专题三 数列（原卷版）
考 点
考纲要求
考情分析
1.数列的概念和简单表示法
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).
(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数.
1．高频考点：①侧重于考查等差、等比数列的通项an，前n项和Sn的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．②以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的形式．
2．特别关注：①切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．②对数列求和仍是考查的重点．数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注．
2.等差数列、等比数列
(1)理解等差数列、等比数列的概念.
(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.
(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.
(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）记 为等差数列 的前n项和，若 ，则a5=（?? ）
A.?-12????????????????????????????B.?-10????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????D.?12
2.（2018?浙江）已知 成等比数列，且 ．若 ，则（ ??）
A.?????????B.??????????C.???????D.?
3.（2018?北京）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于 ，若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（?? ）
A. B. C. D.
4.（2018?北京）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（?? ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题
5.（2018?卷Ⅰ）记 为数列 的前n项的和，若 ，则 =________.
6.（2018?江苏）已知集合 ,将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ,记 为数列的前 项和，则使得 成立的 的最小值为________.
7.（2018?上海）设等比数列{ }的通项公式为an=qn-1（n∈N*），前n项和为Sn。若 ，则q=________
8.（2018?上海）记等差数列 的前n项和为Sn ， 若 ，则S7=________。
9.（2018?北京）设 是等差数列，且a1=3, a2+a5= 36，则 的通项公式为________
等差数列
等比数列
(1)定义式
an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)
＝q(n∈N*，q为非零常数)
(2)通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
(3)前n项和公式
Sn＝＝na1＋；
Sn＝
(4)性质
①an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)
①an＝amqn－m(n，m∈N*)
②若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(p、q、m、n∈N*)
复习提醒
数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用an与Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法)
误区警示
1．应用an与Sn的关系，等比数列前n项和公式时，注意分类讨论．
2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．
3．讨论等差数列前n项和的最值时，不要忽视n为整数的条件和an＝0的情形．
4．等比数列{an}中，公比q≠0，an≠0.
数列求和的方法技巧
(1)公式法：
直接应用等差、等比数列的求和公式求和．
(2)错位相减法
这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列．
(3)倒序相加法
这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．
(4)裂项相消法
利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．
(5)分组转化求和法
有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．
数列的综合问题
(1)等差数列与等比数列的综合．
(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合．
(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题．
数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决.
误区警示
1．应用错位相减法求和时，注意项的对应．
2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和．
考点一：等差数列、等比数列的基本运算
例1：（1）数列 是公差不为零的等差数列，下列数列中，不构成等差数列的是（?? ）
A.?????????????????????????????B.?????????????C.????????????????????D.?
【解析】不妨取 { an } 为1,2,3,4, { bn }为2.4.6.8,则{ an? bn }为2,8,18,32,明显不为等差数列. 故答案为:A.
【答案】A
（2）在正项等比数列{an}中，a1008a1010= ，则lga1+lga2+…+lga2017=（?? ）
