第三讲 小题考法——不等式
考点(一)
不等式的性质及解法
主要考查利用不等式的性质比较大小以及一元二次不等式的求解，有时会考查含参不等式恒成立时参数值?或范围?的求解.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·绍兴一中模拟)若a
①a2＋1>b2；②|1－a|>|b－1|；③>>.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)(2019届高三·金华十校联考)在lg 2，(lg 2)2，lg(lg 2)中，最大的是________，最小的是________．
(3)设a∈R，若x＞0时均有(x2＋ax－5)(ax－1)≥0成立，则a＝________.
[解析] (1)对于①，若ab2，所以a2＋1>b2一定正确；
对于②，a|b|，即|－a|>|－b|，则|1－a|>|b－1|，所以②正确；
对于③，a又由a，所以③>>正确，
综上可知，正确命题3个．故选D.
(2)因为00，所以最大的是lg 2，最小的是lg(lg 2)．
(3)法一：当a＝0时，显然不能使原不等式对任意的x＞0恒成立，故a≠0.当x＝，a≠0时原不等式恒成立．易知a＞0，对于方程x2＋ax－5＝0，设其两根为x1，x2，且x1＜x2，易知x1＜0，x2＞0.又当x＞0时，原不等式恒成立，故x＝是方程x2＋ax－5＝0的一个根，代入得a＝.
法二：如图所示，当a＝0时，显然不能使原不等式对任意的x＞0恒成立，故a≠0，且当x＝，a≠0时原不等式恒成立．易知a＞0，当x＝时，ax－1＝0，此时，结合图象可知x＝是方程x2＋ax－5＝0的一个根，所以a＝.
[答案] (1)D (2)lg 2 lg(lg 2) (3)
[方法技巧]
解不等式的策略
(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．
(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．
[演练冲关]
1．已知函数f(x)＝若f(8－m2)A．(－4,1) B．(－4,2)
C．(－2,4) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析：选B 易知f(x)＝在R上单调递减，故由f(8－m2)2．(2018·宁波高三月考)已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．(－1,0) D．(0,1)
解析：选C 因为f(x)在区间(－2，－1)内的图象与x轴恰有一个交点，
所以f(－2)f(－1)<0，
即[4a＋2(a＋2)＋1][a＋(a＋2)＋1]<0，
所以(6a＋5)(2a＋3)<0，解得－又a∈Z，所以a＝－1，所以f(x)＝－x2－x＋1，
f(x)>1即x2＋x<0，解得－1考点(二)
基本不等式及其应用
主要考查利用基本不等式求最值，常与函数等知识交汇命题.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·绍兴中学模拟)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n>0，则＋的最小值为( )
A．3 B．3＋2
C．4 D．8
(2)(2018·金华一中联考)已知正数a，b，c满足2a－b＋c＝0，则的最大值为( )
A．8 B．2
C. D.
[解析] (1)∵x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，
∴函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点(－2，－1)即A(－2，－1)，
∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，
∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，
∵m>0，n>0，
∴＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，
当且仅当m＝，n＝时取等号．故选D.
(2)∵正数a，b，c满足2a－b＋c＝0，
∴b＝2a＋c，
则＝＝＝≤＝，
当且仅当c＝2a>0时取等号．故选C.
[答案] (1)D (2)C
[方法技巧]
利用不等式求最值的3种解题技巧
[注意] 利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可．
[演练冲关]
1．已知x2＋4xy－3＝0，其中x>0，y∈R，则x＋y的最小值是( )
A. B．3
C．1 D．2
解析：选A ∵x>0，y∈R，x2＋4xy－3＝0，
∴y＝，
则x＋y＝＝x＋≥2＝.
当且仅当x＝1时等号成立，故选A.
2．(2018·镇海中学模拟卷)已知正实数a，b，c满足a(a＋b＋c)＝bc，则的最大值是________．
解析：由基本不等式知，a(a＋b＋c)＝bc≤，即a2＋(b＋c)a－≤0，即2＋－≤0，所以2≤，所以0<≤，所以的最大值是.
