第五讲 专题提能——“解析几何”专题提能课
失误1
求圆锥曲线方程时忽视焦点的位置致误
[例1] 已知圆O：x2＋y2＝9，A(0,2)，P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，则动点P的轨迹方程是________．
[解析] 设线段AP的中点为M，N为切点，连接OM，MN，则|OM|＋|MN|＝|ON|＝3.
取A关于x轴的对称点A1，连接A1P，则|A1P|＋|AP|＝2(|OM|＋|MN|)＝6，
又|AA1|＝4<6，所以点P的轨迹是以A(0,2)，A1(0，－2)为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，b2＝a2－c2＝5，
故动点P的轨迹方程为＋＝1.
[答案] ＋＝1
[微评] 本题易忽视椭圆的焦点在y轴上，从而写错轨迹方程．注意不管是用待定系数法还是定义法求圆锥曲线的方程，都要明确焦点的位置．另外，要正确运用a，b，c之间的等量关系式，否则会产生错解.
失误2
因求解圆锥曲线的综合问题时不能合理转化已知条件而受阻
[例2] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C和抛物线y2＝x交于M，N两点，且直线MN恰好过椭圆C的右焦点F.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点F的直线l和椭圆C交于A，B两点，交抛物线于C，D两点，P是抛物线的焦点，是否存在直线l，使得S△OCD＝S△PAB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由＝和a2＝b2＋c2，可设a＝2λ，则c＝λ，b＝λ，其中λ>0.
由题意不妨设M(c，)，代入椭圆方程，得＋＝1，即＋＝1，解得λ＝，从而a＝2，b＝2，c＝2.
故所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在满足条件的直线l，结合已知条件易知直线l的斜率存在且不为零，可设直线l为y＝k(x－2)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由条件知P，F(2,0)，＝＝＝＝，故＝.
由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－8＝0，Δ1＝32k2＋32>0，x1＋x2＝，x1x2＝，
则|AB|＝|x1－x2|＝.
由得k2x2－(4k2＋1)x＋4k2＝0，
Δ2＝8k2＋1>0，x3＋x4＝，x3x4＝4，
则|CD|＝|x3－x4|＝.
由＝，得＝，
即＝，
即81k4(1＋k2)＝2(1＋2k2)2(1＋8k2)，
整理得17k6＋9k4－24k2－2＝0，
即(k2－1)(17k4＋26k2＋2)＝0，解得k＝±1.
故存在直线l：y＝x－2或y＝－x＋2满足题意．
[微评] 求解本题第(2)问的常规思路是用关于k的代数式表示出△OCD，△PAB的面积，代入S△OCD＝S△PAB，判断所得方程是否有解．注意到此解法计算量较大，极易出错，甚至难以进行下去，故可先将面积比转化为弦长比，再进行计算，虽然转化过程较复杂，但计算量相对较小．在解答类似的综合问题时，一定要注意对已知条件进行转化，通过合理转化降低计算量，简化解题步骤.
失误3
因忽视直线的斜率是否存在而失分
[例3] 已知椭圆M：＋＝1(a>0)的一个焦点为F(－1,0)，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
(1)求椭圆M的方程；
(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．
[解] (1)因为F(－1,0)为椭圆M的焦点，所以c＝1，
又b＝，所以a＝2，
所以椭圆M的方程为＋＝1.
(2)法一：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，此时△ABD与△ABC的面积相等，即|S1－S2|＝0.
当直线l的斜率存在时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，与椭圆M的方程联立，消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ>0恒成立，且x1＋x2＝－，
此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝2|k(x1＋1)＋k(x2＋1)|＝2|k(x1＋x2)＋2k|＝＝≤＝，
所以|S1－S2|的最大值为.
法二：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为x＝my－1，与椭圆M的方程联立，消去x，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ>0恒成立，且y1＋y2＝，
故|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝＝≤＝，当且仅当m＝±时取等号，所以|S1－S2|的最大值为.
[微评] (1)当直线l的斜率不存在时，可知直线方程为x＝－1；当直线l的斜率存在(显然k≠0)时，可设直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)．求解时一定要分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种情况作答，缺少任何一种情况，步骤都是不完整的．
(2)本题可将直线方程巧设为x＝my－1，用含m的式子表示出|S1－S2|，并求其最大值．显然，此法无需考虑直线的斜率是否存在，是解决此类问题的最佳选择．
策略1
点差法：解决中点弦问题
在圆锥曲线中，有关弦的中点条件，可利用点差法求解，即对于圆锥曲线ax2＋by2＝1来说，当两点M(x1，y1)，N(x2，y2)在曲线上时，一定满足从而两式相减得＝－＝－，其中(x0，y0)是MN的中点．
[例1] 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[解析] 由题意知直线AB的斜率k＝＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①－②整理得＝－·，
即k＝－×＝，∴＝.
又a2－b2＝c2＝9，∴a2＝18，b2＝9.
∴椭圆E的方程为＋＝1.
[答案] D
[微评] 本题利用“点差法”及“设而不求”思想求得a与b的关系，然后根据a2－b2＝c2，求得椭圆方程.
策略2
联立方程法：解决对称问题
圆锥曲线上存在两点，关于某条直线对称，求参数的取值范围，这类问题常见的解法是：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是圆锥曲线上关于直线y＝kx＋b对称的两点，则PQ的方程为y＝－x＋m，代入圆锥曲线方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，其中P，Q的横(或纵)坐标即为方程的根，故Δ>0，从而求得k(或b)的取值范围．
[例2] 已知抛物线C：y2＝x与直线l：y＝kx＋，要使C上存在关于直线l对称的两点，求实数k的取值范围．
[解] 设C上的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点关于直线l对称，线段AB的中点为M(x0，y0)，
则两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2.
∵y1＋y2＝2y0，AB⊥l，
∴kAB＝＝＝－，∴y0＝－.
代入y＝kx＋，得x0＝＝－－.
∵点M在抛物线内部，∴y
即<－－，整理得k2＋＋2<0.
不等式等价于(k＋1)(k2－k＋3)<0，
解得－1[微评] 由于A，B两点在抛物线C上，所以AB的中点在抛物线的内部.
