专题九 立体几何（理/文）（原卷版）
考 点
考纲要求
考情分析
1.空间几何体
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.
(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.
(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).
(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
1．高频考点：几何体的三视图与表(侧)面积、体积计算结合
2．．特别关注：以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中等．
2.点、直线、平面之间的位置关系
(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.
公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.
1．高频考点：①空间位置关系的判断②定理、公理的应用③线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断④空间线面平行、垂直各种位置关系的证明及探索
2．特别关注：①以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；②以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等．③以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性问题，以大题形式呈现．
(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.
理解以下判定定理.
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.
如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.
理解以下性质定理,并能够证明.
如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.
垂直于同一个平面的两条直线平行.
如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
3.空间向量及其运算（理）
(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
1．高频考点：应用向量法去证明或判断①线线垂直与平行②线面垂直与平行③面面垂直与平行④异面直线所成角、线面角、二面角⑤体积的计算
2．特别关注：
考查综合几何也考查向量几何，诸小问之间有一定梯度，大多模式是：依次讨论线线垂直与平行→线面垂直与平行→面面垂直与平行→异面直线所成角、线面角、二面角→体积的计算．强调作图、证明、计算相结合．考查的多面体以三棱锥、四棱锥(有一条侧棱与底面垂直的棱锥、正棱锥)、棱柱(有一侧棱或侧面与底面垂直的棱柱，或底面为特殊图形一如正三角形、正方形、矩形、菱形、直角三角形等类型的棱柱)为主．
4.空间向量的应用（理）
(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.
(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).
(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（?? ）
A. B. C. D.2
2.（2018?卷Ⅰ）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ??）
A. B. C. D.
3.（2018?卷Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为（ ??）
A. B.12π C. D.
4.（2018?卷Ⅰ）在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1CC1所成的角为30°,则该长方体的体积为（ ??）
A.8 B.6 C.8 D.8
5.（2018?浙江）已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1 ， SE与平面ABCD所成的角为θ2 ， 二面角S?AB?C的平面角为θ3 ， 则（ ??）
A.?θ1≤θ2≤θ3???????????????????????B.?θ3≤θ2≤θ1???????????????????????C.?θ1≤θ3≤θ2???????????????????????D.?θ2≤θ3≤θ1
6.（2018?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ??）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?8
二、填空题
7.（2018?天津）已知正方体 的棱长为1，除面 外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H ， M(如图)，则四棱锥 的体积为________
（2018?天津）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为________．
9.（2018?卷Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若 的面积为8，则该圆锥的体积为________
一、空间几何体
1．柱体、锥体、台体、球的结构特征
名称
几何特征
棱柱
①有两个面互相平行(底面可以是任意多边形)；
②其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行
棱锥
①有一个面是多边形(底面)；
②其余各面是有公共顶点的三角形．
棱台
①底面互相平行；
②所有侧棱延长后交于一点(即原棱锥的顶点)
圆柱
①有两个互相平行的圆面(底面)；
②有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成的)，且母线与底面垂直
圆台
①底面互相平行；
②有一个侧面是曲面，可以看成母线绕轴旋转一周形成的
球
①有一个曲面是球面；
②有一个球心和一条半径长R，球是一个几何体(包括内部)，可以看成半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的
2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积
名称
体积
表面积
棱柱
V棱柱＝Sh(S为底面积，h为高)
S棱柱＝2S底面＋S侧面
棱锥
V棱锥＝Sh(S为底面积，h为高)
S棱锥＝S底面＋S侧面
棱台
V棱台＝h(S＋＋S′) (S、S′为底面积，h为高)
S棱台＝S上底＋S下底＋S侧面
圆柱
V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为高)
S圆柱＝2πrl＋2πr2(r为底面半径，l为母线长)
圆锥
V圆锥＝πr2h(r为底面半径，h为高)
S圆锥＝πrl＋πr2(r为底面半径，l为母线长)
圆台
V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2) (r、r′为底面半径，h为高)
S圆台＝π(r＋r′)l＋πr2＋πr′2
球
V球＝πR3(R为球的半径)
S球＝4πR2(R为球的半径)
3.空间几何体的三视图和直观图
(1)空间几何体的三视图
三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．
(2)空间几何体的直观图
空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”．
4．几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积法求解；三视图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系.
注意
（1）识读三视图时，要特别注意观察者的方位与三视图的对应关系和虚实线．
（2）注意复合体的表面积计算，特别是一个几何体切割去一部分后剩余部分的表面积计算．要弄清增加和减少的部分．
（3）展开与折叠、卷起问题中，要注意平面图形与直观图中几何量的对应关系．
二、点、直线、平面之间的位置关系
1．点、线、面的位置关系
(1)平面的基本性质
名称
图形
文字语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
?l?α
公理2
过不在一条直线上的三点有且只有一个平面
若A、B、C三点不共线，则A、B、C在同一平面α内且α是唯一的．
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
平面α与β不重合，若P∈α，且P∈β，则α∩β＝a，且P∈a
(2)平行公理、等角定理
公理4
若a∥c，b∥c，则a∥b.