答案：
3．(2018·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．
解析：法一：如图，
∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
∴ac·sin 120°＝c×1×sin 60°＋a×1×sin 60°，∴ac＝a＋c.∴＋＝1.
∴4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当＝，即c＝2a时取等号．
故4a＋c的最小值为9.
法二：如图，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，
则D(1,0)，A，C.
又A，D，C三点共线，∴＝，
∴ac＝a＋c，∴＋＝1.
∴4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥2 ＋5＝9，
当且仅当＝，即c＝2a时取等号．
故4a＋c的最小值为9.
答案：9
考点(三)
绝对值不等式及其应用
主要考查绝对值的几何意义和绝对值不等式的解法.
[典例感悟]
[典例] (1)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，1)
C．(1,4) D．(1,5)
(2)(2019届高三·金丽衢十二校联考)设正实数x，y，则|x－y|＋＋y2的最小值为( )
A. B.
C．2 D.
(3)已知函数f(x)＝x＋－ax－b(a，b∈R)，当x∈时，设f(x)的最大值为M(a，b)，则M(a，b)的最小值为________．
[解析] (1)①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.
②当1∴x<4，∴1③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．
综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A.
(2)∵x>0，y>0，
∴|x－y|＋＋y2＝|x－y|＋＋|y2|≥x－y＋＋y2＝2＋－≥＝.
当且仅当y＝，x＝，即x＝1，y＝时取等号．故选A.
(3)由于f(1)＝|2－a－b|，f＝－a－b，f(2)＝－2a－b.又M(a，b)≥f，M(a，b)≥f(2)，M(a，b)≥f(1)．三式相加，得2M(a，b)≥f＋f(2)＋f(1)≥＝＋－(2－a－b)＝，故有M(a，b)≥.
[答案] (1)A (2)A (3)
[方法技巧]
绝对值不等式及其应用的常见题型和解题策略
(1)讨论含绝对值的二次函数的单调性、最值和零点等．此类题型一般是按定义去掉绝对值，写成分段函数，作出函数的图象，对参数进行分类讨论．
(2)含绝对值不等式的恒成立问题．此类题型一般都转化为求含绝对值的函数的最值，或利用绝对值三角不等式求最值，有时需要分类讨论．
[演练冲关]
1．(2017·浙江柯桥质量检测)已知x，y∈R，( )
A．若|x－y2|＋|x2＋y|≤1，则2＋2≤
B．若|x－y2|＋|x2－y|≤1，则2＋2≤
C．若|x＋y2|＋|x2－y|≤1，则2＋2≤
D．若|x＋y2|＋|x2＋y|≤1，则2＋2≤
解析：选B 因为|x－y2|＋|x2－y|≥|x2－x＋y2－y|＝2＋2－≥2＋2－，
所以2＋2≤，因此B正确；
取x＝，y＝－，此时|x－y2|＋|x2＋y|≤1，但2＋2>，因此A错误；
取x＝，y＝，此时|x＋y2|＋|x2－y|≤1，但2＋2>，因此C错误；
取x＝－，y＝，此时|x＋y2|＋|x2＋y|≤1，但2＋2>，因此D错误．故选B.
2．(2018·浙江9＋1高中联盟期中)当x∈时，不等式|ax2＋bx＋4a|≤2x恒成立，则6a＋b的最大值是________．
解析：∵x∈时，不等式|ax2＋bx＋4a|≤2x恒成立，
∴≤2，
即≤2在x∈时恒成立．
设f(x)＝ax＋b＋＝a＋b，x＋∈[4,5]．
∵|f(x)|≤2，∴
∵6a＋b＝－(4a＋b)＋2(5a＋b)，
∴－2＋2×(－2)≤6a＋b＝－(4a＋b)＋2(5a＋b)≤2＋2×2，
∴6a＋b的最大值为6.
