专题十四 高考中恒成立问题解答策略（原卷版）
恒成立问题：思考方向是零点问题，也可转化为函数与x轴交点，或最值问题（反向考虑为恒成立问题）恒成立问题在近几年新课标高考卷和模拟卷中频频亮相成为高考的热点问题.特别是恒成立与函数情投意合风火情深，火借风势、风助火威，大有逾演通烈之势，恒成立插足函数，使得函数问题意深难懂神秘莫测，问题显得更加扑朔迷离难度大增，同时题目也因此显得富有变化和新意.解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目。
求“恒成立问题”中参数范围，利用函数最值方便自然，利用二次不等式恒为正（负）的充要条件要分情况讨论，利用图象法直观形象.综上，恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，它以“参数处理”为主要特征，以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关，所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题.不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高。
一、单选题
1.（2017?天津）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A.?[﹣2，2]????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
二、填空题
2.（2018?北京）能说明“若f 对任意的x 都成立，则f 在 上是增函数”为假命题的一个函数是________
3.（2018?天津）已知a∈R，函数 若对任意x∈［–3，+ ），f(x)≤ 恒成立，则a的取值范围是________．
4.（2018?北京）设函数f(x)= ，若 对任意的实数x都成立，则 的最小值为________
三、解答题
5.（2018?卷Ⅰ）已知
（1）当 时，求不等式 的解集
（2）若 时，不等式 成立，求 的取值范围
6.（2018?江苏）设{ }是首项为 ，公差为 的等差数列， 是首项 ，公比为q的等比数列
（1）??? 设 若 对n=1,2,3,4均成立，求d的取值范围
（2）?? 若 ， ， 证明：存在 ，使得 对
n=2，3，…， 均成立，并求 的取值范围（用 表示）。
7.（2018?卷Ⅰ）已知函数f(x)=aex-lnx-1
（1）设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间
（2）证明:当a≥ 时,f(x)≥0
8.（2018?卷Ⅰ）已知f(x)=|x+1|-|ax-1|
（1）当a=1时,求不等式f(x)>1的解集
（2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围
9.（2018?卷Ⅲ）设函数
（1）画出 的图像
（2）当 时， ，求 的最小值。
一、恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型
恒成立问题的转化
恒成立；
能成立问题的转化
能成立；
恰成立问题的转化
在M上恰成立的解集为M
二、常见的几种形式
若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.
设函数、，对任意的，存在，使得，则
设函数、，对任意的，存在，使得，则
设函数、，存在，存在，使得，则
设函数、，存在，存在，使得，则
设函数、，对任意的，存在，使得，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A(B.
若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；
若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方；
三、恒成立问题的基本类型
数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.
函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有
(在给定区间上某关系恒成立;
(某函数的定义域为全体实数R;
(某不等式的解为一切实数;
(某表达式的值恒大于a
恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型
①一次函数型；
②二次函数型；
③变量分离型；
④根据函数的奇偶性、周期性等性质；
⑤直接根据函数的图象。
四、恒成立问题解决的基本策略
（一）两个基本思想解决“恒成立问题”
思路1、
思路2、
如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（x）的最值。
这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。
（二）、赋值型——利用特殊值求解等式恒成立问题
等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得
（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略
一次函数型
若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于
同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0 则有
二次函数型
涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。
（1）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，则有
（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。
类型1：设在R上恒成立，
上恒成立；
（2）上恒成立。
类型2：设在区间上恒成立
当时，上恒成立，
上恒成立
当时，上恒成立
上恒成立
类型3：设在区间 (-∞ , (]上恒成立。
f(x)>0(a>0且(<0或-b/2a>(且f(()>0
f(x)<0(a<0且(<0或-b/2a>(且f(()<0
类型4：设在区间 [(，+∞)上恒成立。
f(x)>0(a>0,(<0或-b/2a<(且f(()>0
f(x)<0(a<0,(<0或-b/2a<(且f(()<0
3、变量分离型
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值)
4、根据函数的奇偶性、周期性等性质
若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)，(f(-x)=f(x))恒成立；
若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。
5、直接根据图象判断
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.
五、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法。
（一）换元引参，显露问题实质
（二）分离参数，化归为求值域问题
（三）变更主元，简化解题过程
（四）图象解题，形象直观
（五）合理联想，运用平几性质
（六）分类讨论，避免重复遗漏
（七）构造函数，体现函数思想
（八）利用集合与集合间的关系
考点一：函数与导函数
例1：（1）已知函数 ，当 时，
；当 时， ．设 ．
（Ⅰ）求 的解析式；
（Ⅱ）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）根据题意得出 和 是函数 的零点 ，由此得出a,b的值，进而得出函数的解析式。 （2）根据题意将问题转化为 ，令 ，得出 ，再利用二次函数的性质得出k的取值范围。
【答案】 解：（Ⅰ）由题意得 和 是函数 的零点且 ，
则 ，
解得 ，∴ ．
（Ⅱ）由已知可得
所以 可化为 ，
化为 ，
令 ，则 ，
因 ，故 ，
记 ，
因为 ，故 ，
∴ ．
（2）设f（x）=ex（ex﹣ax﹣1）且f（x）≥0恒成立．
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0 ， 且 ．
【解析】（1）由题意不难得出ex﹣ax﹣1≥0恒成立，令φ（x）=ex﹣ax﹣1，x∈R，问题等价φ（x）≥0恒成立，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可；（2）令h（x）=2ex﹣x﹣2，根据h ( ? 2 ) h ( l n?) < 0 由零点存在定理及h（x）的单调性知，方程h（x）=0在 ( ? 2 ， l n ) 有唯一根，设为x0且 2 e x 0 ? x 0 ? 2 = 0 ，从而证明结论.
