专题七 计数原理、程序框图、概率与统计（原卷版）
考 点
考纲要求
考情分析
1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理
(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
1．高频考点：排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易.
2．特别关注：①排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想.②与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想.
2.排列与组合
(1)理解排列、组合的概念.
(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
(3)能解决简单的实际问题.
3.二项式定理
(1)能用计数原理证明二项式定理.
(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
4.算法的含义、程序框图
(1)了解算法的含义,了解算法的思想.
(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.
1．高频考点：算法的基本逻辑结构，
2．特别关注：会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题
5.基本算法语句
理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
6.事件与概率
(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.
(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.
1.高频考点：①考查抽样方法，样本的数字特征和回归分析，独立性检验的基本思路、方法及相关计算与推断．②以客观题形式考查古典概型与几何概型、互斥事件与对立事件的概率计算．
③与统计结合在大题中考查古典概型与几何概型．
2．特别关注：本部分较少命制大题，若在大题中考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习．
7.古典概型
(1)理解古典概型及其概率计算公式.
(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
8.随机数与几何概型
(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.
(2)了解几何概型的意义.
9.随机抽样
(1)理解随机抽样的必要性和重要性.
(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.
10.用样本估计总体
(1)了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点.
(2)理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差.
(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释.
(4)会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.
(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
11变量的相关性
(1)会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.
(2)了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
12.概率
（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.
(3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.
(4)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.
(5)利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
13.统计案例
了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题.
(1)独立性检验了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.
(2)回归分析
了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（?? ）
A.?新农村建设后，种植收入减少??????????????
B.?新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.?新农村建设后，养殖收入增加了一倍????????
D.?新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
2.（2018?卷Ⅰ）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为 ,则（?? ）
A.??????????????????????B.????????????????????????C.???????????????????????D.?
3.（2018?浙江）设0
ξ
0
1
2
P
则当p在（0，1）内增大时，（ ??）
A.?D（ξ）减小?????????B.?D（ξ）增大????C.?D（ξ）先减小后增大?????D.?D（ξ）先增大后减小
4.（2018?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（ ??）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.（2018?卷Ⅱ）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（?? ）
A.?0.6??????????????????????????????B.?0.5????????????????????????????C.?0.4????????????????????????????????????????D.?0.3
6.（2018?卷Ⅱ）为计算 ,设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（?? ）
A.i=i+1 B.i=i+2 C.i=i+3 D.i=i+4
7.（2018?卷Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是(?? )
A. B. C. D.
8.（2018?卷Ⅲ）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ??）
A.?0.3????????????????????????B.?0.4??????????????????????????????C.?0.6???????????????????????????????D.?0.7
9.（2018?卷Ⅲ）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则 （??? ）
A.?0.7??????????????????????????B.?0.6???????????????????????????????C.?0.4??????????????????????????????D.?0.3
10.（2018?卷Ⅲ） 的展开式中x4的系数为（ ??）
A.?10???????????????????????????????????????B.?20???????????????????????????????????C.?40????????????????????????????????D.?80
二、填空题
11.（2018?卷Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)
1．两个重要公式
(1)排列数公式
A＝＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
(n，m∈N*，且m≤n)．
(2)组合数公式
C＝＝
(n，m∈N*，且m≤n)．
2．三个重要性质和定理
(1)组合数性质
①C＝(n，m∈N*，且m≤n)；
②C＝(n，m∈N*，且m≤n)；
③C＝1.
(2)二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－k·bk＋…＋Cbn，其中通项Tr＋1＝Can－rbr.
