专题六 不等式与线性规划（原卷版）
考 点
考纲要求
考情分析
1.不等关系
了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.
1．高频考点：与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是
2．．特别关注：理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．
2.一元二次不等式
(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
(3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
3.二元一次不等式组与简单线性规划问题
(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
(2)了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.
(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.
4.基本不等式
基本不等式： (a≥0,b≥0)
(1)了解基本不等式的证明过程.
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
一、单选题
1.（2018?天津）设变量x ， y满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ??）
A.?6???????????????????????????????B.?19?????????????????????????????????????????C.?21?????????????????????????????????????????D.?45
2.（2018?卷Ⅲ）已知集合 ，则 （ ??）
A.??????????????????????????????B.???????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
二、填空题
3.（2018?北京）若x,y满足x+1 ,则2y - x的最小值是________
4.（2018?卷Ⅰ）若 ， 满足约束条件 则 的最大值为________.
5.（2018?浙江）若 满足约束条件 则 的最小值是________，最大值是________．
6.（2018?卷Ⅱ）若x,y满足约束条件 ，则 的最大值为________.
7（2018?卷Ⅲ）若变量 满足约束条件 ，则 的最大值是________。
8.（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且| |=2，则 · 的最小值为________
9.（2018?上海）已知实数x?、x?、y?、y?满足： ， ， ，则 + 的最大值为________
1.熟记比较实数大小的依据与基本方法．
①作差(商)法；
②利用函数的单调性．
2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质
(1)乘法法则
a>b，c>0?ac>bc；
a>b，c<0?ac(2)同向可加性
a>b，c>d?a＋c>b＋d；
(3)同向可乘性
a>b>0，c>d>0?ac>bd
(4)乘方法则
a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)
3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值．
4．牢记常见类型不等式的解法．
(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．
(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．
(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．
5．简单线性规划
(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．
(2)简单的线性规划问题
解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．
考点一：不等式性质及解不等式
例1：（2017?山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A.?a+ ＜ ＜log2（a+b））???????????????????????????B.?＜log2（a+b）＜a+ C.?a+ ＜log2（a+b）＜ ???????????????????????????????D.?log2（a+b））＜a+ ＜
【解析】解：∵a＞b＞0，且ab=1， ∴可取a=2，b= ． 则 = ， = = ，log2（a+b）= = ∈（1，2）， ∴ ＜log2（a+b）＜a+ ． 故选：B．
【答案】B
考点二：基本不等式及应用
例2：（2017·天津）若a，b∈R，ab＞0，则 的最小值为________．
【解析】解：a，b∈R，ab＞0， ∴ ≥ = =4ab+ ≥2 =4， 当且仅当 ， 即 ， 即a= ，b= 或a=﹣ ，b=﹣ 时取“=”； ∴上式的最小值为4． 故答案为：4．
【答案】4
考点三：求线性规划中线性目标函数的最值
例3：（2017?新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最小值是（??? ）
A.?﹣15??????????????????????B.?﹣9??????????????????????????C.?1???????????????????????????????D.?9
【解析】解：x、y满足约束条件 的可行域如图： z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值， 由 解得A（﹣6，﹣3）， 则z=2x+y 的最小值是：﹣15． 故选：A．
【答案】A
考点四：线性规划的非线性目标函数的最值
例4：若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为________．
【解析】作出可行域如图所示， 设 ，则 表示可行域内的点 与原点 的距离的平方．由图知 ，所以 ． 故答案为：2.