【答案】（1）解：f（x）=ex（ex﹣ax﹣1）≥0，因为ex＞0，所以ex﹣ax﹣1≥0恒成立，令φ（x）=ex﹣ax﹣1，x∈R，问题等价φ（x）≥0恒成立，∴φ'（x）=ex﹣a，当a≤0时，φ（x）在x∈R单调递增，又φ（0）=0当x∈（﹣∞，0）时，φ（x）＜0矛盾，当a＞0时，φ（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴φ（x）≥0恒成立，等价为φ（lna）=elna﹣alna﹣1≥0，即a﹣alna﹣1≥0，又令g（a）=a﹣alna﹣1，（a＞0），g'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，∴g（a）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，而g（1）=0，所以不等式a﹣alna﹣1≥0的解为a=1，综上a=1
（2）证明：f'（x）=ex（2ex﹣x﹣2），令h（x）=2ex﹣x﹣2，h'（x）=2ex﹣1，所以h（x）在 单调递减，在 单调递增 ，
∵ 由零点存在定理及h（x）的单调性知，方程h（x）=0在 有唯一根，设为x0且 ，从而h（x）有两个零点x0和0，所以f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，在（x0 ， 0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，从而f（x）存在唯一的极大值点x0即证，由 得 ，∴取等不成立，所以 得证，又∵ 在（﹣∞，x0）单调递增所以 得证，从而且 成立
考点二：向量
例2：已知向量 ， 满足| |=| =1，且|k + |= | ﹣k |（k＞0），令f（k）= ? ． （Ⅰ）求f（k）= ? （用k表示）； （Ⅱ）若f（k）≥x2﹣2tx﹣ 对任意k＞0，任意t∈[﹣1，1]恒成立，求实数x的取值范围．
【解析】（Ⅰ）根据 ，对 两边平方即可求出 的值，从而得出 ；（Ⅱ）先根据基本不等式求出k=1时，f（k）取最小值 ，这样根据条件即可得到 对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，即得到g（t）=2xt﹣x2+1≥0对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，从而得到 ，这样即可解出x的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）由题设得 ，对 两边平方得： ； ∴ ； ∴ ； ∴ ； （Ⅱ） ，当且仅当k=1时取“=”； ∵f（k）≥x2﹣2tx﹣ 对任意的k＞0，t∈[﹣1，1]恒成立； ∴ ≥x2﹣2tx﹣ ； 即g（t）=2xt﹣x2+1≥0在[﹣1，1]上恒成立，而g（t）在[﹣1，1]上为单调函数或常函数； ； 解得1﹣ ≤x≤ ﹣1； 故实数x的取值范围为[1﹣ ， ﹣1]．
考点三：数列
例3：已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且n+1=1+Sn对一切正整数n恒成立．
（1）试求当a1为何值时，数列{an}是等比数列，并求出它的通项公式；
（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列 的前n项和Tn取得最大值．
【解析】（1）由已知数列递推式可得an+1=2an ， 再由数列{an}是等比数列求得首项，并求出数列通项公式；（2）把数列{an}的通项公式代入数列 ，可得数列 是递减数列，可知当n=9时，数列 的项为正数，n=10时，数列 的项为负数，则答案可求．
【答案】（1）解：由an+1=1+Sn得：当n≥2时，an=1+Sn﹣1 ， 两式相减得：an+1=2an ， ∵数列{an}是等比数列，∴a2=2a1 ， 又∵a2=1+S1=1+a1 ， 解得：a1=1．得： ；
（2）解： ，可知数列 是一个递减数列， ∴ ，由此可知当n=9时，数列 的前项和Tn取最大值．
考点四：三角函数
例4：已知函数． （1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，m﹣2≤f（x）≤m+2恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）利用二倍角公式与和角公式对f（x）进行化简，结合正弦函数的单调性列出不等式解出单调区间； （2）求出f（x）在[0，]上的值域U，令U?[m﹣2，m+2]列出不等式组解出m的范围..
【答案】解：（1）f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．∴f（x）的最小正周期T==π． 令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ．∴f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ．]，k∈Z． （2）∵，∴2x+∈[，]，∴当2x+=时，f（x）取得最大值2，当2x+=时，f（x）取得最小值﹣1． ∵m﹣2≤f（x）≤m+2恒成立，∴，解得0≤m≤1． ∴实数m的取值范围是[0，1]．
考点五：命题
例5：设命题p：?x∈R，都有ax2＞﹣ax﹣1（a≠0）恒成立；命题q：圆x2+y2=a2与圆（x+3）2+（y﹣4）2=4外离．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
【解析】分别求出命题p，q为真时实数a的取值范围．再由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，p，q一真一假，可得实数a的取值范围．
【答案】解：p：不等式ax2+ax+1＞0（a≠0）对x∈R恒成立， ∴ ∴0＜a＜4． q：设两个圆的圆心距为d． ∴ ． ∵两圆外离， ∴d＞|a|+2， ∴|a|＜3， ∴﹣3＜a＜3． ∵命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题， ∴p，q一真一假． ①p真q假时， ， ∴3≤a＜4 ②p假q真时， ， ∴﹣3＜a≤0． 综上所述，实数a的取值范围为（﹣3，0]∪[3，4）
考点六：圆锥曲线
例6：已知椭圆 ? 的右焦点为 ，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆有且只有一个交点 ，且与直线 交于点 ，设 ? ，且满足 恒成立，求 的值．
【解析】（1）由题中条件可得， 可解得a,b。 （2）本题主要考查直线与椭圆有一个交点的问题，由直线与曲线方程联立可得， 再由其判别式=0可得， 结合， 即可求出所需结果。
【答案】 解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为 ，由已知有 ,又由 ，得 ， 故椭圆 的标准方程为 ． （Ⅱ）由 ? 消去 得 ， 所以 ， 即 ． 设 ，则 ， ? 即 ． 因为 ， 所以 由 恒成立可得， 即 恒成立，故 所以 ．
一、单选题
1.设函数， 且恒成立，则对， 下面不等式恒成立的是（???）
????? ???B.??????