A.?﹣2016?????????????????????????????B.?﹣2017?????????????????????????C.?2016????????????????????????D.?2017
【解析】解：由正项等比数列{an}中，可得a1a2017=a2a2016=…=a1008a1010= = ，解得a1009= ． 则lga1lga1+lga2+…+lga2017= =2017×（﹣1）=﹣2017． 故选：B．
【答案】B
考点二：等差数列、等比数列的判断与证明
例2：已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1= ，Sn=n2an﹣n（n﹣1），n=1，2，…
（1）证明：数列{ Sn}是等差数列，并求Sn；
（2）设bn= ，求证：b1+b2+…+bn＜ ．
【解析】（1）由已知条件得Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n（n﹣1），从而 = +1，由此能证明数列{ Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，从而得到Sn=n× = ．（2）由bn= = = = ，利用裂项求和法能证明b1+b2+…+bn＜ ．
【答案】（1）证明：∵数列{an}的前n项和为Sn ， a1= ，Sn=n2an﹣n（n﹣1）， ∴n≥2时，有an=Sn﹣Sn﹣1 ， ∴Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n（n﹣1）， ∴（n2﹣1）Sn=n2Sn﹣1+n（n﹣1）， ∴ = +1， ∴ = +1， 又 = =1， ∴数列{ Sn}是首项为1，公差为1的等差数列， ∴ =1+（n﹣1）×1=n， ∴Sn=n× = （2）证明：bn= = = = ， ∴b1+b2+…+bn= （ ） = = = ． ∴b1+b2+…+bn＜
考点三：等差数列、等比数列的综合应用
例3：等比数列 中，各项都是正数，且 , , 成等差数列，则 =________．
【解析】由题意得 ，所以 ， = = ,填 故答案为:
【答案】
考点四：数列求和
例4：在公差不为0的等差数列{an}中，a22=a3+a6 ， 且a3为a1与a11的等比中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=（﹣1）n ，求数列{bn}的前n项和Tn ．
【解析】（Ⅰ）运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）化简bn=（﹣1）n = ?（﹣1）n?（ + ），再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．
【答案】解：（Ⅰ）在公差d不为0的等差数列{an}中，a22=a3+a6 ， 且a3为a1与a11的等比中项． 可得（a1+d）2=2a1+7d，且a32=a1a11 ， 即（a1+2d）2=a1（a1+10d）， 解得a1=2，d=3， 则an=2+3（n﹣1）=3n﹣1，n∈N*； （Ⅱ）bn=（﹣1）n=（﹣1）n = ?（﹣1）n? = ?（﹣1）n?（ + ）， ∴Tn=b1+b2+b3+…+bn= [﹣（ + ）+（ + ）﹣（ + ）+…+（﹣1）n?（ + ）] = [﹣1+（﹣1）n? ）]
考点五：数列和函数、不等式的交汇
例5：（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若向量 =a100 +a101 ，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200等于________．
【解析】解：由题意可知：向量 =a100 +a101 ， 又∵A、B、C三点共线， 则a100+a101=1， 等差数列前n项的和为Sn= ， ∴S200= = =100， 故答案为100．
【答案】100
（2）已知等差数列 ， ，若函数 ，记 ，用课本中推导等差数列前 项和的方法，求数列 的前9项和为________．
【解析】解： ，所以数列 的前9项和为 ，由等差数列 ， ，则 ，由 所以 ，则 ，所以 。由倒序相加可得 所以，
【答案】9
（3）在圆x2+y2=5x内，过点 有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1 ， 最长弦长为an ， 若公差 ，那么n的取值集合________．
【解析】解：∵圆的方程为x2+y2=5x，化成圆的标准方程为： ， 由此可以知道圆心： 圆的半径为 ， 利用圆的性质可以知道最短弦应为过已知定点与圆心连线垂直的弦最短由此得a1= ， 最长弦为过定点的圆的直径 ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴3≤n﹣1＜6，∴4≤n＜7，n∈N+ ， ∴n=4，5，6； 故答案为：n=4，5，6．
【答案】n=4，5，6
（4）已知数列 满足 ，且对任意的 都有 ，则 的取值范围为（?? ）
A.??????????????B.????????????????????????C.??????????????????????D.?
【解析】数列 满足 ， 当 时， 当 时， ，则 数列 为首项为 ，公比为 的等比数列 则 则 的取值范围为 故答案为：
【答案】D
一、选择题题
1.已知定义在 上的函数 的图象关于（1，1）对称， ，若函数 图象与函数 图象的交点为 ，则 （? ?）
A.?8072???????????????????????????????????B.?6054????????????????C.?4036?????????????????????????????D.?2018
2.设等差数列{an}满足 =1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（?? ）
A.?（ ， ）??????????B.?[ ， ]??????????C.?（ ， ）??????????D.?[ ， ]
3.两个正数a，b的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且a＞b，则抛物线y2= 的焦点坐标是（?? ）
A.?（ ）?????????????????B.????????????????????C.???????????????D.?
