第二讲 小题考法——基本初等函数、函数与方程、函数模型的应用
考点(一)
基本初等函数的概念、图象与性质
主要考查指数函数、对数函数的运算及其图象与性质；幂函数的图象与性质、二次函数的图象与性质及最值问题.
[典例感悟]
[典例] (1)(2017·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
(2)(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
(3)已知a>0且a≠1，loga2＝x，则ax＝________；a2x＋a－2x＝________.
[解析] (1)f(x)＝2－＋b，
①当0≤－≤1时，f(x)min＝m＝f＝－＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b,1＋a＋b}，
∴M－m＝max与a有关，与b无关；
②当－<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，
∴M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关；
③当－>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，
∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．
综上所述，M－m与a有关，但与b无关．
(2)设2x＝3y＝5z＝k>1，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.
∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝－
＝＝
＝>0，
∴2x>3y；
∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝－
＝＝
＝<0，
∴3y<5z；
∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝<0，
∴5z>2x.∴5z>2x>3y.
(3)由对数的定义知ax＝2，所以a－x＝，因此a2x＋a－2x＝(ax)2＋(a－x)2＝22＋2＝.
[答案] (1)B (2)D (3)2
[方法技巧]
3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题
(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较．
(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较．
(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．
[演练冲关]
1．(2017·北京高考)已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)( )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
解析：选A 因为f(x)＝3x－x，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
又y＝3x在R上是增函数，y＝x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－x在R上是增函数．
2．(2018·天津高考)已知a＝log3，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解析：选D ∵c＝log＝log35，a＝log3，
又y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
∴log35＞log3＞log33＝1，
∴c＞a＞1.
∵y＝x在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴＜0＝1，即b＜1.
∴c＞a＞b.
3．(2019届高三·温州四校联考)计算：×80.25＋(－2 018)0＝________，log23×log34＋()＝________.
解析：×80.25＋(－2 018)0＝2×2＋1＝3，log23×log34＋()＝×＋3＝2＋3＝4.
答案：3 4
4．定义区间[x1，x2](x1
1)的定义域为[m，n](m解析：作出函数y＝|logax|的图象(图略)，要使定义域区间[m，n]的长度最小，则[m，n]＝或[m，n]＝[1，a]．若1－＝，则a＝4，此时a－1＝3，符合题意．若a－1＝，则a＝，此时1－＝<，不符合题意，所以a＝4.
答案：4
考点(二)
函 数 的 零 点
主要考查利用函数零点存在性定理或数形结合法确定函数零点的个数或其存在范围，以及应用零点求参数的值?或范围?.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·缙云质检)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数g(x)＝f(x)＋1的零点的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2019届高三·宁波十校联考)已知函数f(x)＝则方程f＝1的实根个数为( )
A．8 B．7
C．6 D．5
(3)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )
A．－ B.
C. D．1
[解析] (1)若x<0，－x>0，则f(－x)＝x2＋2x.
∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝x2＋2x＝－f(x)，
即f(x)＝－x2－2x，x<0，
当x≥0时，由g(x)＝f(x)＋1＝0得x2－2x＋1＝0，
即(x－1)2＝0，得x＝1.
当x<0时，由g(x)＝f(x)＋1＝0得－x2－2x＋1＝0，即x2＋2x－1＝0.
即(x＋1)2＝2，得x＝－1(舍)或x＝－－1，
故函数g(x)＝f(x)＋1的零点个数是2个，故选B.
(2)令f(x)＝1，得x＝3或x＝1或x＝或x＝－1，
∵f＝1，
∴x＋－2＝3或x＋－2＝1或x＋－2＝或x＋－2＝－1.
令g(x)＝x＋－2，
则当x>0时，g(x)≥2－2＝0，
当x<0时，g(x)≤－2－2＝－4，
作出g(x)的函数图象如图所示：
∴方程x＋－2＝3，x＋－2＝1，x＋－2＝均有两解，方程x＋－2＝－1无解．
∴方程f＝1有6解．故选C.