C.?????? ?D.?
2.若， 且， 则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A.?????????????B.?????????C.????????D.?
3.若对 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是（??? ）
A.?????????????????B.???????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
4.在 中，下列关系恒成立的是（??? ）
A. B. C. D.
5.f（x）=|x﹣2017|+|x﹣2016|+…+|x﹣1|+|x+1|+…+|x+2016|+|x+2017|，在不等式e2017x≥ax+1（x∈R）恒成立的条件下等式f（2018﹣a）=f（2017﹣b）恒成立，求b的取值集合（?? ）
A.?{b|2016≤b≤2018}????????????B.?{2016，2018}????????????????????C.?{2018}??????????????????????D.?{2017}
6.当 时， 恒成立，则 的取值范围为（???? ）
A.???????????????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
二、填空题
7.已知数列{an}的通项公式为an= ，数列{bn}满足2an+bn=1，若对于任意n∈N*恒成立，不等式 ≥ 恒成立，则k的最大值为________．
8.若不等式|mx3﹣lnx|≥1对?x∈（0，1]恒成立，则实数m的取值范围是________
9.已知 对任意的 恒成立，则实数 的最大值为________．
三、解答题
10.若实数a，b满足ab＞0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立． （Ⅰ）求m的最大值； （Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．
11.已知a＞0，b＞0，且a2+b2= ，若a+b≤m恒成立， （Ⅰ）求m的最小值； （Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．
12.已知， 求使f（x）≤cosα恒成立的α的范围．
13.已知二次函数 （ ， ， 均为实数），满足 ，对于任意实数 都有 恒成立．
（1）求 f ( 1 ) 的值．
（2）求 的解析式．
（3）当 时，讨论函数 在 上的最大值．
14.已知函数 ，且f（x）≥t恒成立．
（1）求实数t的最大值；
（2）当t取最大值时，求不等式|x+t|+|x﹣2|≥5的解集．
15.设命题q：对任意实数x，不等式x2﹣2x+m≥0恒成立；命题q：方程 表示焦点在x轴上的双曲线．
（1）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题：“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．
16.已知 ，设命题 ：函数 在 上为减函数，命题 ：不等式 对 恒成立，若 为假命题， 为真命题，求 的取值范围.
17.已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3 （Ⅰ）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围 （Ⅱ）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2），对任意x1 ， x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．
18.函数f（x）=x2和g（x）=log3（x+1）的部分图象如图所示，设两函数的图象交于点O（0，0），A（x0 ， y0）． （Ⅰ）请指出图中曲线C1 ， C2分别对应哪一个函数？ （Ⅱ）求证:x0∈（， 1）； （Ⅱ）请通过直观感知，求出使f（x）＞g（x）+a对任何1＜x＜8恒成立时，实数a的取值范围．
19.已知椭圆Γ的中心在原点，焦距为2，且长轴长是短轴长的 倍． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程； （Ⅱ）设P（2，0），过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A、B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式 ? ≤λ（λ∈R）恒成立，求λ的最小值．
20.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是． （Ⅰ）求n的值； （Ⅱ）从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b． ①记“2≤a+b≤3”为事件A，求事件A的概率； ②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．
专题十四 高考中恒成立问题解答策略（解析版）
恒成立问题：思考方向是零点问题，也可转化为函数与x轴交点，或最值问题（反向考虑为恒成立问题）恒成立问题在近几年新课标高考卷和模拟卷中频频亮相成为高考的热点问题.特别是恒成立与函数情投意合风火情深，火借风势、风助火威，大有逾演通烈之势，恒成立插足函数，使得函数问题意深难懂神秘莫测，问题显得更加扑朔迷离难度大增，同时题目也因此显得富有变化和新意.解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目。
求“恒成立问题”中参数范围，利用函数最值方便自然，利用二次不等式恒为正（负）的充要条件要分情况讨论，利用图象法直观形象.综上，恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，它以“参数处理”为主要特征，以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关，所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题.不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高。
一、单选题
1.（2017?天津）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A.?[﹣2，2]????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
【解析】解：根据题意，函数f（x）= 的图象如图
令g（x）=| +a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，若不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得﹣2≤a≤2，故选：A．
【答案】 A
二、填空题
2.（2018?北京）能说明“若f 对任意的x 都成立，则f 在 上是增函数”为假命题的一个函数是________
【解析】解：
【答案】
3.（2018?天津）已知a∈R，函数 若对任意x∈［–3，+ ），f(x)≤ 恒成立，则a的取值范围是________．
【解析】解： 当 时， 又 ?? ∴ 当 时， 又 ∴ 综上所述
【答案】［ ，2］
4.（2018?北京）设函数f(x)= ，若 对任意的实数x都成立，则 的最小值为________
【解析】解： 又 >0,∴ 。 故答案为：
【答案】
三、解答题
5.（2018?卷Ⅰ）已知
（1）当 时，求不等式 的解集
（2）若 时，不等式 成立，求 的取值范围
【解析】(1)通过对x分类讨论去掉绝对值,解不等式,求出解集;(2)不等式恒成立等价于f(x)-x>0对于 恒成立,即函数f(x)-x的最小值大于0,由此求出a的范围.