4.定义函数 如下表，数列 满足 ， ，若 ，则 （??? ）
A.?7042???????????????????????????B.?7058???????????????????????C.?7063???????????????????????D.?7262
5.（2017?浙江）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn ， 则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（??? ）
A.?充分不必要条件?????????? ?B.?必要不充分条件???????????
C.?充分必要条件?????????? ?D.?既不充分也不必要条件
6.（2017?新课标Ⅲ）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2 ， a3 ， a6成等比数列，则{an}前6项的和为（??? ）
A.?﹣24??????????????????????????????????B.?﹣3???????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?8
二、填空题
7.（2017?上海）已知数列{an}和{bn}，其中an=n2 ， n∈N* ， {bn}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N* ， {bn}的第an项等于{an}的第bn项，则 =________．
8.（2017?新课标Ⅲ）设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=________
9.（2017?北京卷）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则 =________．
10.在等差数列{an}中，a1=2017，其前n项和为Sn ， 若 ﹣ =2，则S2017=________．
11.设数列 满足 ， ，若使得 ，则正整数 ________．
三、解答题
12.（2018?卷Ⅰ）已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=
（1）求b1,b2,b3
（2）判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
（3）求{an}的通项公式
13.（2018?浙江）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3 ， a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1?bn）an}的前n项和为2n2+n ． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
14.（2018?天津）设 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 ， 是等差数列.已知 ， ， ， . （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）设数列 的前n项和为 ， （i）求 ； （ii）证明 .
15.（2018?天津）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5 ， b5=a4+2a6 ． （Ⅰ）求Sn和Tn； （Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn ， 求正整数n的值．
16.（2018?天津）设函数 ，其中 ,且 是公差为 的等差数列.（I）若 ?求曲线 在点 处的切线方程； （II）若 ，求 的极值； （III）若曲线 ?与直线 有三个互异的公共点，求d的取值范围.
17.（2018?卷Ⅱ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn ， 并求Sn的最小值。
18.（2018?江苏）设{ }是首项为 ，公差为 的等差数列， 是首项 ，公比为q的等比数列
（1）??? 设 若 对n=1,2,3,4均成立，求d的取值范围
（2）?? 若 ， ， 证明：存在 ，使得 对 n=2，3，…， 均成立，并求 的取值范围（用 表示）。
19.（2018?卷Ⅲ）等比数列 中， .
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和，若Sm=63，求m。
20.（2018?卷Ⅲ）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为
（1）证明:
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明: 成等差数列，并求该数列的公差。
21.（2018?上海）给定无穷数列 ，若无穷数列{bn}满足：对任意 ，都有 ，则称 “接近”。
（1）设 是首项为1，公比为 的等比数列， ， ，判断数列 是否与 接近，并说明理由；
（2）设数列 的前四项为： =1， =2， =4， =8，{bn}是一个与 接近的数列，记集合M={x|x=bi ， i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；
（3）已知 是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与 接近，且在b?-b?，b?-b?，…b201-b200中至少有100个为正数，求d的取值范围。
22.（2018?北京）设 是等差数列，且 ， +a3=5 . （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）求 + +…+ .
23.（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值； （Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．
24.（2017?新课标Ⅲ）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．（12分）
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{ }的前n项和．
专题三 数列（解析版）
考 点
考纲要求
考情分析
1.数列的概念和简单表示法
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).
(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数.
1．高频考点：①侧重于考查等差、等比数列的通项an，前n项和Sn的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．②以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的形式．
2．特别关注：①切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．②对数列求和仍是考查的重点．数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注．
2.等差数列、等比数列
(1)理解等差数列、等比数列的概念.
(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.
(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.
(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）记 为等差数列 的前n项和，若 ，则a5=（?? ）
A.?-12????????????????????????????B.?-10????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????D.?12
【解析】解： 3S3=S2+S4?S3+3a3=a3+a4?9a2=5a2+a3?4a2=a3 ，又 a1=2 ， ∴d=-3. 则，故答案为：B。
【答案】B
2.（2018?浙江）已知 成等比数列，且 ．若 ，则（ ??）
A.?????????B.??????????C.???????D.?
