专题五 平面向量（原卷版）
考 点
考纲要求
考情分析
1.平面向量的实际背景及基本概念
①了解向量的实际背景。
②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
③理解向量的几何表示。
1．高频考点：①向量加法、减法的运算②向量线性运算③平面向量的基本定理及坐标运算④平面向量的数量积⑤正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现
2．特别关注：以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查向量计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力．
2.向量的线性运算
①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
③了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3.平面向量的基本定理及坐标表示
①了解平面向量的基本定理及其意义。
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4.平面向量的数量积
①理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
②了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系。
5.向量的应用
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）在 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 (? )
A.????????????B.??????????????C.?????????????D.?
2.（2018?浙江）已知a ， b ， e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为 ，向量b满足b2?4e·b+3=0，则|a?b|的最小值是（ ??）
A.??1?????????????????????????B.?+1????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????D.?2?
3.（2018?天津）在如图的平面图形中，已知 , 则 的值为（ ??）
A. B.? C. D.0
4.（2018?卷Ⅱ）已知向量，满足=1, ?=?1 ，则·(2-)=（??? ）
A.4 B.3 C.2 D.0
5.（2018?北京）设a,b均为单位向量，则“ ”是“a ”的（?? ）
A.?充分而不必要条件??B.?必要而不充分条件???C.?充分必要条件???D.?既不充分也不必要条件
二、填空题
6.（2018?江苏）在平面直角坐标系 中， 为直线 上在第一象限内的点， 以 为直径的圆 与直线 交于另一点 ，若 ,则点 的横坐标为________
7.（2018?卷Ⅲ）已知向量 ， ， ，若 ，则 ________。
8.（2018?卷Ⅲ）已知 ， ， ，若 ，则 ________。
9.（2018?卷Ⅲ）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点．若 ，则 ________．
10.（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且| |=2，则 · 的最小值为________
11.（2018?北京）设向量a=（1,0），b=（-1,m）,若a⊥（ma-b），则m=________.
1．向量的基本概念
(1)既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0.
(3)长度等于1的向量叫单位向量．
(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．
(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
3．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
4．两向量的夹角
已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角．
5．向量的坐标表示及运算
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
6．平面向量共线的坐标表示
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线．
7．平面向量的数量积
设θ为a与b的夹角．
(1)定义：a·b＝|a||b|cosθ.
(2)投影：＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．
8．数量积的性质
(1)a⊥b?a·b＝0；
(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2
(3)|a·b|≤|a|·|b|；
(4)cosθ＝.
9．数量积的坐标表示、模、夹角
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)|a|＝；
(3)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0；
(4)cosθ＝.
注意
1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．
2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．
3．a在b方向上的投影为，而不是.
4．若a与b都是非零向量，则λa＋μb＝0?a与b共线，若a与b不共线，则λa＋μb＝0?λ＝μ＝0.