【答案】（1）解：当 时， ，即 故不等式 的解集为 ．
（2）解：当 时 成立等价于当 时 成立．若 ，则当 时 ；若 ， 的解集为 ，所以 ，故 ．综上， 的取值范围为 ．
6.（2018?江苏）设{ }是首项为 ，公差为 的等差数列， 是首项 ，公比为q的等比数列
（1）??? 设 若 对n=1,2,3,4均成立，求d的取值范围
（2）?? 若 ， ， 证明：存在 ，使得 对
n=2，3，…， 均成立，并求 的取值范围（用 表示）。
【解析】（1）有数列构建不等式；（2）根据m值分类论证，构造函数，应用导数，分析单调性。
【答案】（1）解：∵ 对n=1,2,3,4成立。∵ ∴
（2）解：∵ 且 ，对n=2,3,….,m+1均成立∴ 即 ∵ ∴ ∴ 又 ∴存在 ，使 ，对 成立∴m=1时， 当 时，设 ，则
= ，
设
∵q-1＞0∴
∵
∴
设 ，设
∵
在 恒成立，∴
∴ ∴
∴ 对n=2,3，…，.m均成立，∴
∴
∴
7.（2018?卷Ⅰ）已知函数f(x)=aex-lnx-1
（1）设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间
（2）证明:当a≥ 时,f(x)≥0
【解析】求出函数的导数,由x=2是函数f(x)的极值点求出a的值,再由导数研究函数的单调区间;从而证明不等式.
【答案】（1）解：
∵x=2是 极值点，∴
∴
又 在
∴ 在 ，又 在
∴ 在 ，又
所以 时， ，
当 时， ，
综上所述 ， ，
（2）解：∵
当 时，
∴
令
同理 在
又
∴ 时， ，
， ，
∴
即 时，
8.（2018?卷Ⅰ）已知f(x)=|x+1|-|ax-1|
（1）当a=1时,求不等式f(x)>1的解集
（2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围
【解析】通过对x分类讨论去掉绝对值,解不等式,求出解集;(2)不等式恒成立等价于f(x)-x>0对于 恒成立,即函数f(x)-x的最小值大于0,由此求出a的范围.
【答案】（1）解：当a=1时， 当 时，-2＞1舍，当 时，2x＞1 ∴ 当 时，2＞1,成立，综上所述 结果为
（2）解：∵ ∴ ∵ax＞0
∴a＞0.
ax＜2
又 所以
综上所述
9.（2018?卷Ⅲ）设函数
（1）画出 的图像
（2）当 时， ，求 的最小值。
【解析】（1）画图像，分段函数;
（2）转化为一次函数分析.
【答案】（1）解：
（2）解：由（1）中可得：a≥3，b≥2，当a=3，b=2时，a+b取最小值，
所以a+b的最小值为5.
一、恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型
恒成立问题的转化
恒成立；
能成立问题的转化
能成立；
恰成立问题的转化
在M上恰成立的解集为M
二、常见的几种形式
若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.
设函数、，对任意的，存在，使得，则
设函数、，对任意的，存在，使得，则
设函数、，存在，存在，使得，则
设函数、，存在，存在，使得，则
设函数、，对任意的，存在，使得，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A(B.
若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；
若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方；
三、恒成立问题的基本类型
数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.
函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有
(在给定区间上某关系恒成立;
(某函数的定义域为全体实数R;
(某不等式的解为一切实数;
(某表达式的值恒大于a
恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型
①一次函数型；
②二次函数型；
③变量分离型；
④根据函数的奇偶性、周期性等性质；
⑤直接根据函数的图象。
四、恒成立问题解决的基本策略
（一）两个基本思想解决“恒成立问题”
思路1、
思路2、
如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（x）的最值。
这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。
（二）、赋值型——利用特殊值求解等式恒成立问题
等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得
（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略
一次函数型
若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于
同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0 则有
二次函数型
涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。
（1）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，则有
（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。
类型1：设在R上恒成立，
上恒成立；
（2）上恒成立。
类型2：设在区间上恒成立
当时，上恒成立，
上恒成立
当时，上恒成立
上恒成立
类型3：设在区间 (-∞ , (]上恒成立。
f(x)>0(a>0且(<0或-b/2a>(且f(()>0
f(x)<0(a<0且(<0或-b/2a>(且f(()<0
类型4：设在区间 [(，+∞)上恒成立。
f(x)>0(a>0,(<0或-b/2a<(且f(()>0
f(x)<0(a<0,(<0或-b/2a<(且f(()<0
3、变量分离型
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值)
4、根据函数的奇偶性、周期性等性质
若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)，(f(-x)=f(x))恒成立；
若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。
5、直接根据图象判断
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.
