专题四 三角函数、解三角形（原卷版）
考 点
考纲要求
考情分析
1. 任意角的概念、弧度制
①了解任意角的概念。
②了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。
1．高频考点：①和差角公式、二倍角公式②三角函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换，周期及单调性③正玄定理、余弦定理在解三角形中的应用。
2．特别关注：①三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．②掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象与性质，并熟练掌握函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．③“变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗——即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律.
2.三角函数
①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。
②能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y = sin x，y = cos x,y = tan x的图像，了解三角函数的周期性。
③理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性。
④理解同角三角函数的基本关系式：
sin2 x +cos2 x = 1,
⑤了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响。
⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角 函数解决一些简单实际问题。
3.和与差的三角函数公式
①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。
②能利用两角差的余弦公武导出两角差的正弦、正切公式。
③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式， 导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
4.简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差 化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)。
5.正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
6.应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几 何计算有关的实际问题。
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2a= ,则|a-b|=（ ??）
A. B. C. D.1
2.（2018?卷Ⅰ）已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则（ ??）
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
3.（2018?天津）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ??）
A.?在区间 上单调递增??????????????????????????????B.?在区间 上单调递减 C.?在区间 上单调递增???????????????????????????????D.?在区间 上单调递减
4.（2018?卷Ⅱ）若 在 是减函数，则a的最大值是（ ）
A.?????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
5.（2018?卷Ⅱ）在 中， 则 （?? ）
A.??????????????????????????????????????B.????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
6.（2018?卷Ⅲ） 的内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，则 =(?? )
A.??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
7.（2018?卷Ⅲ）若 ，则 =（ ??）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?- ????????????????????????????D.?-
8.（2018?卷Ⅲ）直线 分别与 轴， 轴交于点 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是(?? )
A.???????????????????????????????B.??????????????C.????????????????????????D.?
9.（2018?卷Ⅲ）设 是双曲线 （ ）的左，右焦点， 是坐标原点。过 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。若 ，则 的离心率为（??? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
10.（2018?北京）在平面坐标系中， , , , 是圆 上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角 以Ox为始边，OP为终边，若 ，则P所在的圆弧是（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.??????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
二、填空题
11.（2018?卷Ⅰ）已知函数 ，则 的最小值是________.
12.（2018?卷Ⅰ）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 bsinC+ csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为________.
1．任意角和弧度制
(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
(3)弧长公式：l＝|α|r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|r2.
2．任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．
(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
3．诱导公式
公式一
sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，
tan(2kπ＋α)＝tanα
公式二
sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，
tan(π＋α)＝tanα
公式三
sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，
tan(－α)＝－tanα
公式四
sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，
tan(π－α)＝－tanα
公式五
sin＝cosα，cos＝sinα
公式六
sin＝cosα，cos＝－sinα
口诀
奇变偶不变，符号看象限
4.同角三角函数基本关系式
sin2α＋cos2α＝1，tanα＝(cosα≠0)．
5．正弦、余弦、正切函数的性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
定义域
R
R
{x|x≠＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
最小正周期
2π
2π
π
单调性
在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增．
在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增．在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减
在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增
最值
当x＝＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.
当x＝－＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1
当x＝2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.
当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1
无最值
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)．
对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)
对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)．
对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：(，0)(k∈Z)
6.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图
设z＝ωx＋φ，令z＝0、、π、、2π，求出x的值与相应的y的值，描点连线可得．
7．和差角公式
(1)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；
(2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；
(3)tan(α±β)＝.
8．倍角公式
(1)sin2α＝2sinαcosα；
(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan2α＝.
9．半角公式
(1)sin＝±；
(2)cos＝±；
(3)tan＝±；
(4)tan＝＝.
10．正弦定理
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
11．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
12．面积公式
S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.