【答案】2
一、选择题
1.（2017?山东）已知命题p：?x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2 ， 下列命题为真命题的是（ ）
A.?p∧q???????????????????????????B.?p∧￢q?????????????????????C.?￢p∧q???????????????????????D.?￢p∧￢q
2.（2017?山东）已知x，y满足约束条件 ，则z=x+2y的最大值是（ ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????????????C.?5?????????????????????????????????D.?6
3.（2017?山东）设函数y= 的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（ ）
A.?（1，2）??????????????????????????B.?（1，2]??????????????????C.?（﹣2，1）???????????????????D.?[﹣2，1）
4.（2017?新课标Ⅲ）设x，y满足约束条件 则z=x﹣y的取值范围是（ ）
A.?[﹣3，0]??????????????????????????????B.?[﹣3，2]???????????????????C.?[0，2]??????????????????D.?[0，3]
5.（2017·天津）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=x+y的最大值为（ ）
A.?????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?3
6.（2017·山东）已知x，y满足约束条件 则z=x+2y的最大值是（ ）
A.?﹣3????????????????????????????????B.?﹣1???????????????????????????????C.?1?????????????????????????????D.?3
7.（2017?浙江）若x、y满足约束条件 ，则z=x+2y的取值范围是（??? ）
A.?[0，6]?????????????????????????????B.?[0，4]?????????????????????????????C.?[6，+∞）?????????????????????????????D.?[4，+∞）
8.（2017?北京卷）若x，y满足 ，则x+2y的最大值为（ ）
A.?1??????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????C.?5??????????????????????????????????D.?9
9.（2017?新课标Ⅰ卷）设x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为（ ）
A.?0????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????D.?3
10.若实数 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是（?? ）
A.????????????????????????????B.???????????????????????????C.??????????????????????D.?
11.已知变量x、y满足约束条件 ，且z=x+2y的最小值为3，则 ≥ 的概率是（?? ）
A.?????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????D.?
二、填空题
12.（2017?上海）不等式 ＞1的解集为________．
13.（2017?天津）若a，b∈R，ab＞0，则 的最小值为________．
14.（2017?新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件 ，则z=3x﹣4y的最小值为________
15.（2017·山东）若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为________．
16.（2017?新课标Ⅰ卷）设x，y满足约束条件 ，则z=3x﹣2y的最小值为________．
专题六 不等式与线性规划（解析版）
考 点
考纲要求
考情分析
1.不等关系
了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.
1．高频考点：与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是
2．．特别关注：理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．
2.一元二次不等式
(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
(3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
3.二元一次不等式组与简单线性规划问题
(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
(2)了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.
(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.
4.基本不等式
基本不等式： (a≥0,b≥0)
(1)了解基本不等式的证明过程.
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
一、单选题
1.（2018?天津）设变量x ， y满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ??）
A.?6???????????????????????????????B.?19?????????????????????????????????????????C.?21?????????????????????????????????????????D.?45
【解析】解:将 平移至-x+y=1与x+y=5的交点（2,3）时， 故答案为：C
【答案】C
2.（2018?卷Ⅲ）已知集合 ，则 （ ??）
A.??????????????????????????????B.???????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
【解析】解: ?B= 所以 故答案为：C
【答案】C
二、填空题
3.（2018?北京）若x,y满足x+1 ,则2y - x的最小值是________
【解析】解：目标函数Z=2y-x过点A时，Z有最小值， 又 ， ∴ 。 故答案为：3
【答案】3
4.（2018?卷Ⅰ）若 ， 满足约束条件 则 的最大值为________.
【解析】解：z=3x+2y,过点A（2,0）时，zmax=3 2+2 0=6.
【答案】6
5.（2018?浙江）若 满足约束条件 则 的最小值是________，最大值是________．
【解析】详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线 过点A(2,2)时 取最大值8，过点B(4,-2)时 取最小值-2.
【答案】6
6.（2018?卷Ⅱ）若x,y满足约束条件 ，则 的最大值为________.