策略3
参数法：解决定点问题
思路一：建立含参数的曲线方程(包括直线方程)，进行适当整理或选取合适坐标，确定该坐标满足方程且与参数无关．
思路二：(1)选择一个参数建立直线系方程．一般是将题目中给出的曲线方程(包括直线方程)中的常数当作变量，将变量x，y当作常数，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常数)．
(2)根据直线系方程过定点时参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组
(3)以(2)中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
[例3] 已知椭圆C：＋y2＝1，过椭圆C的右顶点A的两条斜率之积为－的直线分别与椭圆交于点M，N.问：直线MN是否过定点D？若过定点D，求出点D的坐标；若不过定点，请说明理由．
[解] 法一：当直线MN的斜率存在时，
设MN：y＝kx＋m，
代入椭圆方程得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
根据已知可得·＝－，
即4y1y2＋(x1－2)(x2－2)＝0，
即(1＋4k2)x1x2＋(4km－2)(x1＋x2)＋4m2＋4＝0，
所以(1＋4k2)·＋(4km－2)＋4m2＋4＝0，即(4km－2)(－8km)＋8m2(1＋4k2)＝0，即m2＋2km＝0，得m＝0或m＝－2k.
当m＝0时，直线y＝kx经过定点D(0,0)．
由于AM，AN的斜率之积为负值，故点M，N在椭圆上位于x轴两侧，直线MN与x轴的交点一定在椭圆内部，而当m＝－2k时，直线y＝kx－2k过定点(2,0)，故不可能．
当MN的斜率不存在时，点M，N关于x轴对称，此时AM，AN的斜率分别为，－，此时M，N恰为椭圆的上、下顶点，直线MN也过定点(0,0)．
综上可知，直线MN过定点D(0,0)．
法二：根据已知直线AM，AN的斜率存在且不为零，A(2,0)．设AM：y＝k(x－2)，
代入椭圆方程，得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，
设M(x1，y1)，则2x1＝，
即x1＝，y1＝k(x1－2)＝，
即M.
设直线AN的斜率为k′，则kk′＝－，即k′＝－，
把点M坐标中的k替换为－，得N.
当M，N的横坐标不相等，即k≠±时，kMN＝，直线MN的方程为y－＝·，即y＝x，
该直线恒过定点(0,0)．当k＝±时，M，N的横坐标为零，直线MN也过定点(0,0)．
综上可知，直线MN过定点D(0,0)．
[微评] 解决本题有两种方法，法一：以双参数表达直线MN的方程，求解双参数满足的关系；法二：以直线AM的斜率为参数，表达直线MN的方程．
1．数形结合思想——解决圆锥曲线的最值问题
[例1] (1)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是( )
A. B.
C. D.
(2)设P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] (1)如图所示，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.
因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．
此时|MN|＝＝，
又c＝＝＝1，
所以此时△FMN的面积S＝×2×＝.故选C.
(2)由题意得，圆C1：(x＋4)2＋y2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r1＝2；圆C2：(x－4)2＋y2＝1的圆心为(4,0)，半径为r2＝1.
设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1(－4,0)，F2(4,0)．如图所示，连接PF1，PF2，F1M，F2N，则|PF1|－|PF2|＝2.又|PM|max＝|PF1|＋r1，|PN|min＝|PF2|－r2，所以|PM|－|PN|的最大值m＝|PF1|－|PF2|＋r1＋r2＝5.又|PM|min＝|PF1|－r1，|PN|max＝|PF2|＋r2，所以|PM|－|PN|的最小值n＝|PF1|－|PF2|－r1－r2＝－1，所以|m－n|＝6.故选C.
[答案] (1)C (2)C
[微评] 数形结合确定临界位置，这是解决圆锥曲线最值问题常用思想，多涉及圆锥曲线定义的应用．
2．函数与方程思想——在圆锥曲线最值或范围问题中的应用
[例2] 已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长度的取值范围．
[解] (1)根据题意，因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，
所以b＝c＝1，即a＝＝，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)根据题意，过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，即直线AB的斜率存在且不为0.设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，与＋y2＝1联立，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M，则x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝，即M.
所以线段AB的垂直平分线的方程为y－＝－，
设点P(xP，yP)，令y＝0，得xP＝－.
因为xP∈，所以0所以|AB|＝＝＝＝.
因为0所以<1＋<2，即<|AB|<2.
故线段AB长度的取值范围是.
[微评] (1)本题利用了函数与方程思想，首先由已知条件列出关于a，b的方程，求出a，b的值；求AB长度的范围时，转化为关于k的函数，利用函数性质求解．
(2)函数与方程思想在解决一些解析几何问题中经常用到，如求范围、最值问题．
临界法则
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0(C≠D)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋E＝0.
(2)过直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与直线l2：a2x＋b2y＋c2＝0交点的直线系方程为a1x＋b1y＋c1＋λ(a2x＋b2y＋c2)＝0.
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.
(4)过直线ax＋by＋c＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0.
(5)圆(x－a)2＋(y－b)2＝R2的参数方程为
(θ为参数)．
(6)椭圆＋＝1的参数方程为
(θ为参数)．
[典例] 已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求实数m的值．
[解] 过直线x＋2y－3＝0与圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋x－6y＋m＋λ(x＋2y－3)＝0，即x2＋y2＋(1＋λ)x＋2(λ－3)y＋m－3λ＝0.①
依题意，O在以PQ为直径的圆上，则圆心显然在直线x＋2y－3＝0上，则－＋2(3－λ)－3＝0，解得λ＝1.又O(0,0)满足方程①，则m－3λ＝0，故m＝3.
[微评] 利用直线与圆相交的圆系方程可以很好的解决这类题型，圆与圆相交的圆系方程问题也可以同样解决，只要能巧妙的构造圆系方程即可．
A组——易错清零练
1．(2018·嘉兴模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，则“a＝－3”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若l1⊥l2，则a＋a(a＋2)＝0，即a(a＋3)＝0，解得a＝0或a＝－3，所以“a＝－3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A.
2．已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)，过双曲线Γ的右焦点F，且倾斜角为的直线l与双曲线Γ交于A，B两点，O是坐标原点，若∠AOB＝∠OAB，则双曲线Γ的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意可知AB是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB＝∠OAB，可知△AOB为等边三角形，所以tan∠AOF＝＝，整理得b2＝ac，由c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋ac，两边同时除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝.故选C.
3．过点P(2,1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选B 依题意，双曲线的渐近线方程是y＝±x，点P在直线y＝x上．
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意．
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
即y＝kx＋1－2k，
由消去y得x2－4(kx＋1－2k)2＝4，
即(1－4k2)x2－8(1－2k)kx－4(1－2k)2－4＝0，(*)
若1－4k2＝0，则k＝±，
当k＝时，方程(*)无实数解，因此k＝不满足题意；
当k＝－时，方程(*)有唯一实数解，因此k＝－满足题意．
若1－4k2≠0，即k≠±，此时Δ＝64k2(1－2k)2＋16(1－4k2)[(1－2k)2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k不存在．
综上所述，满足题意的直线l共有2条．
4．已知椭圆＋＝1的离心率等于，则m＝________.