13．解三角形
(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；
(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一，需讨论；
(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；
(4)已知三边，利用余弦定理求解．
考点一：三角函数图象及其变换
例1：已知ω为正整数，函数f（x）=sinωxcosωx+ 在区间 内单调递增，则函数f（x）（ ?? ）
A.最小值为 ，其图象关于点 对称??????????
B.?最大值为 ，其图象关于直线 对称 C.?最小正周期为2π，其图象关于点 对称??????????
D.?最小正周期为π，其图象关于直线 对称
【解析】解：∵f（x）=sinωxcosωx+ = sin2ωx+ ﹣ = sin（2ωx+ ）， 又∵f（x）在区间 内单调递增， ∴由﹣ ≤2×（﹣ ）ω+ ，2× ω+ ≤ ，解得：ω≤ ，ω≤ ， ∴由ω为正整数，可得ω=1，f（x）= sin（2x+ ）， ∴f（x）的最大值为 ，最小正周期为π，故A，C选项错误； ∵令2x+ =kπ+ ，k∈Z，解得：x= + ，k∈z，可得当k=﹣1时，f（x）关于直线x=﹣ 对称． ∴B选项错误，D选项正确． 故选：D．
【答案】D
考点二：三角函数性质及应用
例2：（2018?北京）设函数f(x)= ，若 对任意的实数x都成立，则 的最小值为________
【解析】解： 又 >0,∴ 。 故答案为：
【答案】
考点三：三角函数概念，同角关系及诱导公式
例3：（2018?上海）设常数 ，函数
（1）若 为偶函数，求 的值；
（2）若 ，求方程 在区间 上的解。
【解析】本题主要考查三角函数化简求值的问题；对于三角函数考查同角变换公式中的降次公式和辅助角公式。通过三角函数求特殊值的方法。对于本题还涉及到利用函数奇偶性求函数解析式的问题。
【答案】（1）若 为偶函数，则 = ，有asin(-2x)+2cos2(-x)=asin2x+2cos2x，-asin2x=asin2x， =0. （2），故 ， 则 +1= ， = ， ， 又 有 ， ，化简为 ， 即 ， 。 若求该方程在 上的解，则 ， 即 对应的x的值分别为 。
考点四：三角函数的求值与化简
例4：（2018?北京）已知函数 （Ⅰ）求 的最小正周期 （Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值.
【解析】（Ⅰ）正弦，余弦、二倍角公式降幂，引入辅助角公式化为一个角。 （Ⅱ）先求出 范围，再考虑右端点至少到哪。
【答案】解：（Ⅰ）∵ = = 。 T= ， ∴最小正周期为 。 （Ⅱ）∵ ， ， ∴ ， 即 时， ， ∴ ， ， ∴m最小值为 。
考点五： 解三角形
例5：（2018?卷Ⅰ）在平面四边形 中，
（1）求 ;
（2）若 求 .
【解析】:(1)在三角形ABD中,由正弦定理求出 ,再由同角关系式求出 ;(2)由 ,求出 ,再在 中由余弦定理求出BC.
【答案】（1）解：在 中，由正弦定理得 . 由题设知， ，所以 . 由题设知， ，所以 . （2）解：由题设及（1）知， . 在 中，由余弦定理得 . 所以 .
考点六：正、余弦定理的应用
例6：（2018?北京）在△ABC中，a=7,b=8,cosB=- ， （Ⅰ）求∠A： （Ⅱ）求AC边上的高。
【解析】（1）先由正弦定理，求出sinA，再由B角范围，进一步确定A； （2）由h=asinC发现反需求出sinC,又已知A,B由和角公式，则h可求出。
【答案】解：（Ⅰ） ABC中， ∵ ， 由正弦定理得： , ∴ 或 ，又B> ，所以 。 （Ⅱ）设AB边上的高为h,则h=asinC.又 , 而h= 。
1.（2017·山东）已知cosx= ，则cos2x=（ ）
A.?﹣ ????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?﹣ ???????????????????????????????????????D.?