答案：6
考点(四)
线 性 规 划 问 题
主要考查线性约束条件、可行域等概念，考查在约束条件下最值的求法，以及已知最优解或可行域的情况求参数的值或取值范围.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·浙江“超级全能生”联考)若实数x，y满足不等式组则2|x＋1|＋y的最大值是( )
A． B．
C．4 D．1
(2)(2018·浙江高考)若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________．
[解析] (1)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
2|x＋1|＋y＝
当x≥－1时，目标函数经过可行域的A时取得最大值，
由
解得A，
可得2|x＋1|＋y＝.
当x<－1时，目标函数经过可行域的B时取得最大值，
由解得B(－2,0)，
可得2|x＋1|＋y＝2.
所以2|x＋1|＋y的最大值为，故选B.
(2)作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
由解得A(4，－2)．
由解得B(2,2)．
将函数y＝－x的图象平移可知，
当目标函数的图象经过A(4，－2)时，zmin＝4＋3×(－2)＝－2；
当目标函数的图象经过B(2,2)时，zmax＝2＋3×2＝8.
[答案] (1)B (2)－2 8
[方法技巧]
1．平面区域的确定方法
平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集．
2．线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法
(1)将目标函数z＝ax＋by化成直线的斜截式方程y＝－x＋(把z看成常数)．
(2)根据的几何意义，确定最值．
(3)得出z的最值．
[演练冲关]
1．(2018·稽阳联谊学校高三联考)在平面直角坐标系中，不等式组(m>0)表示的区域为Ω，P(x，y)为Ω内(含边界)的点，当2x＋y的最大值为8时，Ω的面积为( )
A．12 B．8
C．4 D．6
解析：选D 设z＝2x＋y，由题可知，Ω是以(0,0)，(m,2m)，(m，－m)为顶点的三角形及其内部，已知当直线z＝2x＋y过点(m,2m)时，2x＋y达到最大，即2m＋2m＝8，解得m＝2，此时三角形的三个顶点分别为(0,0)，(2,4)，(2，－2)，所以Ω的面积为×2×|4－(－2)|＝6，故选D.
2．(2018·嵊州高三期末质检)若实数x，y满足约束条件则z＝2x－y的取值范围是( )
A．[－4,4] B．[－2,4]
C．[－4，＋∞) D．[－2，＋∞)
解析：选D 如图，作出可行域，当直线z＝2x－y经过点(0,2)时，目标函数取得最小值－2，但无最大值，故选D.
3．(2018·杭州质量检测)在平面直角坐标系中，不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝的最小值为( )
A．－1 B．－
C. D．－
解析：选D ∵不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为π，
∴圆x2＋y2＝r2的面积为4π，则r＝2.
由约束条件作出可行域如图，
z＝＝1＋，
而的几何意义为可行域内的动点与定点P(－3,2)连线的斜率．设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0.
由＝2，解得k＝0或k＝－.
∴z＝的最小值为1－＝－.故选D.
(一) 主干知识要记牢
1．不等式的性质
(1)a＞b，b＞c?a＞c；
(2)a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；
(3)a＞b?a＋c＞b＋c；
(4)a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；
(5)a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；
(6)a＞b＞0，n∈N，n＞1?an＞bn，＞.
2．简单分式不等式的解法
(1)＞0?f(x)g(x)＞0，＜0?f(x)g(x)＜0.
(2)≥0?≤0?
(3)对于形如＞a(≥a)的分式不等式要采取：移项—通分—化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解．
3．含绝对值不等式的解法
(1)含绝对值不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|{x|－a?
?
|x|>a
{x|x>a或x<－a}
{x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c型不等式的解法
|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
4．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
(3)推论1：||a|－|b||≤|a＋b|.
(4)推论2：||a|－|b||≤|a－b|.
(二) 二级结论要用好
1．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
2．基本不等式的重要结论
(1)≥(a＞0，b＞0)．
(2)ab≤2(a，b∈R)．
(3) ≥≥(a＞0，b＞0)．
3．线性规划中的两个重要结论
(1)点M(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0(B＞0)上方(或下方)?Ax0＋By0＋C＞0(或＜0)．
(2)点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l：Ax＋By＋C＝0同侧(或异侧)?(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0(或＜0)．
(三) 易错易混要明了
1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错．
2．解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视对系数a符号的讨论导致漏解或错解．
[针对练1] 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为(－，0)，(，0)，则ax2＋bx＋c>0的解的情况是( )
A．{x|－B．{x|x>或x<－}
C．{x|x≠±}
D．不确定，与a的符号有关
解析：选D 当a>0时，解集为x>或x<－；当a<0时，解集为－3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.