解析：①当椭圆的焦点在x轴上时，
则a2＝4，即a＝2.又e＝＝，
所以c＝，m＝b2＝a2－c2＝4－()2＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，
椭圆的方程为＋＝1，则b2＝4，即b＝2.
又e＝＝，故 ＝，解得＝，即a＝2b，
所以a＝4，m＝a2＝16.综上，m＝1或16.
答案：1或16
5．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B两点．连接MC1，MC2.
根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2<6＝|C1C2|.
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数．
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离比与C1的距离大)，
可设轨迹方程为－＝1(a>0，b>0，x<0)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x<0)．
答案：x2－＝1(x<0)
B组——方法技巧练
1．已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )
A. B．3
C. D．2
解析：选C 抛物线的准线方程为x＝－，过Q作准线的垂线，垂足为Q′，如图．依据抛物线的定义，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，则当QM和QQ′共线时，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值为＝.
2．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t，0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是( )
A．(0,2] B．[1,2]
C．[2,3] D．[1,3]
解析：选D 依题意，设点P(＋cos θ，1＋sin θ)，
∵∠APB＝90°，∴·＝0，
∴(＋cos θ＋t)(＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)2＝0，
得t2＝5＋2cos θ＋2sin θ＝5＋4sin，
∵sin∈[－1,1]，∴t2∈[1,9]，
∵t＞0，∴t∈[1,3]．
3．(2018·金华、台州、温州三市联考)已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则△PF1Q的周长为( )
A. B．5
C. D．4
解析：选A 易知双曲线C：－y2＝1中，a＝，b＝1，所以c＝＝2，则F1(－2,0)，F2(2,0)．因为点P的横坐标为2，所以PQ⊥x轴．令x＝2，则y2＝－1＝，则y＝±，即|PF2|＝，则|PF1|＝＝，故△PF1Q的周长为|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝，故选A.
4．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C．[2－，2＋] D.
解析：选A 圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则∠APO＝30°.
在Rt△PAO中，|PO|＝＝2，
又圆M的半径为1，圆心坐标为M(a，a－4)，
∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1，
∵|MO|＝，
∴ －1≤2≤ ＋1，
解得2－≤a≤2＋.
∴实数a的取值范围为.
5．(2018·宁波模拟)如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，则C1与C2的离心率之和为( )
A．2 B．4
C．2 D．2
解析：选A 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由双曲线和椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，
又AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，
故|AF1|＝|OF1|＝|OA|＝|OB|＝c，
∴A，代入椭圆方程＋＝1，结合b2＝a2－c2及e＝，整理可得，e4－8e2＋4＝0，
∵0同理可求得双曲线的离心率e1＝＋1，
∴e＋e1＝2.
6．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，
由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
kAB＝＝＝.
由得kAB＝＝＝·，则·＝，
∴＝，故＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
C组——创新应用练
1．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足＝＋，则r＝( )
A．2 B.
C．2 D.
解析：选B 已知＝＋，
两边平方化简得·＝－r2，
所以cos∠AOB＝－，
所以cos＝，
又圆心O(0,0)到直线的距离为＝，
所以＝，解得r＝.
2．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域是由不等式组所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1＜，即＞，因此题中的双曲线的离心率e＝∈.
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF＝α，则由题意知tan α＝，在△AOB中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan 2α＝，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理得d＝m，∴－tan 2α＝－＝＝＝，解得＝2或＝－(舍去)，∴b＝2a，c＝＝a，∴e＝＝.
4．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上的一点．△F1PF2中，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.当点P在椭圆上运动时，求点R的轨迹方程．
解：如图，直线l为∠F1PF2的外角平分线且点F2与点Q关于直线l对称，由椭圆的光学性质知，F1，P，Q三点共线．根据对称性，|PQ|＝|PF2|，所以|F1Q|＝|PF1|＋|PF2|＝2a.连接OR，因为O为F1F2的中点，R为F2Q的中点，所以|OR|＝|F1Q|＝a.设R(x，y)，则x2＋y2＝a2(y≠0)，故点R的轨迹方程为x2＋y2＝a2(y≠0)．
5．(2018·诸暨高三适应性考试)已知F是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，过F的直线交抛物线C于不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2＝－1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点B作x轴的垂线交直线AO(O是原点)于D，过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，AE中点为G.
①求点D的纵坐标；
②求的取值范围．
解：(1)设直线AB的方程为y＝kx＋，
联立
消去y，化简得x2－2pkx－p2＝0，
∴x1x2＝－p2＝－1，∴p＝1，
∴抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)①∵直线OA的方程为y＝x＝x，
∴D，即D.
即点D的纵坐标为－.
②∵kDF＝－，∴kAE＝x2，
∴直线AE的方程为y－y1＝x2(x－x1)．
联立
消去y，得－x2x－y1－1＝0，
∴xE＝2x2－x1，∴G(x2,2y2＋y1＋1)，
∴G，B，D三点共线．
∴＝.
∵y1·y2＝，
∴＝2－＝2－＝2－∈(1,2)．
∴∈.
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．椭圆＋＝1的焦距是( )
A．2 B．4
C．2 D．20
解析：选A 由椭圆的方程＋＝1，知a2＝8，b2＝6，故c＝＝，所以焦距2c＝2.故选A.
2．已知角α为第三象限角，且tan α＝，则sin α＋cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A 由题可得因为α是第三象限角，所以故sin α＋cos α＝－.选A.
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A. B．6
C. D．4
解析：选A 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，所以该几何体的体积V＝23－××2×2×1＝.故选A.
4．已知{an}是公差为d的等差数列，则“a1a80”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 因为a1a8－a4a5＝a1(a1＋7d)－(a1＋3d)(a1＋4d)＝－12d2≤0，所以a1a80”的必要不充分条件．所以选B.
5．已知双曲线mx2＋ny2＝1(mn<0)的离心率为，此双曲线上的点(x0，y0)满足y>4x，则该双曲线的一条渐近线方程为( )
A．y＝2x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
解析：选A 因为双曲线上的点(x0，y0)满足y>4x，所以焦点在y轴上．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则e＝＝，得＝，所以渐近线方程为y＝±2x.
6．已知O为坐标原点，点A，B在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，且关于坐标原点O对称．若双曲线C上与点A，B横坐标不相同的任意一点P满足kPA·kPB＝3，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B．4
C. D．10
解析：选A 设A(x1，y1)，P(x0，y0)(|x0|≠|x1|)，则B(－x1，－y1)，则kPA·kPB＝·＝.因为点P，A在双曲线C上，所以b2x－a2y＝a2b2，b2x－a2y＝a2b2，两式相减可得＝，故＝3，于是b2＝3a2.又因为c2＝a2＋b2，所以双曲线C的离心率e＝ ＝2.故选A.
