专题八 复数、推理与证明（解析版）
考 点
考纲要求
考情分析
1.复数的概念
(1)理解复数的基本概念.
(2)理解复数相等的充要条件.
(3)了解复数的代数表示法及其几何意义.
1．高频考点：①考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义②通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识为载体，考查对推理与证明的掌握情况
2．．特别关注：①复数与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习．②推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单独命题，若单独命题，一般以客观题形式考查归纳与类比③把推理思路的探求、推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点．
2.复数的四则运算
(1)会进行复数代数形式的四则运算.
(2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
3.合情推理与演绎推理
(1)了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.
(2)了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.
(3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
4.直接证明与间接证明
(1)了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
(2)了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.
5.数学归纳法
了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）设 ,则 =（?? ）
A.0 B. C.1 D.
【解析】解：z= + = ,∴ ，故答案为：C。
【答案】C
2.（2018?浙江）复数 ?(i为虚数单位)的共轭复数是（ ??）
A.?1+i??????????????????????????B.?1?i????????????????????????????????C.??1+i?????????????????????????????????????D.??1?i
【解析】详解： ，∴共轭复数为 ， 故答案为：B.
【答案】C
3.（2018?卷Ⅱ）i（2+3i）=（?? ）
A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i
【解析】i(2+3i)=2i-3故答案为：D
【答案】D
4.（2018?卷Ⅱ） (?? )
A. B. C. D.
【解析】 故答案为：D
【答案】D
5.（2018?卷Ⅲ） =（ ??）
A.?-3-i??????????????????????????????????????B.?-3+i?????????????????????????????C.?3-i??????????????????????????????????????D.?3+i
【解析】(1+i)（2-i）=2-i2+i=3+i故答案为：D
【答案】D
6.（2018?北京）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（?? ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】解： ，则共轭复数为 在第四象限，故答案为：D
【答案】D
二、填空题
7.（2018?上海）已知复数z满足 （i是虚数单位），则∣z∣=________。
【解析】∵ ∴ 故根据复数模长公式 =5
【答案】5
8.（2018?天津）i是虚数单位，复数 ________
【解析】解： ?
【答案】
9.?? （2018?江苏）若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 的实部为________.
【解析】解:∵i·z=1+2i 得：z= ∴实部为2
【答案】2
一、复数
(1)复数的相关概念及分类
①定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫复数，其中a为实部，b为虚部；i是虚数单位，且满足i2＝－1.
②分类：设复数z＝a＋bi(a、b∈R)
z∈R?b＝0；z为虚数?b≠0，z为纯虚数?.
③共轭复数：复数a＋bi的共轭复数为a－bi.
④复数的模：复数z＝a＋bi的模|z|＝.
(2)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a、b、c、d∈R)．
特别地，a＋bi＝0?a＝0且b＝0(a、b∈R)．
(3)运算法则
①加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
②乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
③除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝.
(4)复数加减法的几何意义
①加法：若复数z1、z2对应的向量、不共线，则复数z1＋z2是以、为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．
②减法：复数z1－z2是连接向量、的终点，并指向的终点的向量对应的复数．
二、推理与证明
1.合情推理
(1)归纳推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理．
归纳推理的思维过程：实验观察→概括、推广→猜测一般性结论．
(2)类比推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的思维过程：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．
2．演绎推理
根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理．演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理．
(1)演绎推理的特点
当前提为真时，结论必然为真．
(2)演绎推理的一般模式——“三段论”
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
3．直接证明
从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．
(1)综合法
从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．
(2)分析法
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法
4．间接证明
(1)反证法的定义
一般地，由证明p?q转向证明：?q?r?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断?q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
(2)反证法的特点
先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾．
5．数学归纳法(理)
一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．
考点一：复数的概念
例1：复数z=i2016+（ ）2017（i是虚数单位）的共轭复数 表示的点在（?? ）
A.?第一象限???????????????????????B.?第二象限?????????????????????C.?第三象限?????????????????????????D.?第四象限
【解析】解：z=i2016+（ ）2017= =1+i2016?i=1+i． ∴ ． 则 表示的点的坐标为（1，﹣1），在第四象限． 故选：D．
【答案】D
考点二：复数的四则运算
例2：.复数 ，则 =（??? ）
A. B. C. D.
【解析】化简 ，所以 ，故答案为：D.
【答案】D
考点三：类比推理
例3：已知 为等差数列， ， .若 为等比数列， ，则 类似的结论是（??? ）
A.????????????????????B.? C.?????????????????????????D.?
【解析】解：在等差数列 中，令 ， 则 ， ∴ ， ∴ ． 在等比数列 中，令 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：D．
【答案】D
考点四：直接证明与间接证明
例4：（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（12分）
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣ ﹣2．
【解析】（1.）题干求导可知f′（x）= （x＞0），分a=0、a＞0、a＜0三种情况讨论f′（x）与0的大小关系可得结论； （2.）通过（1）可知f（x）max=f（﹣ ）=﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ），进而转化可知问题转化为证明：当t＞0时﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．进而令g（t）=﹣ t+lnt，利用导数求出y=g（t）的最大值即可．
【答案】（1）解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x， 求导f′（x）= +2ax+（2a+1）= = ，（x＞0）， ①当a=0时，f′（x）= +1＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增； ②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增； ③当a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=﹣ ． 因为当x∈（0，﹣ ）时，f′（x）＞0、当x∈（﹣ ，+∞）时，f′（x）＜0， 所以y=f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ ，+∞）上单调递减． 综上可知：当a≥0时f（x）在（0，+∞）上单调递增， 当a＜0时，f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ ，+∞）上单调递减； （2）证明：由（1）可知：当a＜0时f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ ，+∞）上单调递减， 所以当x=﹣ 时函数y=f（x）取最大值f（x）max=f（﹣ ）=﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ）． 从而要证f（x）≤﹣ ﹣2，即证f（﹣ ）≤﹣ ﹣2， 即证﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ）≤﹣ ﹣2，即证﹣ （﹣ ）+ln（﹣ ）≤﹣1+ln2． 令t=﹣ ，则t＞0，问题转化为证明：﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．…（*） 令g（t）=﹣ t+lnt，则g′（t）=﹣ + ， 令g′（t）=0可知t=2，则当0＜t＜2时g′（t）＞0，当t＞2时g′（t）＜0， 所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减， 即g（t）≤g（2）=﹣ ×2+ln2=﹣1+ln2，即（*）式成立， 所以当a＜0时，f（x）≤﹣ ﹣2成立．
考点五：数学归纳法
例5：已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， .