4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值时，就不能利用基本不等式求解；求函数y＝x＋(x<0)的最值时，应先转化为y＝－再求解．
[针对练2] 不等式≥0的解集为________．
解析：≥0，
即
解得x≥1或x<－2.
答案：{x|x≥1或x<－2}
A组——10＋7提速练
一、选择题
1．在R上定义运算：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x－b)＞0的解集是(2,3)，则a＋b＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C 由题知(x－a)?(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]＞0，即(x－a)[x－(b＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.
2．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 由正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝a＋b＋＋＝a＋b＋＝(a＋b)≥×2＝5，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故m＋n的最小值为5.
3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最大值为( )
A．5 B．6
C. D．7
解析：选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z＝x＋2y经过直线x－y＝－1与x＋y＝4的交点，即时，z取得最大值，zmax＝＋2×＝，故选C.
4．(2017·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－3,0] B．[－3,2]
C．[0,2] D．[0,3]
解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2,0)时，z取得最大值2，
当直线z＝x－y过点B(0,3)时，z取得最小值－3，
所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．
5．(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9
C．1 D．9
解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.
6．设不等式组所表示的区域面积为S.若S≤1，则m的取值范围为( )
A．(－∞，－2] B．[－2,0]
C．(0,2] D．[2，＋∞)
解析：选A 如图，当x＋y＝1与y＝mx交点为(－1,2)时，不等式组所表示的区域面积为1，此时m＝－2，若S≤1，则m≤－2，故选A.
7．已知实数x，y满足若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
当直线z＝x＋2y经过点C时，z取得最小值－4，所以－a＋2×＝－4，解得a＝2，故选B.
8．(2019届高三·浙江六校协作体联考)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－x(a>0，b>0)在x＝1处取得极小值，则＋的最小值为( )
A．4 B．5
C．9 D．10
解析：选C 由f(x)＝ax3＋bx2－x(a>0，b>0)，得f′(x)＝ax2＋bx－1，则f′(1)＝a＋b－1＝0，∴a＋b＝1，∴＋＝·(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，故选C.
9．(2017·衢州二中交流卷)若实数x，y满足|[x]|＋|y|≤1([x]表示不超过x的最大整数)，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为|[x]|≤1－|y|≤1，所以－1≤[x]≤1，再根据[x]的具体值进行分类：
①当[x]＝－1，即－1≤x<0时，y＝0；
②当[x]＝0，即0≤x<1时，|y|≤1，即－1≤y≤1；
③当[x]＝1，即1≤x<2时，y＝0.
在平面直角坐标系内作出可行域，如图所示．
＝1＋，其几何意义为可行域内的点(x，y)与点(－2，－2)所确定的直线的斜率加1.而由图可知，点(－1，0)与点(－2，－2)所确定的直线的斜率最大，最大值为＝2；点(1，－1)与点(－2，－2)所确定的直线的斜率最小，最小值为＝，又由图知取不到最小值，所以∈，故选A.
10．(2017·天津高考)已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是( )
A. B.
C．[－2，2] D.
解析：选A 法一：根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示．
当x≤1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x2－x＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故对于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝2－4(3＋a)≤0，解得a≥－；当x>1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x＋≥＋a，即＋≥a.又＋≥2，当且仅当＝，即x＝2时等号成立，所以a≤2.综上，a的取值范围是.
法二：关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立等价于－f(x)≤a＋≤f(x)，
即－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立，
令g(x)＝－f(x)－.
当x≤1时，g(x)＝－(x2－x＋3)－＝－x2＋－3
＝－2－，
当x＝时，g(x)max＝－；
当x>1时，g(x)＝－－＝－≤－2，
当且仅当＝，且x>1，即x＝时，“＝”成立，
故g(x)max＝－2.