7．已知AD与BC是三棱锥A-BCD中相互垂直的棱，若AD＝BC＝6，且∠ABD＝∠ACD＝60°，则三棱锥A-BCD的体积的最大值是( )
A．36 B．36
C．18 D．18
解析：选D 如图，过C作CF⊥AD，垂足为F，连接BF，
∵BC⊥AD，CF⊥AD，BC∩CF＝C，BC?平面BCF，CF?平面BCF，
∴AD⊥平面BCF，
∴V三棱锥A-BCD
＝V三棱锥A-BCF＋V三棱锥D-BCF
＝S△BCF·AF＋S△BCF·FD
＝S△BCF·(AF＋FD)＝S△BCF·AD.
∵AD＝BC＝6，∴V三棱锥A-BCD＝2S△BCF，
∴当△BCF的面积最大时，V三棱锥A-BCD取得最大值，
易知当△BCF为等腰三角形时，S△BCF取得最大值，即V三棱锥A-BCD取得最大值．
取BC的中点E，连接EF，当△BCF为等腰三角形时，EF⊥BC，
∴2S△BCF＝2××BC×EF＝6EF，
又∵EF＝＝，
∴当CF最长时，V三棱锥A-BCD最大，
∵∠ACD＝60°，AD＝6，AD⊥CF，
∴当AC＝CD时，CF取得最大值，
此时CF＝3，∴EF＝3，∴6EF＝18.
∴三棱锥A-BCD体积的最大值为18.故选D.
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(0，－1)
C．(－1,1) D．(－1，＋1)
解析：选C 由题意可知，A，B的横坐标均为c，且A，B都在椭圆上，所以＋＝1，
从而可得y＝±，不妨令A，B.
由△ABF1是锐角三角形知∠AF1F2<45°，
所以tan ∠AF1F2<1，
所以tan∠AF1F2＝＝<1，故<1，即e2＋2e－1>0，解得e>－1或e<－－1，又因为椭圆中，09．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 018＝( )
A．22 019－1 B．21 009－3
C．3×21 009－3 D．21 008－3
解析：选C ∵an＋1an＝2n，∴an＋2an＋1＝2n＋1，∴＝2，∴ 数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比均为2.又∵a1a2＝2，a1＝1，∴a2＝2，∴S2 018＝(a1＋a3＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋…＋a2 018)＝＋＝3×21 009－3.
10．已知直线ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB是直角三角形，则点P(a，b)与点M(0,1)之间的距离的最大值为( )
A.＋1 B．2
C. D.－1
解析：选A 直线ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，则依题意可知，△AOB是等腰直角三角形，坐标原点O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝，即2a2＋b2＝2，
∴a2＝(－≤b≤)，则|PM|＝＝ ＝，∴当b＝－时，|PM|max＝＝＋1.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
11．已知抛物线y2＝2px过点A(1,2)，则p＝________，准线方程是________．
解析：由题可得，4＝2p，解得p＝2，所以准线方程为x＝－＝－1.
答案：2 x＝－1
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若满足2bcos Acos C＝c－2acos Bcos C，则角C＝________，sin A＋sin B的最大值是________．
解析：由已知得2bcos Acos C＋2acos Bcos C＝c，
由正弦定理得2cos C(sin Bcos A＋sin Acos B)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，
∵A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，
∴sin(A＋B)＝sin C>0，
∴2cos C＝1，cos C＝，∴C＝.
∴sin A＋sin B＝sin A＋sin(A＋C)＝sin A＋sin A＋cos A＝sin，
∵C＝，∴0∴当A＋＝，即A＝时，sin A＋sin B取得最大值，最大值是，此时△ABC为正三角形．
答案：
13．设圆C上的点A(2,6)关于直线x＋y－5＝0的对称点A′仍在圆C上，且圆C与直线3x＋4y－8＝0相交的弦长为2，则点A′的坐标为________，圆C的圆心坐标为________．
解析：设点A′(x0，y0)，
∵点A与A′关于直线x＋y－5＝0对称，
∴解得
∴点A′的坐标为(－1,3)．
设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则(2－a)2＋(6－b)2＝r2.①
∵点A(2,6)关于直线x＋y－5＝0的对称点A′(－1,3)在圆C上，
∴圆心(a，b)在直线x＋y－5＝0上，∴a＋b－5＝0，②
又直线3x＋4y－8＝0被圆截得的弦长为2，
∴r2＝()2＋.③
解由方程①②③组成的方程组，得a＝2，b＝3或a＝－，b＝，
∴圆C的圆心坐标为(2,3)或.
答案：(－1,3) (2,3)或
14．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)和动直线l：y＝kx＋b(k，b是参变量，且k≠0，b≠0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，平面直角坐标系的原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为kOA，kOB，且kOA·kOB＝恒成立，则当k变化时，直线l经过的定点为________．
解析：联立消去y，得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∵kOA·kOB＝，∴y1y2＝x1x2，
又∵y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝，
∴＝·，解得b＝，
∴y＝kx＋＝k.
令x＝－，得y＝0，
∴直线l过定点.
答案：
15．向量a与b的夹角为90°，|a|＝|b|＝1，若|c－a|＋|c－2b|＝，则|c＋2a|的最大值为________，最小值为________．
解析：因为|c－a|＋|c－2b|＝，且 ＝，a⊥b，所以向量c的终点在a和2b的终点的连线上(如图)，故|c＋2a|的取值范围为|SK―→|的长度变化．当SK⊥FG时，长度最短，连接SG，由SF·OG＝FG·SK，得SK＝＝.又SF＝3，SG＝2，所以当a＝c时，SK最长，为3.
答案：3
16．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上，且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△AFO与△BFO面积之和的最小值是________．
解析：法一：设直线lAB：x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立?y2－my－t＝0，
∴y1＋y2＝m，y1y2＝－t，
∵点A，B位于x轴两侧，
∴y1y2＝－t<0，∴t>0.
又·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝t2－t＝2，
解得t＝2或t＝－1(舍去)．
∴S△AFO＋S△BFO＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝≥，
∴△AFO与△BFO面积之和的最小值为.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝2，
∴y1y2＝－2或y1y2＝1(舍去)．
∴S△AFO＋S△BFO＝|y1－y2|＝＝ ≥＝.