(3)由f(x)＝0?a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时等号成立．
若a>0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.
若a≤0，则f(x)的零点不唯一．
综上所述，a＝.故选C.
[答案] (1)B (2)C (3)C
[方法技巧]
1．判断函数零点个数的方法
直接法
直接求零点，令f(x)＝0，则方程解的个数即为函数零点的个数
定理法
利用零点存在性定理，但利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在，必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点
数形
结合法
对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题
2．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
[演练冲关]
1．(2018·湖州、衢州、丽水高三质检)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x|＋|x＋1|，则方程f(2x－1)＝f(x)所有根的和是( )
A. B．1
C. D．2
解析：选C 由题可知函数f(x)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递增．从而方程f(2x－1)＝f(x)等价于|2x－1|＝|x|，解得x＝1或x＝，所以根的和为，故选C.
2．已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝________；若函数y＝f(x)－a恰有一个零点，则a的取值范围是________．
解析：∵f(－1)＝1，∴f(f(－1))＝f(1)＝2.
当x>0时，f′(x)＝4x－＝，
∴当0当x>时，f′(x)>0，
∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴当x＝时，f(x)取得极小值f＝－ln，
作出函数f(x)的图象如图所示．
∵函数y＝f(x)－a恰有一个零点，
∴0≤a<－ln.
答案：2
3．(2018·镇海中学阶段性测试)已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图象如下图所示．给出下列四个命题：
①方程f(g(x))＝0有且仅有6个根；
②方程g(f(x))＝0有且仅有3个根；
③方程f(f(x))＝0有且仅有5个根；
④方程g(g(x))＝0有且仅有4个根．
其中正确的命题为________(填序号)．
解析：由题图知方程f(t)＝0有三个根，t1∈(－2，－1)，t2＝0，t3∈(1,2)，
由题图知方程g(x)＝t1有两个不同的根；方程g(x)＝t2＝0有两个不同的根，方程g(x)＝t3有两个不同的根，则方程f(g(x))＝0有且仅有6个根．故①正确；
由题图知方程g(u)＝0有两个根，u1∈(－2，－1)，u2∈(0,1)，
由题图知方程f(x)＝u1只有1个根，方程f(x)＝u2有三个不同的根，则方程g(f(x))＝0有且仅有4个根．故②不正确；由题图知方程f(x)＝t1只有1个根，方程f(x)＝t2＝0有三个不同的根，方程f(x)＝t3只有1个根，则方程f(f(x))＝0有且仅有5个根．故③正确．
由图知方程g(x)＝u1有两个不同的根，方程g(x)＝u2有两个不同的根，则方程g(g(x))＝0有且仅有4个根．故④正确．故①③④正确．
答案：①③④
考点(三)
函数模型的应用
主要考查利用给定的函数模型解决简单的实际问题.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·开封模拟)李冶(1192～1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)( )
A．10步，50步 B．20步，60步
C．30步，70步 D．40步，80步
(2)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．
[解析] (1)设圆池的半径为r步，则方田的边长为(2r＋40)步，由题意，得(2r＋40)2－3r2＝13.75×240，解得r＝10或r＝－170(舍去)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B.
(2)前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9，
∴e－k＝0.9，∴P＝P0e－kt＝P0t.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P＝0.81P0，代入得0.81＝t，解得t＝10，即需要花费10小时．
[答案] (1)B (2)10
[方法技巧]
解决函数实际应用题的2个关键点
(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．
(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．
[演练冲关]
1．(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则当z＝81时，x＝__________，y＝__________.
