专题十一 选修内容
（坐标系、参数方程、不等式选讲）（原卷版）
考 点
考纲要求
考情分析
1.坐标系
(1)理解坐标系的作用.
(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.
(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.
1．高频考点：①平面直角坐标系中的伸缩变换的②极坐标与直角坐标的互化③直角坐标方程与极坐标方程的互化④曲线极坐标方程的应用
2．特别关注：①考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化．②考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系．
2.参数方程
(1)了解参数方程,了解参数的意义.
(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.
(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.
1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式
① |a+b | ≤ | a | + | b | .
② | a-b |≤ | a-c | + | c-b |.
③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
| ax+b | ≤c; | ax+b 丨 ≥c;
| x-a | + | x-b 丨≥c.
高频考点：①含绝对值、含参数的绝对值不等式的解法②含绝对值的不等式的应用③用分析法、综合法证明不等式④利用柯西不等式求最值
2．特别关注：预测高考对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查.
2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.
①柯西不等式的向量形式：
(此不等式通常称为平面三角不等式。)
(3) 会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：
(4) 会用向量递归方法讨论排序不等式。
(5) 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明 一些简单问题。
(6) 会用数学归纳法证明伯努利不等式：
了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立。
(7) 会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值。
(8) 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。
一、填空题
1.（2018?天津）已知圆 的圆心为C ， 直线 ( 为参数)与该圆相交于A ， B两点，则 的面积为________.
2.（2018?江苏）在 中，角 所对应的边分别为 , 的平分线交 于点 ，且 ,则 的最小值为________
3.（2018?北京）在极坐标系中，直线 =a 与圆 =2 相切，则a=________
二、解答题
4.（2018?卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线 的方程为 ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
（1）求 的直角坐标方程
（2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程
5.（2018?卷Ⅰ）已知
（1）当 时，求不等式 的解集
（2）若 时，不等式 成立，求 的取值范围
6.（2018?卷Ⅱ）设函数
（1）??? 当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围
7.（2018?卷Ⅱ）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 的参数方程为 ( 为参数)
（1）求 和 的直角坐标方程
（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率
8.（2018?卷Ⅲ）在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 ( 为参数)，过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点
（1）求 的取值范围
（2）求 中点 的轨迹的参数方程
9.（2018?卷Ⅲ）设函数
（1）画出 的图像
（2）当 时， ，求 的最小值。
一、直角坐标与极坐标的互化
如图，把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，
则
【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
二、直线、圆的极坐标方程
(1)直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置直线的极坐标方程
①直线过极点：θ＝α；
②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
③直线过点M且平行于极轴：ρsin θ＝b.
(2)几个特殊位置圆的极坐标方程
①圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
②圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；
③圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ.
特别提醒
当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式．
三、参数方程
(1)直线的参数方程
过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)圆、椭圆的参数方程
①圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．
②椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．
特别提醒
在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
四、含有绝对值不等式的解法
1.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)若c>0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可.
(2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为?，|ax＋b|≥c的解集为R.
|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，
|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.
(1)零点分区间法的一般步骤
①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；
②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；
③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；
④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.
(2)利用绝对值的几何意义
由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.
3.|f(x)|>g(x)，|f(x)|0)型不等式的解法
(1)|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).
(2)|f(x)| 五、不等式的证明
1.证明不等式的常用结论
(1)绝对值的三角不等式
定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0，等号成立.
定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
推论1：||a|－|b||≤|a＋b|.
推论2：||a|－|b||≤|a－b|.
(2)三个正数的算术—几何平均不等式：
如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时等号成立.
(3)基本不等式(基本不等式的推广)：
对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即≥，并且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立.
(4)一般形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，并且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立.
2.证明不等式的常用方法
(1)比较法
一般步骤：作差—变形—判断—结论.为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负.
(2)综合法
利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法.
(3)分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法.
(4)反证法和放缩法
①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法.
②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法.
考点一：坐标系与极坐标
例1：直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 .
（1）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 的极坐标方程；
（2）射线 与 异于极点的交点为 ，与 的交点为 ，求 .