(3)二项式系数的性质
①C＝C，C＝C，…，C＝C；
②C＋C＋C＋…＋C＝2n；
③C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
3.算法框图
(1)程序框图是由一些图框和带箭头的流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序．
图框有输入、输出框、处理框、判断框、起止框四种．
(2)三种基本的算法结构
①依次进行多个处理的结构称为顺序结构．
②先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构．
③需要重复执行同一操作的结构称为循环结构．
4.三种抽样方法的比较
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽取的概率相等
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
系统抽样
将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
分层抽样
将总体分成几层，分层进行抽取
分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
5.统计图表
(1)在频率分布直方图中：
①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝；
②各小矩形面积之和等于1；．
③中位数左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值
(2)茎叶图
当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．
当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)．
6．样本的数字特征
(1)众数
在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)．
(2)中位数
样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．
(3)平均数与方差
样本数据的平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)．
方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．
(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定．
7．变量间的相关关系
(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量x和y具有线性相关关系．
(2)用最小二乘法求回归直线的方程
设线性回归方程为＝x＋，则
，
是斜率，是y轴上的截距．正相关，负相关．
注意：回归直线一定经过样本的中心点(，)，据此性质可以解决有关的计算问题．
8．回归分析
相关系数
相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越高，|r|越接近于0，相关程度越低
9．独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
则K2＝，
若K2>3.841，则有95%的把握说两个事件有关；
若K2>6.635，则有99%的把握说两个事件有关；
若K2<2.706，则没有充分理由认为两个事件有关.
10.随机事件的概率
随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
11．古典概型
①计算一次试验中基本事件的总数n；
②求事件A包含的基本事件的个数m；
③利用公式P(A)＝计算．
12．一般地，如果事件A、B互斥，那么事件A＋B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
13．对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A和不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P()＝1－P(A)．
14．互斥事件与对立事件的关系
对立必互斥，互斥未必对立．
15．几何概型
一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点落在其内部区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝.
考点一：排列与组合
例1：（2016?江苏）（1）求 的值；
（2）设m ， nN* ， n≥m ， 求证： .
【解析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7 的值．（2）对任意m∈N* ， 当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C +（m+2）C +（m+3）C +…+nC +（n+1）C =（m+1）C ．
【答案】（1）解： （2）解：对任意的 ， ① 当 时，左边 ，右边 ，等式成立， ② 假设 时命题成立， ?? 即 ， ?? 当 时， ?? 左边= ?????? ， ?? 右边 ， ?? 而 ， ?? 因此 ， ?? 因此左边=右边， ?? 因此 时命题也成立， 综合①②可得命题对任意 均成立． 另解：因为 ，所以 左边 又由 ，知 ， 所以，左边 右边．
考点二：排列组合中的综合应用
例2：（2017·天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答）
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论： ①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可， 有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数； ②、四位数中只有一个偶数数字， 在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53?C41=40种取法， 将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序， 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数； 则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个； 故答案为：1080．
【答案】1080
考点三：二项展开式中项的系数
例3：（2017?新课标Ⅲ）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （??? ）
A.?﹣80????????????????????????????????B.?﹣40???????????????????????????????C.?40????????????????????????????????D.?80
【解析】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r x5﹣ryr ． 令5﹣r=2，r=3，解得r=3． 令5﹣r=3，r=2，解得r=2． ∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数= +23× =40． 故选：C．
【答案】C
考点四：二项展开式中的常数项
例4：（2018?浙江）二项式 的展开式的常数项是________．
【解析】详解：二项式 的展开式的通项公式为 , 令 得 ，故所求的常数项为
【答案】7
考点五：二项式定理的综合应用
例5：（2017?浙江）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ， 则a4=________，a5=________．
【解析】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ， （x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4， a4=3×4+1×4=16； a5=1×4=4． 故答案为：16；4．
【答案】16；4
考点六：程序框图
例6：（2018?北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【解析】解：k=1.S=1. S=1+(-1)1 =1- , k=2.S=1- + . k=3.S=1- + = , 故答案为：B.