【解析】a1,a2,a3,a4 成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q 当q>0时 ， a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3>ln(a1+a2+a3) ，不成立； 即a1>a3 ， a2
0，等式不成立，所以q≠-1； 当q<-1时 ， a1+a2+a3+a4<0，ln(a1+a2+a3) >0，a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立， 当q∈（-1,0）时，a1>a3>0，a2【答案】B
3.（2018?北京）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于 ，若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（?? ）
A. B. C. D.
【解析】解：由题意可知，单音构成以f为首项，以 为公比的等比数列，则第八个为
【答案】D
4.（2018?北京）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（?? ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】解：ad=bc a,b,c,d成等比数列，例如：a=4,d=9.b=c=6,a,b,c,d成等比数列 ad=bc,等比数列性质，
【答案】B
二、填空题
5.（2018?卷Ⅰ）记 为数列 的前n项的和，若 ，则 =________.
【解析】解：∵ ，作差， ∴ ， ∴ ， ∴ 。
【答案】-63
6.（2018?江苏）已知集合 ,将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ,记 为数列的前 项和，则使得 成立的 的最小值为________.
【解析】解： 不符 符合 所以n最小值27
【答案】27
7.（2018?上海）设等比数列{ }的通项公式为an=qn-1（n∈N*），前n项和为Sn。若 ，则q=________
【解析】 ， ，又 ∴ =1 故 当|q|>1时，有 当|q|<1时， (舍)
【答案】3
8.（2018?上海）记等差数列 的前n项和为Sn ， 若 ，则S7=________。
【解析】a3=a1+2d=0 a6+a7=a1+5d+a1+6d=14 故 ， 故 故S7=72-5×7=14。
【答案】14
9.（2018?北京）设 是等差数列，且a1=3, a2+a5= 36，则 的通项公式为________
【解析】解： ， ， 设 公差为d,则5d=33-3=30 d=6, 即 , ∴ +。 故答案为：
【答案】
等差数列
等比数列
(1)定义式
an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)
＝q(n∈N*，q为非零常数)
(2)通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
(3)前n项和公式
Sn＝＝na1＋；
Sn＝
(4)性质
①an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)
①an＝amqn－m(n，m∈N*)
②若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(p、q、m、n∈N*)
复习提醒
数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用an与Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法)
误区警示
1．应用an与Sn的关系，等比数列前n项和公式时，注意分类讨论．
2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．
3．讨论等差数列前n项和的最值时，不要忽视n为整数的条件和an＝0的情形．
4．等比数列{an}中，公比q≠0，an≠0.
数列求和的方法技巧
(1)公式法：
直接应用等差、等比数列的求和公式求和．
(2)错位相减法
这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列．
(3)倒序相加法
这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．
(4)裂项相消法
利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．
(5)分组转化求和法
有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．
数列的综合问题
(1)等差数列与等比数列的综合．
(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合．
(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题．
数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决.
误区警示
1．应用错位相减法求和时，注意项的对应．
2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和．
考点一：等差数列、等比数列的基本运算
例1：（1）数列 是公差不为零的等差数列，下列数列中，不构成等差数列的是（?? ）
A.?????????????????????????????B.?????????????C.????????????????????D.?
【解析】不妨取 { an } 为1,2,3,4, { bn }为2.4.6.8,则{ an? bn }为2,8,18,32,明显不为等差数列. 故答案为:A.