【解析】依题意：画出可行域 当z=x+y，过点A（5,4）时，z有最大值zmax=9 故答案为：9
【答案】9
7（2018?卷Ⅲ）若变量 满足约束条件 ，则 的最大值是________。
【解析】 经过图中直线 , Zmax=2+=3
【答案】3
8.（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且| |=2，则 · 的最小值为________
【解析】设E(0，y1)，F(0，y2)，又A（-1，0），B（2，0）， 所以 =(1，y1)， =(-2，y2) =y1 y2-2? ① 又| |=2， 故（y1-y2）2=4 又 ≥ ，当 时等号不成立。 故假设 代入①， · =
【答案】-3
9.（2018?上海）已知实数x?、x?、y?、y?满足： ， ， ，则 + 的最大值为________
【解析】设A(x1 ， y1)，B(x2 ， y2)， 故有x2+y2=1，使A，B在圆上， 又x1x2+y1y2= ，得出 ， 故 ， 构造直线x+y-1=0，故 变为A、B两点到直线x+y-1=0距离和最大值。特殊位置取最值，当AB平行l直线时取最值，又三角形ABO为等边三角形，故 ， 又 ， 故 最大值为 。
答案】
1.熟记比较实数大小的依据与基本方法．
①作差(商)法；
②利用函数的单调性．
2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质
(1)乘法法则
a>b，c>0?ac>bc；
a>b，c<0?ac(2)同向可加性
a>b，c>d?a＋c>b＋d；
(3)同向可乘性
a>b>0，c>d>0?ac>bd
(4)乘方法则
a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)
3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值．
4．牢记常见类型不等式的解法．
(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．
(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．
(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．
5．简单线性规划
(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．
(2)简单的线性规划问题
解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．
考点一：不等式性质及解不等式
例1：（2017?山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A.?a+ ＜ ＜log2（a+b））???????????????????????????B.?＜log2（a+b）＜a+ C.?a+ ＜log2（a+b）＜ ???????????????????????????????D.?log2（a+b））＜a+ ＜
【解析】解：∵a＞b＞0，且ab=1， ∴可取a=2，b= ． 则 = ， = = ，log2（a+b）= = ∈（1，2）， ∴ ＜log2（a+b）＜a+ ． 故选：B．
【答案】B
考点二：基本不等式及应用
例2：（2017·天津）若a，b∈R，ab＞0，则 的最小值为________．
【解析】解：a，b∈R，ab＞0， ∴ ≥ = =4ab+ ≥2 =4， 当且仅当 ， 即 ， 即a= ，b= 或a=﹣ ，b=﹣ 时取“=”； ∴上式的最小值为4． 故答案为：4．
【答案】4
考点三：求线性规划中线性目标函数的最值
例3：（2017?新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最小值是（??? ）
A.?﹣15??????????????????????B.?﹣9??????????????????????????C.?1???????????????????????????????D.?9
【解析】解：x、y满足约束条件 的可行域如图： z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值， 由 解得A（﹣6，﹣3）， 则z=2x+y 的最小值是：﹣15． 故选：A．
【答案】A
考点四：线性规划的非线性目标函数的最值
例4：若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为________．
【解析】作出可行域如图所示， 设 ，则 表示可行域内的点 与原点 的距离的平方．由图知 ，所以 ． 故答案为：2.
【答案】2
一、选择题
1.（2017?山东）已知命题p：?x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2 ， 下列命题为真命题的是（ ）
A.?p∧q???????????????????????????B.?p∧￢q?????????????????????C.?￢p∧q???????????????????????D.?￢p∧￢q
【解析】解：命题p：?x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题； 取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2 ， 则命题q是假命题，则￢q是真命题． ∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题． 故选B．
【答案】B
2.（2017?山东）已知x，y满足约束条件 ，则z=x+2y的最大值是（ ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????????????C.?5?????????????????????????????????D.?6
【解析】解：画出约束条件 表示的平面区域，如图所示； 由 解得A（﹣3，4）， 此时直线y=﹣ x+ z在y轴上的截距最大， 所以目标函数z=x+2y的最大值为 zmax=﹣3+2×4=5． 故选：C．
【答案】C
3.（2017?山东）设函数y= 的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（ ）
A.?（1，2）??????????????????????????B.?（1，2]??????????????????C.?（﹣2，1）???????????????????D.?[﹣2，1）
【解析】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y= 的定义域[﹣2，2]， 由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1）， 则A∩B=[﹣2，1）， 故选D．
【答案】D
4.（2017?新课标Ⅲ）设x，y满足约束条件 则z=x﹣y的取值范围是（ ）