考点一：平面向量的概念及运算
例1：（1）（2017?新课标Ⅰ卷）已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若向量 + 与 垂直，则m=________．
【解析】解：∵向量 =（﹣1，2）， =（m，1）， ∴ =（﹣1+m，3）， ∵向量 + 与 垂直， ∴（ ）? =（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0， 解得m=7． 故答案为：7．
【答案】7
（2）（2017?浙江）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是________，最大值是________．
【解析】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图， 由余弦定理可得： | + |= ， | ﹣ |= ， 令x= ，y= ， 则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图， 令z=x+y，则y=﹣x+z， 则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4， 当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大， 由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的 倍， 也就是圆弧MN所在圆的半径的 倍， 所以zmax= × = ． 综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是 ． 故答案为：4、 ．
【答案】4；
考点二：平面向量数量积的计算与应用
例2：（2017?北京卷）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则 ? 的最大值为________．
【解析】解：设P（cosα，sinα）. =（2，0）， =（cosα+2，sinα）． 则 ? =2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号． 故答案为：6．
【答案】6
考点三：平面向量的综合应用
例3：（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
【解析】解：根据题意，设P（x0 ， y0），则有x02+y02=50， =（﹣12﹣x0 ， ﹣y0）?（﹣x0 ， 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20， 化为：12x0+6y0+30≤0， 即2x0+y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域， 联立 ，解可得x0=﹣5或x0=1， 结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5 ，1]， 故答案为：[﹣5 ，1]．
【答案】[-5 ，1]
一、选择题
1.（2017?新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 =λ +μ ，则λ+μ的最大值为（??? ）
A.?3??????????????????????????????B.?2 ??????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2
2.（2017?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1= ? ，I2= ? ，I3= ? ，则（??? ）
A.?I1＜I2＜I3???????????????????B.?I1＜I3＜I2?????????????????????C.?I3＜I1＜I2??????????????????????????D.?I2＜I1＜I3
3.（2017?北京卷）设 ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 ? ＜0”的（ ）
A.?充分而不必要条件B.?必要而不充分条件????C.?充分必要条件???D.?既不充分也不必要条件
4.（2017?新课标Ⅱ）设非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |则（??? ）
A.?⊥ ??????????????????B.?| |=| |???????????????????????C.?∥ ????????????????????????????D.?| |＞| |
5.（2017?新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 ?（ + ）的最小值是（??? ）
A.?﹣2???????????????????????????B.?﹣ ???????????????????????????????C.?﹣ ?????????????????????????????????????D.?﹣1
二、填空题
6.（2017?天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．
7.（2017?山东）已知 ， ?是互相垂直的单位向量，若 ﹣ ? 与 +λ 的夹角为60°，则实数λ的值是________．
8.（2017?新课标Ⅲ）已知向量 =（﹣2，3）， =（3，m），且 ，则m=________． 9.（2017·天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．
10.（2017·山东）已知向量 =（2，6）， =（﹣1，λ），若 ，则λ=________．
11.（2017?江苏）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ， 与 的夹角为α，且tanα=7， 与 的夹角为45°．若 =m +n （m，n∈R），则m+n=________．
12.（2017?新课标Ⅰ卷）已知向量 ， 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=________．
三、解答题
13.（2018?卷Ⅲ）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为
（1）证明:
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明:
14.（2017·山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3， =﹣6，S△ABC=3，求A和a．
15.（2017?浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣ ， ），B（ ， ），抛物线上的点P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值．
16.（2017?江苏）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ），x∈[0，π]． （Ⅰ）若 ∥ ，求x的值； （Ⅱ）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
17.（2017?新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ． （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 ? =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
专题五 平面向量（解析版）
考 点
考纲要求
考情分析
1.平面向量的实际背景及基本概念
①了解向量的实际背景。
②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
③理解向量的几何表示。
1．高频考点：①向量加法、减法的运算②向量线性运算③平面向量的基本定理及坐标运算④平面向量的数量积⑤正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现
2．特别关注：以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查向量计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力．
2.向量的线性运算
①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
③了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3.平面向量的基本定理及坐标表示
①了解平面向量的基本定理及其意义。
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4.平面向量的数量积
①理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
②了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系。
5.向量的应用
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）在 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 (? )
A.????????????B.??????????????C.?????????????D.?
【解析】解： = , 故答案为：A。
【答案】A
2.（2018?浙江）已知a ， b ， e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为 ，向量b满足b2?4e·b+3=0，则|a?b|的最小值是（ ??）
A.??1?????????????????????????B.?+1????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????D.?2?
【解析】详解：设 ， 则由 得 ， 由 得 因此 的最小值为圆心 到直线 的距离 减去半径1，为 故答案为：A.