五、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法。
（一）换元引参，显露问题实质
（二）分离参数，化归为求值域问题
（三）变更主元，简化解题过程
（四）图象解题，形象直观
（五）合理联想，运用平几性质
（六）分类讨论，避免重复遗漏
（七）构造函数，体现函数思想
（八）利用集合与集合间的关系
考点一：函数与导函数
例1：（1）已知函数 ，当 时，
；当 时， ．设 ．
（Ⅰ）求 的解析式；
（Ⅱ）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）根据题意得出 和 是函数 的零点 ，由此得出a,b的值，进而得出函数的解析式。 （2）根据题意将问题转化为 ，令 ，得出 ，再利用二次函数的性质得出k的取值范围。
【答案】 解：（Ⅰ）由题意得 和 是函数 的零点且 ，
则 ，
解得 ，∴ ．
（Ⅱ）由已知可得
所以 可化为 ，
化为 ，
令 ，则 ，
因 ，故 ，
记 ，
因为 ，故 ，
∴ ．
（2）设f（x）=ex（ex﹣ax﹣1）且f（x）≥0恒成立．
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0 ， 且 ．
【解析】（1）由题意不难得出ex﹣ax﹣1≥0恒成立，令φ（x）=ex﹣ax﹣1，x∈R，问题等价φ（x）≥0恒成立，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可；（2）令h（x）=2ex﹣x﹣2，根据h ( ? 2 ) h ( l n?) < 0 由零点存在定理及h（x）的单调性知，方程h（x）=0在 ( ? 2 ， l n ) 有唯一根，设为x0且 2 e x 0 ? x 0 ? 2 = 0 ，从而证明结论.
【答案】（1）解：f（x）=ex（ex﹣ax﹣1）≥0，因为ex＞0，所以ex﹣ax﹣1≥0恒成立，令φ（x）=ex﹣ax﹣1，x∈R，问题等价φ（x）≥0恒成立，∴φ'（x）=ex﹣a，当a≤0时，φ（x）在x∈R单调递增，又φ（0）=0当x∈（﹣∞，0）时，φ（x）＜0矛盾，当a＞0时，φ（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴φ（x）≥0恒成立，等价为φ（lna）=elna﹣alna﹣1≥0，即a﹣alna﹣1≥0，又令g（a）=a﹣alna﹣1，（a＞0），g'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，∴g（a）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，而g（1）=0，所以不等式a﹣alna﹣1≥0的解为a=1，综上a=1
（2）证明：f'（x）=ex（2ex﹣x﹣2），令h（x）=2ex﹣x﹣2，h'（x）=2ex﹣1，所以h（x）在 单调递减，在 单调递增 ，
∵ 由零点存在定理及h（x）的单调性知，方程h（x）=0在 有唯一根，设为x0且 ，从而h（x）有两个零点x0和0，所以f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，在（x0 ， 0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，从而f（x）存在唯一的极大值点x0即证，由 得 ，∴取等不成立，所以 得证，又∵ 在（﹣∞，x0）单调递增所以 得证，从而且 成立
考点二：向量
例2：已知向量 ， 满足| |=| =1，且|k + |= | ﹣k |（k＞0），令f（k）= ? ． （Ⅰ）求f（k）= ? （用k表示）； （Ⅱ）若f（k）≥x2﹣2tx﹣ 对任意k＞0，任意t∈[﹣1，1]恒成立，求实数x的取值范围．
【解析】（Ⅰ）根据 ，对 两边平方即可求出 的值，从而得出 ；（Ⅱ）先根据基本不等式求出k=1时，f（k）取最小值 ，这样根据条件即可得到 对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，即得到g（t）=2xt﹣x2+1≥0对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，从而得到 ，这样即可解出x的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）由题设得 ，对 两边平方得： ； ∴ ； ∴ ； ∴ ； （Ⅱ） ，当且仅当k=1时取“=”； ∵f（k）≥x2﹣2tx﹣ 对任意的k＞0，t∈[﹣1，1]恒成立； ∴ ≥x2﹣2tx﹣ ； 即g（t）=2xt﹣x2+1≥0在[﹣1，1]上恒成立，而g（t）在[﹣1，1]上为单调函数或常函数； ； 解得1﹣ ≤x≤ ﹣1； 故实数x的取值范围为[1﹣ ， ﹣1]．
考点三：数列
例3：已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且n+1=1+Sn对一切正整数n恒成立．
（1）试求当a1为何值时，数列{an}是等比数列，并求出它的通项公式；
（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列 的前n项和Tn取得最大值．
【解析】（1）由已知数列递推式可得an+1=2an ， 再由数列{an}是等比数列求得首项，并求出数列通项公式；（2）把数列{an}的通项公式代入数列 ，可得数列 是递减数列，可知当n=9时，数列 的项为正数，n=10时，数列 的项为负数，则答案可求．
【答案】（1）解：由an+1=1+Sn得：当n≥2时，an=1+Sn﹣1 ， 两式相减得：an+1=2an ， ∵数列{an}是等比数列，∴a2=2a1 ， 又∵a2=1+S1=1+a1 ， 解得：a1=1．得： ；
（2）解： ，可知数列 是一个递减数列， ∴ ，由此可知当n=9时，数列 的前项和Tn取最大值．
考点四：三角函数
例4：已知函数． （1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，m﹣2≤f（x）≤m+2恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）利用二倍角公式与和角公式对f（x）进行化简，结合正弦函数的单调性列出不等式解出单调区间； （2）求出f（x）在[0，]上的值域U，令U?[m﹣2，m+2]列出不等式组解出m的范围..