【答案】B
考点七：事件与概率
例7：（2017?新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（??? ）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【解析】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件， ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= = ． 故选：D．
【答案】D
考点八：古典概型
例8：（2017?天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
A.???????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【解析】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫， 从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔， 基本事件总数n= =10， 取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m= =4， ∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p= = ． 故选：C．
【答案】C
考点九：随机数与几何概型
例9：（2017?新课标Ⅰ卷）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A.????????????????????????????????B.??????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
【解析】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2， 则黑色部分的面积S= ， 则对应概率P= = ， 故选：B
【答案】B
考点十：条件概率与相互独立事件的概率
例10：.同时抛掷三颗骰子一次，设A=“三个点数都不相同”，B=“至少有一个6点”则P（B|A）为（ ）
A.??????????????????????????B.???????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【解析】解：∵P（B|A）=， 同时抛掷三颗骰子一次，每颗骰子出现的点数有6种情况， 三颗骰子出现的点数组合有63种情况． 三个点数都不相同且至少有一个6点，则三颗骰子中只有一个6点，共×5×4=60种， ∴P（AB）= ∵A=“三个点数都不相同”，共有6×5×4=120种， ∴P（A）=， ∴P（B|A）= 故选A．
【答案】A
考点十一：正态分布
例11：设两个正态分布N(μ1 ， )(σ1＞0)和N(μ2 ， )(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有（?? ）
A.?μ1＜μ2 ， σ1＜σ2????? ???B.?μ1＜μ2 ， σ1＞σ2???????
C.?μ1＞μ2 ， σ1＜σ2????? ???D.?μ1＞μ2 ， σ1＞σ2
【解析】由密度函数的性质知对称轴表示期望，图象胖瘦决定方差，越瘦方差越小，越胖方差越大，所以μ1＜μ2 ， σ1＜σ2. 故答案为：A.
【答案】A
考点十二：离散型随机变量的分布列
例12：.已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为(?? )
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.?5??????????????????????????????????B.?6????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
【解析】解：根据分布列的性质得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.因为E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3，所以a=7.故答案为：C.
【答案】C
考点十三：均值与方差
例13：已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为（?? ）
A.???????????????????????B.????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【解析】设检测的机器的台数为x,则x的所有可能取值为2,3,4. ?? 所以 ， 所以所需的检测费用的均值为1000×3.5=3500. 故答案为：C.
【答案】C
考点十四：抽样方法
例14：已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取 的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为 ???
A.100，8 B.80，20 C.100，20 D.80，8
【解析】由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是 ，其中对四居室满意的人数为 ，故答案为：A。
【答案】A
考点十五：频率分布直方图与茎叶图
例15：手机给人们的生活带来便利的同时，也给青少年的成长带来不利的影响，有人沉迷于手机游戏无法自拔，严重影响了自己的学业，某学校随机抽取 个班，调查各班带手机来学校的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为 将数据分组成 ， ，…， ， 时，所作的频率分布直方图是（??? ）
?
A. B. C. D.
【解析】由茎叶图可知数据分别为： 3、7、10、13、14、14、16、17、20、22、23、24、25、25、27、30、33、34、35、38， 在 内有一个；在 内有两个；在 内有四个；在 内有两个；在 内有四个；在 内有三个；在 内有三个，在 内有两个，由此可知在 内的概率为 ；在 内的概率为 ；在 内的概率为 ；在 内的概率为 ；在 内的概率为 ；在 内的概率为 ；在 内的概率为 ；再根据频率除组距画出图像，由此可知，故答案为：A。
【答案】A
考点十六：变量间的相关关系及统计案例
例16：设某大学的女生体重 （单位： ）与身高 （单位： ）具有线性相关关系，根据一组样本数据 ，用最小二乘法建立的回归方程为 ，则下列结论中不正确的是（??? ）
A.?与 具有正的线性相关关系????????????????????????????
B.?回归直线过样本点的中心
C.?若该大学某女生身高增加 ，则其体重约增加 ??????????