解析：由题意，得
即解得
答案：8 11
2．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G(x)＝x2＋10x；当年产量不小于80千件时，G(x)＝51x＋－1 450.已知每件产品的售价为0.05万元．通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是________万元．
解析：∵每件产品的售价为0.05万元，
∴x千件产品的销售额为0.05×1 000x＝50x万元．
①当0②当x≥80时，L(x)＝50x－51x－＋1 450－250＝1 200－≤1 200－2 ＝1 200－200＝1 000，当且仅当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．
由于950<1 000，∴当年产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1 000万元．
答案：1 000
(一) 主干知识要记牢
1．指数函数与对数函数的对比表
解析式
y＝ax(a＞0，且a≠1)
y＝logax(a＞0，且a≠1)
图象
定义域
R
(0，＋∞)
值域
(0，＋∞)
R
单调性
0＜a＜1时，在R上是减函数；
a＞1时，在R上是增函数
0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数；a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数
两图象的对称性
关于直线y＝x对称
2.方程的根与函数的零点
(1)方程的根与函数零点的关系
由函数零点的定义，可知函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(2)函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数根．
[针对练1] 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 因为f＝e＋4×－3＝e－2<0，f＝e＋4×－3＝e－1>0，f·f<0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为.
(二) 易错易混要明了
1．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如讨论函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性时忽视字母a的取值范围，忽视ax>0；研究对数函数y＝logax(a>0，a≠1)时忽视真数与底数的限制条件．
2．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．
3．函数f(x)＝ax2＋bx＋c有且只有一个零点，要注意讨论a是否为零．
[针对练2] 函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围为________．
解析：当m＝0时，f(x)＝－2x＋1，则x＝为函数的零点．
当m≠0时，若Δ＝4－4m＝0，即当m＝1时，x＝1是函数唯一的零点．
若Δ＝4－4m≠0，即m≠1时，显然x＝0不是函数的零点．
这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)＝mx2－2x＋1有一个正根和一个负根．
因此<0.则m<0.综上知实数m的取值范围是(－∞，0]∪{1}．
答案：(－∞，0]∪{1}
A组——10＋7提速练
一、选择题
1．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
解析：选A 函数f(x)的定义域为R，由f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)知函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，排除C；又由f(0)＝ln 1＝0，可排除B、D.故选A.
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，则( )
A．b＜a＜c B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解析：选A a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5.
∵y＝x在第一象限内为增函数，
又5＞4＞3，∴c＞a＞b.
3．(2018·浙江“七彩阳光”联盟期中)设a>0，b>0，则“log2a＋log2b≥log2(a＋b)”是“ab≥4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若log2a＋log2b≥log2(a＋b)，则ab≥a＋b.
又a>0，b>0，
则有ab≥a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立，即有ab≥4，故充分性成立；
若a＝4，b＝1，满足ab≥4，
但log2a＋log2b＝2，log2(a＋b)＝log25>2，
即log2a＋log2b≥log2(a＋b)不成立，故必要性不成立，故选A.
4．(2019届高三·浙江名校协作体联考)已知函数f(x)＝x＋ex－a，g(x)＝ln(x＋2)－4ea－x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f(x0)－g(x0)＝3成立，则实数a的值为( )
A．－ln 2－1 B．ln 2－1
C．－ln 2 D．ln 2
解析：选A f(x)－g(x)＝x＋ex－a－ln(x＋2)＋4ea－x，令y＝x－ln(x＋2)，则y′＝1－＝，故y＝x－ln(x＋2)在(－2，－1)上是减函数，(－1，＋∞)上是增函数，故当x＝－1时，y有最小值－1－0＝－1，而ex－a＋4ea－x≥4(当且仅当ex－a＝4ea－x，即x＝a＋ln 2时，等号成立)，故f(x)－g(x)≥3(当且仅当等号同时成立时，等号成立)，所以x＝a＋ln 2＝－1，即a＝－ln 2－1.综上所述，答案选A.
5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
解析：选B 设2017年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，两边取常用对数，得n＞≈＝，∴n≥4，∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．
6．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A．f(x)在(0,2)单调递增
B．f(x)在(0,2)单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
解析：选C 由题易知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0,2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A、B；
又f＝ln＋ln＝ln，
f＝ln＋ln＝ln，
所以f＝f＝ln，所以排除D.故选C.