【答案】A
3.（2018?天津）在如图的平面图形中，已知 , 则 的值为（ ??）
A. B.? C. D.0
【解析】解： 故答案为：C
【答案】C
4.（2018?卷Ⅱ）已知向量，满足=1, ?=?1 ，则·(2-)=（??? ）
A.4 B.3 C.2 D.0
【解析】 .故答案为：B
【答案】B
5.（2018?北京）设a,b均为单位向量，则“ ”是“a ”的（?? ）
A.?充分而不必要条件??B.?必要而不充分条件???C.?充分必要条件???D.?既不充分也不必要条件
【解析】解： ， ， 又 ， ∴ 。 故答案为：C。
【答案】C
二、填空题
6.（2018?江苏）在平面直角坐标系 中， 为直线 上在第一象限内的点， 以 为直径的圆 与直线 交于另一点 ，若 ,则点 的横坐标为________
【解析】解： 又C为AB中点，∴ 设l的倾斜角为 ，
【答案】3
7.（2018?卷Ⅲ）已知向量 ， ， ，若 ，则 ________。
【解析】解：因为 又 所以
【答案】
8.（2018?卷Ⅲ）已知 ， ， ，若 ，则 ________。
【解析】解：因为 又 所以
【答案】
9.（2018?卷Ⅲ）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点．若 ，则 ________．
【解析】设 设 所以 又 所以
【答案】2
10.（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且| |=2，则 · 的最小值为________
【解析】设E(0，y1)，F(0，y2)，又A（-1，0），B（2，0）， 所以 =(1，y1)， =(-2，y2) =y1 y2-2? ① 又| |=2， 故（y1-y2）2=4 又 ≥ ，当 时等号不成立。 故假设 代入①， · =
【答案】-3
11.（2018?北京）设向量a=（1,0），b=（-1,m）,若a⊥（ma-b），则m=________.
【解析】解：m - =（m+1,-m）, =(1,0), ∴m+1=0 m=-1.
【答案】-1
1．向量的基本概念
(1)既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0.
(3)长度等于1的向量叫单位向量．
(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．
(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
3．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
4．两向量的夹角
已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角．
5．向量的坐标表示及运算
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
6．平面向量共线的坐标表示
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线．
7．平面向量的数量积
设θ为a与b的夹角．
(1)定义：a·b＝|a||b|cosθ.
(2)投影：＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．
8．数量积的性质
(1)a⊥b?a·b＝0；
(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2
(3)|a·b|≤|a|·|b|；
(4)cosθ＝.
9．数量积的坐标表示、模、夹角
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)|a|＝；
(3)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0；
(4)cosθ＝.
注意
1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．
2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．
3．a在b方向上的投影为，而不是.
4．若a与b都是非零向量，则λa＋μb＝0?a与b共线，若a与b不共线，则λa＋μb＝0?λ＝μ＝0.
考点一：平面向量的概念及运算
例1：（1）（2017?新课标Ⅰ卷）已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若向量 + 与 垂直，则m=________．
【解析】解：∵向量 =（﹣1，2）， =（m，1）， ∴ =（﹣1+m，3）， ∵向量 + 与 垂直， ∴（ ）? =（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0， 解得m=7． 故答案为：7．
【答案】7
（2）（2017?浙江）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是________，最大值是________．
【解析】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图， 由余弦定理可得： | + |= ， | ﹣ |= ， 令x= ，y= ， 则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图， 令z=x+y，则y=﹣x+z， 则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4， 当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大， 由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的 倍， 也就是圆弧MN所在圆的半径的 倍， 所以zmax= × = ． 综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是 ． 故答案为：4、 ．
【答案】4；
考点二：平面向量数量积的计算与应用
例2：（2017?北京卷）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则 ? 的最大值为________．
【解析】解：设P（cosα，sinα）. =（2，0）， =（cosα+2，sinα）． 则 ? =2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号． 故答案为：6．
【答案】6
考点三：平面向量的综合应用
例3：（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