等角定理
若OA∥O1A1，OB∥O1B1，则∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.
2．直线、平面的平行与垂直
定理名称
文字语言
图形语言
符号语言
线面平行的判定定理
平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行
?a∥α
线面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任何一个平面与此平面的交线与该直线平行
a∥α，a?β，α∩β＝b，?a∥b
面面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β
面面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
α∥β且γ∩α＝a且γ∩β＝b?a∥b
线面垂直的判定定理
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
a?α，b?α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b?l⊥α
线面垂直的性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行
a⊥α，b⊥α?a∥b
面面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
a⊥α，a?β，?α⊥β
面面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
α⊥β，b∈β，α∩β＝a，b⊥a?b⊥α
3.熟练掌握常见几何体(柱、锥、台、球)的几何特征，明确各种几何体的直观图与三视图特征及相关面积体积的计算公式，熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直等位置关系的判定与性质定理及公理，熟练进行线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化是解答相关几何题的基础.
注意
（1）应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时，必须按照定理的要求找足条件．
（2）作辅助线(面)是立体几何证题中常用技巧，作图时要依据题设条件和待求(证)结论之间的关系结合有关定理作图．注意线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化．
（3）若a、b、c代表直线或平面，△代表平行或垂直，在形如?b△c的命题中，要切实弄清有哪些是成立的，有哪些是不成立的．例如a、b、c中有两个为平面，一条为直线，命题?α∥β是成立的.?α∥β是不成立的．
三、空间向量与立体几何 （理）
1．共线向量与共面向量
(1)共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)共面向量定理
如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
2．两个向量的数量积
（1）向量a、b的数量积
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
（2）向量的数量积满足如下运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②a·b＝b·a(交换律)；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
3．空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一有序实数组{x，y，z}，使p＝xa＋yb＋zc.
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使＝x＋y＋z.
4．空间向量平行与垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
5．模、夹角和距离公式
(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则|a|＝＝，
cos〈a，b〉＝＝.
(2)距离公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
||＝.
(3)平面的法向量
如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α.
如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．
6．空间角的类型与范围
(1)异面直线所成的角θ：0<θ≤；
(2)直线与平面所成的角θ：0≤θ≤；
(3)二面角θ：0≤θ≤π.
7．用向量求空间角与距离的方法
(1)求空间角
设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的法向量分别为n、m.
①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ＝.
②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ＝.
③平面α与平面β所成的二面角为θ，则|cosθ|＝.
(2)求空间距离
①直线到平面的距离，两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离．
点P到平面α的距离：d＝(其中n为α的法向量，M为α内任一点)．
②设n与异面直线a，b都垂直，A是直线a上任一点，B是直线B上任一点，则异面直线a、b的距离d＝.
考点一：空间几何体的结构
例1：（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA?是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA?为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ??）
A.4 B.8 C.12 D.16
【解析】以AA1取矩形分别讨论，找到AA1所在矩形个数，并根据每个矩形可做4个阳马的基本位置关系，可得阳马个数为16个。故答案为：D。
【答案】D
考点二：三视图、直观图
例2：（2017?新课标Ⅰ卷）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）
A.?10?????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????C.?14?????????????????????????????????D.?16
【解析】解：由三视图可画出直观图， 该立体图中只有两个相同的梯形的面， S梯形= ×2×（2+4）=6， ∴这些梯形的面积之和为6×2=12， 故选：B 【答案】B
考点三：几何体的表面积
例3：如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【解析】该几何体直观图如图所示：[来源:是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和故选A．
【答案】A
考点四：几何体的体积
例4：（2017?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（??? ）
A.?+1?????????????????????????B.?+3?????????????????????????C.?+1?????????????????????????D.?+3
【解析】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成， 圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3， 故该几何体的体积为 × ×π×12×3+ × × × ×3= +1， 故选：A
【答案】A
考点五：空间中点、线、面的位置
例5：已知空间的两条直线 及两个平面 ，β，下列四个命题中正确的是（?? ）
①若 ∥ ， ⊥ ，则 ⊥ ?；②若 ∥β， ? ? ， ? β，则 ∥ ；
若 ∥ ， ∥ ，则 ∥ ；④若 ∥β， ∥ ， ⊥ ，则 ⊥β
①③ B.②④ C.①④ D.②③
【解析】命题② ?结果可能异面，故②错误；命题③结果可能 ?，故③错误；命题①显然正确；命题④ ?，故④正确；综上正确命题为①④，故答案为：C.
【答案】C
考点六：空间中平行与垂直的判定
例6：（2018?北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD ， PA⊥PD ， PA=PD ， E ， F分别为AD ， PB的中点. （Ⅰ）求证：PE⊥BC； （Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD； （Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.
【解析】1）线面垂直 线线垂直；（2）线线垂直 线面垂直 面面垂直；（3）线线垂直 线面垂直.