答案：
17．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点与双曲线C1的一个焦点重合，C1与C2在第一象限相交于点P，且|F1F2|＝|PF1|，则双曲线C1的离心率为________．
解析：由题意可知，F1(－c,0)，F2(c,0)．设点P(x0，y0)，过点P作抛物线C2：y2＝2px(p>0)准线的垂线，垂足为A，连接PF2.根据双曲线的定义和|F1F2|＝|PF1|＝2c，可知|PF2|＝2c－2a.由抛物线的定义可知|PF2|＝|PA|＝x0＋c＝2c－2a，则x0＝c－2a.由题意可知＝c，又点P在抛物线C2上，所以y＝2px0＝4c·(c－2a)，在Rt△F1AP中，|F1A|2＝|PF1|2－|PA|2＝(2c)2－(2c－2a)2＝8ac－4a2, 即y＝8ac－4a2，所以8ac－4a2＝4c(c－2a)，化简可得c2－4ac＋a2＝0，即e2－4e＋1＝0，又e>1，所以e＝2＋.
答案：2＋
三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2cos2－cos＋m(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，函数f(x)的最大值为2，求f的值．
解：(1)f(x)＝2cos2－cos＋m
＝1＋cos－cos 2ωxcos－sin 2ωxsin＋m
＝1＋sin 2ωx－cos 2ωx－sin 2ωx＋m
＝sin 2ωx－cos 2ωx＋m＋1
＝sin＋m＋1.
∵函数f(x)的最小正周期为π，
∴T＝＝π，∴ω＝1，
∴f(x)＝sin＋m＋1.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由(1)知，f(x)在上单调递增，上单调递减，
∴f(x)max＝f＝1＋m＋1＝2，
解得m＝0.
∴f(x)＝sin＋1，
∴f＝sin＋1
＝sincos－cossin＋1
＝.
19．(本小题满分15分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围．
解：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4,0)，B(4，0)，
设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1＝，k2＝.
由k1k2＝－，得·＝－，
整理得＋＝1.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ与椭圆方程联立，
得消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而，·＋·＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＝－20＋.
所以－20<·＋·≤－.
当直线PQ的斜率不存在时，·＋·的值为－20.
综上，·＋·的取值范围为.
20．(本小题满分15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝4，a2＝7，且当n≥3时，Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋3，数列{bn}为等比数列，b1＋b2＝8(b4＋b5)，a5·b4＝1.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)证明：数列{anbn}的前n项和Tn<7.
解：(1)由已知可得当n≥3时，Sn－Sn－1＝(Sn－1－Sn－2)＋3，
即an＝an－1＋3，
又a2＝a1＋3，
所以数列{an}是以a1＝4为首项，3为公差的等差数列，
所以an＝4＋3(n－1)＝3n＋1.
设等比数列{bn}的公比为q，
则由已知可得＝，
即q3＝，解得q＝.
又a5＝3×5＋1＝16，
所以b4＝＝，
故bn＝b4qn－4＝×n－4＝.
(2)证明：由(1)知anbn＝.
所以Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＋anbn＝＋＋＋…＋＋，①
Tn＝＋＋＋…＋＋，②
①－②得
Tn＝＋＋＋…＋＋－
＝2＋－
＝2＋－
＝－，
所以Tn＝7－.
因为>0，所以Tn<7.
21．(本小题满分15分)已知动圆C过定点F2(1,0)，并且内切于定圆F1：(x＋1)2＋y2＝16.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程；
(2)若y2＝4x上存在两个点M，N，(1)中曲线上有两个点P，Q，并且M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，PQ⊥MN，求四边形PMQN的面积的最小值．
解：(1)设动圆的半径为r，则|CF2|＝r，|CF1|＝4－r，∴|CF1|＋|CF2|＝4>|F1F2|，
由椭圆的定义知动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，a＝2，c＝1，
∴b＝，故动圆圆心C的轨迹方程是＋＝1.
(2)当直线MN的斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得|MN|＝4，|PQ|＝4，四边形PMQN的面积S＝8.
当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，联立消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
∴|MN|＝·＝＋4.
∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为y＝－(x－1)，
联立消去y，
得(3k2＋4)x2－8x＋4－12k2＝0.
设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则
∴|PQ|＝ ·＝.
∴四边形PMQN的面积S＝|MN|·|PQ|＝··＝24×.
令k2＋1＝t，t>1，上式S＝24·＝24，
令2t＋1＝z(z>3)，
则S＝8＝8＝8.
∵z＋>(z>3)，∴3－10>0，∴S>8.
综上可得，S≥8，即四边形PMQN的面积的最小值为8.
22．(本小题满分15分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)的公共焦点为F2，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|－1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF2|＝.
(1)求抛物线的方程和椭圆的方程；
(2)过抛物线上的点P作抛物线的切线y＝kx＋m，交椭圆于A，B两点，求此切线在x轴上的截距的取值范围．
解：(1)∵抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|－1，
∴点M到直线x＝－1的距离等于点M到焦点F2的距离，
∴直线x＝－1是抛物线y2＝2px的准线，即－＝－1，解得p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x.
可知椭圆的右焦点F2(1,0)，
设椭圆的左焦点为F1，则F1(－1,0)，
由抛物线的定义及|QF2|＝，得xQ＋1＝，
∴xQ＝，
又∵y＝4xQ，∴Q，
由椭圆的定义得2a＝|QF1|＋|QF2|＝＋＝6，
∴a＝3，又∵c＝1，∴b2＝a2－c2＝8，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)显然k≠0，m≠0，
由消去x，得ky2－4y＋4m＝0，
由题意知Δ1＝16－16km＝0，得km＝1，
∵k≠0，m≠0，∴k＝.
由消去y，得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0，
由题意知Δ2＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)>0，
即9k2－m2＋8>0，
又∵k＝，∴m4－8m2－9<0，∴0∵切线在x轴上的截距为－，且k＝，
∴－＝－m2，
∵0即－9<－<0，
∴切线在x轴上的截距的取值范围是(－9,0)．
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实现“移花接木”提能点(二) 灵活运用策略，尝试“借石攻玉”提能点(三)系统数学思想，
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挖掘“学科潜力”
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A组——易错清零练
1．(2018·嘉兴模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，则“a＝－3”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若l1⊥l2，则a＋a(a＋2)＝0，即a(a＋3)＝0，解得a＝0或a＝－3，所以“a＝－3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A.
2．已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)，过双曲线Γ的右焦点F，且倾斜角为的直线l与双曲线Γ交于A，B两点，O是坐标原点，若∠AOB＝∠OAB，则双曲线Γ的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意可知AB是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB＝∠OAB，可知
△AOB为等边三角形，所以tan∠AOF＝＝，整理得b2＝ac，由c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋ac，两边同时除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝.故选C.