【解析】（1）本题主要考查曲线参数方程与普通方程、直角坐标方程与极坐标方程的互相转化； （2）本题主要用极坐标的方法来求弦长，先求出A，B两点的极坐标，再由即可得到结果。
【答案】（1）解：曲线 : （ 为参数）化为普通方程为 ， 所以曲线 的极坐标方程为 ， 曲线 的极坐标方程为
（2）解：射线 与曲线 的交点的极径为 ， 射线 与曲线 的交点的极径满足 ， 解得 ， 所以
考点二：参数方程
例2：（2017?新课标Ⅰ卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 （t为参数）．（10分）
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为 ，求a．
【解析】（1.）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标； （2.）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为 进行分析，可以求出a的值．
【答案】（1）解：曲线C的参数方程为 （θ为参数），化为标准方程是： +y2=1； a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0； 联立方程 ， 解得 或 ， 所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣ ， ）． （2）l的参数方程 （t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0， 椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）， 所以点P到直线l的距离d为： d= = ，φ满足tanφ= ， 又d的最大值dmax= ， 所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值为17， 得：5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17， 即a=﹣16或a=8．
考点三：解绝对值不等式
例3：已知函数
（1）求不等式 的解集；
（2）若 对 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）分段讨论，去掉绝对值，转化为普通不等式；（2）即fmin≥21-3a+1.
【答案】（1）解：原不等式等价于 或 或 解得 或 所以不等式 的解集为
（2）解：据题意，得 对 成立.又因为 ，所以 ，解得 .故所求实数 的取值范围是
考点四：不等式的证明
例4：.（2017?新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2．
【解析】（Ⅰ）由柯西不等式即可证明， （Ⅱ）由a3+b3=2转化为 =ab，再由均值不等式可得： =ab≤（ ）2 ， 即可得到 （a+b）3≤2，问题得以证明．
【答案】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ + ）2=（a3+b3）2≥4， 当且仅当 = ，即a=b=1时取等号， （Ⅱ）∵a3+b3=2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2， ∴ =ab， 由均值不等式可得： =ab≤（ ）2 ， ∴（a+b）3﹣2≤ ， ∴ （a+b）3≤2， ∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．
一、填空题
1.（2017·天津）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________．
2.（2017?北京卷）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为________．
二、解答题
3.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 ，（t为参数），直线l2的参数方程为 ，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）写出C的普通方程； （Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l3与C的交点，求M的极径．
4.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集； （Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
5.（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值； （Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．
6.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
7.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 ，（t为参数），直线l2的参数方程为 ，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（10分）
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l3与C的交点，求M的极径．
8.（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），曲线C的参数方程为 （s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
9.（2017?新课标Ⅰ卷）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
10.（2017?新课标Ⅱ）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4． （Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程； （Ⅱ）设点A的极坐标为（2， ），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
11.（2016?全国）[选修4—5：不等式选讲] 已知函数f(x)= ∣x- ∣+∣x+ ∣，M为不等式f(x) ＜2的解集.
（1）求M；
（2）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。
12.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数 . （Ⅰ）解不等式 ； （Ⅱ）若 ，且 ，证明： .
专题十一 选修内容
（坐标系、参数方程、不等式选讲）（解析版）
考 点
考纲要求
考情分析
1.坐标系
(1)理解坐标系的作用.
(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.
(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.
1．高频考点：①平面直角坐标系中的伸缩变换的②极坐标与直角坐标的互化③直角坐标方程与极坐标方程的互化④曲线极坐标方程的应用
2．特别关注：①考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化．②考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系．
2.参数方程
(1)了解参数方程,了解参数的意义.
(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.
(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.
1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式
① |a+b | ≤ | a | + | b | .
② | a-b |≤ | a-c | + | c-b |.
③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
| ax+b | ≤c; | ax+b 丨 ≥c;
| x-a | + | x-b 丨≥c.
高频考点：①含绝对值、含参数的绝对值不等式的解法②含绝对值的不等式的应用③用分析法、综合法证明不等式④利用柯西不等式求最值
2．特别关注：预测高考对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查.