【答案】证明：（Ⅰ）PA=PD,PA⊥PD， ∴PE垂直AD，又面PAD⊥面ABCD, ∴PE⊥面ABCD 又BC 面ABCD ∴PE⊥BC （Ⅱ）因为AB⊥AD，面PAD⊥面ABCD ∴AB⊥面PAD， 又PD 面PAD ∴AB⊥PD，又由（1）PE⊥面ABCD ∴PE⊥AB, ∴AB⊥面PAD 又AB∥DC,则面PAB 面PCD=l, ∴PD⊥l，又PD⊥PA且PA l=p, ∴PD⊥面PAB,又PD 面PCD， ∴面PAB⊥面PCD （Ⅲ）取PC、PD中点M、N，链接FM、DN、MN 则FM BC,ED BC 所以FM、DE是平行四边形 则EF∥MN,MN 面PCD，所以EF∥面PCD
考点七：平面图形的折叠问题
例7：（2018?卷Ⅰ）如图,在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA
（1）证明:平面ACD⊥平面ABC:
（2）Q为线段AD上一点,P为线段BC上点,且BP=DQ= DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
【解析】【分析】（1）在翻折过程中,由于 ,连接DB,在三角形ABD中求出BD,再在三角形BCD中求出角DCB为直角,于是 ,又 ,则 平面ABC,从而得到面面垂直;(2).由于点P,Q分别是BC,DA上的分点,求出三角形ABP的面积,高即为DC的三分之一,由其体积.
【答案】（1）解：证明： ， ∴AC⊥CM,AB⊥AC 又∵AB⊥DA，DA BC=A， ∴AB⊥面ACD，AB 面ABC ∴面ACD⊥面ABC （2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA= ． 又 ，所以 ． 作QE⊥AC ， 垂足为E ， 则 ． 由已知及（1）可得DC⊥平面ABC ， 所以QE⊥平面ABC ， QE=1． 因此，三棱锥 的体积为 ．
考点八：向量法证明平行与垂直
例8：（2018?天津）如图， 且AD=2BC ， , 且EG=AD ， 且CD=2FG ， ，DA=DC=DG=2. （Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： MN//平面CDE ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
【解析】建立空间直角坐标系。 （Ⅰ）计算面CDE法向量，法向量与直线MN方向向量垂直，得证； （Ⅱ）计算面BCE，面BCF法向量，两平面法向量夹角正弦值与二面角，平面角正弦值相等； （Ⅲ）计算 ， 夹角，解方程。
【答案】解：（Ⅰ）以D为原点，DA,DC,DG为x,y,z轴正方问建立间直角坐标系， 则 ? 设 为面CDE法向量 则 令z=-1 ∴ 又 ，则 ，又 ∴ （Ⅱ） 设 是面BCE法向量， 则 z=1 ∴ 设 是面BCF法向量，则 令z=1∴ ∴ 则二面角E-BC-F正弦值为 （Ⅲ）设线段DP=h，h∈[0,2]，则P（0,0，h） ∴ 为平面ADGE的一个法向量， 则 则
考点九：向量法求空间角
例9：（2017?江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°． （Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．
【解析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1 ， C1 的坐标，进一步求出 ， ， ， 的坐标． （Ⅰ）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （Ⅱ）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．
【答案】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD， ∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax?平面ABCD， ∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD， 以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ∵AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°， ∴A（0，0，0），B（ ），C（ ，1，0）， D（0，2，0）， A1（0，0， ），C1（ ）． =（ ）， =（ ）， ， ． （Ⅰ）∵cos＜ ＞= = ． ∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为 ； （Ⅱ）设平面BA1D的一个法向量为 ， 由 ，得 ，取x= ，得 ； 取平面A1AD的一个法向量为 ． ∴cos＜ ＞= = ． ∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为 ，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为 ．
考点十：探索性问题
例10：（2018?卷Ⅲ）如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点。
（1）证明:平面 平面
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由
【解析】在面PBD中构造线线平行，来证明线面平行
【答案】（1）解：因为 ，平面ABCD⊥半圆CD，所以BC⊥面半圆CD 又DM 半圆弧CD，所以BC⊥DM，又DC是直径，所以DM⊥MC 又 即 又DMC 面AMD 所以 平面 （2）解：连接AC、BD交于点O，取AM中点为P，连接PO 因为O是AC中点，P是AM中点所以PO∥MC， 所以MC∥面PBD
一、选择题
1.（2018?卷Ⅱ）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的重点，则异面直线AE与CD所成角的正切面为（ ）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
2.（2018?卷Ⅱ）在长方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1= ,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(?? )
A. B. C. D.
3.（2018?卷Ⅲ）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的突出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ??）
A.???????????????????????????????????????????B.? C.???????????????????????????????????????????D.?