3．过点P(2,1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选B 依题意，双曲线的渐近线方程是y＝±x，点P在直线y＝x上．
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意．
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
即y＝kx＋1－2k，
由消去y得x2－4(kx＋1－2k)2＝4，
即(1－4k2)x2－8(1－2k)kx－4(1－2k)2－4＝0，(*)
若1－4k2＝0，则k＝±，
当k＝时，方程(*)无实数解，因此k＝不满足题意；
当k＝－时，方程(*)有唯一实数解，因此k＝－满足题意．
若1－4k2≠0，即k≠±，此时Δ＝64k2(1－2k)2＋16(1－4k2)[(1－2k)2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k不存在．
综上所述，满足题意的直线l共有2条．
4．已知椭圆＋＝1的离心率等于，则m＝________.
解析：①当椭圆的焦点在x轴上时，
则a2＝4，即a＝2.又e＝＝，
所以c＝，m＝b2＝a2－c2＝4－()2＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，
椭圆的方程为＋＝1，则b2＝4，即b＝2.
又e＝＝，故 ＝，解得＝，即a＝2b，
所以a＝4，m＝a2＝16.综上，m＝1或16.
答案：1或16
5．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B两点．连接MC1，MC2.
根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2<6＝|C1C2|.
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数．
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离比与C1的距离大)，
可设轨迹方程为－＝1(a>0，b>0，x<0)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x<0)．
答案：x2－＝1(x<0)
B组——方法技巧练
1．已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )
A. B．3
C. D．2
解析：选C 抛物线的准线方程为x＝－，过Q作准线的垂线，垂足为Q′，如图．依据抛物线的定义，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，则当QM和QQ′共线时，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值为＝.
2．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t，0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是( )
A．(0,2] B．[1,2]
C．[2,3] D．[1,3]
解析：选D 依题意，设点P(＋cos θ，1＋sin θ)，
∵∠APB＝90°，∴·＝0，
∴(＋cos θ＋t)(＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)2＝0，
得t2＝5＋2cos θ＋2sin θ＝5＋4sin，
∵sin∈[－1,1]，∴t2∈[1,9]，
∵t＞0，∴t∈[1,3]．
3．(2018·金华、台州、温州三市联考)已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则
△PF1Q的周长为( )
A. B．5
C. D．4
解析：选A 易知双曲线C：－y2＝1中，a＝，b＝1，所以c＝＝2，则F1(－2,0)，F2(2,0)．因为点P的横坐标为2，所以PQ⊥x轴．令x＝2，则y2＝－1＝，则y＝±，即|PF2|＝，则|PF1|＝＝，故△PF1Q的周长为|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝，故选A.
4．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C．[2－，2＋] D.
解析：选A 圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则∠APO＝30°.
在Rt△PAO中，|PO|＝＝2，
又圆M的半径为1，圆心坐标为M(a，a－4)，
∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1，
∵|MO|＝，
∴ －1≤2≤ ＋1，
解得2－≤a≤2＋.
∴实数a的取值范围为.
5．(2018·宁波模拟)如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，则C1与C2的离心率之和为( )
A．2 B．4
C．2 D．2
解析：选A 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由双曲线和椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，
又AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，
故|AF1|＝|OF1|＝|OA|＝|OB|＝c，
∴A，代入椭圆方程＋＝1，结合b2＝a2－c2及e＝，整理可得，e4－8e2＋4＝0，
∵0同理可求得双曲线的离心率e1＝＋1，
∴e＋e1＝2.
6．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，
由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
kAB＝＝＝.
由得kAB＝＝＝·，则·＝，
∴＝，故＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
C组——创新应用练
1．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足＝＋，则r＝( )
A．2 B.
C．2 D.
解析：选B 已知＝＋，
两边平方化简得·＝－r2，
所以cos∠AOB＝－，
所以cos＝，
又圆心O(0,0)到直线的距离为＝，
所以＝，解得r＝.
2．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域是由不等式组所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1＜，即＞，因此题中的双曲线的离心率e＝∈.
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF＝α，则由题意知tan α＝，在△AOB中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan 2α＝，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理得d＝m，∴－tan 2α＝－＝＝＝，解得＝2或＝－(舍去)，∴b＝2a，c＝＝a，∴e＝＝.
4．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上的一点．△F1PF2中，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.当点P在椭圆上运动时，求点R的轨迹方程．
解：如图，直线l为∠F1PF2的外角平分线且点F2与点Q关于直线l对称，由椭圆的光学性质知，F1，P，Q三点共线．根据对称性，|PQ|＝|PF2|，所以|F1Q|＝|PF1|＋|PF2|＝2a.连接OR，因为O为F1F2的中点，R为F2Q的中点，所以|OR|＝|F1Q|＝a.设R(x，y)，则x2＋y2＝a2(y≠0)，故点R的轨迹方程为x2＋y2＝a2(y≠0)．
5．(2018·诸暨高三适应性考试)已知F是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，过F的直线交抛物线C于不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2＝－1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点B作x轴的垂线交直线AO(O是原点)于D，过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，AE中点为G.
①求点D的纵坐标；
②求的取值范围．
解：(1)设直线AB的方程为y＝kx＋，
联立
消去y，化简得x2－2pkx－p2＝0，
∴x1x2＝－p2＝－1，∴p＝1，
∴抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)①∵直线OA的方程为y＝x＝x，
∴D，即D.
即点D的纵坐标为－.
②∵kDF＝－，∴kAE＝x2，
∴直线AE的方程为y－y1＝x2(x－x1)．
联立
消去y，得－x2x－y1－1＝0，
∴xE＝2x2－x1，∴G(x2,2y2＋y1＋1)，
∴G，B，D三点共线．
∴＝.
∵y1·y2＝，
∴＝2－＝2－＝2－∈(1,2)．
∴∈.
阶段质量检测（四） 专题一~四“综合检测”
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．椭圆＋＝1的焦距是( )
A．2 B．4
C．2 D．20
解析：选A 由椭圆的方程＋＝1，知a2＝8，b2＝6，故c＝＝，所以焦距2c＝2.故选A.
2．已知角α为第三象限角，且tan α＝，则sin α＋cos α＝( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选A 由题可得因为α是第三象限角，所以故sin α＋cos α＝－.选A.
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A. B．6
C. D．4
解析：选A 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，所以该几何体的体积V＝23－××2×2×1＝.故选A.
4．已知{an}是公差为d的等差数列，则“a1a80”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 因为a1a8－a4a5＝a1(a1＋7d)－(a1＋3d)(a1＋4d)＝－12d2≤0，所以a1a80”的必要不充分条件．所以选B.