2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.
①柯西不等式的向量形式：
(此不等式通常称为平面三角不等式。)
(3) 会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：
(4) 会用向量递归方法讨论排序不等式。
(5) 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明 一些简单问题。
(6) 会用数学归纳法证明伯努利不等式：
了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立。
(7) 会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值。
(8) 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。
一、填空题
1.（2018?天津）已知圆 的圆心为C ， 直线 ( 为参数)与该圆相交于A ， B两点，则 的面积为________.
【解析】解：∵ 又直线 ∴圆心到直线距离 ，又 即
【答案】
2.（2018?江苏）在 中，角 所对应的边分别为 , 的平分线交 于点 ，且 ,则 的最小值为________
【解析】解： 当且仅当 . 故答案为：9
【答案】9
3.（2018?北京）在极坐标系中，直线 =a 与圆 =2 相切，则a=________
【解析】解： ， ， ∴ ， 又a>0,∴a= . 故答案为：
【答案】
二、解答题
4.（2018?卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线 的方程为 ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
（1）求 的直角坐标方程
（2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程
【答案】（1）解：由 ， 得 的直角坐标方程为． （2）解：由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆． 由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线． 记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为 ． 由于 在圆 的外面， 故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点，且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点． 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公共点． 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点． 综上，所求 的方程为 ．
5.（2018?卷Ⅰ）已知
（1）当 时，求不等式 的解集
（2）若 时，不等式 成立，求 的取值范围
【答案】（1）解：当 时， ，即 故不等式 的解集为 ． （2）解：当 时 成立等价于当 时 成立． 若 ，则当 时 ； 若 ， 的解集为 ，所以 ，故 ． 综上， 的取值范围为 ．
6.（2018?卷Ⅱ）设函数
（1）??? 当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围
【答案】（1）a=1时，时，由 当x≥2时，由f（x）≥0得：6-2x≥0，解得：x≤3； 当-1＜x＜x时，f（x）≥0； 当x≤-1时，由f（x）≥0得：4+2x≥0，解得x≥-2 所以f（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤3} （2）若f（x）≤1，即 恒成立 也就是x∈R， 恒成立 当x=2时取等，所以x∈R， 等价于 解得：a≥2或a≤-6 所以a的取值范围(-∞，-6] ∪[2，+∞）
7.（2018?卷Ⅱ）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 的参数方程为 ( 为参数)
（1）求 和 的直角坐标方程
（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率
【答案】（1）曲线C的直角坐标方程： 当cosα≠0，l的直角坐标方程为：xtanα?y+2?tanα=0 当cosα=0，l的直角坐标方程为：x=1 （2）将直线l的参数方程代入曲线C得： 设l与曲线C交于A，B两点 点（1,2）恰好在直线l上，且是A，B两点的中点 设A，B两点对应的参数分别为t1 ， t2 则有参数的几何意义： 故 =0 于是直线l的斜率k=tanα=-2
8.（2018?卷Ⅲ）在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 ( 为参数)，过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点
（1）求 的取值范围
（2）求 中点 的轨迹的参数方程
【答案】（1）解：直线 所以 （2）解：l的参数方程为 （t为参数， ＜α ） 设A，B，P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP= ，且tA,tB满足 于是tA+tB= ，tP = ， 又P点的坐标（x,y）满足 所以点P的轨迹的参数方程是
9.（2018?卷Ⅲ）设函数
（1）画出 的图像
（2）当 时， ，求 的最小值。
【答案】（1）解： （2）解：由（1）中可得：a≥3，b≥2，当a=3，b=2时，a+b取最小值， 所以a+b的最小值为5.
一、直角坐标与极坐标的互化
如图，把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，
则
【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
二、直线、圆的极坐标方程
(1)直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置直线的极坐标方程
①直线过极点：θ＝α；
②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
③直线过点M且平行于极轴：ρsin θ＝b.
(2)几个特殊位置圆的极坐标方程
①圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
②圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；
③圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ.