7．已知函数f(x)＝ln(x2－4x－a)，若对任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4] D．[－4，＋∞)
解析：选D 依题意得，函数f(x)的值域为R，令函数g(x)＝x2－4x－a，其值域包含(0，＋∞)，因此对于方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4，即实数a的取值范围是[－4，＋∞)，故选D.
8．(2018·湖州模拟)已知函数f(x)＝x＋3＋mx3＋nx(m<0，n<0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为－，则f(x)在[－1,0]上的最大值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 令g(x)＝mx3＋nx(m<0，n<0)，则g′(x)＝3mx2＋n，因为m<0，n<0，所以g′(x)<0，所以g(x)为减函数．又y＝x＋3为减函数，所以f(x)为减函数．当x∈[0,1]时，f(x)min＝f(1)＝m＋n＋＝－，得m＋n＝－2，当x∈[－1,0]时，f(x)max＝f(－1)＝－m－n＋＝.
9．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选C 令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.
10．已知定义域为R的函数f(x)的图象经过点(1,1)，且对任意实数x1－2，则不等式f(log2|3x－1|)<3－log|3x－1|的解集为( )
A．(－∞，0)∪(0,1) B．(0，＋∞)
C．(－1,0)∪(0,3) D．(－∞，1)
解析：选A 令F(x)＝f(x)＋2x，由对任意实数x1－2，可得f(x1)＋2x1二、填空题
11．(2018·湖州模拟)已知3ab－4a＝8，log2a＝，则a＝________，b＝________.
解析：由log2a＝可知2＝a，即b＝ab＝2a＋1，又ab＝2a＋1＝，可得(2a)2－6·2a＋8＝0，解得2a＝2或2a＝4，解得a＝1(不符合题意，舍去)，a＝2，此时b＝3.
答案：2 3
12．(2018·萧山一中检测)已知函数f(x)＝－log4x的零点为x0，若x0∈(k，k＋1)，其中k为整数，则k的值为________．
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数在定义域上为减函数，
∵f(2)＝1－log42＝1－log2＝>0，
f(3)＝－log43＝－log2<0，
∴函数f(x)在(2,3)内存在唯一的一个零点x0，
∵x0∈(k，k＋1)，∴k＝2.
答案：2
13．(2018·广州模拟)已知函数f(x)＝若|f(a)|≥2，则实数a的取值范围是________．
解析：当a≤0时，1－a≥1，所以21－a≥2，即|f(a)|≥2恒成立；当a>0时，由|f(a)|≥2可得|1－log2a|≥2，所以1－log2a≤－2或1－log2a≥2，解得a≥8或0答案：∪[8，＋∞)
14．(2019·余杭地区部分学校联合测试)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a有三个不等的实数根，则a的取值范围为________；不等式f(f(x))≥1的解集为________．
解析：作出函数y＝f(x)的图象如图所示，若方程f(x)＝a有三个不等的实数根，即直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，故a∈(0,1)．设f(x)＝t，则不等式f(f(x))≥1可转化为f(t)≥1，故得t＝0或t≥2，由f(x)＝0得x＝±1.由f(x)≥2得x≥log23＋1，所以f(f(x))≥1的解集为{±1}∪[log23＋1，＋∞)．
答案：(0,1) {±1}∪[log23＋1，＋∞)
15．(2018·肇庆二模)已知函数f(x)＝
若|f(x)|≥ax，则实数a的取值范围为________．
解析：由已知得|f(x)|＝
画出函数|f(x)|的图象如图所示．
从图象上看，要使得直线y＝ax都在y＝|f(x)|图象的下方，
则a≤0，且y＝x2－4x在x＝0处的切线的斜率k≤a.
又y′＝(x2－4x)′＝2x－4，
∴y＝x2－4x在x＝0处的切线的斜率k＝－4，
∴－4≤a≤0.