D.?若该大学某女生身高为 ，则可断定其体重必为
【解析】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（ ， ），故正确；对于C，∵回归方程为 =0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时， =0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确；故答案为：D
【答案】D 。
一、填空题
1.（2018?浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
2.（2018?天津）在 的展开式中， 的系数为________
3.?（2018?江苏）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________.
4.（2018?江苏）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 的值为________.
5.（2018?江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率是________.
6.（2018?卷Ⅲ）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________。
7.（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为________。（结果用数值表示）
8.（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是________（结果用最简分数表示）
二、解答题
9.（2018?卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格的概率为品p（ ）,且各件产品是否为不合格品相互独立。
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 ，求 的最大值点
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用 (i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ； (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
10.（2018?卷Ⅰ）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0,0.1）
[0.1,0.2）
[0.2，,0.3
[0.3,0.4）
[0.4，0.5）
[0.5,0.6）
[0.6,0.7）
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0,0.1）
[0.1,0.2）
[0.2,0.3）
[0.3,0.4）
[0.4,0.5）
[0.5,0.6）
频数
1
5
13
10
16
5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图
（2）估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率
（3）估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
11.（2018?天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
12.（2018?天津）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ， B ， C ， D ， E ， F ， G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
13.（2018?卷Ⅱ）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 (单位：亿元)的折线图。 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量t的两个线性回归模型，根据2000年至2016年的数据（时间变量 的值依次为1,2，…，17）建立模型①：=-30.4+13.5t .根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2，…，7）建立模型②：
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。
14.（2018?卷Ⅲ）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项项目生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随即分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据2中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附： ，
15.（2018?北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 假设所有电影是否获得好评相互独立。 （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1,2,3,4,5,6）,写出方差 的大小关系。
专题七 计数原理、程序框图、概率与统计（解析版）
考 点
考纲要求
考情分析
1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理
(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
1．高频考点：排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易.
2．特别关注：①排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想.②与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想.
2.排列与组合
(1)理解排列、组合的概念.
(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
(3)能解决简单的实际问题.
3.二项式定理
(1)能用计数原理证明二项式定理.
(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
4.算法的含义、程序框图
(1)了解算法的含义,了解算法的思想.
(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.
1．高频考点：算法的基本逻辑结构，
2．特别关注：会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题
5.基本算法语句
理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
6.事件与概率
(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.
(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.
1.高频考点：①考查抽样方法，样本的数字特征和回归分析，独立性检验的基本思路、方法及相关计算与推断．②以客观题形式考查古典概型与几何概型、互斥事件与对立事件的概率计算．
③与统计结合在大题中考查古典概型与几何概型．
2．特别关注：本部分较少命制大题，若在大题中考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习．
7.古典概型
(1)理解古典概型及其概率计算公式.
(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
8.随机数与几何概型
(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.
(2)了解几何概型的意义.
9.随机抽样
(1)理解随机抽样的必要性和重要性.
(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.
10.用样本估计总体
(1)了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点.
(2)理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差.
(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释.
(4)会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.
(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
11变量的相关性
(1)会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.
(2)了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
12.概率
（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.
(3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.
(4)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.
(5)利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
13.统计案例
了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题.
(1)独立性检验了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.
(2)回归分析
了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（?? ）
A.?新农村建设后，种植收入减少??????????????
B.?新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.?新农村建设后，养殖收入增加了一倍????????
D.?新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【解析】解：经济增长一倍，A中种植收入应为2a 37%>a 60%,∴种植收入增加，则A错。 故答案为：A
【答案】A
2.（2018?卷Ⅰ）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为 ,则（?? ）
A.??????????????????????B.????????????????????????C.???????????????????????D.?
【解析】解：记三角形区域面积为S1 ， 黑色部分面积为S2 ， AB=a,AC=b,BC=c.则c2=a2+b2, ∴S1= ab,S2= . 即S1=S2, 故答案为：A.
