.?????????????????????????D.?
【解析】解：函数y= = ， 可知函数是奇函数，排除选项B， 当x= 时，f（ ）= = ，排除A， x=π时，f（π）=0，排除D． 故选：C．
【答案】C
14.由直线y=x，y=﹣x+1，及x轴围成平面图形的面积为（?? ）
A.?[（1﹣y）﹣y]dy?????????B.?[（﹣x+1）﹣x]dx C.?[（1﹣y）﹣y]dy?????????D.?x﹣[（﹣x+1）]dx
【解析】解：如图，由直线y=x，y=﹣x+1，及x轴围成平面图形是红色的部分， 它和图中蓝色部分的面积相同， ∵蓝色部分的面积S=∫0 ?[（1﹣x）﹣x]dx， 即∫0 ?[（1﹣y）﹣y]dy．
【答案】C
15.如图所示，在一个边长为1的正方形 内，曲线 和曲线 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形 内随机投一点(该点落在正方形 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( ??)
A.????????????????????B.??????????????????????????????????C.????????????????????D.?
【解析】叶形图的面积为： 故答案为：
【答案】A
二、填空题
16.（2017?新课标Ⅰ卷）曲线y=x2+ 在点（1，2）处的切线方程为________．
【解析】解：曲线y=x2+ ，可得y′=2x﹣ ， 切线的斜率为：k=2﹣1=1． 切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0． 故答案为：x﹣y+1=0．
【答案】x﹣y+1=0
三、解答题
17.（2018?北京）设函数 . （Ⅰ）若曲线 在点 处的切线斜率为0，求a； （Ⅱ）若 在 处取得极小值，求a的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ，又 （Ⅱ） ， 令 当a=0时， ，所以 在 递增 递减 所以 在x=1处有极大值，不合题意 当 ，所以 在 递增，在 递减，所以 在x=1处有极大值，不合题意 当 若a=1, 在R单调，不合题意 若 ， 在 ， ，不合题意 若 ， 在 ， ，符合题意 所以
18.（2018?卷Ⅰ）已知函数f(x)=aex-lnx-1
（1）设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间
（2）证明:当a≥ 时,f(x)≥0
【答案】（1）解： ∵x=2是 极值点，∴ ∴ 又 在 ∴ 在 ，又 在 ∴ 在 ，又 所以 时， ， 当 时， ， 综上所述 ， ， （2）解：∵ 当 时， ∴ 令 同理 在 又 ∴ 时， ， ， ， ∴ 即 时，
19.（2018?浙江）已知函数f(x)= ?lnx ． （Ⅰ）若f(x)在x=x1 ， x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8?8ln2； （Ⅱ）若a≤3?4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．
【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数 ， 由 得 ， 因为 ，所以 ． 由基本不等式得 ． 因为 ，所以 ． 由题意得 ． 设 ， 则 ， 所以
x
（0，16）
16
（16，+∞）
g'（x）
-
0
+
g（x）
↘
2-4ln2
↗
所以g（x）在[256，+∞）上单调递增 故 ， 即 ． （Ⅱ）令m= ，n= ，则 f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0， f（n）–kn–a< ≤ <0， 所以，存在x0∈（m ， n）使f（x0）=kx0+a ， 所以，对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点． 由f（x）=kx+a得 ． 设h（x）= ， 则h′（x）= ， 其中g（x）= ． 由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2， 故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0， 所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根． 综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．
20.（2018?天津）已知函数 ， ，其中a>1. （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证明 ； （Ⅲ）证明当 时，存在直线l ， 使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线.
【答案】解：（Ⅰ）∵h(x)= ， 令 0, 。 由a>1，则h(x)在 递减，在 递增。 （Ⅱ）证明：由 ，则 在点 处切线斜率为 ，由 ，则 在点 处切线斜率为 又 = 两边取以a为底的对称， 则 ， ∴ 。 （Ⅲ）证明：曲线 在点 切线 ， 曲线 在点 处切线 ， 要证明当 时，存在直线l,使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线，只需证明当 时，存在 ，使得 ， 重合。即需证明： 当 时， ， 由 得： 代入 得： ③， 因此 ，关于 方程③存在实数解即可。 设 ， 则 时， 存在零点， ， 时， ， 时， 又 ， ， ,而 ， ∴ 在 ， ∴ 。 ∵ ， ∴ -1. ∴ = 。 下面证明存在实数t,使得 。 ， 当 时：有 = 。 ∴存在t，使得 ， ∴ 时，存在 。
21.（2018?卷Ⅱ）已知函数
（1）若a=3，求 的单调区间
（2）证明： 只有一个零点
【答案】（1）当a=3时， 当f’（x）﹥0时?? 或 f’（x）﹤0时， ∴ 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 （2）由于 ﹥0，所以 =0等价于 设 ，则 仅当x=0时， =0，所以 在 单调递增，故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点 又 ， 故f（x）有一个零点 综上所述，f（x）只有一个零点
22.（2018?卷Ⅱ）已知函数
（1）若a=1,证明：当 时，
（2）若 在 只有一个零点，求 .