4.（2018?卷Ⅲ）设 是同一个半径为 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为(?? )
A.??????????????????????????B.???????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
5.（2018?北京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
6.（2017?北京卷）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A.?60?????????????????????????????????????????B.?30????????????????????????????????C.?20?????????????????????????????????????????D.?10
二、填空题
7.（2018?卷Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 ，SA与圆锥底面所成角为45°。若△SAB的面积为 ，则圆锥的侧面积为________。
8.（2018?江苏）如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________
三、解答题
9.（2018?卷Ⅰ）如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（1）证明：平面 平面 ;
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
10.（2018?浙江）如图，已知多面体ABCA1B1C1 ， A1A ， B1B ， C1C均垂直于平面ABC ， ∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
11.（2018?天津）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD ， 点M为棱AB的中点，AB=2，AD= ，∠BAD=90°． （Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
12.（2018?卷Ⅱ）如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.
（1）证明： 平面 ;
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值.
13.（2018?江苏）在平行四边形 中， 求证：
（1）平面
（2）平面 平面
14.（2018?上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2。
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.
15.（2018?北京）如图，在三菱柱ABC- 中， 平面ABC。 D,E,F,G分别为 ,AC, , 的中点，AB=BC= ，AC= =2。 （Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF： （Ⅱ）求二面角B-CD- 1的余弦值： （Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交。
16.（2017?北京卷）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
专题九 立体几何（理/文）（解析版）
考 点
考纲要求
考情分析
1.空间几何体
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.
(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.
(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).
(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
1．高频考点：几何体的三视图与表(侧)面积、体积计算结合
2．．特别关注：以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中等．
2.点、直线、平面之间的位置关系
(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.
公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.
1．高频考点：①空间位置关系的判断②定理、公理的应用③线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断④空间线面平行、垂直各种位置关系的证明及探索
2．特别关注：①以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；②以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等．③以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性问题，以大题形式呈现．
(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.
理解以下判定定理.
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.
如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.
理解以下性质定理,并能够证明.
如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.
垂直于同一个平面的两条直线平行.
如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
3.空间向量及其运算（理）
(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
1．高频考点：应用向量法去证明或判断①线线垂直与平行②线面垂直与平行③面面垂直与平行④异面直线所成角、线面角、二面角⑤体积的计算
2．特别关注：
考查综合几何也考查向量几何，诸小问之间有一定梯度，大多模式是：依次讨论线线垂直与平行→线面垂直与平行→面面垂直与平行→异面直线所成角、线面角、二面角→体积的计算．强调作图、证明、计算相结合．考查的多面体以三棱锥、四棱锥(有一条侧棱与底面垂直的棱锥、正棱锥)、棱柱(有一侧棱或侧面与底面垂直的棱柱，或底面为特殊图形一如正三角形、正方形、矩形、菱形、直角三角形等类型的棱柱)为主．
4.空间向量的应用（理）
(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.
(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).
(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（?? ）
A. B. C. D.2
【解析】解：画出圆柱侧面展开图如图：,故答案为：B。
【答案】B
2.（2018?卷Ⅰ）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ??）
A. B. C. D.
【解析】解：如图截面，S=6 ,故答案为：A.
【答案】A
3.（2018?卷Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为（ ??）
A. B.12π C. D.
【解析】解：设上下半径为r,则高为2r,∴ 。则圆柱表面积为 ，故答案为：B.
【答案】B
4.（2018?卷Ⅰ）在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1CC1所成的角为30°,则该长方体的体积为（ ??）
A.8 B.6 C.8 D.8
【解析】解：AC1与面BB1C1C所成角平面角为 ,∴BC1=2 ∴CC1=2 .长方体体积为22 2 =8 ，故答案为：C.
【答案】C
5.（2018?浙江）已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1 ， SE与平面ABCD所成的角为θ2 ， 二面角S?AB?C的平面角为θ3 ， 则（ ??）
A.?θ1≤θ2≤θ3???????????????????????B.?θ3≤θ2≤θ1???????????????????????C.?θ1≤θ3≤θ2???????????????????????D.?θ2≤θ3≤θ1
【解析】详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF ， 交CD于F ， 过O作ON垂直EF于N ， 连接SO ， SN ， OM ， 则SO垂直于底面ABCD ， OM垂直于AB ， 因此 从而 因为 ，所以 即 ， 故答案为：D.
【答案】D
6.（2018?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ??）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?8
【解析】详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为 故答案为：C.