综上，g(x)max＝－.
令h(x)＝f(x)－，
当x≤1时，h(x)＝x2－x＋3－＝x2－＋3
＝2＋，
当x＝时，h(x)min＝；
当x>1时，h(x)＝x＋－＝＋≥2，
当且仅当＝，且x>1，即x＝2时，“＝”成立，
故h(x)min＝2.综上，h(x)min＝2.
故a的取值范围为.
二、填空题
11．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋解析：由题可知，1＝＋≥2＝，即≥4，于是有m2－3m>x＋≥≥4，故m2－3m>4，化简得(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)
12．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是________________．
解析：由题意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3.当x<0时，x＋6>3，解得－33，解得x>3或0≤x<1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．
答案：(－3,1)∪(3，＋∞)
13．(2018·绍兴一中调研)已知实数x，y满足则由不等式组确定的可行域的面积为________，z＝2x－y的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，
所以可行域的面积为1，因为目标函数z＝2x－y的斜率为2，所以过点A(3,0)时取到最大值6.
答案：1 6
14．(2018·杭州二中调研)已知x>3y>0或x<3y<0，则(x－2y)2＋的最小值是________．
解析：(x－2y)2＋≥(x－2y)2＋＝(x－2y)2＋≥8，当4y＝x，x－2y＝±2时取等号．
答案：8
15．如果实数x，y满足条件且z＝的最小值为，则正数a的值为________．
解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x＝1，y＝1时，z取最小值，即＝，所以a＝1.
答案：1
16．(2018·绍兴质量调测)已知正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，则xy＋5x＋4y的最小值为________．
解析：由题知，xy＋5x＋4y＝(xy＋2x＋3y)＋3x＋y＝42＋3x＋y，
而(x＋3)(y＋2)＝48，因此144＝(3x＋9)(y＋2)≤2，因此3x＋y≥13，当且仅当3x＋9＝y＋2，即时取等号．故xy＋5x＋4y＝42＋3x＋y≥55，则xy＋5x＋4y的最小值为55.
答案：55
17．若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)(a≠0)恒成立，则实数x的取值范围是________．
解析：不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)(a≠0)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，故|2＋x|＋|2－x|≤min.因为≥＝＝4，当且仅当(2a＋b)(2a－b)≥0，即2|a|≥|b|时等号成立，所以的最小值为4，所以|2＋x|＋|2－x|≤4，解得－2≤x≤2.故实数x的取值范围为[－2，2]．
答案：[－2,2]
B组——能力小题保分练
1．已知x，y满足则z＝8－x·y的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选D 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·y＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由图知当x＝1，y＝2时，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为.故选D.
2．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为6，则＋的最小值为( )
A．1 B．3
C．2 D．4
解析：选B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
∵a>0，b>0，
∴当直线z＝ax＋by经过点(2,4)时，z取得最大值6，
∴2a＋4b＝6，即a＋2b＝3.
∴＋＝(a＋2b)×＝＋＋≥3，当且仅当a＝b＝1时等号成立，∴＋的最小值为3.故选B.
3．设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(n∈N*)，若m>＋＋…＋对于任意的正整数恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 不等式组表示的平面区域为直线x＝0，y＝0，y＝－nx＋3n围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n个，横坐标为2的整点有n个，所以an＝3n，所以＝＝，所以＋＋…＋＝＝，数列为单调递增数列，故当n趋近于无穷大时，趋近于，所以m≥.故选A.
4．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x)．若?x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为( )
A.＋2 B.－2
C．2＋2 D．2－2
解析：选B 由题意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)在R上恒成立，得ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，则a>0且Δ≤0，可得b2≤4ac－4a2，则≤＝，又4ac－4a2≥0，∴4·－4≥0，∴－1≥0，令t＝－1，则t≥0.当t>0时，≤＝≤＝－2，当t＝0时，＝0<－2，故的最大值为－2，故选B.