答案：[－4,0]
16．已知函数f(x)＝在[0,1]上单调递增，则a的取值范围为________．
解析：令2x＝t，t∈[1,2]，则y＝在[1,2]上单调递增．当a＝0时，y＝|t|＝t在[1,2]上单调递增显然成立；当a>0时，函数y＝，t∈(0，＋∞)的单调递增区间是[，＋∞)，此时≤1，即0答案：[－1,1]
17．(2018·浙江名校联考)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈Z)，若方程f(x)＝x在(0,1)上有两个实数根，f(－1)>－1，则a的最小值为________．
解析：设g(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c，g(x)＝0在(0,1)上有两个实数根，
设为x1，x2，于是g(x)＝a(x－x1)(x－x2)，
由题知故
所以g(0)g(1)＝a2x1(1－x1)x2(1－x2)≤(当且仅当x1＝x2＝时等号成立)，所以1≤g(0)g(1)≤，所以a≥4，经检验，当a＝4，b＝－3，c＝1时符合题意，故a的最小值为4.
答案：4
B组——能力小题保分练
1．对于满足0A. B．(1,2]
C．[1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选D 依题意，对于方程ax2＋bx＋c＝0，有Δ＝b2－4ac>0，于是c<，从而>＝1＋－2，对满足02.故选D.
2．已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a>c>b>d B．a>b>c>d
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
解析：选D f(x)＝2 017－(x－a)·(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017，又f(a)＝f(b)＝2 017，c，d为函数f(x)的零点，且a>b，c>d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知c>a>b>d，故选D.
3．定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当x∈[1,2]时，f(x)＝ln x－x＋1，若函数g(x)＝f(x)＋mx有7个零点，则实数m的取值范围为( )
A.∪
B.
C.
D.
解析：选A 函数g(x)＝f(x)＋mx有7个零点，即函数y＝f(x)的图象与y＝－mx的图象有7个交点．当x∈[1,2]时，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x)＝－1＝<0，此时f(x)单调递减，且f(1)＝0，f(2)＝ln 2－1.由f(2－x)＝f(x)知函数图象关于x＝1对称，而f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f[－(2－x)]＝f(x－2)，故f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为2的函数．易知m≠0，当－m<0时，作出函数y＝f(x)与y＝－mx的图象，如图所示．
则要使函数y＝f(x)的图象与y＝－mx的图象有7个交点，需有即解得同理，当－m>0时，可得综上所述，实数m的取值范围为∪.故选A.
4．已知函数f(x)＝方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0(b≠0)有6个不同的实数解，则3a＋b的取值范围是( )
A．[6,11] B．[3,11]
C．(6,11) D．(3,11)
解析：选D 首先作出函数f(x)的图象(如图)，
对于方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0，可令f(x)＝t，那么方程根的个数就是f(x)＝t1与f(x)＝t2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t的方程t2－at＋b＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，进一步由根的分布得出约束条件画出可行域(图略)，计算出目标函数z＝3a＋b的取值范围为(3,11)，故选D.
5．(2018·浙江模拟训练冲刺卷)在直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点．如果函数f(x)的图象恰好通过k(k∈N*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数，给出下列函数：①f(x)＝logx；②f(x)＝x；③f(x)＝3x2－6x＋3＋1；④f(x)＝sin4x＋cos4x.
其中是一阶格点函数的为________．(只填序号)
解析：函数f(x)＝logx的图象过格点(2n,2n)，其中n∈N，有无数个格点，故不是一阶格点函数；
f(x)＝x的图象过格点(－n,2n)，其中n∈N，有无数个格点，故不是一阶格点函数；
f(x)＝3(x－1)2＋1的图象过格点(1,1)，且当x≠1，x∈Z时，f(x)的值不是整数，故是一阶格点函数；
f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－sin22x＝＋cos 4x，显然f(x)的值域为，要使f(x)的值是整数，则f(x)＝1，此时cos 4x＝1，得x＝，k∈Z，当且仅当k＝0时，x取整数，故是一阶格点函数．
答案：③④
6．(2018·诸暨高三适应性考试)已知a，b，c∈R＋(a>c)，关于x的方程|x2－ax＋b|＝cx恰有三个不等实根，且函数f(x)＝|x2－ax＋b|＋cx的最小值是c2，则＝________.