【答案】C
二、填空题
7.（2018?天津）已知正方体 的棱长为1，除面 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ， F ， G ， H ， M(如图)，则四棱锥 的体积为________
【解析】解：∵四凌锥M-EFGH为所有棱长均为 的正四棱锥.∴
【答案】
（2018?天津）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为________．
【解析】解：
【答案】
9.（2018?卷Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若 的面积为8，则该圆锥的体积为________
【解析】依题意可画图如图： SA=SB=SC=l ∠SAC=30°，AC= ∴l=4 ∴AC=4 r=2 ???? h= ∴ 故答案为：
【答案】
一、空间几何体
1．柱体、锥体、台体、球的结构特征
名称
几何特征
棱柱
①有两个面互相平行(底面可以是任意多边形)；
②其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行
棱锥
①有一个面是多边形(底面)；
②其余各面是有公共顶点的三角形．
棱台
①底面互相平行；
②所有侧棱延长后交于一点(即原棱锥的顶点)
圆柱
①有两个互相平行的圆面(底面)；
②有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成的)，且母线与底面垂直
圆台
①底面互相平行；
②有一个侧面是曲面，可以看成母线绕轴旋转一周形成的
球
①有一个曲面是球面；
②有一个球心和一条半径长R，球是一个几何体(包括内部)，可以看成半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的
2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积
名称
体积
表面积
棱柱
V棱柱＝Sh(S为底面积，h为高)
S棱柱＝2S底面＋S侧面
棱锥
V棱锥＝Sh(S为底面积，h为高)
S棱锥＝S底面＋S侧面
棱台
V棱台＝h(S＋＋S′) (S、S′为底面积，h为高)
S棱台＝S上底＋S下底＋S侧面
圆柱
V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为高)
S圆柱＝2πrl＋2πr2(r为底面半径，l为母线长)
圆锥
V圆锥＝πr2h(r为底面半径，h为高)
S圆锥＝πrl＋πr2(r为底面半径，l为母线长)
圆台
V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2) (r、r′为底面半径，h为高)
S圆台＝π(r＋r′)l＋πr2＋πr′2
球
V球＝πR3(R为球的半径)
S球＝4πR2(R为球的半径)
3.空间几何体的三视图和直观图
(1)空间几何体的三视图
三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．
(2)空间几何体的直观图
空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”．
4．几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积法求解；三视图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系.
注意
（1）识读三视图时，要特别注意观察者的方位与三视图的对应关系和虚实线．
（2）注意复合体的表面积计算，特别是一个几何体切割去一部分后剩余部分的表面积计算．要弄清增加和减少的部分．
（3）展开与折叠、卷起问题中，要注意平面图形与直观图中几何量的对应关系．
二、点、直线、平面之间的位置关系
1．点、线、面的位置关系
(1)平面的基本性质
名称
图形
文字语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
?l?α
公理2
过不在一条直线上的三点有且只有一个平面
若A、B、C三点不共线，则A、B、C在同一平面α内且α是唯一的．
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
平面α与β不重合，若P∈α，且P∈β，则α∩β＝a，且P∈a
(2)平行公理、等角定理
公理4
若a∥c，b∥c，则a∥b.
等角定理
若OA∥O1A1，OB∥O1B1，则∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.
2．直线、平面的平行与垂直
定理名称
文字语言
图形语言
符号语言
线面平行的判定定理
平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行
?a∥α
线面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任何一个平面与此平面的交线与该直线平行
a∥α，a?β，α∩β＝b，?a∥b
面面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β
面面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
α∥β且γ∩α＝a且γ∩β＝b?a∥b
线面垂直的判定定理
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
a?α，b?α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b?l⊥α
线面垂直的性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行
a⊥α，b⊥α?a∥b
面面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
a⊥α，a?β，?α⊥β
面面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
α⊥β，b∈β，α∩β＝a，b⊥a?b⊥α
3.熟练掌握常见几何体(柱、锥、台、球)的几何特征，明确各种几何体的直观图与三视图特征及相关面积体积的计算公式，熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直等位置关系的判定与性质定理及公理，熟练进行线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化是解答相关几何题的基础.
注意
（1）应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时，必须按照定理的要求找足条件．
（2）作辅助线(面)是立体几何证题中常用技巧，作图时要依据题设条件和待求(证)结论之间的关系结合有关定理作图．注意线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化．
（3）若a、b、c代表直线或平面，△代表平行或垂直，在形如?b△c的命题中，要切实弄清有哪些是成立的，有哪些是不成立的．例如a、b、c中有两个为平面，一条为直线，命题?α∥β是成立的.?α∥β是不成立的．
三、空间向量与立体几何 （理）
1．共线向量与共面向量
(1)共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)共面向量定理
如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
2．两个向量的数量积
（1）向量a、b的数量积
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
（2）向量的数量积满足如下运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②a·b＝b·a(交换律)；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
3．空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一有序实数组{x，y，z}，使p＝xa＋yb＋zc.
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使＝x＋y＋z.
4．空间向量平行与垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
5．模、夹角和距离公式
(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则|a|＝＝，
cos〈a，b〉＝＝.
(2)距离公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
||＝.
(3)平面的法向量
如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α.
如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．
6．空间角的类型与范围
(1)异面直线所成的角θ：0<θ≤；
(2)直线与平面所成的角θ：0≤θ≤；
(3)二面角θ：0≤θ≤π.
7．用向量求空间角与距离的方法
(1)求空间角
设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的法向量分别为n、m.
①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ＝.
②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ＝.
③平面α与平面β所成的二面角为θ，则|cosθ|＝.
(2)求空间距离
①直线到平面的距离，两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离．
点P到平面α的距离：d＝(其中n为α的法向量，M为α内任一点)．
②设n与异面直线a，b都垂直，A是直线a上任一点，B是直线B上任一点，则异面直线a、b的距离d＝.