【答案】（1）a=1时,f（x）=ex-x2 欲证x≥0时，f（x）≥等价于证明： 令 则 ∴g（x）是（0，+∞）上的减函数， 所以g（x）≤g（0）=1，即 所以ex-x2≥1，即f（x）≥1 （2）当a﹥0时， ?? 令h’（x）=0? 解得x=2，h（2）= 当x∈（0,2），h’（x）﹤0，x∈（2，+∞），h’（x）﹥0； ∴h（x）在（0,2）单调递减， ∴在（2，+∞）单调递增. （i）0﹤a﹤ 时，h（2）=1- ﹥0，此时h（x）在（0，+∞）上无零点，不合题意； （ii）a= 时，h（2）=0，h（x）在（0，+∞）上只有一个零点，符合题意； （iii）a﹥ 时，h（0）=1﹥0，h（2）=1- ﹤0； 由（1）知：x﹥0，ex﹥x2+1? ∴ex= ﹥ 令 ﹥ax2 ， 解得：x﹥4 ，当b﹥4 时，eb﹥ ﹥ab2 取b满足b﹥2，且b﹥4 ，则 所以此时h（x）在（0，+∞）上有两个零点，不合题意； 综上：a= 时，f（x）在（0，+∞）上只有一个零点.
23.（2018?江苏）记 分别为函数 的导函数.若存在 ，满足 且 ，则称 为函数 与 的一个“S点”.
（1）证明：函数 与 不存在“S点”.
（2）若函数 与 存在“S点”，求实数 的值.
（3）已知函数 ， ，对任意 ，判断是否存在 ，使函数 与 在区间 内存在”S点”，并说明理由.
【答案】（1）解： ∴ 无解 ∴ 不存在“S”点 （2）解： （3）解： 令 令 ∴ 在 上有零点，则ln（x）在 上有零点 ∴ 与 在区间 有在“S”点
24.（2018?卷Ⅲ）已知函数
（1）求函数 在点 处的切线方程
（2）证明:当 时，
【答案】（1）解：因为f（x）= 所以 ??? 即切线方程为；y+1=2x 2x-y-1=0为所求 （2）解：欲证： 只需证： 即证 又a≥1，则证： 令h（x）= 所以 又 所以 在 即 所以 0恒成立 即原命题成立.
24.（2018?卷Ⅲ）设函数
（1）画出 的图像
（2）当 时， ，求 的最小值。
【答案】（1）解： （2）解：由（1）中可得：a≥3，b≥2，当a=3，b=2时，a+b取最小值， 所以a+b的最小值为5.
25.（2018?卷Ⅲ）已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；
（2）若 是 的极大值点，求 ．
【答案】（1）证明： 当a=0时 所以 在（-1,0） 在（-1,0） 所以当 时， 当x≥0时， ， ＞0 （2）解： 2a(x+1)2ln(x+1)+(2ax+1)(x+1)+ax2+2ax-1≤0 2a(x+1)2ln(x+1)+3ax2+4ax+a≤0 a[2(x+1)2ln(x+1)+3x2+4x] ≤-x 设h(x)= 2(x+1)2ln(x+1)+3x2+4x 则 =4(x+1)ln(x+1)+2(x+1)+6x+4 =6＞0? h(0)=0 所以在x=0邻域内，x＞0时，h(x) ＞0；x＜0时，h(x) ＜0 x＞0时，a≤ 由洛必达法则得a≤- x＜0时，a≥ 由洛必达法则得a≥- 综上所述：a=-
26.（2018?上海）设常数 ，函数
（1）若 为偶函数，求 的值；
（2）若 ，求方程 在区间 上的解。
【答案】（1）若 为偶函数，则 = ，有asin(-2x)+2cos2(-x)=asin2x+2cos2x，-asin2x=asin2x， =0. （2），故 ， 则 +1= ， = ， ， 又 有 ， ，化简为 ， 即 ， 。 若求该方程在 上的解，则 ， 即 对应的x的值分别为 。
27.（2018?北京）设函数 =[ -(4a+1)x+4a+3] . （I）若曲线y= f（x）在点(1, )处的切线与X轴平行,求a： (II)若 在x=2处取得极小值，求a的取值范围。
【答案】解：（Ⅰ） （Ⅱ） ∴ 当 时， ∴ 在 上单调递增，在 单调递减 在x=2处取极大值，不合题意 ∴ａ≠0 由 ∴ 则 时 ， 在x=2处取得极大值，不合题意 综上所述，a在院上