【答案】A
（2）在正项等比数列{an}中，a1008a1010= ，则lga1+lga2+…+lga2017=（?? ）
A.?﹣2016?????????????????????????????B.?﹣2017?????????????????????????C.?2016????????????????????????D.?2017
【解析】解：由正项等比数列{an}中，可得a1a2017=a2a2016=…=a1008a1010= = ，解得a1009= ． 则lga1lga1+lga2+…+lga2017= =2017×（﹣1）=﹣2017． 故选：B．
【答案】B
考点二：等差数列、等比数列的判断与证明
例2：已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1= ，Sn=n2an﹣n（n﹣1），n=1，2，…
（1）证明：数列{ Sn}是等差数列，并求Sn；
（2）设bn= ，求证：b1+b2+…+bn＜ ．
【解析】（1）由已知条件得Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n（n﹣1），从而 = +1，由此能证明数列{ Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，从而得到Sn=n× = ．（2）由bn= = = = ，利用裂项求和法能证明b1+b2+…+bn＜ ．
【答案】（1）证明：∵数列{an}的前n项和为Sn ， a1= ，Sn=n2an﹣n（n﹣1）， ∴n≥2时，有an=Sn﹣Sn﹣1 ， ∴Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n（n﹣1）， ∴（n2﹣1）Sn=n2Sn﹣1+n（n﹣1）， ∴ = +1， ∴ = +1， 又 = =1， ∴数列{ Sn}是首项为1，公差为1的等差数列， ∴ =1+（n﹣1）×1=n， ∴Sn=n× = （2）证明：bn= = = = ， ∴b1+b2+…+bn= （ ） = = = ． ∴b1+b2+…+bn＜
考点三：等差数列、等比数列的综合应用
例3：等比数列 中，各项都是正数，且 , , 成等差数列，则 =________．
【解析】由题意得 ，所以 ， = = ,填 故答案为:
【答案】
考点四：数列求和
例4：在公差不为0的等差数列{an}中，a22=a3+a6 ， 且a3为a1与a11的等比中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=（﹣1）n ，求数列{bn}的前n项和Tn ．
【解析】（Ⅰ）运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）化简bn=（﹣1）n = ?（﹣1）n?（ + ），再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．
【答案】解：（Ⅰ）在公差d不为0的等差数列{an}中，a22=a3+a6 ， 且a3为a1与a11的等比中项． 可得（a1+d）2=2a1+7d，且a32=a1a11 ， 即（a1+2d）2=a1（a1+10d）， 解得a1=2，d=3， 则an=2+3（n﹣1）=3n﹣1，n∈N*； （Ⅱ）bn=（﹣1）n=（﹣1）n = ?（﹣1）n? = ?（﹣1）n?（ + ）， ∴Tn=b1+b2+b3+…+bn= [﹣（ + ）+（ + ）﹣（ + ）+…+（﹣1）n?（ + ）] = [﹣1+（﹣1）n? ）]
考点五：数列和函数、不等式的交汇
例5：（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若向量 =a100 +a101 ，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200等于________．
【解析】解：由题意可知：向量 =a100 +a101 ， 又∵A、B、C三点共线， 则a100+a101=1， 等差数列前n项的和为Sn= ， ∴S200= = =100， 故答案为100．
【答案】100
（2）已知等差数列 ， ，若函数 ，记 ，用课本中推导等差数列前 项和的方法，求数列 的前9项和为________．
【解析】解： ，所以数列 的前9项和为 ，由等差数列 ， ，则 ，由 所以 ，则 ，所以 。由倒序相加可得 所以，
【答案】9
（3）在圆x2+y2=5x内，过点 有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1 ， 最长弦长为an ， 若公差 ，那么n的取值集合________．
【解析】解：∵圆的方程为x2+y2=5x，化成圆的标准方程为： ， 由此可以知道圆心： 圆的半径为 ， 利用圆的性质可以知道最短弦应为过已知定点与圆心连线垂直的弦最短由此得a1= ， 最长弦为过定点的圆的直径 ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴3≤n﹣1＜6，∴4≤n＜7，n∈N+ ， ∴n=4，5，6； 故答案为：n=4，5，6．
【答案】n=4，5，6
（4）已知数列 满足 ，且对任意的 都有 ，则 的取值范围为（?? ）
A.??????????????B.????????????????????????C.??????????????????????D.?