【解析】解：根据题意，设P（x0 ， y0），则有x02+y02=50， =（﹣12﹣x0 ， ﹣y0）?（﹣x0 ， 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20， 化为：12x0+6y0+30≤0， 即2x0+y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域， 联立 ，解可得x0=﹣5或x0=1， 结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5 ，1]， 故答案为：[﹣5 ，1]．
【答案】[-5 ，1]
一、选择题
1.（2017?新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 =λ +μ ，则λ+μ的最大值为（??? ）
A.?3??????????????????????????????B.?2 ??????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2
【解析】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系， 则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2）， ∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上， 设圆的半径为r， ∵BC=2，CD=1， ∴BD= = ∴ BC?CD= BD?r， ∴r= ， ∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ， 设点P的坐标为（ cosθ+1， sinθ+2）， ∵ =λ +μ ， ∴（ cosθ+1， sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴ cosθ+1=λ， sinθ+2=2μ， ∴λ+μ= cosθ+ sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3， 故λ+μ的最大值为3， 故选：A
【答案】A
2.（2017?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1= ? ，I2= ? ，I3= ? ，则（??? ）
A.?I1＜I2＜I3???????????????????B.?I1＜I3＜I2?????????????????????C.?I3＜I1＜I2??????????????????????????D.?I2＜I1＜I3
【解析】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3， ∴AC=2 ， ∴∠AOB=∠COD＞90°， 由图象知OA＜OC，OB＜OD， ∴0＞ ? ＞ ? ， ? ＞0， 即I3＜I1＜I2 ， 故选：C．
【答案】C
3.（2017?北京卷）设 ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 ? ＜0”的（ ）
A.?充分而不必要条件B.?必要而不充分条件????C.?充分必要条件???D.?既不充分也不必要条件
【解析】解： ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 ? ＜0． 反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 ? ＜0，而 =λ 不成立． ∴ ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 ? ＜0”的充分不必要条件． 故选：A．
【答案】A
4.（2017?新课标Ⅱ）设非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |则（??? ）
A.?⊥ ??????????????????B.?| |=| |???????????????????????C.?∥ ????????????????????????????D.?| |＞| |
【解析】解：∵非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |， ∴ ， 解得 =0， ∴ ． 故选：A．
【答案】A
5.（2017?新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 ?（ + ）的最小值是（??? ）
A.?﹣2???????????????????????????B.?﹣ ???????????????????????????????C.?﹣ ?????????????????????????????????????D.?﹣1
【解析】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点， 则A（0， ），B（﹣1，0），C（1，0）， 设P（x，y），则 =（﹣x， ﹣y）， =（﹣1﹣x，﹣y）， =（1﹣x，﹣y）， 则 ?（ + ）=2x2﹣2 y+2y2=2[x2+（y﹣ ）2﹣ ] ∴当x=0，y= 时，取得最小值2×（﹣ ）=﹣ ， 故选：B
【答案】B
二、填空题
6.（2017?天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．
【解析】解：如图所示， △ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2， =2 ， ∴ = + = + = + （ ﹣ ） = + ， 又 =λ ﹣ （λ∈R）， ∴ =（ + ）?（λ ﹣ ） =（ λ﹣ ） ? ﹣ + λ =（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4， ∴ λ=1， 解得λ= ． 故答案为： ．
【答案】
7.（2017?山东）已知 ， ?是互相垂直的单位向量，若 ﹣ ? 与 +λ 的夹角为60°，则实数λ的值是________．
【解析】解： ， ?是互相垂直的单位向量， ∴| |=| |=1，且 ? =0； 又 ﹣ ? 与 +λ 的夹角为60°， ∴（ ﹣ ）?（ +λ ）=| ﹣ |×| +λ |×cos60°， 即 +（ ﹣1） ? ﹣λ = × × ， 化简得 ﹣λ= × × ， 即 ﹣λ= ， 解得λ= ． 故答案为： ．
【答案】
8.（2017?新课标Ⅲ）已知向量 =（﹣2，3）， =（3，m），且 ，则m=________．
【解析】解：∵向量 =（﹣2，3）， =（3，m），且 ， ∴ =﹣6+3m=0， 解得m=2． 故答案为：2．
【答案】2
9.（2017·天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．