A.?[﹣3，0]??????????????????????????????B.?[﹣3，2]???????????????????C.?[0，2]??????????????????D.?[0，3]
【解析】解：x，y满足约束条件 的可行域如图： 目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值， 由 解得A（0，3）， 由 解得B（2，0）， 目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3， 目标函数的取值范围：[﹣3，2]． 故选：B．
【答案】B
5.（2017·天津）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=x+y的最大值为（ ）
A.?????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?3
【解析】解：变量x，y满足约束条件 的可行域如图： 目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值， 由 可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3． 故选：D．
【答案】D
6.（2017·山东）已知x，y满足约束条件 则z=x+2y的最大值是（ ）
A.?﹣3????????????????????????????????B.?﹣1???????????????????????????????C.?1?????????????????????????????D.?3
【解析】解：x，y满足约束条件 的可行域如图： 目标函数z=x+2y经过可行域的A时，目标函数取得最大值， 由： 解得A（﹣1，2）， 目标函数的最大值为：﹣1+2×2=3． 故选：D．
【答案】D
7.（2017?浙江）若x、y满足约束条件 ，则z=x+2y的取值范围是（??? ）
A.?[0，6]?????????????????????????????B.?[0，4]?????????????????????????????C.?[6，+∞）?????????????????????????????D.?[4，+∞）
【解析】解：x、y满足约束条件 ，化简得 表示的可行域如图： 由图可知，该可行域为以开放区域，目标函数z=x+2y经过点（2，1）时，函数取得最小值，最小值为4，无最大值， 所以目标函数的范围是[4，+∞）． 故选：D．
【答案】D
8.（2017?北京卷）若x，y满足 ，则x+2y的最大值为（ ）
A.?1??????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????C.?5??????????????????????????????????D.?9
【解析】解：x，y满足 的可行域如图： 由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由 ，可得A（3，3）， 目标函数的最大值为：3+2×3=9． 故选：D．
【答案】D
9.（2017?新课标Ⅰ卷）设x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为（ ）
A.?0????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????D.?3
【解析】解：x，y满足约束条件 的可行域如图： ， 则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值， 由 解得A（3，0）， 所以z=x+y 的最大值为：3． 故选：D．
【答案】D
10.若实数 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是（?? ）
A.????????????????????????????B.???????????????????????????C.??????????????????????D.?
【解析】由约束条件作出可行域，如图 ，易得 ， 即 故答案为：
【答案】A
11.已知变量x、y满足约束条件 ，且z=x+2y的最小值为3，则 ≥ 的概率是（?? ）
A.?????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????D.?
【解析】解：由变量x、y满足约束条件 画出可行域如图， 由z=x+2y的最小值为3，在y轴上的截距最小． 由图可知，直线得z=x+2y过A点时满足题意． 联立 ，解得A（3，0）．A在直线x=a上，可得a=3． 则 ≥ 的几何意义是可行域内的点与Q（﹣1，0）连线的斜率超过 ， 由图形可知：直线x=3与直线x﹣2y+1=0的交点为：（3，2）， 直线x﹣2y+3=0与x=3的交点（3，3）， ∴则 ＜ 的概率： = ， 则 ≥ 的概率是：1﹣ = ． 故选：D．
【答案】D
二、填空题
12.（2017?上海）不等式 ＞1的解集为________．
【解析】解：由 ＞1得： ， 故不等式的解集为：（﹣∞，0）， 故答案为：（﹣∞，0）．
【答案】（﹣∞，0）
13.（2017?天津）若a，b∈R，ab＞0，则 的最小值为________．
【解析】解：a，b∈R，ab＞0， ∴ ≥ = =4ab+ ≥2 =4， 当且仅当 ， 即 ， 即a= ，b= 或a=﹣ ，b=﹣ 时取“=”； ∴上式的最小值为4． 故答案为：4．
【答案】4
14.（2017?新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件 ，则z=3x﹣4y的最小值为________
【解析】解：由z=3x﹣4y，得y= x﹣ ，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线y= x﹣ ，通过平移可知当直线y= x﹣ ， 经过点B（1，1）时，直线y= x﹣ 在y轴上的截距最大，此时z取得最小值， 将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1， 即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1
【答案】﹣1
15.（2017·山东）若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为________．
【解析】解：直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则 + =1， 由2a+b=（2a+b）×（ + ）=2+ + +2=4+ + ≥4+2 =4+4=8， 当且仅当 = ，即a= ，b=1时，取等号， ∴2a+b的最小值为8， 故答案为：8．
【答案】8
16.（2017?新课标Ⅰ卷）设x，y满足约束条件 ，则z=3x﹣2y的最小值为________．
【解析】解：由x，y满足约束条件 作出可行域如图， 由图可知，目标函数的最优解为A， 联立 ，解得A（﹣1，1）． ∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5． 故答案为：﹣5．
【答案】-5