解析：由关于x的方程|x2－ax＋b|＝cx恰有三个不等实根可知，y＝x2－ax＋b有两个正的零点m，n(mf(x)＝|x2－ax＋b|＋cx可以看成是g(x)＝|x2－ax＋b|与h(x)＝－cx图象的纵向距离．
由h(x)＝－cx与y＝x2－ax＋b相切可知，当x＝m时，纵向距离最小，即f(x)最小，即|m2－am＋b|＋cm＝c2，而由m2－am＋b＝0，可知m＝c.
因为m，n(m因为a>c，所以4c＝a－c，即＝5.
答案：5
课件36张PPT。基本初等函数、函数与方程、函数模型的应用小题考法——二讲第考点(一) 基本初等函数的概念、
图象与性质考点(二) 函 数 的 零 点考点(三) 函数模型的应用必备知能·自主补缺
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（十九） 小题考法——基本初等函数、?函数与方程、
函数模型的应用
A组——10＋7提速练
一、选择题
1．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
解析：选A 函数f(x)的定义域为R，由f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)知函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，排除C；又由f(0)＝ln 1＝0，可排除B、D.故选A.
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，则( )
A．b＜a＜c B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解析：选A a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5.
∵y＝x在第一象限内为增函数，
又5＞4＞3，∴c＞a＞b.
3．(2018·浙江“七彩阳光”联盟期中)设a>0，b>0，则“log2a＋log2b≥log2(a＋b)”是“ab≥4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若log2a＋log2b≥log2(a＋b)，则ab≥a＋b.
又a>0，b>0，
则有ab≥a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立，即有ab≥4，故充分性成立；
若a＝4，b＝1，满足ab≥4，
但log2a＋log2b＝2，log2(a＋b)＝log25>2，
即log2a＋log2b≥log2(a＋b)不成立，故必要性不成立，故选A.
4．(2019届高三·浙江名校协作体联考)已知函数f(x)＝x＋ex－a，g(x)＝ln(x＋2)－4ea－x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f(x0)－g(x0)＝3成立，则实数a的值为( )
A．－ln 2－1 B．ln 2－1
C．－ln 2 D．ln 2
解析：选A f(x)－g(x)＝x＋ex－a－ln(x＋2)＋4ea－x，令y＝x－ln(x＋2)，则y′＝1－＝，故y＝x－ln(x＋2)在(－2，－1)上是减函数，(－1，＋∞)上是增函数，故当x＝－1时，y有最小值－1－0＝－1，而ex－a＋4ea－x≥4(当且仅当ex－a＝4ea－x，即x＝a＋ln 2时，等号成立)，故f(x)－g(x)≥3(当且仅当等号同时成立时，等号成立)，所以x＝a＋ln 2＝－1，即a＝－ln 2－1.综上所述，答案选A.
5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
解析：选B 设2017年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，两边取常用对数，得n＞≈＝，∴n≥4，∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．
6．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A．f(x)在(0,2)单调递增
B．f(x)在(0,2)单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
解析：选C 由题易知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0,2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A、B；
又f ＝ln＋ln＝ln，
f ＝ln＋ln＝ln，
所以f ＝f ＝ln，所以排除D.故选C.
7．已知函数f(x)＝ln(x2－4x－a)，若对任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4] D．[－4，＋∞)
解析：选D 依题意得，函数f(x)的值域为R，令函数g(x)＝x2－4x－a，其值域包含(0，＋∞)，因此对于方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4，即实数a的取值范围是[－4，＋∞)，故选D.
8．(2018·湖州模拟)已知函数f(x)＝x＋3＋mx3＋nx(m<0，n<0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为－，则f(x)在[－1,0]上的最大值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 令g(x)＝mx3＋nx(m<0，n<0)，则g′(x)＝3mx2＋n，因为m<0，n<0，所以g′(x)<0，所以g(x)为减函数．又y＝x＋3为减函数，所以f(x)为减函数．当x∈[0,1]时，f(x)min＝f(1)＝m＋n＋＝－，得m＋n＝－2，当x∈[－1,0]时，f(x)max＝f(－1)＝
－m－n＋＝.