考点一：空间几何体的结构
例1：（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA?是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA?为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ??）
A.4 B.8 C.12 D.16
【解析】以AA1取矩形分别讨论，找到AA1所在矩形个数，并根据每个矩形可做4个阳马的基本位置关系，可得阳马个数为16个。故答案为：D。
【答案】D
考点二：三视图、直观图
例2：（2017?新课标Ⅰ卷）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）
A.?10?????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????C.?14?????????????????????????????????D.?16
【解析】解：由三视图可画出直观图， 该立体图中只有两个相同的梯形的面， S梯形= ×2×（2+4）=6， ∴这些梯形的面积之和为6×2=12， 故选：B 【答案】B
考点三：几何体的表面积
例3：如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【解析】该几何体直观图如图所示：[来源:是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和故选A．
【答案】A
考点四：几何体的体积
例4：（2017?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（??? ）
A.?+1?????????????????????????B.?+3?????????????????????????C.?+1?????????????????????????D.?+3
【解析】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成， 圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3， 故该几何体的体积为 × ×π×12×3+ × × × ×3= +1， 故选：A
【答案】A
考点五：空间中点、线、面的位置
例5：已知空间的两条直线 及两个平面 ，β，下列四个命题中正确的是（?? ）
①若 ∥ ， ⊥ ，则 ⊥ ?；②若 ∥β， ? ? ， ? β，则 ∥ ；
若 ∥ ， ∥ ，则 ∥ ；④若 ∥β， ∥ ， ⊥ ，则 ⊥β
①③ B.②④ C.①④ D.②③
【解析】命题② ?结果可能异面，故②错误；命题③结果可能 ?，故③错误；命题①显然正确；命题④ ?，故④正确；综上正确命题为①④，故答案为：C.
【答案】C
考点六：空间中平行与垂直的判定
例6：（2018?北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD ， PA⊥PD ， PA=PD ， E ， F分别为AD ， PB的中点. （Ⅰ）求证：PE⊥BC； （Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD； （Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.
【解析】1）线面垂直 线线垂直；（2）线线垂直 线面垂直 面面垂直；（3）线线垂直 线面垂直.
【答案】证明：（Ⅰ）PA=PD,PA⊥PD， ∴PE垂直AD，又面PAD⊥面ABCD, ∴PE⊥面ABCD 又BC 面ABCD ∴PE⊥BC （Ⅱ）因为AB⊥AD，面PAD⊥面ABCD ∴AB⊥面PAD， 又PD 面PAD ∴AB⊥PD，又由（1）PE⊥面ABCD ∴PE⊥AB, ∴AB⊥面PAD 又AB∥DC,则面PAB 面PCD=l, ∴PD⊥l，又PD⊥PA且PA l=p, ∴PD⊥面PAB,又PD 面PCD， ∴面PAB⊥面PCD （Ⅲ）取PC、PD中点M、N，链接FM、DN、MN 则FM BC,ED BC 所以FM、DE是平行四边形 则EF∥MN,MN 面PCD，所以EF∥面PCD
考点七：平面图形的折叠问题
例7：（2018?卷Ⅰ）如图,在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA
（1）证明:平面ACD⊥平面ABC:
（2）Q为线段AD上一点,P为线段BC上点,且BP=DQ= DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
【解析】【分析】（1）在翻折过程中,由于 ,连接DB,在三角形ABD中求出BD,再在三角形BCD中求出角DCB为直角,于是 ,又 ,则 平面ABC,从而得到面面垂直;(2).由于点P,Q分别是BC,DA上的分点,求出三角形ABP的面积,高即为DC的三分之一,由其体积.