【解析】数列 满足 ， 当 时， 当 时， ，则 数列 为首项为 ，公比为 的等比数列 则 则 的取值范围为 故答案为：
【答案】D
一、选择题题
1.已知定义在 上的函数 的图象关于（1，1）对称， ，若函数 图象与函数 图象的交点为 ，则 （? ?）
A.?8072???????????????????????????????????B.?6054????????????????C.?4036?????????????????????????????D.?2018
【解析】由题意知，函数 的图象也关于点（1,1）对称． 故 ， 所以 ． 故答案为：C．
【答案】C
2.设等差数列{an}满足 =1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（?? ）
A.?（ ， ）??????????B.?[ ， ]??????????C.?（ ， ）??????????D.?[ ， ]
【解析】解：∵等差数列{an}满足 =1， ∴（sina3cosa6﹣sina6cosa3）（sina3cosa6+sina6cosa3） =sin（a3+a6）=（sina3cosa6+sina6cosa3）， ∴sina3cosa6﹣sina6cosa3=1， 即sin（a3﹣a6）=1，或sin（a3+a6）=0（舍） 当sin（a3﹣a6）=1时， ∵a3﹣a6=﹣3d∈（0，3），a3﹣a6=2kπ+ ，k∈Z， ∴﹣3d= ，d=﹣ ． ∵ = +（a1﹣ ）n， 且仅当n=9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值， ∴﹣ =9，化为 ． ∴ = ． 故选：C．
【答案】C
3.两个正数a，b的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且a＞b，则抛物线y2= 的焦点坐标是（?? ）
A.?（ ）?????????????????B.????????????????????C.???????????????D.?
【解析】解：根据题意，可得a+b=9，ab=20， 又由a＞b， 解可得，a=5，b=4， 代入抛物线方程得： y2= ， 则其焦点坐标是为 ， 故选C．
【答案】C
4.定义函数 如下表，数列 满足 ， ，若 ，则 （??? ）
A.?7042???????????????????????????B.?7058???????????????????????C.?7063???????????????????????D.?7262
【解析】解：由题设知 ， ， ， ， ， ，∵ ， ， ，∴ ， ， ， ， ， ， ……，∴ 是周期为6的周期数列，∵ ，∴ ，
【答案】C
5.（2017?浙江）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn ， 则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（??? ）
A.?充分不必要条件?????????? ?B.?必要不充分条件???????????
C.?充分必要条件?????????? ?D.?既不充分也不必要条件
【解析】解：∵S4+S6＞2S5 ， ∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d）， ∴21d＞20d， ∴d＞0， 故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，
【答案】C
6.（2017?新课标Ⅲ）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2 ， a3 ， a6成等比数列，则{an}前6项的和为（??? ）
A.?﹣24??????????????????????????????????B.?﹣3???????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?8
【解析】解：∵等差数列{an}的首项为1，公差不为0．a2 ， a3 ， a6成等比数列， ∴ ， ∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0， 解得d=﹣2， ∴{an}前6项的和为 = =﹣24． 故选：A． 【答案】A
二、填空题
7.（2017?上海）已知数列{an}和{bn}，其中an=n2 ， n∈N* ， {bn}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N* ， {bn}的第an项等于{an}的第bn项，则 =________．
【解析】解：∵an=n2 ， n∈N* ， 若对于一切n∈N* ， {bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项， ∴ = = ． ∴b1=a1=1， =b4 ， =b9 ， =b16 ． ∴b1b4b9b16= ． ∴ =2． 故答案为：2．
【答案】2
8.（2017?新课标Ⅲ）设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=________
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3， ∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3， 解得a1=1，q=﹣2． 则a4=（﹣2）3=﹣8． 故答案为：﹣8．
【答案】-8
9.（2017?北京卷）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则 =________．
【解析】解：等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8， 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q． 可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2； 8=﹣q3 ， 解得q=﹣2，∴b2=2． 可得 =1． 故答案为：1．
【答案】1
10.在等差数列{an}中，a1=2017，其前n项和为Sn ， 若 ﹣ =2，则S2017=________．
【解析】解：在等差数列中 = =a1+ d= n+a1﹣ 为等差数列， 则由 ﹣ =2得 ×2013﹣ ×2011=d=2， 则S2017=2017×2017+ =2017（2017+2016）=8134561， 故答案为：8134561
【答案】8134561
11.设数列 满足 ， ，若使得 ，则正整数 ________．
【解析】由题意得 ， ∴ ． 由 ， 得 ? ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 由 得 ， ∴ ． 综上所述 ． 答案：
【答案】2018
三、解答题
12.（2018?卷Ⅰ）已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=
（1）求b1,b2,b3
（2）判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
（3）求{an}的通项公式
【答案】（1）解： ， （2）解： ∴ 则 是以 为首项，以2为公比的等比数列 （3）解：
13.（2018?浙江）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3 ， a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1?bn）an}的前n项和为2n2+n ． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
【答案】解：（Ⅰ）由 是 的等差中项得 ， 所以 ， 解得 . 由 得 ， 因为 ，所以 . （Ⅱ）设 ，数列 前n项和为 . 由 解得 . 由（Ⅰ）可知 ， 所以 ， 故 ， ?????????????????????? . 设 ， 所以 ， 因此 ， 又 ，所以
14.（2018?天津）设 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 ， 是等差数列.已知 ， ， ， . （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）设数列 的前n项和为 ， （i）求 ； （ii）证明 .