2.（2017?山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（ ）
A.?a=2b??????????????????????B.?b=2a??????????????????????????????????C.?A=2B???????????????????????????D.?B=2A
3.（2017?新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（??? ）
A.?f（x）的一个周期为﹣2π???????????????????????????????????B.?y=f（x）的图象关于直线x= 对称 C.?f（x+π）的一个零点为x= ?????????????????????????????D.?f（x）在（ ，π）单调递减
4.（2017?新课标Ⅲ）已知sinα﹣cosα= ，则sin2α=（ ）
A.?﹣ ????????????????????????????B.?﹣ ?????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
5.（2017·天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（ ）=2，f（ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A.?ω= ，φ= ????????B.?ω= ，φ=﹣ ????C.?ω= ，φ=﹣ ????D.?ω= ，φ=
6.（2017·山东）函数y= sin2x+cos2x的最小正周期为（ ）
A.??????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.?π?????????????????????????????????????????D.?2π
填空题
7.（2018?浙江）在△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ． 若a= ，b=2，A=60°，则sin B=________，c=________．
8.（2018?卷Ⅱ）已知 ，则tan =________
9.（2018?卷Ⅱ）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0则sin（α+β）=________。
10.（2018?江苏）已知函数 的图像关于直线 对称,则 的值是________.
11.（2018?卷Ⅲ）函数 在 的零点个数为________．
12.（2018?北京）若 的面积为 （ ）,且∠C为钝角，则∠B=________； 的取值范围是________.
三、解答题
13.（2018?浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（ ）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）= ，求cosβ的值．
14.（2018?天津）在 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知 . （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）设a=2，c=3，求b和 的值.
15.（2018?天津）在△ABC中，内角A ， B ， C所对的边分别为a,b,c ． 已知bsinA=acos(B– )． （Ⅰ）求∠B的大小； （Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值．
16.（2018?江苏）已知 为锐角， ， 。
（1）求 的值。
（2）求 的值。
专题四 三角函数、解三角形（解析版）
考 点
考纲要求
考情分析
1. 任意角的概念、弧度制
①了解任意角的概念。
②了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。
1．高频考点：①和差角公式、二倍角公式②三角函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换，周期及单调性③正玄定理、余弦定理在解三角形中的应用。
2．特别关注：①三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．②掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象与性质，并熟练掌握函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．③“变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗——即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律.
2.三角函数
①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。
②能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y = sin x，y = cos x,y = tan x的图像，了解三角函数的周期性。
③理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性。
④理解同角三角函数的基本关系式：
sin2 x +cos2 x = 1,
⑤了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响。
⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角 函数解决一些简单实际问题。
3.和与差的三角函数公式
①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。
②能利用两角差的余弦公武导出两角差的正弦、正切公式。
③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式， 导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
4.简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差 化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)。
5.正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
6.应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几 何计算有关的实际问题。
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2a= ,则|a-b|=（ ??）
A. B. C. D.1
【解析】解： ，又 ， ，又 ，故答案为：B.
【答案】B
2.（2018?卷Ⅰ）已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则（ ??）
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
【解析】解： = = 。∴ ，故答案为：B.
【答案】B
3.（2018?天津）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ??）
A.?在区间 上单调递增??????????????????????????????B.?在区间 上单调递减 C.?在区间 上单调递增???????????????????????????????D.?在区间 上单调递减
【解析】解： ∵ 故答案为：A
【答案】A
4.（2018?卷Ⅱ）若 在 是减函数，则a的最大值是（ ）
A.?????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【解析】∵ f ( x ) = cos x ? sin x =?cos ( x+?) 由0+2kπ≤x+≤π+2kπ，（k∈Z）得：-+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z） 因此[0,a] [-， ] 0≥-， a≤ 从而a的最大值为. 故答案为：C
【答案】C
5.（2018?卷Ⅱ）在 中， 则 （?? ）
A.??????????????????????????????????????B.????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【解析】∵ ∴AB2=1+52-2×5×（ ）=26+6=32 ∴AB= 故答案为：A
【答案】A
6.（2018?卷Ⅲ） 的内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，则 =(?? )
A.??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【解析】 故答案为：C
【答案】C
7.（2018?卷Ⅲ）若 ，则 =（ ??）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?- ????????????????????????????D.?-
【解析】 故答案为：B
【答案】B
8.（2018?卷Ⅲ）直线 分别与 轴， 轴交于点 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是(?? )
A.???????????????????????????????B.??????????????C.????????????????????????D.?