（1）写出 ， ， ，并推测数列 的表达式；
（2）用数字归纳法证明（1）中所得的结论.
【解析】（1）分别令n=1、2、3，得出方程组，解出a1、 a 2、 a 3的值，即可推出数列的表达式. （2）分别令n=1、k、k+1时命题是否成立，即可得出结论.
【答案】（1）解：将 ， ， 分别代入 ， 可得 ， ， . 猜想 . （2）解：①由（1），得 时，命题成立； ②假设 时，命题成立，即 ， 那么当 时， ? ， 且 ， 所以 ， 所以 ， 即当 时，命题也成立. 根据①②，得对一切 ， 都成立
一、选择题
1.（2017?山东）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+ i，z? =4，则a=（ ）
A.?1或﹣1???????????????????B.?或﹣ ???????????????????????C.?﹣ ????????????????????????????D.?
【解析】解：由z=a+ i，则z的共轭复数 =a﹣ i， 由z? =（a+ i）（a﹣ i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1， ∴a的值为1或﹣1， 故选A．
【答案】A
2.（2017?新课标Ⅲ）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（??? ）
A.???????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
【解析】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1． 则|z|= ． 故选：C．
【答案】C
3.（2017?新课标Ⅲ）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（ ）
A.?第一象限????????????????B.?第二象限?????????????????????C.?第三象限?????????????????????D.?第四象限
【解析】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限． 故选：C．
【答案】C
4.（2017·山东）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（ ）
A.?﹣2i???????????????????????????????????B.?2i????????????????????????????????????C.?﹣2??????????????????????????????????D.?2
【解析】解：∵复数z满足zi=1+i， ∴z= =1﹣i， ∴z2=﹣2i， 故选：A．
【答案】A
5.利用数学归纳法证明“ ? 且 ”的过程中，由假设“ ”成立，推导“ ”也成立时，该不等式左边的变化是（?? ）
A.?增加 ?????????????????????????????????????????????????????????
B.?增加 C.?增加 并减少 ???????????????????
D.?增加 并减少
【解析】解： 时，不等式为 ，增加 并减少 .故答案为：D.
【答案】D
6.用数学归纳法证明 （ ）时，第一步应验证不等式（ ??）
A.??????????B.?????????????C.??????????D.?
【解析】由题设可知该题运用数学归纳法时是从 n=2 开始的,因此第一步应验证不等式中 ,故答案为：B.
【答案】B
7.设 ( 为虚数单位），其中 是实数，则 等于（???? ）
A.?5?????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2
【解析】由 ， 得 ， ∴ ，解得 ， ∴ ． 故答案为：A．
【答案】A
8.已知复数 满足 （ 是虚数单位），则复数 在复平面内对应的点所在象限为（?? ）
A.?第一象限??????????????????B.?第二象限??????????????????????C.?第三象限????????????????????D.?第四象限
【解析】由 ，得 ，∴ 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第二象限，故答案为：B.
【答案】B
二、填空题
9.（2017?上海）已知复数z满足z+ =0，则|z|=________．
【解析】解：由z+ =0， 得z2=﹣3， 设z=a+bi（a，b∈R）， 由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3， 即 ，解得： ． ∴ ． 则|z|= ． 故答案为： ．
【答案】
10.（2017?天津）已知a∈R，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为________．
【解析】解：a∈R，i为虚数单位， = = = ﹣ i 由 为实数， 可得﹣ =0， 解得a=﹣2． 故答案为：﹣2．
【答案】-2
祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆 =1（a＞b＞0）所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图）（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．
【解析】解：椭圆的长半轴为a，短半轴为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积 V=2（V圆柱﹣V圆锥）= ． 故答案为： ．
【答案】
三、解答题
12.（2017?浙江）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn； （Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ； （Ⅲ） ≤xn≤ ．
【答案】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn＞0， 当n=1时，x1=1＞0，成立， 假设当n=k时成立，则xk＞0， 那么n=k+1时，若xk+1＜0，则0＜xk=xk+1+ln（1+xk+1）＜0，矛盾， 故xn+1＞0， 因此xn＞0，（n∈N*） ∴xn=xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1 ， 因此0＜xn+1＜xn（n∈N*）， （Ⅱ）由xn=xn+1+ln（1+xn+1）得xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）， 记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0 ∴f′（x）= +ln（1+x）＞0， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴f（x）≥f（0）=0， 因此xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）≥0， 故2xn+1﹣xn≤ ； （Ⅲ）∵xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤xn+1+xn+1=2xn+1 ， ∴xn≥ ， 由 ≥2xn+1﹣xn得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0， ∴ ﹣ ≥2（ ﹣ ）≥…≥2n﹣1（ ﹣ ）=2n﹣2 ， ∴xn≤ ， 综上所述 ≤xn≤ ．