【答案】解：（Ⅰ）设等比数列 公比为q,由 ， ∵q>0,∴q=2,则 。 设等差数列 公差为d，由 ，由 ， 则 ∴ 。 ∴ 通项公式为 ，通项公式为 ， （Ⅱ）(i)解由（1） ， 故 ， (ii) ， = 。
15.（2018?天津）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5 ， b5=a4+2a6 ． （Ⅰ）求Sn和Tn； （Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn ， 求正整数n的值．
【答案】解：（I）设等比数列 的公比为q ， 由b1=1，b3=b2+2，可得 .∵ ，∴ ，故 . ∴ . 设等差数列 的公差为 .由 ，可得 . 由 ? 从而 ，故 ， ∴ . （II）由（I），知 ? 由 ， 解得 （舍），或 .所以n的值为4.
16.（2018?天津）设函数 ，其中 ,且 是公差为 的等差数列.（I）若 ?求曲线 在点 处的切线方程； （II）若 ，求 的极值； （III）若曲线 ?与直线 有三个互异的公共点，求d的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）∵ ， ，∴ ， ， ∴ 在 处切线方程为 。 （Ⅱ）解：由已知可得 f(x)=(x?t2+3)( x?t2) (x?t2?3)=( x?t2)3?9 ( x?t2)=x3?3t2x2+(3t22?9)x? t22+9t2. ∴ = 3x3?6t2x+3t22?9. 令 =0，解得x= t2? ，或x= t2+ . 当x变化时，f‵(x)，f(x)的变化如下表：
x
(?∞，t2? )
t2?
(t2? ，t2+ )
t2+
(t2+ ，+∞)
+
0
?
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的极大值为f(t2? )=(? )3?9×(? )=6 ； 函数小值为f(t2+ )=( )3?9×( )=?6 . （III）解：曲线y=f(x)与直线y=?(x?t2)?6 有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x?t2+d) (x?t2) (x?t2?d)+ (x?t2)+ 6 =0有三个互异的实数解，令u= x?t2 ， 可得u3+(1?d2)u+6 =0. 设函数g(x)= x3+(1?d2)x+6 ，则曲线y=f(x)与直线y=?(x?t2)?6 有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点. =3 x3+(1?d2). 当d2≤1时， ≥0，这时 在R上单调递增，不合题意. 当d2>1时， =0，解得x1= ，x2= . 易得，g(x)在(?∞，x1)上单调递增，在[x1 ， x2]上单调递减，在(x2 ， +∞)上单调递增， g(x)的极大值g(x1)= g( )= >0. g(x)的极小值g(x2)= g( )=? . 若g(x2) ≥0，由g(x)的单调性可知函数y=f(x)至多有两个零点，不合题意. 若 即 ，也就是 ，此时 ， ?且 ，从而由 的单调性，可知函数 ?在区间 内各有一个零点，符合题意. 所以 的取值范围是
17.（2018?卷Ⅱ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn ， 并求Sn的最小值。
【答案】（1）设数列的公差为d，由题意有：a1=-7，S3=3a2=-15 a2=-5，d=2 ∴an=a1+（n-1）d=-7+2（n-1）=2n-9 所以{an}的通项公式为：an=2n-9 （2）由（1）知数列{an}的前n项和 Sn=n（n-8）=n2-8n=（n-4）2-16≥-16 当n=4时取最小值， 所以Sn的最小值为-16
18.（2018?江苏）设{ }是首项为 ，公差为 的等差数列， 是首项 ，公比为q的等比数列
（1）??? 设 若 对n=1,2,3,4均成立，求d的取值范围
（2）?? 若 ， ， 证明：存在 ，使得 对 n=2，3，…， 均成立，并求 的取值范围（用 表示）。
【答案】（1）解：∵ 对n=1,2,3,4成立∵ ∴ （2）解：∵ 且 ，对n=2,3,….,m+1均成立∴ 即 ∵ ∴ ∴ 又 ∴存在 ，使 ，对 成立 ∴m=1时， 当 时，设 ，则 = ， 设 ∵q-1＞0∴ ∵ ∴ 设 ，设 ∵ 在 恒成立，∴ ∴ ∴ ∴ 对n=2,3，…，.m均成立，∴ ∴ ∴
19.（2018?卷Ⅲ）等比数列 中， .
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和，若Sm=63，求m。
【答案】（1）解：因为 ，a5=4a3 q4=4q2? q=±2 或 （2）解： 又