【答案】（1）解：证明： ， ∴AC⊥CM,AB⊥AC 又∵AB⊥DA，DA BC=A， ∴AB⊥面ACD，AB 面ABC ∴面ACD⊥面ABC （2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA= ． 又 ，所以 ． 作QE⊥AC ， 垂足为E ， 则 ． 由已知及（1）可得DC⊥平面ABC ， 所以QE⊥平面ABC ， QE=1． 因此，三棱锥 的体积为 ．
考点八：向量法证明平行与垂直
例8：（2018?天津）如图， 且AD=2BC ， , 且EG=AD ， 且CD=2FG ， ，DA=DC=DG=2. （Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： MN//平面CDE ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
【解析】建立空间直角坐标系。 （Ⅰ）计算面CDE法向量，法向量与直线MN方向向量垂直，得证； （Ⅱ）计算面BCE，面BCF法向量，两平面法向量夹角正弦值与二面角，平面角正弦值相等； （Ⅲ）计算 ， 夹角，解方程。
【答案】解：（Ⅰ）以D为原点，DA,DC,DG为x,y,z轴正方问建立间直角坐标系， 则 ? 设 为面CDE法向量 则 令z=-1 ∴ 又 ，则 ，又 ∴ （Ⅱ） 设 是面BCE法向量， 则 z=1 ∴ 设 是面BCF法向量，则 令z=1∴ ∴ 则二面角E-BC-F正弦值为 （Ⅲ）设线段DP=h，h∈[0,2]，则P（0,0，h） ∴ 为平面ADGE的一个法向量， 则 则
考点九：向量法求空间角
例9：（2017?江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°． （Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．
【解析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1 ， C1 的坐标，进一步求出 ， ， ， 的坐标． （Ⅰ）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （Ⅱ）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．
【答案】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD， ∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax?平面ABCD， ∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD， 以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ∵AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°， ∴A（0，0，0），B（ ），C（ ，1，0）， D（0，2，0）， A1（0，0， ），C1（ ）． =（ ）， =（ ）， ， ． （Ⅰ）∵cos＜ ＞= = ． ∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为 ； （Ⅱ）设平面BA1D的一个法向量为 ， 由 ，得 ，取x= ，得 ； 取平面A1AD的一个法向量为 ． ∴cos＜ ＞= = ． ∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为 ，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为 ．
考点十：探索性问题
例10：（2018?卷Ⅲ）如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点。
（1）证明:平面 平面
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由
【解析】在面PBD中构造线线平行，来证明线面平行
【答案】（1）解：因为 ，平面ABCD⊥半圆CD，所以BC⊥面半圆CD 又DM 半圆弧CD，所以BC⊥DM，又DC是直径，所以DM⊥MC 又 即 又DMC 面AMD 所以 平面 （2）解：连接AC、BD交于点O，取AM中点为P，连接PO 因为O是AC中点，P是AM中点所以PO∥MC， 所以MC∥面PBD
一、选择题
1.（2018?卷Ⅱ）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的重点，则异面直线AE与CD所成角的正切面为（ ）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【解析】如图：取中点DD1中点为F，连EF，则EF∥CD ∴AE与CD所成的角即为∠AEF 在△AEF中，∠AEF=90° ∴ 故答案为：C
【答案】C
2.（2018?卷Ⅱ）在长方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1= ,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(?? )
A. B. C. D.
【解析】以点D为坐标原点，以DA，DC， 分别为 轴， 轴， 轴建系，=（1,1， ）A（1,0,0）D1（0,0 ）∴ 故答案为：C
【答案】C
3.（2018?卷Ⅲ）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的突出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ??）
A.???????????????????????????????????????????B.? C.???????????????????????????????????????????D.?
【解析】由三视图定义可知选A.
【答案】A
4.（2018?卷Ⅲ）设 是同一个半径为 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为(?? )
A.??????????????????????????B.???????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【解析】当球心在三棱柱内时，体积最大，此时，如图， 设等边三角形边长为a，则 球心O在 内射影为 中心O1 ， 连接OB 则OB=4，O1B=2 ，所以OO1=2，则O1D=6 则 故答案为：B
【答案】B
5.（2018?北京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【解析】如图所示，PA 面ABCD, 则Rt PAB、Rt PAD、Rt PBC， 又PD= ,CD= ,PC=3.不满足勾股定理， 则侧面共有3个。 故答案为：C
【答案】C
6.（2017?北京卷）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A.?60?????????????????????????????????????????B.?30????????????????????????????????C.?20?????????????????????????????????????????D.?10
【解析】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥， 该三棱锥的体积= =10． 故选：D．
【答案】D
二、填空题
7.（2018?卷Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 ，SA与圆锥底面所成角为45°。若△SAB的面积为 ，则圆锥的侧面积为________。
【解析】如图：设母线长为l ∵ ∴ ∴ 2r= r= ∴
【答案】
8.（2018?江苏）如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________
【解析】解：此多面体为正八面体，是两个正四棱锥
【答案】
三、解答题
9.（2018?卷Ⅰ）如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（1）证明：平面 平面 ;
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）解：由已知可得，BF⊥PF ， BF⊥EF ， 又 ， ∴BF⊥平面PEF. ∴又 平面ABFD ， 平面PEF⊥平面ABFD. （2）解：作PH⊥EF ， 垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD. 以H为坐标原点， 的方向为y轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz. 由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE= .又PF=1，EF=2，故PE⊥PF. 可得 . 则 ? 为平面ABFD的法向量. 设DP与平面ABFD所成角为 ，则 . ∴DP与平面ABFD所成角的正弦值为 .
10.（2018?浙江）如图，已知多面体ABCA1B1C1 ， A1A ， B1B ， C1C均垂直于平面ABC ， ∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
【答案】解：（Ⅰ）由 得 ， 所以 . 故 . 由 ， ? 得 ， 由 得 ， 由 ，得 ，所以 ，故 . 因此 平面 . （Ⅱ）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 . 由 平面 得平面 平面 ， 由 得 平面 ， 所以 是 与平面 所成的角 由 得 ， 所以 ，故 . 因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .
11.（2018?天津）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD ， 点M为棱AB的中点，AB=2，AD= ，∠BAD=90°． （Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
【答案】解：（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD ， 平面ABC∩平面ABD=AB ， AD⊥AB ， 可得AD⊥平面ABC ， 故AD⊥BC ． （Ⅱ）解：取棱AC的中点N ， 连接MN ， ND ． 又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC ． ∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角． 在Rt△DAM中，AM=1，故DM= ． ∵AD⊥平面ABC ， 故AD⊥AC ． 在Rt△DAN中，AN=1，故DN= ． 等腰 中，MN=1， ∴ ． ∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为 ． （Ⅲ）连接CM ∵ 为等边三角形，M为边AB中点， ∴CM⊥AB CM= 又面ABC⊥面ABD,而CM 面ABC，故CM⊥面ABD,∴ 为直线CD与面ABD所成角 中 中， 所以CD与平面所成角正弦值为
12.（2018?卷Ⅱ）如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.
（1）证明： 平面 ;
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）PA=PC=AC=4?? 且O是AC的中点 ?PO⊥AC ∵AB=BC=2 ，AC=4, ∴ ∴∠ABC=90°??? 连接BO 则OB=OC ∴PO2+BO2=PB2 PO⊥OB，PO⊥OC OB∩OC=O ∴PO⊥平面ABC （2）∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥OB ∴AB=BC=2 ?? O是AC的中点 ∴OB⊥AC??? OB⊥平面PAC 如图所示以O为坐标原点， 为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系O-xyz 则P（0,0， ） A（,0，-2,0），C（0,2,0），B（2,0,0） 平面PAC法向量为 =（1,0,0）设M（x，2-x，0） 平面PAC法向量为 =（1，λ，μ）， =（0，2， ）, = （x，4-x，0） 则 即 即 得到 ，∴x=-4（舍） ，x= 即M ∴PAM的法向量 记PC与平面PAM所成的角为θ ∴ 即PC与平面PAM所成的角为的正弦值为 .
13.（2018?江苏）在平行四边形 中， 求证：
（1）平面
（2）平面 平面
【答案】（1）解：因为 ,又AB 面 , 面 ∴ （2）解：∵ ，∴四边形ABB1A1为菱形,∴ 又 ， ∴ ， 又 , ， ∴ , ∴ ∴
14.（2018?上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2。
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.
【答案】（1）由题意可知PB=4，又底面圆O半径R=2，由勾股定理可知PO= ，故PO=2 ，故V= PO S= 2 4= 。 （2）向量法求解，建立延OB方向为x轴，OA方向为y轴，OP方向为z轴，O为原点的直角坐标系， P(0，0，4)，M(1，1，0)，B(2，0，0) 故 =(-1，-1，4)， =(2，0，0)， 故 ， 又异面直线夹角为 ， 故MP与OB直线夹角为 。
15.（2018?北京）如图，在三菱柱ABC- 中， 平面ABC。 D,E,F,G分别为 ,AC, , 的中点，AB=BC= ，AC= =2。 （Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF： （Ⅱ）求二面角B-CD- 1的余弦值： （Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交。
【答案】解：（Ⅰ）∵AC=BC, 又E是AC的中点， ∴ , 又CC1 面ABC,EF CC1, ∴EF 面ABC， 又AC 面ABC, ∴EF AC. 又 ,所以AC 面BEF. （Ⅱ）过E作EH CD于H，连接BH ∵EH CD，BE AC,BE EF, ∴BE 面ACC1A1 ， CD 面ACC1A1 ， ∴CD BE,由二面角定义可知， 为二面角B-CD-C1的平面角的补角，BE=2，EH= ， ∴BH= ∴cos = ,而二面角B-CD-C1的余弦值为 ， （Ⅲ）假设FG与面BCD不相交，则FG 与面BCD， ∵EF CD=Q，连接BQ， 又∵面EFGB 面DCB=BQ. ∵FG BH，又BG EF， ∴四边形BGEF为平行四边形与 矛盾。所以假设不成立，故FG与面BCD相交。
16.（2017?北京卷）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
【答案】（1）解：证明：由PA⊥AB，PA⊥BC， AB?平面ABC，BC?平面ABC，且AB∩BC=B， 可得PA⊥平面ABC， 由BD?平面ABC， 可得PA⊥BD； （2）解：证明：由AB=BC，D为线段AC的中点， 可得BD⊥AC， 由PA⊥平面ABC，PA?平面PAC， 可得平面PAC⊥平面ABC， 又平面ABC∩平面ABC=AC， BD?平面ABC，且BD⊥AC， 即有BD⊥平面PAC， BD?平面BDE， 可得平面BDE⊥平面PAC； （3）解：PA∥平面BDE，PA?平面PAC， 且平面PAC∩平面BDE=DE， 可得PA∥DE， 又D为AC的中点， 可得E为PC的中点，且DE= PA=1， 由PA⊥平面ABC， 可得DE⊥平面ABC， 可得S△BDC= S△ABC= × ×2×2=1， 则三棱锥E﹣BCD的体积为 DE?S△BDC= ×1×1= ．
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