9．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选C 令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，
a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.
10．已知定义域为R的函数f(x)的图象经过点(1,1)，且对任意实数x1－2，则不等式f(log2|3x－1|)<3－log|3x－1|的解集为( )
A．(－∞，0)∪(0,1) B．(0，＋∞)
C．(－1,0)∪(0,3) D．(－∞，1)
解析：选A 令F(x)＝f(x)＋2x，由对任意实数x1－2，可得f(x1)＋2x1二、填空题
11．(2018·湖州模拟)已知3ab－4a＝8，log2a＝，则a＝________，b＝________.
解析：由log2a＝可知2＝a，即b＝ab＝2a＋1，又ab＝2a＋1＝，可得(2a)2－6·2a＋8＝0，解得2a＝2或2a＝4，解得a＝1(不符合题意，舍去)，a＝2，此时b＝3.
答案：2 3
12．(2018·萧山一中检测)已知函数f(x)＝－log4x的零点为x0，若x0∈(k，k＋1)，其中k为整数，则k的值为________．
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数在定义域上为减函数，
∵f(2)＝1－log42＝1－log2＝>0，
f(3)＝－log43＝－log2<0，
∴函数f(x)在(2,3)内存在唯一的一个零点x0，
∵x0∈(k，k＋1)，∴k＝2.
答案：2
13．(2018·广州模拟)已知函数f(x)＝若|f(a)|≥2，则实数a的取值范围是________．
解析：当a≤0时，1－a≥1，所以21－a≥2，即|f(a)|≥2恒成立；当a>0时，由|f(a)|≥2可得|1－log2a|≥2，所以1－log2a≤－2或1－log2a≥2，解得a≥8或0答案：∪[8，＋∞)
14．(2019·余杭地区部分学校联合测试)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a有三个不等的实数根，则a的取值范围为________；不等式f(f(x))≥1的解集为________．
解析：作出函数y＝f(x)的图象如图所示，若方程f(x)＝a有三个不等的实数根，即直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，故a∈(0,1)．设f(x)＝t，则不等式f(f(x))≥1可转化为f(t)≥1，故得t＝0或t≥2，由f(x)＝0得x＝±1.由f(x)≥2得x≥log23＋1，所以f(f(x))≥1的解集为{±1}∪[log23＋1，＋∞)．
答案：(0,1) {±1}∪[log23＋1，＋∞)
15．(2018·肇庆二模)已知函数f(x)＝
若|f(x)|≥ax，则实数a的取值范围为________．
解析：由已知得|f(x)|＝
画出函数|f(x)|的图象如图所示．
从图象上看，要使得直线y＝ax都在y＝|f(x)|图象的下方，
则a≤0，且y＝x2－4x在x＝0处的切线的斜率k≤a.
又y′＝(x2－4x)′＝2x－4，
∴y＝x2－4x在x＝0处的切线的斜率k＝－4，
∴－4≤a≤0.
答案：[－4,0]
16．已知函数f(x)＝在[0,1]上单调递增，则a的取值范围为________．
解析：令2x＝t，t∈[1,2]，则y＝在[1,2]上单调递增．当a＝0时，y＝|t|＝t在[1,2]上单调递增显然成立；当a>0时，函数y＝，t∈(0，＋∞)的单调递增区间是[，
＋∞)，此时≤1，即0答案：[－1,1]
17．(2018·浙江名校联考)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈Z)，若方程f(x)＝x在(0,1)上有两个实数根，f(－1)>－1，则a的最小值为________．
解析：设g(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c，g(x)＝0在(0,1)上有两个实数根，
设为x1，x2，于是g(x)＝a(x－x1)(x－x2)，
由题知故
所以g(0)g(1)＝a2x1(1－x1)x2(1－x2)≤(当且仅当x1＝x2＝时等号成立)，所以1≤g(0)g(1)≤，所以a≥4，经检验，当a＝4，b＝－3，c＝1时符合题意，故a的最小值为4.