5．(2019届高三·浙江新高考联盟联考)过P(－1,1)的光线经x轴上点A反射后，经过不等式组所表示的平面区域内某点(记为B)，则|PA|＋|AB|的取值范围是________．
解析：作出不等式组
表示的平面区域如图中阴影部分所示，点P关于x轴的对称点为P1(－1，－1)，|PA|＋|AB|＝|P1B|，过点P1作直线x＋y－2＝0的垂线，则|PA|＋|AB|＝|P1B|的最小值为＝2.由得B0(2,3)，则|PA|＋|AB|＝|P1B|的最大值为|P1B0|＝＝5.
故2≤|PA|＋|AB|≤5.
答案：[2，5]
6．(2018·浙江“七彩阳光”联盟期中)设实数x，y满足不等式组且目标函数z＝3x＋y的最大值为15，则实数m＝________；设min{a，b}＝则z＝min{x＋y＋2,2x＋y}的取值范围是________．
解析：因为直线x＋y－3＝0与x－3y＋5＝0交于点A(1，2)，而直线x＋my－1＝0过点(1,0)，则当m>0时，不等式组不能构成可行域．当m＝0时，可行域为点A(1,2)，不符合题意．当－>，即－3构成的可行域是以A(1,2)，B，C为顶点的三角形区域(含边界)，过点C时，目标函数z＝3x＋y有最大值，由＝15，得m＝－1.当0<－≤，即m≤－3时，不等式组构成的可行域是一个开放区域，此时，目标函数z＝3x＋y没有最大值．综合得m＝－1.
此时，可行域是以A(1,2)，B(2,1)，C(4,3)为顶点的三角形区域(含边界)．
而z＝min{x＋y＋2,2x＋y}＝直线x＝2把可行域分成以A(1,2)，B(2,1)，D为顶点的三角形区域，和以B(2,1)，C(4,3)，D为顶点的三角形区域．故只要求z＝2x＋y在三角形ABD区域上的范围，z＝x＋y＋2在三角形BCD区域上的范围即可．
当平行直线系2x＋y＝z在三角形ABD区域内运动时，z＝2x＋y∈.
当平行直线系x＋y＋2＝z在三角形BCD区域内运动时，z＝x＋y＋2∈[5,9]．
从而有z＝min{x＋y＋2,2x＋y}的取值范围是[4,9]．
答案：－1 [4,9]
课件50张PPT。不 等 式小题考法——三讲第考点(一) 不等式的性质及解法考点(二) 基本不等式及其应用考点(三) 绝对值不等式及其应用考点(四) 线 性 规 划 问 题必备知能·自主补缺
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（二十） 小题考法——不等式
A组——10＋7提速练
一、选择题
1．在R上定义运算：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x－b)＞0的解集是(2,3)，则a＋b＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C 由题知(x－a)?(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]＞0，即(x－a)[x－(b＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.
2．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 由正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝a＋b＋＋＝a＋b＋＝(a＋b)≥×2＝5，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故m＋n的最小值为5.
3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最大值为( )
A．5 B．6
C. D．7
解析：选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z＝x＋2y经过直线x－y＝－1与x＋y＝4的交点，即时，z取得最大值，zmax＝＋2×＝，故选C.
4．(2017·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－3,0] B．[－3,2]
C．[0,2] D．[0,3]
解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2,0)时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B(0,3)时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．
5．(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9
C．1 D．9
解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.
6．设不等式组所表示的区域面积为S.若S≤1，则m的取值范围为( )
A．(－∞，－2] B．[－2,0]
C．(0,2] D．[2，＋∞)
解析：选A 如图，当x＋y＝1与y＝mx交点为(－1,2)时，不等式组所表示的区域面积为1，此时m＝－2，若S≤1，则m≤－2，故选A.
7．已知实数x，y满足若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
当直线z＝x＋2y经过点C时，z取得最小值－4，所以－a＋2×＝－4，解得a＝2，故选B.