特别提醒
当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式．
三、参数方程
(1)直线的参数方程
过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)圆、椭圆的参数方程
①圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．
②椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．
特别提醒
在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
四、含有绝对值不等式的解法
1.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)若c>0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可.
(2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为?，|ax＋b|≥c的解集为R.
|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，
|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.
(1)零点分区间法的一般步骤
①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；
②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；
③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；
④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.
(2)利用绝对值的几何意义
由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.
3.|f(x)|>g(x)，|f(x)|0)型不等式的解法
(1)|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).
(2)|f(x)| 五、不等式的证明
1.证明不等式的常用结论
(1)绝对值的三角不等式
定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0，等号成立.
定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
推论1：||a|－|b||≤|a＋b|.
推论2：||a|－|b||≤|a－b|.
(2)三个正数的算术—几何平均不等式：
如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时等号成立.
(3)基本不等式(基本不等式的推广)：
对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即≥，并且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立.
(4)一般形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，并且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立.
2.证明不等式的常用方法
(1)比较法
一般步骤：作差—变形—判断—结论.为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负.
(2)综合法
利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法.
(3)分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法.
(4)反证法和放缩法
①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法.
②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法.
考点一：坐标系与极坐标
例1：直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 .
（1）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 的极坐标方程；
（2）射线 与 异于极点的交点为 ，与 的交点为 ，求 .
【解析】（1）本题主要考查曲线参数方程与普通方程、直角坐标方程与极坐标方程的互相转化； （2）本题主要用极坐标的方法来求弦长，先求出A，B两点的极坐标，再由即可得到结果。
【答案】（1）解：曲线 : （ 为参数）化为普通方程为 ， 所以曲线 的极坐标方程为 ， 曲线 的极坐标方程为
（2）解：射线 与曲线 的交点的极径为 ， 射线 与曲线 的交点的极径满足 ， 解得 ， 所以
考点二：参数方程
例2：（2017?新课标Ⅰ卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 （t为参数）．（10分）
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为 ，求a．
【解析】（1.）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标； （2.）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为 进行分析，可以求出a的值．
【答案】（1）解：曲线C的参数方程为 （θ为参数），化为标准方程是： +y2=1； a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0； 联立方程 ， 解得 或 ， 所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣ ， ）． （2）l的参数方程 （t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0， 椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）， 所以点P到直线l的距离d为： d= = ，φ满足tanφ= ， 又d的最大值dmax= ， 所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值为17， 得：5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17， 即a=﹣16或a=8．
考点三：解绝对值不等式
例3：已知函数
（1）求不等式 的解集；
（2）若 对 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）分段讨论，去掉绝对值，转化为普通不等式；（2）即fmin≥21-3a+1.
【答案】（1）解：原不等式等价于 或 或 解得 或 所以不等式 的解集为
（2）解：据题意，得 对 成立.又因为 ，所以 ，解得 .故所求实数 的取值范围是
考点四：不等式的证明
例4：.（2017?新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2．
【解析】（Ⅰ）由柯西不等式即可证明， （Ⅱ）由a3+b3=2转化为 =ab，再由均值不等式可得： =ab≤（ ）2 ， 即可得到 （a+b）3≤2，问题得以证明．
【答案】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ + ）2=（a3+b3）2≥4， 当且仅当 = ，即a=b=1时取等号， （Ⅱ）∵a3+b3=2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2， ∴ =ab， 由均值不等式可得： =ab≤（ ）2 ， ∴（a+b）3﹣2≤ ， ∴ （a+b）3≤2， ∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．
一、填空题
1.（2017·天津）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________．
【解析】解：直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0展开为：4ρ +1=0，化为：2 x+2y+1=0． 圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1． ∴圆心C（0，1）到直线的距离d= = ＜1=R． ∴直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2． 故答案为：2．
【答案】2
2.（2017?北京卷）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为________．
【解析】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0， 再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1； 如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为： |AP|min=|CP|﹣rC=2﹣1=1， 故答案为：1．
【答案】1
二、解答题
3.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 ，（t为参数），直线l2的参数方程为 ，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）写出C的普通方程； （Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l3与C的交点，求M的极径．