【解析】令x=0所以B（0，-2），令y=0，则A（-2,0），所以 又因为P到直线距离 ?所以 则 故答案为：A
【答案】A
9.（2018?卷Ⅲ）设 是双曲线 （ ）的左，右焦点， 是坐标原点。过 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。若 ，则 的离心率为（??? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
【解析】因为 ，直线OP的斜率为 ，则 则 则 故答案为：C
【答案】C
10.（2018?北京）在平面坐标系中， , , , 是圆 上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角 以Ox为始边，OP为终边，若 ，则P所在的圆弧是（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.??????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【解析】解：当0< < 时，sin < 0,cos <0,排除D。 故答案为：C
【答案】C
二、填空题
11.（2018?卷Ⅰ）已知函数 ，则 的最小值是________.
【解析】解：由题意得：T=2π是 的一个周期。只需要考虑函数在[0，2π)上的值域， 先求该函数在[0，2π)上的极值点 ， 令 可得： 或 此时x= 或 ∴ 的最小值只能在点x= ,π或 和边界点x=0中取到，计算可得 ∴函数的最小值为：
【答案】C
12.（2018?卷Ⅰ）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 bsinC+ csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为________.
【解析】解：∵bsinC+csinB=4asinBsinC.由正弦定理得： , 又 ， 则 。
【答案】
1．任意角和弧度制
(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
(3)弧长公式：l＝|α|r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|r2.
2．任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．
(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
3．诱导公式
公式一
sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，
tan(2kπ＋α)＝tanα
公式二
sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，
tan(π＋α)＝tanα
公式三
sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，
tan(－α)＝－tanα
公式四
sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，
tan(π－α)＝－tanα
公式五
sin＝cosα，cos＝sinα
公式六
sin＝cosα，cos＝－sinα
口诀
奇变偶不变，符号看象限
4.同角三角函数基本关系式
sin2α＋cos2α＝1，tanα＝(cosα≠0)．
5．正弦、余弦、正切函数的性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
定义域
R
R
{x|x≠＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
最小正周期
2π
2π
π
单调性
在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增．
在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增．在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减
在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增
最值
当x＝＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.
当x＝－＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1
当x＝2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.
当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1
无最值
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)．
对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)
对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)．
对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：(，0)(k∈Z)
6.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图
设z＝ωx＋φ，令z＝0、、π、、2π，求出x的值与相应的y的值，描点连线可得．
7．和差角公式
(1)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；
(2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；
(3)tan(α±β)＝.
8．倍角公式
(1)sin2α＝2sinαcosα；
(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan2α＝.
9．半角公式
(1)sin＝±；
(2)cos＝±；
(3)tan＝±；
(4)tan＝＝.
10．正弦定理
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
11．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
12．面积公式
S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.
13．解三角形
(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；
(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一，需讨论；
(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；
(4)已知三边，利用余弦定理求解．
考点一：三角函数图象及其变换
例1：已知ω为正整数，函数f（x）=sinωxcosωx+ 在区间 内单调递增，则函数f（x）（ ?? ）
A.最小值为 ，其图象关于点 对称??????????
B.?最大值为 ，其图象关于直线 对称 C.?最小正周期为2π，其图象关于点 对称??????????