【答案】A
3.（2018?浙江）设0ξ
0
1
2
P
则当p在（0，1）内增大时，（ ??）
A.?D（ξ）减小?????????B.?D（ξ）增大????C.?D（ξ）先减小后增大?????D.?D（ξ）先增大后减小
【解析】详解： ， ， ，∴ 先增后减, 故答案为：D.
【答案】D
4.（2018?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（ ??）
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】解：N=20，i=2，T=0.∴T=1,i=3,i＜5∴ ∴i=4,i＜5∴ ∴T=2，i=5≥5即T=2故答案为：B
【答案】B
5.（2018?卷Ⅱ）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（?? ）
A.?0.6??????????????????????????????B.?0.5????????????????????????????C.?0.4????????????????????????????????????????D.?0.3
【解析】记选中的2人都是女同学为事件A?? 则P(A)= 故答案为：D
【答案】B
6.（2018?卷Ⅱ）为计算 ,设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（?? ）
A.i=i+1 B.i=i+2 C.i=i+3 D.i=i+4
【解析】依题意：i=1时，N=0+ ，T=0+ i=2时，N=0+ + ，T= ，依次下去…∴i=i+2故答案为：B
【答案】B
7.（2018?卷Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是(?? )
A. B. C. D.
【解析】不超过30的素数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个记任取两数和为30为事件AP（A）= 故答案为：C
【答案】C
8.（2018?卷Ⅲ）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ??）
A.?0.3????????????????????????B.?0.4??????????????????????????????C.?0.6???????????????????????????????D.?0.7
【解析】解:p=1-0.45-0.15=0.4故答案为：B
【答案】B
9.（2018?卷Ⅲ）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则 （??? ）
A.?0.7??????????????????????????B.?0.6???????????????????????????????C.?0.4??????????????????????????????D.?0.3
【解析】由题意可知x服从二项分布 则 又 所以 =0.6 故答案为：B
【答案】B
10.（2018?卷Ⅲ） 的展开式中x4的系数为（ ??）
A.?10???????????????????????????????????????B.?20???????????????????????????????????C.?40????????????????????????????????D.?80
【解析】 通式 令10-3r=4 r=2?? 所以 的系数是 故答案为：C
【答案】C
二、填空题
11.（2018?卷Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)
【解析】没有女生入选有 种选法，从6名学生中任意选3人有 种选法， 故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20-4=16种， 故答案为：16.
【答案】16
1．两个重要公式
(1)排列数公式
A＝＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
(n，m∈N*，且m≤n)．
(2)组合数公式
C＝＝
(n，m∈N*，且m≤n)．
2．三个重要性质和定理
(1)组合数性质
①C＝(n，m∈N*，且m≤n)；
②C＝(n，m∈N*，且m≤n)；
③C＝1.
(2)二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－k·bk＋…＋Cbn，其中通项Tr＋1＝Can－rbr.
(3)二项式系数的性质
①C＝C，C＝C，…，C＝C；
②C＋C＋C＋…＋C＝2n；
③C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
3.算法框图
(1)程序框图是由一些图框和带箭头的流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序．
图框有输入、输出框、处理框、判断框、起止框四种．
(2)三种基本的算法结构
①依次进行多个处理的结构称为顺序结构．
②先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构．
③需要重复执行同一操作的结构称为循环结构．
4.三种抽样方法的比较
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽取的概率相等
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
系统抽样
将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
分层抽样
将总体分成几层，分层进行抽取
分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
5.统计图表
(1)在频率分布直方图中：
①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝；
②各小矩形面积之和等于1；．
③中位数左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值
(2)茎叶图
当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．
当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)．
6．样本的数字特征
(1)众数
在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)．
(2)中位数
样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．
(3)平均数与方差
样本数据的平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)．
方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．
(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定．
7．变量间的相关关系
(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量x和y具有线性相关关系．
(2)用最小二乘法求回归直线的方程
设线性回归方程为＝x＋，则
，
是斜率，是y轴上的截距．正相关，负相关．
注意：回归直线一定经过样本的中心点(，)，据此性质可以解决有关的计算问题．
8．回归分析
相关系数
相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越高，|r|越接近于0，相关程度越低
9．独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
则K2＝，
若K2>3.841，则有95%的把握说两个事件有关；
若K2>6.635，则有99%的把握说两个事件有关；
若K2<2.706，则没有充分理由认为两个事件有关.