5．已知双曲线mx2＋ny2＝1(mn<0)的离心率为，此双曲线上的点(x0，y0)满足y>4x，则该双曲线的一条渐近线方程为( )
A．y＝2x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
解析：选A 因为双曲线上的点(x0，y0)满足y>4x，所以焦点在y轴上．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则e＝＝，得＝，所以渐近线方程为y＝±2x.
6．已知O为坐标原点，点A，B在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，且关于坐标原点O对称．若双曲线C上与点A，B横坐标不相同的任意一点P满足kPA·kPB＝3，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B．4
C. D．10
解析：选A 设A(x1，y1)，P(x0，y0)(|x0|≠|x1|)，则B(－x1，－y1)，则kPA·kPB＝·＝.因为点P，A在双曲线C上，所以b2x－a2y＝a2b2，b2x－a2y＝a2b2，两式相减可得＝，故＝3，于是b2＝3a2.又因为c2＝a2＋b2，所以双曲线C的离心率e＝ ＝2.故选A.
7．已知AD与BC是三棱锥A-BCD中相互垂直的棱，若AD＝BC＝6，且∠ABD＝
∠ACD＝60°，则三棱锥A-BCD的体积的最大值是( )
A．36 B．36
C．18 D．18
解析：选D 如图，过C作CF⊥AD，垂足为F，连接BF，
∵BC⊥AD，CF⊥AD，BC∩CF＝C，BC?平面BCF，CF?平面BCF，
∴AD⊥平面BCF，
∴V三棱锥A-BCD
＝V三棱锥A-BCF＋V三棱锥D-BCF
＝S△BCF·AF＋S△BCF·FD
＝S△BCF·(AF＋FD)＝S△BCF·AD.
∵AD＝BC＝6，∴V三棱锥A-BCD＝2S△BCF，
∴当△BCF的面积最大时，V三棱锥A-BCD取得最大值，
易知当△BCF为等腰三角形时，S△BCF取得最大值，即V三棱锥A-BCD取得最大值．
取BC的中点E，连接EF，当△BCF为等腰三角形时，EF⊥BC，
∴2S△BCF＝2××BC×EF＝6EF，
又∵EF＝＝，
∴当CF最长时，V三棱锥A-BCD最大，
∵∠ACD＝60°，AD＝6，AD⊥CF，
∴当AC＝CD时，CF取得最大值，
此时CF＝3，∴EF＝3，∴6EF＝18.
∴三棱锥A-BCD体积的最大值为18.故选D.
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(0，－1)
C．(－1,1) D．(－1，＋1)
解析：选C 由题意可知，A，B的横坐标均为c，且A，B都在椭圆上，所以＋＝1，
从而可得y＝±，不妨令A，B.
由△ABF1是锐角三角形知∠AF1F2<45°，
所以tan ∠AF1F2<1，
所以tan∠AF1F2＝＝<1，故<1，即e2＋2e－1>0，解得e>－1或e<－－1，又因为椭圆中，09．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 018＝( )
A．22 019－1 B．21 009－3
C．3×21 009－3 D．21 008－3
解析：选C ∵an＋1an＝2n，∴an＋2an＋1＝2n＋1，∴＝2，∴ 数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比均为2.又∵a1a2＝2，a1＝1，∴a2＝2，∴S2 018＝(a1＋a3＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋…＋a2 018)＝＋＝3×21 009－3.
10．已知直线ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB是直角三角形，则点P(a，b)与点M(0,1)之间的距离的最大值为( )
A.＋1 B．2
C. D.－1
解析：选A 直线ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，则依题意可知，△AOB是等腰直角三角形，坐标原点O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝，即2a2＋b2＝2，∴a2＝(－≤b≤)，则|PM|＝＝ ＝，∴当b＝－时，|PM|max＝＝＋1.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
11．已知抛物线y2＝2px过点A(1,2)，则p＝________，准线方程是________．
解析：由题可得，4＝2p，解得p＝2，所以准线方程为x＝－＝－1.
答案：2 x＝－1
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若满足2bcos Acos C＝c－2acos Bcos C，则角C＝________，sin A＋sin B的最大值是________．
解析：由已知得2bcos Acos C＋2acos Bcos C＝c，
由正弦定理得2cos C(sin Bcos A＋sin Acos B)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，
∵A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，
∴sin(A＋B)＝sin C>0，
∴2cos C＝1，cos C＝，∴C＝.
∴sin A＋sin B＝sin A＋sin(A＋C)＝sin A＋sin A＋cos A＝sin，
∵C＝，∴0∴当A＋＝，即A＝时，sin A＋sin B取得最大值，最大值是，此时△ABC为正三角形．
答案：
13．设圆C上的点A(2,6)关于直线x＋y－5＝0的对称点A′仍在圆C上，且圆C与直线3x＋4y－8＝0相交的弦长为2，则点A′的坐标为________，圆C的圆心坐标为________．
解析：设点A′(x0，y0)，
∵点A与A′关于直线x＋y－5＝0对称，
∴解得
∴点A′的坐标为(－1,3)．
设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则(2－a)2＋(6－b)2＝r2. ①
∵点A(2,6)关于直线x＋y－5＝0的对称点A′(－1,3)在圆C上，
∴圆心(a，b)在直线x＋y－5＝0上，∴a＋b－5＝0， ②
又直线3x＋4y－8＝0被圆截得的弦长为2，
∴r2＝()2＋. ③
解由方程①②③组成的方程组，得a＝2，b＝3或a＝－，b＝，
∴圆C的圆心坐标为(2,3)或.
答案：(－1,3) (2,3)或
14．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)和动直线l：y＝kx＋b(k，b是参变量，且k≠0，b≠0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，平面直角坐标系的原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为kOA，kOB，且kOA·kOB＝恒成立，则当k变化时，直线l经过的定点为________．
解析：联立消去y，得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∵kOA·kOB＝，∴y1y2＝x1x2，
又∵y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝，
∴＝·，解得b＝，
∴y＝kx＋＝k.
令x＝－，得y＝0，
∴直线l过定点.
答案：
15．向量a与b的夹角为90°，|a|＝|b|＝1，若|c－a|＋|c－2b|＝，则|c＋2a|的最大值为________，最小值为________．
解析：因为|c－a|＋|c－2b|＝，且 ＝，a⊥b，所以向量c的终点在a和2b的终点的连线上(如图)，故|c＋2a|的取值范围为|SK―→|的长度变化．当SK⊥FG时，长度最短，连接SG，由SF·OG＝FG·SK，得SK＝＝.又SF＝3，SG＝2，所以当a＝c时，SK最长，为3.