【答案】解：（1）f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．∴f（x）的最小正周期T==π． 令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ．∴f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ．]，k∈Z． （2）∵，∴2x+∈[，]，∴当2x+=时，f（x）取得最大值2，当2x+=时，f（x）取得最小值﹣1． ∵m﹣2≤f（x）≤m+2恒成立，∴，解得0≤m≤1． ∴实数m的取值范围是[0，1]．
考点五：命题
例5：设命题p：?x∈R，都有ax2＞﹣ax﹣1（a≠0）恒成立；命题q：圆x2+y2=a2与圆（x+3）2+（y﹣4）2=4外离．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
【解析】分别求出命题p，q为真时实数a的取值范围．再由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，p，q一真一假，可得实数a的取值范围．
【答案】解：p：不等式ax2+ax+1＞0（a≠0）对x∈R恒成立， ∴ ∴0＜a＜4． q：设两个圆的圆心距为d． ∴ ． ∵两圆外离， ∴d＞|a|+2， ∴|a|＜3， ∴﹣3＜a＜3． ∵命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题， ∴p，q一真一假． ①p真q假时， ， ∴3≤a＜4 ②p假q真时， ， ∴﹣3＜a≤0． 综上所述，实数a的取值范围为（﹣3，0]∪[3，4）
考点六：圆锥曲线
例6：已知椭圆 ? 的右焦点为 ，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆有且只有一个交点 ，且与直线 交于点 ，设 ? ，且满足 恒成立，求 的值．
【解析】（1）由题中条件可得， 可解得a,b。 （2）本题主要考查直线与椭圆有一个交点的问题，由直线与曲线方程联立可得， 再由其判别式=0可得， 结合， 即可求出所需结果。
【答案】 解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为 ，由已知有 ,又由 ，得 ， 故椭圆 的标准方程为 ． （Ⅱ）由 ? 消去 得 ， 所以 ， 即 ． 设 ，则 ， ? 即 ． 因为 ， 所以 由 恒成立可得， 即 恒成立，故 所以 ．
一、单选题
1.设函数， 且恒成立，则对， 下面不等式恒成立的是（???）
????? ???B.??????
C.?????? ?D.?
【解析】因为， 且恒成立，所以 ， 所以， ， 又因为， 所以恒成立.
【答案】 A
2.若， 且， 则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A.?????????????B.?????????C.????????D.?
【解析】因为， 则或， 则排除与；由于恒成立，当且仅当时，取“=”，故错；由于， 则 ， 即， ?所以选. 【答案】C
3.若对 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是（??? ）
A.?????????????????B.???????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【解析】对 恒成立，则
恒成立，即 恒成立，令 ，则 ，当x>0时，显然 ，所以 在 上是减函数，所以当x>0时， ，所以，a的取值范围为 ，故选C.
【答案】 C
4.在 中，下列关系恒成立的是（??? ）
A. B. C. D.
【解析】由题意知，在三角形ABC中， ，
对A选项， ，A不符合题意；
对B选项， ，B不符合题意；
对C选项， ，C不符合题意；
对D选项， ，D符合题意。
故答案为：D.
【答案】 D
5.f（x）=|x﹣2017|+|x﹣2016|+…+|x﹣1|+|x+1|+…+|x+2016|+|x+2017|，在不等式e2017x≥ax+1（x∈R）恒成立的条件下等式f（2018﹣a）=f（2017﹣b）恒成立，求b的取值集合（?? ）
A.?{b|2016≤b≤2018}????????????B.?{2016，2018}????????????????????C.?{2018}??????????????????????D.?{2017}
【解析】解：不等式e2017x≥ax+1（x∈R）恒成立， 设f（x）=e2017x ， 则f′（x）=2017e2017x ， ∴f′（0）=2017，∴a=2017，∵f（2018﹣a）=f（2017﹣b）恒成立，∴f（2018﹣2017）=f（1）=f（2017﹣b）恒成立，∴2017﹣b=±1，解得b=2016或b=2018，∴b的取值集合为{2016，2018}．故选：B．
【答案】B
6.当 时， 恒成立，则 的取值范围为（???? ）
A.???????????????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
【解析】当x≥0时， ≥aln（x+1）恒成立，∴， x≥0则f′（x）= ?，再设g（x）=（1+x）2ln（x+1）﹣x，则g′（x）=（1+x）ln（x+1）+1+x﹣x=（1+x）ln（x+1）+1＞0恒成立，∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0，∴f′（x）≥0∴f′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0），∵根据洛必达法则可得∵f（0）=1∴a≤1，故a的取值范围为（﹣∞，1]故答案为A。
【答案】 A
二、填空题
7.已知数列{an}的通项公式为an= ，数列{bn}满足2an+bn=1，若对于任意n∈N*恒成立，不等式 ≥ 恒成立，则k的最大值为________．
【解析】解：∵an= ，2an+bn=1， ∴ ， ∴ = = ， ， 故对任意n∈N* ， k≤ 恒成立， 令F（n）= ， 则F（n+1）= ， 由 ， ∴F（n）为增函数，则 ． 故答案为： ．
【答案】
8.若不等式|mx3﹣lnx|≥1对?x∈（0，1]恒成立，则实数m的取值范围是________
【解析】解：|mx3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立 等价为mx3﹣lnx≥1，或mx3﹣lnx≤﹣1， 即m≥ ，记f（x）= ，或m≤ ，记g（x）= ， f'（x）= = ， 由f'（x）= =0， 解得lnx=﹣ ，即x=e﹣ ， 由f（x）＞0，解得0＜x＜e﹣ ，此时函数单调递增， 由f（x）＜0，解得x＞e﹣ ，此时函数单调递减， 即当x=e﹣ 时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（e﹣ ）= = = e2 ， 此时m≥ e2 ， 若m≤ ， ∵当x=1时， =﹣1， ∴当m＞0时，不等式m≤ 不恒成立， 综上m≥ e2 ． 故答案为：[ e2 ， +∞）．
【答案】[ e2 ， +∞）
9.已知 对任意的 恒成立，则实数 的最大值为________．
【解析】令 则 ，当 时， ，当 时， ，∴ 故 最大值为0.故答案为：0 .