20.（2018?卷Ⅲ）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为
（1）证明:
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明: 成等差数列，并求该数列的公差。
【答案】（1）解：设 设A（x1,y1）B（x2,y2） 所以 又 所以 ????? 所以 （2）解：F（1,0） 所以P（1，-2m）在抛物线上 所以3+16m2=12 16m2=9 即 ???? ???? ??????? 又 同理 所以 所以 所以 为等差数列 2d= = = = =± d=
21.（2018?上海）给定无穷数列 ，若无穷数列{bn}满足：对任意 ，都有 ，则称 “接近”。
（1）设 是首项为1，公比为 的等比数列， ， ，判断数列 是否与 接近，并说明理由；
（2）设数列 的前四项为： =1， =2， =4， =8，{bn}是一个与 接近的数列，记集合M={x|x=bi ， i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；
（3）已知 是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与 接近，且在b?-b?，b?-b?，…b201-b200中至少有100个为正数，求d的取值范围。
【答案】（1）由题意 又 ，故 则 又 ，故 即 ，故 （2）由题意分析可知 根据范围分析 ，根据元素互异性 ，又 可能出现 情况，也可能出现 情况，故根据互异性，M中元素个数为3个或4个 （3）为等差数列，又 与 接近，有 则 又 故 当 即 中没有正数；当 ＞-2时，存在 使得 ，即有100个正数，故 ＞-2。
22.（2018?北京）设 是等差数列，且 ， +a3=5 . （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）求 + +…+ .
【答案】解：（Ⅰ），∵ ， ， ∴ ，则 ， ∴ 。 （Ⅱ） ， ∴ ,
23.（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值； （Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0， 所以f′（x）=1﹣ = ，且f（1）=0． 所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以在（0,1）上f(x)<0,这与f（x）≥0矛盾； 当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a， 所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f（a）， 又因为f（x）min=f（a）≥0， 所以a=1； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1， 所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号， 所以ln（1+ ）＜ ，k∈N*, 所以，k∈N* ． 一方面，因为 + +…+ =1﹣ ＜1， 所以，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e； 另一方面，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞（1+ ）（1+ ）（1+ ）= ＞2， 同时当n≥3时，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）． 因为m为整数，且对于任意正整数n（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m， 所以m的最小值为3．
24.（2017?新课标Ⅲ）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．（12分）
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{ }的前n项和．
【答案】（1）解：数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n． n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）． ∴（2n﹣1）an=2．∴an= ． 当n=1时，a1=2，上式也成立． ∴an= ． （2） = = ﹣ ． ∴数列{ }的前n项和= + . +…+ =1﹣ = ．