10.随机事件的概率
随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
11．古典概型
①计算一次试验中基本事件的总数n；
②求事件A包含的基本事件的个数m；
③利用公式P(A)＝计算．
12．一般地，如果事件A、B互斥，那么事件A＋B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
13．对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A和不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P()＝1－P(A)．
14．互斥事件与对立事件的关系
对立必互斥，互斥未必对立．
15．几何概型
一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点落在其内部区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝.
考点一：排列与组合
例1：（2016?江苏）（1）求 的值；
（2）设m ， nN* ， n≥m ， 求证： .
【解析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7 的值．（2）对任意m∈N* ， 当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C +（m+2）C +（m+3）C +…+nC +（n+1）C =（m+1）C ．
【答案】（1）解： （2）解：对任意的 ， ① 当 时，左边 ，右边 ，等式成立， ② 假设 时命题成立， ?? 即 ， ?? 当 时， ?? 左边= ?????? ， ?? 右边 ， ?? 而 ， ?? 因此 ， ?? 因此左边=右边， ?? 因此 时命题也成立， 综合①②可得命题对任意 均成立． 另解：因为 ，所以 左边 又由 ，知 ， 所以，左边 右边．
考点二：排列组合中的综合应用
例2：（2017·天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答）
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论： ①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可， 有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数； ②、四位数中只有一个偶数数字， 在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53?C41=40种取法， 将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序， 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数； 则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个； 故答案为：1080．
【答案】1080
考点三：二项展开式中项的系数
例3：（2017?新课标Ⅲ）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （??? ）
A.?﹣80????????????????????????????????B.?﹣40???????????????????????????????C.?40????????????????????????????????D.?80
【解析】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r x5﹣ryr ． 令5﹣r=2，r=3，解得r=3． 令5﹣r=3，r=2，解得r=2． ∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数= +23× =40． 故选：C．
【答案】C
考点四：二项展开式中的常数项
例4：（2018?浙江）二项式 的展开式的常数项是________．
【解析】详解：二项式 的展开式的通项公式为 , 令 得 ，故所求的常数项为
【答案】7
考点五：二项式定理的综合应用
例5：（2017?浙江）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ， 则a4=________，a5=________．
【解析】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ， （x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4， a4=3×4+1×4=16； a5=1×4=4． 故答案为：16；4．
【答案】16；4
考点六：程序框图
例6：（2018?北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【解析】解：k=1.S=1. S=1+(-1)1 =1- , k=2.S=1- + . k=3.S=1- + = , 故答案为：B.
【答案】B
考点七：事件与概率
例7：（2017?新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（??? ）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【解析】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件， ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= = ． 故选：D．
【答案】D
考点八：古典概型
例8：（2017?天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
A.???????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【解析】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫， 从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔， 基本事件总数n= =10， 取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m= =4， ∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p= = ． 故选：C．
【答案】C
考点九：随机数与几何概型
例9：（2017?新课标Ⅰ卷）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A.????????????????????????????????B.??????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
【解析】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2， 则黑色部分的面积S= ， 则对应概率P= = ， 故选：B
【答案】B
考点十：条件概率与相互独立事件的概率
例10：.同时抛掷三颗骰子一次，设A=“三个点数都不相同”，B=“至少有一个6点”则P（B|A）为（ ）
A.??????????????????????????B.???????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【解析】解：∵P（B|A）=， 同时抛掷三颗骰子一次，每颗骰子出现的点数有6种情况， 三颗骰子出现的点数组合有63种情况． 三个点数都不相同且至少有一个6点，则三颗骰子中只有一个6点，共×5×4=60种， ∴P（AB）= ∵A=“三个点数都不相同”，共有6×5×4=120种， ∴P（A）=， ∴P（B|A）= 故选A．
【答案】A
考点十一：正态分布
例11：设两个正态分布N(μ1 ， )(σ1＞0)和N(μ2 ， )(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有（?? ）
A.?μ1＜μ2 ， σ1＜σ2????? ???B.?μ1＜μ2 ， σ1＞σ2???????