【答案】解：（Ⅰ）∵直线l1的参数方程为 ，（t为参数）， ∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①； 又直线l2的参数方程为 ，（m为参数）， 同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②； 联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4； （Ⅱ）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0， ∴其普通方程为：x+y﹣ =0， 联立 得： ， ∴ρ2=x2+y2= + =5． ∴l3与C的交点M的极径为ρ= ．
4.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集； （Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1， ∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2； 当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2； 综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}． （Ⅱ）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立， 即m≤[f（x）﹣x2+x]max ， 设g（x）=f（x）﹣x2+x． 由（1）知，g（x）= ， 当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1， ∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5； 当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2）， ∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ； 当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2， ∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1； 综上，g（x）max= ， ∴m的取值范围为（﹣∞， ]．
5.（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值； （Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0， 所以f′（x）=1﹣ = ，且f（1）=0． 所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以在（0,1）上f(x)<0,这与f（x）≥0矛盾； 当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a， 所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f（a）， 又因为f（x）min=f（a）≥0， 所以a=1； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1， 所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号， 所以ln（1+ ）＜ ，k∈N*, 所以，k∈N* ． 一方面，因为 + +…+ =1﹣ ＜1， 所以，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e； 另一方面，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞（1+ ）（1+ ）（1+ ）= ＞2， 同时当n≥3时，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）． 因为m为整数，且对于任意正整数n（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m， 所以m的最小值为3．
6.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1， ∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2； 当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2； 综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}． （2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立， 即m≤[f（x）﹣x2+x]max ， 设g（x）=f（x）﹣x2+x． 由（1）知，g（x）= ， 当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1， ∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5； 当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2）， ∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ； 当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2， ∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1； 综上，g（x）max= ， ∴m的取值范围为（﹣∞， ]．
7.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 ，（t为参数），直线l2的参数方程为 ，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（10分）
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l3与C的交点，求M的极径．
【答案】（1）解：∵直线l1的参数方程为 ，（t为参数）， ∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①； 又直线l2的参数方程为 ，（m为参数）， 同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②； 联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4； （2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0， ∴其普通方程为：x+y﹣ =0， 联立 得： ， ∴ρ2=x2+y2= + =5． ∴l3与C的交点M的极径为ρ= ．
8.（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），曲线C的参数方程为 （s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
【答案】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0， ∴P到直线l的距离d= = ， ∴当s= 时，d取得最小值 = ．
9.（2017?新课标Ⅰ卷）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
【答案】（1）解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数， g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ， 当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1， ]； 当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2． 当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2． 综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1， ]； （2）（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需 ，解得﹣1≤a≤1， 故a的取值范围是[﹣1，1]．
10.（2017?新课标Ⅱ）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4． （Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程； （Ⅱ）设点A的极坐标为（2， ），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为：x=4， 设P（x，y），M（4，y0），则 ，∴y0= ， ∵|OM||OP|=16， ∴ =16， 即（x2+y2）（1+ ）=16， 整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）， ∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）． （Ⅱ）点A的直角坐标为A（1， ），显然点A在曲线C2上，|OA|=2， ∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d= = ， ∴△AOB的最大面积S= |OA|?（2+ ）=2+ ．
11.（2016?全国）[选修4—5：不等式选讲] 已知函数f(x)= ∣x- ∣+∣x+ ∣，M为不等式f(x) ＜2的解集.
（1）求M；
（2）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。
【答案】（1）解：当 时， ，若 ； 当 时， 恒成立； 当 时， ，若 ， ． 综上可得， （2）证明：当 时，有 ， 即 ， 则 ， 则 ， 即 ， 证毕
12.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数 . （Ⅰ）解不等式 ； （Ⅱ）若 ，且 ，证明： .
【答案】解：（Ⅰ）解： 当 时， ， ； 当 时， ， ，无解； 当 时， ， . 综上,不等式的解集为： . （Ⅱ）证明： . 因为 ，所以 ，所以 ， .
．