8．(2019届高三·浙江六校协作体联考)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－x(a>0，b>0)在x＝1处取得极小值，则＋的最小值为( )
A．4 B．5
C．9 D．10
解析：选C 由f(x)＝ax3＋bx2－x(a>0，b>0)，得f′(x)＝ax2＋bx－1，则f′(1)＝a＋b－1＝0，∴a＋b＝1，∴＋＝·(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，故选C.
9．(2017·衢州二中交流卷)若实数x，y满足|[x]|＋|y|≤1([x]表示不超过x的最大整数)，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为|[x]|≤1－|y|≤1，所以－1≤[x]≤1，再根据[x]的具体值进行分类：
①当[x]＝－1，即－1≤x<0时，y＝0；
②当[x]＝0，即0≤x<1时，|y|≤1，即－1≤y≤1；
③当[x]＝1，即1≤x<2时，y＝0.
在平面直角坐标系内作出可行域，如图所示．
＝1＋，其几何意义为可行域内的点(x，y)与点(－2，－2)所确定的直线的斜率加1.而由图可知，点(－1，0)与点(－2，－2)所确定的直线的斜率最大，最大值为＝2；点(1，－1)与点(－2，－2)所确定的直线的斜率最小，最小值为＝，又由图知取不到最小值，所以∈，故选A.
10．(2017·天津高考)已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是( )
A. B.
C．[－2，2] D.
解析：选A 法一：根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示．
当x≤1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x2－x＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故对于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝2－4(3＋a)≤0，解得a≥－；当x>1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x＋≥＋a，即＋≥a.又＋≥2，当且仅当＝，即x＝2时等号成立，所以a≤2.综上，a的取值范围是.
法二：关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立等价于－f(x)≤a＋≤f(x)，
即－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立，
令g(x)＝－f(x)－.
当x≤1时，g(x)＝－(x2－x＋3)－＝－x2＋－3
＝－2－，
当x＝时，g(x)max＝－；
当x>1时，g(x)＝－－＝－≤－2，
当且仅当＝，且x>1，即x＝时，“＝”成立，
故g(x)max＝－2.
综上，g(x)max＝－.
令h(x)＝f(x)－，
当x≤1时，h(x)＝x2－x＋3－＝x2－＋3
＝2＋，
当x＝时，h(x)min＝；
当x>1时，h(x)＝x＋－＝＋≥2，
当且仅当＝，且x>1，即x＝2时，“＝”成立，
故h(x)min＝2.综上，h(x)min＝2.
故a的取值范围为.
二、填空题
11．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋解析：由题可知，1＝＋≥2＝，即≥4，于是有m2－3m>x＋≥≥4，故m2－3m>4，化简得(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)
12．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是________________．
解析：由题意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3.当x<0时，x＋6>3，解得－33，解得x>3或0≤x<1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．
答案：(－3,1)∪(3，＋∞)
13．(2018·绍兴一中调研)已知实数x，y满足则由不等式组确定的可行域的面积为________，z＝2x－y的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，所以可行域的面积为1，因为目标函数z＝2x－y的斜率为2，所以过点A(3,0)时取到最大值6.
答案：1 6
14．(2018·杭州二中调研)已知x>3y>0或x<3y<0，则(x－2y)2＋的最小值是________．
解析：(x－2y)2＋≥(x－2y)2＋＝(x－2y)2＋≥8，当4y＝x，x－2y＝±2时取等号．
答案：8
15．如果实数x，y满足条件且z＝的最小值为，则正数a的值为________．
解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x＝1，y＝1时，z取最小值，即＝，所以a＝1.
答案：1
16．(2018·绍兴质量调测)已知正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，则xy＋5x＋4y的最小值为________．
解析：由题知，xy＋5x＋4y＝(xy＋2x＋3y)＋3x＋y＝42＋3x＋y，
而(x＋3)(y＋2)＝48，因此144＝(3x＋9)(y＋2)≤2，因此3x＋y≥13，当且仅当3x＋9＝y＋2，即时取等号．故xy＋5x＋4y＝42＋3x＋y≥55，则xy＋5x＋4y的最小值为55.