C.?μ1＞μ2 ， σ1＜σ2????? ???D.?μ1＞μ2 ， σ1＞σ2
【解析】由密度函数的性质知对称轴表示期望，图象胖瘦决定方差，越瘦方差越小，越胖方差越大，所以μ1＜μ2 ， σ1＜σ2. 故答案为：A.
【答案】A
考点十二：离散型随机变量的分布列
例12：.已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为(?? )
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.?5??????????????????????????????????B.?6????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
【解析】解：根据分布列的性质得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.因为E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3，所以a=7.故答案为：C.
【答案】C
考点十三：均值与方差
例13：已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为（?? ）
A.???????????????????????B.????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【解析】设检测的机器的台数为x,则x的所有可能取值为2,3,4. ?? 所以 ， 所以所需的检测费用的均值为1000×3.5=3500. 故答案为：C.
【答案】C
考点十四：抽样方法
例14：已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取 的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为 ???
A.100，8 B.80，20 C.100，20 D.80，8
【解析】由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是 ，其中对四居室满意的人数为 ，故答案为：A。
【答案】A
考点十五：频率分布直方图与茎叶图
例15：手机给人们的生活带来便利的同时，也给青少年的成长带来不利的影响，有人沉迷于手机游戏无法自拔，严重影响了自己的学业，某学校随机抽取 个班，调查各班带手机来学校的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为 将数据分组成 ， ，…， ， 时，所作的频率分布直方图是（??? ）
?
A. B. C. D.
【解析】由茎叶图可知数据分别为： 3、7、10、13、14、14、16、17、20、22、23、24、25、25、27、30、33、34、35、38， 在 内有一个；在 内有两个；在 内有四个；在 内有两个；在 内有四个；在 内有三个；在 内有三个，在 内有两个，由此可知在 内的概率为 ；在 内的概率为 ；在 内的概率为 ；在 内的概率为 ；在 内的概率为 ；在 内的概率为 ；在 内的概率为 ；再根据频率除组距画出图像，由此可知，故答案为：A。
【答案】A
考点十六：变量间的相关关系及统计案例
例16：设某大学的女生体重 （单位： ）与身高 （单位： ）具有线性相关关系，根据一组样本数据 ，用最小二乘法建立的回归方程为 ，则下列结论中不正确的是（??? ）
A.?与 具有正的线性相关关系????????????????????????????
B.?回归直线过样本点的中心
C.?若该大学某女生身高增加 ，则其体重约增加 ??????????
D.?若该大学某女生身高为 ，则可断定其体重必为
【解析】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（ ， ），故正确；对于C，∵回归方程为 =0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时， =0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确；故答案为：D
【答案】D 。
一、填空题
1.（2018?浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【解析】详解：若不取零，则排列数为 若取零，则排列数为 因此一共有 个没有重复数字的四位数.
【答案】1260
2.（2018?天津）在 的展开式中， 的系数为________
【解析】解：∵ 的通式为 ∴ 则
【答案】
3.?（2018?江苏）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________.
【解析】解：
【答案】90
4.（2018?江苏）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 的值为________.
【解析】解：i=1,s=1,i=3,s=2,i=5,s=4,i=7,s=8
【答案】8
5.（2018?江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率是________.