答案：3
16．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上，且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△AFO与△BFO面积之和的最小值是________．
解析：法一：设直线lAB：x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立?y2－my－t＝0，
∴y1＋y2＝m，y1y2＝－t，
∵点A，B位于x轴两侧，
∴y1y2＝－t<0，∴t>0.
又·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝t2－t＝2，
解得t＝2或t＝－1(舍去)．
∴S△AFO＋S△BFO＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝≥，
∴△AFO与△BFO面积之和的最小值为.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝2，
∴y1y2＝－2或y1y2＝1(舍去)．
∴S△AFO＋S△BFO＝|y1－y2|＝＝ ≥＝.
答案：
17．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点与双曲线C1的一个焦点重合，C1与C2在第一象限相交于点P，且|F1F2|＝|PF1|，则双曲线C1的离心率为________．
解析：由题意可知，F1(－c,0)，F2(c,0)．设点P(x0，y0)，过点P作抛物线C2：y2＝2px(p>0)准线的垂线，垂足为A，连接PF2.根据双曲线的定义和|F1F2|＝|PF1|＝2c，可知|PF2|＝2c－2a.由抛物线的定义可知|PF2|＝|PA|＝x0＋c＝2c－2a，则x0＝c－2a.由题意可知＝c，又点P在抛物线C2上，所以y＝2px0＝4c·(c－2a)，在Rt△F1AP中，|F1A|2＝|PF1|2－|PA|2＝(2c)2－(2c－2a)2＝8ac－4a2, 即y＝8ac－4a2，所以8ac－4a2＝4c(c－2a)，化简可得c2－4ac＋a2＝0，即e2－4e＋1＝0，又e>1，所以e＝2＋.
答案：2＋
三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2cos2－cos＋m(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，函数f(x)的最大值为2，求f的值．
解：(1)f(x)＝2cos2－cos＋m
＝1＋cos－cos 2ωxcos－sin 2ωxsin＋m
＝1＋sin 2ωx－cos 2ωx－sin 2ωx＋m
＝sin 2ωx－cos 2ωx＋m＋1
＝sin＋m＋1.
∵函数f(x)的最小正周期为π，
∴T＝＝π，∴ω＝1，
∴f(x)＝sin＋m＋1.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由(1)知，f(x)在上单调递增，上单调递减，
∴f(x)max＝f＝1＋m＋1＝2，
解得m＝0.
∴f(x)＝sin＋1，
∴f＝sin＋1
＝sincos－cossin＋1
＝.
19．(本小题满分15分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围．
解：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4,0)，B(4，0)，
设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1＝，k2＝.
由k1k2＝－，得·＝－，
整理得＋＝1.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为
(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ与椭圆方程联立，
得消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而，·＋·＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＝－20＋.
所以－20<·＋·≤－.
当直线PQ的斜率不存在时，·＋·的值为－20.
综上，·＋·的取值范围为.
20．(本小题满分15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝4，a2＝7，且当n≥3时，Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋3，数列{bn}为等比数列，b1＋b2＝8(b4＋b5)，a5·b4＝1.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)证明：数列{anbn}的前n项和Tn<7.
解：(1)由已知可得当n≥3时，Sn－Sn－1＝(Sn－1－Sn－2)＋3，
即an＝an－1＋3，
又a2＝a1＋3，
所以数列{an}是以a1＝4为首项，3为公差的等差数列，
所以an＝4＋3(n－1)＝3n＋1.
设等比数列{bn}的公比为q，
则由已知可得＝，
即q3＝，解得q＝.
又a5＝3×5＋1＝16，
所以b4＝＝，
故bn＝b4qn－4＝×n－4＝.
(2)证明：由(1)知anbn＝.
所以Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＋anbn＝＋＋＋…＋＋， ①
Tn＝＋＋＋…＋＋， ②
①－②得
Tn＝＋＋＋…＋＋－
＝2＋－
＝2＋－
＝－，
所以Tn＝7－.
因为>0，所以Tn<7.
21．(本小题满分15分)已知动圆C过定点F2(1,0)，并且内切于定圆F1：(x＋1)2＋y2＝16.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程；
(2)若y2＝4x上存在两个点M，N，(1)中曲线上有两个点P，Q，并且M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，PQ⊥MN，求四边形PMQN的面积的最小值．
解：(1)设动圆的半径为r，则|CF2|＝r，|CF1|＝4－r，∴|CF1|＋|CF2|＝4>|F1F2|，
由椭圆的定义知动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，a＝2，c＝1，
∴b＝，故动圆圆心C的轨迹方程是＋＝1.
(2)当直线MN的斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得|MN|＝4，|PQ|＝4，四边形PMQN的面积S＝8.
当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，联立消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
∴|MN|＝·＝＋4.
∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为y＝－(x－1)，
联立消去y，
得(3k2＋4)x2－8x＋4－12k2＝0.
设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则
∴|PQ|＝ ·＝.
∴四边形PMQN的面积S＝|MN|·|PQ|＝··＝24×.
令k2＋1＝t，t>1，上式S＝24·＝24，
令2t＋1＝z(z>3)，
则S＝8＝8＝8.
∵z＋>(z>3)，∴3－10>0，∴S>8.
综上可得，S≥8，即四边形PMQN的面积的最小值为8.
22．(本小题满分15分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)的公共焦点为F2，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|－1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF2|＝.
(1)求抛物线的方程和椭圆的方程；
(2)过抛物线上的点P作抛物线的切线y＝kx＋m，交椭圆于A，B两点，求此切线在x轴上的截距的取值范围．
解：(1)∵抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|－1，
∴点M到直线x＝－1的距离等于点M到焦点F2的距离，
∴直线x＝－1是抛物线y2＝2px的准线，即－＝－1，解得p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x.
可知椭圆的右焦点F2(1,0)，
设椭圆的左焦点为F1，则F1(－1,0)，
由抛物线的定义及|QF2|＝，得xQ＋1＝，
∴xQ＝，
又∵y＝4xQ，∴Q，
由椭圆的定义得2a＝|QF1|＋|QF2|＝＋＝6，
∴a＝3，又∵c＝1，∴b2＝a2－c2＝8，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)显然k≠0，m≠0，
由消去x，得ky2－4y＋4m＝0，
由题意知Δ1＝16－16km＝0，得km＝1，
∵k≠0，m≠0，∴k＝.
由消去y，得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0，
由题意知Δ2＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)>0，
即9k2－m2＋8>0，
又∵k＝，∴m4－8m2－9<0，∴0∵切线在x轴上的截距为－，且k＝，
∴－＝－m2，
∵0即－9<－<0，
∴切线在x轴上的截距的取值范围是(－9,0)．