答案：55
17．若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)(a≠0)恒成立，则实数x的取值范围是________．
解析：不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)(a≠0)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，故|2＋x|＋|2－x|≤min.因为≥＝＝4，当且仅当(2a＋b)(2a－b)≥0，即2|a|≥|b|时等号成立，所以的最小值为4，所以|2＋x|＋|2－x|≤4，解得－2≤x≤2.故实数x的取值范围为[－2，2]．
答案：[－2,2]
B组——能力小题保分练
1．已知x，y满足则z＝8－x·y的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选D 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·y＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由图知当x＝1，y＝2时，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为.故选D.
2．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为6，则＋的最小值为( )
A．1 B．3
C．2 D．4
解析：选B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
∵a>0，b>0，
∴当直线z＝ax＋by经过点(2,4)时，z取得最大值6，
∴2a＋4b＝6，即a＋2b＝3.
∴＋＝(a＋2b)×＝＋＋≥3，当且仅当a＝b＝1时等号成立，∴＋的最小值为3.故选B.
3．设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(n∈N*)，若m>＋＋…＋对于任意的正整数恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 不等式组表示的平面区域为直线x＝0，y＝0，y＝－nx＋3n围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n个，横坐标为2的整点有n个，所以an＝3n，所以＝＝，所以＋＋…＋＝＝，数列为单调递增数列，故当n趋近于无穷大时，趋近于，所以m≥.故选A.
4．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x)．若?x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为( )
A.＋2 B.－2
C．2＋2 D．2－2
解析：选B 由题意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)在R上恒成立，得ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，则a>0且Δ≤0，可得b2≤4ac－4a2，则≤＝，又4ac－4a2≥0，∴4·－4≥0，∴－1≥0，令t＝－1，则t≥0.当t>0时，≤＝≤＝－2，当t＝0时，＝0<－2，故的最大值为－2，故选B.
5．(2019届高三·浙江新高考联盟联考)过P(－1,1)的光线经x轴上点A反射后，经过不等式组所表示的平面区域内某点(记为B)，则|PA|＋|AB|的取值范围是________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，点P关于x轴的对称点为P1(－1，－1)，|PA|＋|AB|＝|P1B|，过点P1作直线x＋y－2＝0的垂线，则|PA|＋|AB|＝|P1B|的最小值为＝2.由得B0(2,3)，则|PA|＋|AB|＝|P1B|的最大值为|P1B0|＝＝5.
故2≤|PA|＋|AB|≤5.
答案：[2，5]
6．(2018·浙江“七彩阳光”联盟期中)设实数x，y满足不等式组且目标函数z＝3x＋y的最大值为15，则实数m＝________；设min{a，b}＝则z＝min{x＋y＋2,2x＋y}的取值范围是________．
解析：因为直线x＋y－3＝0与x－3y＋5＝0交于点A(1，2)，而直线x＋my－1＝0过点(1,0)，则当m>0时，不等式组不能构成可行域．当m＝0时，可行域为点A(1,2)，不符合题意．当－>，即－3构成的可行域是以A(1,2)，B，C为顶点的三角形区域(含边界)，过点C时，目标函数z＝3x＋y有最大值，由＝15，得m＝
－1.当0<－≤，即m≤－3时，不等式组构成的可行域是一个开放区域，此时，目标函数z＝3x＋y没有最大值．综合得m＝－1.
此时，可行域是以A(1,2)，B(2,1)，C(4,3)为顶点的三角形区域(含边界)．
而z＝min{x＋y＋2,2x＋y}＝直线x＝2把可行域分成以A(1,2)，B(2,1)，D为顶点的三角形区域，和以B(2,1)，C(4,3)，D为顶点的三角形区域．故只要求z＝2x＋y在三角形ABD区域上的范围，z＝x＋y＋2在三角形BCD区域上的范围即可．
当平行直线系2x＋y＝z在三角形ABD区域内运动时，z＝2x＋y∈.
当平行直线系x＋y＋2＝z在三角形BCD区域内运动时，z＝x＋y＋2∈[5,9]．
从而有z＝min{x＋y＋2,2x＋y}的取值范围是[4,9]．
答案：－1 [4,9]