D.?最小正周期为π，其图象关于直线 对称
【解析】解：∵f（x）=sinωxcosωx+ = sin2ωx+ ﹣ = sin（2ωx+ ）， 又∵f（x）在区间 内单调递增， ∴由﹣ ≤2×（﹣ ）ω+ ，2× ω+ ≤ ，解得：ω≤ ，ω≤ ， ∴由ω为正整数，可得ω=1，f（x）= sin（2x+ ）， ∴f（x）的最大值为 ，最小正周期为π，故A，C选项错误； ∵令2x+ =kπ+ ，k∈Z，解得：x= + ，k∈z，可得当k=﹣1时，f（x）关于直线x=﹣ 对称． ∴B选项错误，D选项正确． 故选：D．
【答案】D
考点二：三角函数性质及应用
例2：（2018?北京）设函数f(x)= ，若 对任意的实数x都成立，则 的最小值为________
【解析】解： 又 >0,∴ 。 故答案为：
【答案】
考点三：三角函数概念，同角关系及诱导公式
例3：（2018?上海）设常数 ，函数
（1）若 为偶函数，求 的值；
（2）若 ，求方程 在区间 上的解。
【解析】本题主要考查三角函数化简求值的问题；对于三角函数考查同角变换公式中的降次公式和辅助角公式。通过三角函数求特殊值的方法。对于本题还涉及到利用函数奇偶性求函数解析式的问题。
【答案】（1）若 为偶函数，则 = ，有asin(-2x)+2cos2(-x)=asin2x+2cos2x，-asin2x=asin2x， =0. （2），故 ， 则 +1= ， = ， ， 又 有 ， ，化简为 ， 即 ， 。 若求该方程在 上的解，则 ， 即 对应的x的值分别为 。
考点四：三角函数的求值与化简
例4：（2018?北京）已知函数 （Ⅰ）求 的最小正周期 （Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值.
【解析】（Ⅰ）正弦，余弦、二倍角公式降幂，引入辅助角公式化为一个角。 （Ⅱ）先求出 范围，再考虑右端点至少到哪。
【答案】解：（Ⅰ）∵ = = 。 T= ， ∴最小正周期为 。 （Ⅱ）∵ ， ， ∴ ， 即 时， ， ∴ ， ， ∴m最小值为 。
考点五： 解三角形
例5：（2018?卷Ⅰ）在平面四边形 中，
（1）求 ;
（2）若 求 .
【解析】:(1)在三角形ABD中,由正弦定理求出 ,再由同角关系式求出 ;(2)由 ,求出 ,再在 中由余弦定理求出BC.
【答案】（1）解：在 中，由正弦定理得 . 由题设知， ，所以 . 由题设知， ，所以 . （2）解：由题设及（1）知， . 在 中，由余弦定理得 . 所以 .
考点六：正、余弦定理的应用
例6：（2018?北京）在△ABC中，a=7,b=8,cosB=- ， （Ⅰ）求∠A： （Ⅱ）求AC边上的高。
【解析】（1）先由正弦定理，求出sinA，再由B角范围，进一步确定A； （2）由h=asinC发现反需求出sinC,又已知A,B由和角公式，则h可求出。
【答案】解：（Ⅰ） ABC中， ∵ ， 由正弦定理得： , ∴ 或 ，又B> ，所以 。 （Ⅱ）设AB边上的高为h,则h=asinC.又 , 而h= 。
1.（2017·山东）已知cosx= ，则cos2x=（ ）
A.?﹣ ????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?﹣ ???????????????????????????????????????D.?