【答案】0
三、解答题
10.若实数a，b满足ab＞0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立． （Ⅰ）求m的最大值； （Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．
【解析】（Ⅰ）先求出a＞0，b＞0，根据基本不等式求出m的最大值即可；（Ⅱ）问题转化为2|x﹣1|+|x|≤3，解出即可．
【答案】解：（Ⅰ）由题设可得b=＞0，∴a＞0， ∴a+b=a+=++≥3， 当a=2，b=1时，a+b取得最小值3， ∴m的最大值为3； （Ⅱ）要使2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立， 须且只须2|x﹣1|+|x|≤3， ①x≥1时，2x﹣2+x≤3，解得：1≤x≤， ②0≤x＜1时，2﹣2x+x≤3，解得：0≤x＜1， ③x＜0时，2﹣2x﹣x≤3，解得：x≥﹣， ∴实数x的取值范围是﹣≤x≤．
11.已知a＞0，b＞0，且a2+b2= ，若a+b≤m恒成立， （Ⅰ）求m的最小值； （Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．
【解析】（Ⅰ）变形已知表达式，利用柯西不等式，求出a+b的最大值，即可求m的最小值；（Ⅱ）通过2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，结合（Ⅰ）的结果，利用x的范围分类讨论，求出实数x的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a2+b2= ，∴9=（a2+b2）（12+12）≥（a+b）2 ， ∴a+b≤3，（当且仅当 ，即 时取等号） 又∵a+b≤m恒成立，∴m≥3． 故m的最小值为3． （Ⅱ）要使2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，须且只须2|x﹣1|+|x|≥3． ∴ 或 或 ∴ 或
12.已知， 求使f（x）≤cosα恒成立的α的范围．
【解析】依题意，当x∈[0，π]时，x﹣∈[﹣， ]，利用正弦函数的单调性可求得f（x）max=， 解不等式cosα≥即可求得α的取值范围．
【答案】解：∵x∈[0，π]， ∴x﹣∈[﹣，]， ∴sin（x﹣）∈[﹣，1]， ∴f（x）=sin（x﹣）的最大值为， 即f（x）max=， ∵cosα≥f（x）恒成立， ∴cosα≥f（x）max=， ∴2kπ﹣≤α≤2kπ+（k∈Z）， ∴使f（x）≤cosα恒成立的α的范围为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）．
13.已知二次函数 （ ， ， 均为实数），满足 ，对于任意实数 都有 恒成立．
（1）求 f ( 1 ) 的值．
（2）求 的解析式．
（3）当 时，讨论函数 在 上的最大值．
【解析】（1）利用赋值法即可得出答案；（2）根据题意列出方程组，和题干中的不等关系，即可求出解析式；（3）化解题干中的g(x)解析式，再根据二次函数定轴在动区间上的最值问题，即可得出答案。
【答案】（1）解：∵ x ≤ f ( x ) ≤ ，∴ ，即 （2）解：∵ ， ，∴ ， ，∵ ，∴ ，恒成立，则 ，即 的解析式为
（3）解： ，如图所示：
则 ， ，则 时， ，
? 时， ，
? ，
14.已知函数 ，且f（x）≥t恒成立．
（1）求实数t的最大值；
（2）当t取最大值时，求不等式|x+t|+|x﹣2|≥5的解集．
【解析】（1）根据1的替换，结合基本不等式的应用求出函数f（x）的最小值即可得到结论．（2）根据绝对值的应用将不等式进行表示为分段函数形式，进行求解即可．
【答案】 （1）解：f（x）= + =（ + ）（sin2x+cos2x） = （5+ + ）≥ （5+2 ）= （5+2 ）= （5+4）=1，当且仅当 = ，即 时等号成立，若f（x）≥t恒成立，∴t≤1，即t的最大值为1
（2）解：由题 则由|x+1|+|x﹣2|≥5得，当x＜﹣1，得1﹣2x≥5得2x≤﹣4，即x≤﹣2，此时x≤﹣2，当﹣1≤x≤2得3≥5，此时不等式不成立，当x＞2时，得2x﹣1≥5，即x≥3，综上x≤﹣2或x≥3，不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）
15.设命题q：对任意实数x，不等式x2﹣2x+m≥0恒成立；命题q：方程 表示焦点在x轴上的双曲线．
（1）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题：“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由方程 表示焦点在x轴上的双曲线．可得 ，得m范围．（2）由不等式x2﹣2x+m≥0恒成立，可得△≤0，由p∧q为假命题，p∨q为真命题，可得p，q一真一假．
【答案】 （1）解：∵方程 表示焦点在x轴上的双曲线． ∴ ，得m＞3；∴当m＞3时，q为真命题．
（2）解：∵不等式x2﹣2x+m≥0恒成立∴△=4﹣4m≤0， ∴m≥1，∴当m≥1时，p为真命题．∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，∴p，q一真一假；①当p真q假 ．②当p假q真 ，无解．综上，m的取值范围是[1，3]．
16.已知 ，设命题 ：函数 在 上为减函数，命题 ：不等式 对 恒成立，若 为假命题， 为真命题，求 的取值范围.