【解析】解：
【答案】
6.（2018?卷Ⅲ）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________。
【解析】客户的年龄有差异，总体是由很明显的差异构成
【答案】分层抽样
7.（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为________。（结果用数值表示）
【解析】（1+x）7中有Tr+1= ，故当r=2时， = =21
【答案】21
8.（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是________（结果用最简分数表示）
【解析】根据古典概率公式
【答案】
二、解答题
9.（2018?卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格的概率为品p（ ）,且各件产品是否为不合格品相互独立。
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 ，求 的最大值点
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用 (i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ； (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案】（1）解：20件产品中恰有2件不合格品的概率为 .因此 . 令 ，得 .当 时， ；当 时， . 所以 的最大值点为 . （2）解：由（1）知， . （i）令 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知 ， ，即 . 所以 . （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于 ，故应该对余下的产品作检验.
10.（2018?卷Ⅰ）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0,0.1）
[0.1,0.2）
[0.2，,0.3
[0.3,0.4）
[0.4，0.5）
[0.5,0.6）
[0.6,0.7）
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0,0.1）
[0.1,0.2）
[0.2,0.3）
[0.3,0.4）
[0.4,0.5）
[0.5,0.6）
频数
1
5
13
10
16
5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图
（2）估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率
（3）估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
【答案】（1）解： （2）解：（0.2+1.0+2.6+1） 0.1=0.48∴所用水量小于0.35的概率为0.48 （3）解：该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 ． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 ． 估计使用节水龙头后，一年可节省水 ．
11.（2018?天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
【答案】解：解：（Ⅰ）由已知甲乙丙三个部门员工人数之比为3:2:2，∴从甲乙丙三个部门中分别抽到3人，2人，2人 （Ⅱ）（i）随机变量 取值可能为0.1.2.3 ∴随机变量x的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴x的数学期望为 （ii）解：设事件B为：“抽取3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”，事件C为：“抽取3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则 由①知 ， 则： 则事件A发生的概率为 .
12.（2018?天津）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ， B ， C ， D ， E ， F ， G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【答案】解：（Ⅰ）∵240：160：:160=3：2：2 则应从甲乙丙三个年级的学习志愿者抽3人，2人，2人 （Ⅱ）（i）共有如下情形 AB??? AC?? AD?? AE?? AF?? AG??? BC?? BD?? BE?? BF?? BG?? CD?? CE? CF?? CG??? DE?? DF?? DG?? EF?? EG?? FG （ii） ．
13.（2018?卷Ⅱ）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 (单位：亿元)的折线图。 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量t的两个线性回归模型，根据2000年至2016年的数据（时间变量 的值依次为1,2，…，17）建立模型①：=-30.4+13.5t .根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2，…，7）建立模型②：
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。
【答案】（1）由题意可知模型①中，2018年对应的t=19，预测值 =-30.4+13.5×19=226.1亿元此时基础设施的投资预测值为226.1亿元；模型②中，2018年对应的t=9，预测值 =99+17.5×9=256.5亿元此时基础设施的投资预测值为：256.5亿元； （2）用模型②预测得到的2018年的基础设施的投资更可靠。因为从折线图上看，基础设施的投资在2009年到2010年发生了很大程度上的突变，所以用模型①预测2018年的会有一定程度的失真。
14.（2018?卷Ⅲ）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项项目生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随即分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据2中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附： ，
【答案】（1）解：第二种生产方式效率更高，因为第二组多数数据集中在70min~80min之间，第一组多数数据集中在80min~90min，所以第一组完成任务的平均时间大于第二组， ， E1＞ 则第二种生产方式的效率更高。 （2）解：由题意
超过m
不超过m
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
（3）解： 有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异
15.（2018?北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 假设所有电影是否获得好评相互独立。 （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1,2,3,4,5,6）,写出方差 的大小关系。
【答案】解：（Ⅰ）设时间A为：“这部电影是获得好评的第四类电影” 则 （Ⅱ）设时间B为“恰有一部获的好评” （Ⅲ） ∴