【解析】解：∵cosx= ，则cos2x=2× ﹣1= ． 故选：D．
【答案】D
2.（2017?山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（ ）
A.?a=2b??????????????????????B.?b=2a??????????????????????????????????C.?A=2B???????????????????????????D.?B=2A
【解析】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB， 可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA， 由正弦定理可得：2b=a． 故选：A．
【答案】A
3.（2017?新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（??? ）
A.?f（x）的一个周期为﹣2π???????????????????????????????????B.?y=f（x）的图象关于直线x= 对称 C.?f（x+π）的一个零点为x= ?????????????????????????????D.?f（x）在（ ，π）单调递减
【解析】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确， B．当x= 时，cos（x+ ）=cos（ + ）=cos =cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x= 对称，故B正确， C当x= 时，f（ +π）=cos（ +π+ ）=cos =0，则f（x+π）的一个零点为x= ，故C正确， D．当 ＜x＜π时， ＜x+ ＜ ，此时余弦函数不是单调函数，故D错误， 故选：D
【答案】D
4.（2017?新课标Ⅲ）已知sinα﹣cosα= ，则sin2α=（ ）
A.?﹣ ????????????????????????????B.?﹣ ?????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【解析】解：∵sinα﹣cosα= ， ∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α= ， ∴sin2α=﹣ ， 故选：A．
【答案】A
5.（2017·天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（ ）=2，f（ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A.?ω= ，φ= ????????B.?ω= ，φ=﹣ ????C.?ω= ，φ=﹣ ????D.?ω= ，φ=
【解析】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得 ， 又f（ ）=2，f（ ）=0，得 ， ∴T=3π，则 ，即 ． ∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（ x+φ）， 由f（ ）= ，得sin（φ+ ）=1． ∴φ+ = ，k∈Z． 取k=0，得φ= ＜π． ∴ ，φ= ． 故选：A．
【答案】A
6.（2017·山东）函数y= sin2x+cos2x的最小正周期为（ ）
A.??????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.?π?????????????????????????????????????????D.?2π
【解析】解：∵函数y= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ）， ∵ω=2， ∴T=π， 故选：C
【答案】C
填空题
7.（2018?浙江）在△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ． 若a= ，b=2，A=60°，则sin B=________，c=________．
【解析】详解：由正弦定理得 ,所以 由余弦定理得 （负值舍去）.
【答案】；3
8.（2018?卷Ⅱ）已知 ，则tan =________
【解析】∵ 即 ∴ =
【答案】
9.（2018?卷Ⅱ）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0则sin（α+β）=________。
【解析】∵ ①② ①2+②2得： 1+1+2sin（α+β）=1 ∴sin（α+β）=- 故答案为：-
【答案】-
10.（2018?江苏）已知函数 的图像关于直线 对称,则 的值是________.
【解析】解：
【答案】
11.（2018?卷Ⅲ）函数 在 的零点个数为________．
【解析】 ，因为 则 共三个零点，填3
【答案】3
12.（2018?北京）若 的面积为 （ ）,且∠C为钝角，则∠B=________； 的取值范围是________.
【解析】解： = = ，∴ ， <0 ∴
【答案】；
三、解答题
13.（2018?浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（ ）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）= ，求cosβ的值．
【答案】解：（Ⅰ）由角 的终边过点 得 ， 所以 . （Ⅱ）由角 的终边过点 得 ， 由 得 . 由 得 ， 所以 或
14.（2018?天津）在 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知 . （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）设a=2，c=3，求b和 的值.
【答案】解：.解：（Ⅰ） 中，由正弦定理 ∴ 又 （Ⅱ） 中，∵a=2,c=3, 则 由 ∵ ∴ ∴ ∴
15.（2018?天津）在△ABC中，内角A ， B ， C所对的边分别为a,b,c ． 已知bsinA=acos(B– )． （Ⅰ）求∠B的大小； （Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值．
【答案】解：（Ⅰ） 中，由正弦定理 又由 又 ， ∴∠B= （Ⅱ） 中，a=2.c=3,有B= ，有 由 又a＜c，∴ 即
16.（2018?江苏）已知 为锐角， ， 。
（1）求 的值。
（2）求 的值。
【答案】（1）解：∵ 则 （2）解：由（1）可知， ， ，所以 即 ， =-2