答案：4
B组——能力小题保分练
1．对于满足0A． B．(1,2]
C．[1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选D 依题意，对于方程ax2＋bx＋c＝0，有Δ＝b2－4ac>0，于是c<，从而>＝1＋－2，对满足02.故选D.
2．已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a>c>b>d B．a>b>c>d
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
解析：选D f(x)＝2 017－(x－a)·(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017，又f(a)＝f(b)＝2 017，c，d为函数f(x)的零点，且a>b，c>d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知c>a>b>d，故选D.
3．定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当x∈[1,2]时，f(x)＝ln x－x＋1，若函数g(x)＝f(x)＋mx有7个零点，则实数m的取值范围为( )
A.∪
B.
C.
D.
解析：选A 函数g(x)＝f(x)＋mx有7个零点，即函数y＝f(x)的图象与y＝－mx的图象有7个交点．当x∈[1,2]时，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x)＝－1＝<0，此时f(x)单调递减，且f(1)＝0，f(2)＝ln 2－1.由f(2－x)＝f(x)知函数图象关于x＝1对称，而f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f[－(2－x)]＝f(x－2)，故f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为2的函数．易知m≠0，当－m<0时，作出函数y＝f(x)与y＝－mx的图象，如图所示．
则要使函数y＝f(x)的图象与y＝－mx的图象有7个交点，需有即解得同理，当－m>0时，可得综上所述，实数m的取值范围为∪.故选A.
4．已知函数f(x)＝方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0(b≠0)有6个不同的实数解，则3a＋b的取值范围是( )
A．[6,11] B．[3,11]
C．(6,11) D．(3,11)
解析：选D 首先作出函数f(x)的图象(如图)，
对于方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0，可令f(x)＝t，那么方程根的个数就是f(x)＝t1与f(x)＝t2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t的方程t2－at＋b＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，进一步由根的分布得出约束条件画出可行域(图略)，计算出目标函数z＝3a＋b的取值范围为(3,11)，故选D.
5．(2018·浙江模拟训练冲刺卷)在直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点．如果函数f(x)的图象恰好通过k(k∈N*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数，给出下列函数：①f(x)＝ ②f(x)＝x；③f(x)＝3x2－6x＋3＋1；④f(x)＝sin4x＋cos4x.
其中是一阶格点函数的为________．(只填序号)
解析：函数f(x)＝ 的图象过格点(2n,2n)，其中n∈N，有无数个格点，故不是一阶格点函数；
f(x)＝x的图象过格点(－n,2n)，其中n∈N，有无数个格点，故不是一阶格点函数；
f(x)＝3(x－1)2＋1的图象过格点(1,1)，且当x≠1，x∈Z时，f(x)的值不是整数，故是一阶格点函数；
f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－sin22x＝＋cos 4x，显然f(x)的值域为，要使f(x)的值是整数，则f(x)＝1，此时cos 4x＝1，得x＝，k∈Z，当且仅当k＝0时，x取整数，故是一阶格点函数．
答案：③④
6．(2018·诸暨高三适应性考试)已知a，b，c∈R＋(a>c)，关于x的方程|x2－ax＋b|＝cx恰有三个不等实根，且函数f(x)＝|x2－ax＋b|＋cx的最小值是c2，则＝________.
解析：由关于x的方程|x2－ax＋b|＝cx恰有三个不等实根可知，y＝x2－ax＋b有两个正的零点m，n(mf(x)＝|x2－ax＋b|＋cx可以看成是g(x)＝|x2－ax＋b|与h(x)＝
－cx图象的纵向距离．
由h(x)＝－cx与y＝x2－ax＋b相切可知，当x＝m时，纵向距离最小，即f(x)最小，即|m2－am＋b|＋cm＝c2，而由m2－am＋b＝0，可知m＝c.
因为m，n(m因为a>c，所以4c＝a－c，即＝5.
答案：5