【答案】解： ∵ ：函数 在 上为减函数，∴ ，即 . ∵ ：不等式 对一切 恒成立，∴ （舍）或 ， 即 . ∵ 为假命题， 为真命题，∴ ， 一真一假， 若 真 假，则 ，此时 不存在， 若 假 真，则 ，解得 或 . ∴ 的取值范围为
17.已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3 （Ⅰ）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围 （Ⅱ）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2），对任意x1 ， x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．
【解析】（Ⅰ）解不等式f（m）≥f（1）即可； （Ⅱ）不等式等价于F（x）=|f（x）|﹣g（x）在[2，4]上递增，显然F（x）为分段函数，结合单调性对每一段函数分析讨论即可．
【答案】解：（Ⅰ）∵a∈[3，4]，∴y=f（x）在（1，）上递减，在（，+∞）上递增， 又∵f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m）， ∴f（m）≥f（1），解得（m﹣1）（m﹣a）≥0， ∴m≥amax ， 即m≥4； （Ⅱ）∵|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）， ∴|f（x1）|﹣g（x1）＜|f（x2）|﹣g（x2）恒成立， 令F（x）=|f（x）|﹣g（x），则F（x）在[2，4]上递增． 对于F（x）=， （1）当x∈[2,2+]时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1， ①当k=﹣1时，F（x）=﹣+1在[2,2+]上递增，所以k=﹣1符合； ②当k＜﹣1时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1在[2,2+]上递增，所以k＜﹣1符合； ③当k＞﹣1时，只需≥2+，即≥=2+， 所以-118.函数f（x）=x2和g（x）=log3（x+1）的部分图象如图所示，设两函数的图象交于点O（0，0），A（x0 ， y0）． （Ⅰ）请指出图中曲线C1 ， C2分别对应哪一个函数？ （Ⅱ）求证:x0∈（， 1）； （Ⅱ）请通过直观感知，求出使f（x）＞g（x）+a对任何1＜x＜8恒成立时，实数a的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由图象特征可知，C1是g（x）=log3（x+1）的图象，C2对应f（x）=x2； ???????????? （Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣log3（x+1），利用函数的零点判定定理证明； ???????????? （Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（1）=1﹣log32＞0，且由图象可知，a＜1﹣log32．
【答案】解：（Ⅰ）C1是g（x）=log3（x+1）的图象， C2对应f（x）=x2； （Ⅱ）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣log3（x+1）， ∵F（）=﹣log3（+1）=log32﹣＜0， F（1）=1﹣log32＞0， 故存在x0∈（，1），使F（x0）=0， 即x0是函数f（x）=x2和g（x）=log3（x+1）的图象的交点； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（1）=1﹣log32＞0， 且由图象可知， a＜1﹣log32．
19.已知椭圆Γ的中心在原点，焦距为2，且长轴长是短轴长的 倍． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程； （Ⅱ）设P（2，0），过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A、B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式 ? ≤λ（λ∈R）恒成立，求λ的最小值．
【解析】（Ⅰ）由已知得a= ，c=1，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， =（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2 ， 当直线l垂直于x轴时， = ，当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x+1），与椭圆联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韦达定理、向量的数量积能求出λ的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆Γ的中心在原点，焦距为2，且长轴长是短轴长的 倍， ∴a= ，c=1，a2=b2+c2 ， ∴椭圆的标准方程为 ． （Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），∴ =（x1﹣2，y1）?（x2﹣2，y2）=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2 ， 当直线l垂直于x轴时，x1=x2=﹣1，y1=﹣y2 ， 且 ， 此时， =（﹣3，y1）， =（﹣3，y2）=（﹣3，﹣y1）， ∴ =（﹣3）2﹣ = ， 当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x+1）， 由 ，消去y，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0， ∴ ， ， ∴ = =（1+k2） =（1+k2）? ﹣（k2﹣2）? +4+k2 = = ﹣ ＜ ， 要使不等式 ≤λ（λ∈R）恒成立， 只需λ≥（ ）max= ， ∴λ的最小值为
20.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是． （Ⅰ）求n的值； （Ⅱ）从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b． ①记“2≤a+b≤3”为事件A，求事件A的概率； ②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．
【解析】（Ⅰ）取到标号为2的小球的概率．列出方程．求解n的值； （Ⅱ）①求出从袋子中不放回地随机抽取2个球，的所有事件个数，满足“2≤a+b≤3”为事件A的个数，然后求解概率； ②直接利用几何概型，求解全部结果的区域面积与所求结果的区域面积，求解概率即可．
【答案】解：（Ⅰ）由题意共有小球n+2个，标号为2的小球n个．从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是=．解得n=2； （Ⅱ）①从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．共有12种结果，满足“2≤a+b≤3”为事件A共有8种结果，故P（A）=； ②由①可知（a﹣b）2≤4，故x2+y2＞4，（x，y）可以看成平面中点的坐标，则则全部结果构成的区域Ω={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，由几何概型可得概率为：P==1﹣．