【解析】解：如图所示， △ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2， =2 ， ∴ = + = + = + （ ﹣ ） = + ， 又 =λ ﹣ （λ∈R）， ∴ =（ + ）?（λ ﹣ ） =（ λ﹣ ） ? ﹣ + λ =（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4， ∴ λ=1， 解得λ= ． 故答案为： ．
【答案】
10.（2017·山东）已知向量 =（2，6）， =（﹣1，λ），若 ，则λ=________．
【解析】解：∵ ，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3． 故答案为：﹣3．
【答案】﹣3
11.（2017?江苏）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ， 与 的夹角为α，且tanα=7， 与 的夹角为45°．若 =m +n （m，n∈R），则m+n=________．
【解析】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）． 由 与 的夹角为α，且tanα=7． ∴cosα= ，sinα= ． ∴C ． cos（α+45°）= （cosα﹣sinα）= ． sin（α+45°）= （sinα+cosα）= ． ∴B ． ∵ =m +n （m，n∈R）， ∴ =m﹣ n， =0+ n， 解得n= ，m= ． 则m+n=3． 故答案为：3．
【答案】3
12.（2017?新课标Ⅰ卷）已知向量 ， 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=________．
【解析】解：∵向量 ， 的夹角为60°，且| |=2，| |=1， ∴ = +4 ? +4 =22+4×2×1×cos60°+4×12 =12， ∴| +2 |=2 ． 故答案为：2 ．
【答案】
三、解答题
13.（2018?卷Ⅲ）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为
（1）证明:
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明:
【答案】（1）解：设 设A（x1,y1）B（x2,y2） 所以 又 所以 ????? 所以 （2）解：F（1,0） 所以P（1，-2m）在抛物线上 所以3+16m2=12 16m2=9 即 又 同理 所以 所以
14.（2017·山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3， =﹣6，S△ABC=3，求A和a．
【答案】解：由 =﹣6可得bccosA=﹣6，①， 由三角形的面积公式可得S△ABC= bcsinA=3，② ∴tanA=﹣1， ∵0＜A＜180°， ∴A=135°， ∴c= =2 ， 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29 ∴a=
15.（2017?浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣ ， ），B（ ， ），抛物线上的点P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ， 所以kAP= =x﹣ ∈（﹣1，1）， 故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）； （Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ， 所以 =（﹣ ﹣x， ﹣x2）， 设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+ k+ ，BP：y=﹣ x+ + ， 联立直线AP、BP方程可知Q（ ， ）， 故 =（ ， ）， 又因为 =（﹣1﹣k，﹣k2﹣k）， 故﹣|PA|?|PQ|= ? = + =（1+k）3（k﹣1）， 所以|PA|?|PQ|=（1+k）3（1﹣k）， 令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1， 则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1）， 由于当﹣1＜x＜﹣ 时f′（x）＞0，当 ＜x＜1时f′（x）＜0， 故f（x）max=f（ ）= ，即|PA|?|PQ|的最大值为 ．
16.（2017?江苏）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ），x∈[0，π]． （Ⅰ）若 ∥ ，求x的值； （Ⅱ）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
【答案】解：（Ⅰ）∵ =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ）， ∥ ， ∴﹣ cosx+3sinx=0， ∴tanx= ， ∵x∈[0，π]， ∴x= ， （Ⅱ）f（x）= =3cosx﹣ sinx=2 （ cosx﹣ sinx）=2 cos（x+ ）， ∵x∈[0，π]， ∴x+ ∈[ ， ]， ∴﹣1≤cos（x+ ）≤ ， 当x=0时，f（x）有最大值，最大值3， 当x= 时，f（x）有最小值，最大值﹣2
17.（2017?新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ． （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 ? =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【答案】解：（Ⅰ）设M（x0 ， y0），由题意可得N（x0 ， 0）， 设P（x，y），由点P满足 = ． 可得（x﹣x0 ， y）= （0，y0）， 可得x﹣x0=0，y= y0 ， 即有x0=x，y0= ， 代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1， 即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2； （Ⅱ）证明：设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π）， ? =1，可得（ cosα， sinα）?（﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1， 即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1， 解得m= ， 即有Q（﹣3， ）， 椭圆 +y2=1的左焦点F（﹣1，0）， 由kOQ=﹣ ， kPF= ， 由kOQ?kPF=﹣1， 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
