第二讲 小题考法——三角函数的图象与性质
考点(一)
三角函数的图象及应用
主要考查三角函数的图象变换或根据图象求解析式?或参数?.
[典例感悟]
[典例] (1)要想得到函数y＝sin 2x＋1的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
(2)已知函数g(x)＝sin2x－cos2x，如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，为了得到f(x)的图象，只需将g(x)的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
(3)将函数f(x)＝2sincoscos φ＋sin φ的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的图象关于y轴对称，则g的值为( )
A. B．－
C. D．－
[解析] (1)先将函数y＝cos 2x＝sin的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 2x的图象，再向上平移1个单位长度，即得y＝sin 2x＋1的图象，故选B.
(2)设函数f(x)的最小正周期为T，由图象知A＝1，T＝×＝π＝，所以ω＝2.因为f＝1，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，f(x)＝sin.将g(x)＝sin2x－cos2x＝－cos 2x＝sin的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为y＝sin＝sin.故选B.
(3)将函数f(x)＝2sincoscos φ＋·sin φ＝sin xcos φ＋cos xsin φ＝sin(x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝sin.由g(x)＝sin的图象关于y轴对称，可得g(x)为偶函数，故φ＋＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|<，故φ＝，可得函数g(x)＝sin，g＝sin＝.
[答案] (1)B (2)B (3)A
[方法技巧]
1．函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)＋B的确定方法
字母
确定途径
说明
A
由最值确定
A＝
B
由最值确定
B＝
ω
由函数的
周期确定
相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点之差的绝对值为个周期，ω＝
φ
由图象上的
特殊点确定
一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置，利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解
2．三角函数图象平移问题处理的“三看”策略
[演练冲关]
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D 易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2.
2．(2019届高三·金华十校联考)已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω>0)与g(x)＝cos(2x＋φ)的对称轴完全相同．为了得到h(x)＝cos的图象，只需将y＝f(x)的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解析：选A 函数f(x)＝sin与g(x)＝cos(2x＋φ)的对称轴完全相同，
则ω＝2，且f(x)＝sin，
又h(x)＝cos＝sin＝sin，
把f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，
可得y＝sin＝sin＝h(x)的图象．
3.(2019届高三·镇海区校级模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________，为了得到g(x)＝Acos ωx的图象，需将函数y＝f(x)的图象最少向左平移________个单位长度．
解析：由图象可得A＝2，
∵＝－＝，
∴T＝π，ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)，
将代入得sin＝1，
∵－π<φ<0，∴φ＝－，f(x)＝2sin.
∵f＝2sin＝2cos 2x＝g(x)，
∴可将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象，
故答案为－，.
答案：－
4.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.
解析：由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.
又∵f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，∵0<φ<π，则φ＝，
∴f(x)＝cos，∴f(1)＝－.
答案：－
考点(二)
三角函数的性质及应用
主要考查三角函数的奇偶性及对称性、周期性或求函数的单调区间，以及根据函数的单调性、奇偶性、周期性等求参数或取值范围.
[典例感悟]
[典例] (1)函数f(x)＝sin，x∈[－1,1]，则( )
A．f(x)为偶函数，且在[0,1]上单调递减
B．f(x)为偶函数，且在[0,1]上单调递增
C．f(x)为奇函数，且在[－1,0]上单调递增
D．f(x)为奇函数，且在[－1,0]上单调递减
(2)已知函数f(x)＝sin xcos 2x，则下列关于函数f(x)的结论中，错误的是( )
A．最大值为1
B．图象关于直线x＝－对称
C．既是奇函数又是周期函数
D．图象关于点中心对称
(3)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )
A．11 B．9
C．7 D．5
[解析] (1)∵函数f(x)＝sin＝cos πx，故函数f(x)为偶函数，故排除C、D.当x∈[0,1]时，πx∈[0，π]，函数y＝cos πx是减函数，故排除B，选A.
(2)∵函数f(x)＝sin xcos 2x，当x＝时，f(x)取得最大值为1，故A正确；当x＝－时，函数f(x)＝1，为函数的最大值，故图象关于直线x＝－对称；故B正确；函数f(x)满足f(－x)＝sin(－x)cos(－2x)＝－sin xcos 2x＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，再根据f(x＋2π)＝sin(x＋2π)cos[2(x＋2π)]＝sin xcos 2x，故f(x)的周期为2π，故C正确；由于f＋f(x)＝－cos x·cos(3π－2x)＋sin xcos 2x＝cos xcos 2x＋sin xcos 2x＝cos 2x(sin x＋cos x)＝0不一定成立，故f(x)图象不一定关于点中心对称，故D不正确，故选D.
(3)由题意得
且|φ|≤，
则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝或φ＝－.
对比选项，将选项各值依次代入验证：
若ω＝11，则φ＝－，此时f(x)＝sin，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，不满足f(x)在区间上单调；
若ω＝9，则φ＝，此时f(x)＝sin，满足f(x)在区间上单调递减，故选B.
[答案] (1)A (2)D (3)B
[方法技巧]
1．求函数单调区间的方法
(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
2．判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
3．求三角函数周期的常用结论
(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan的最小正周期为.
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
[演练冲关]
1．(2018·浙江十校联考)下列四个函数中，以π为最小正周期，在上单调递减且为偶函数的是( )
A．y＝sin|x| B．y＝cos|x|
C．y＝|tan x| D．y＝－ln|sin x|
解析：选D 由题意知函数y＝sin|x|在上单调递增，y＝cos|x|的最小正周期为2π，y＝|tan x|在上单调递增，故排除A、B、C.因为f(x)＝|sin x|为偶函数，且当x∈时单调递增，所以y＝－ln|sin x|为偶函数，且当x∈时单调递减，又g(x)＝sin x的最小正周期为2π，所以f(x)＝|sin x|的最小正周期为π，则函数y＝－ln|sin x|的最小正周期为π.故选D.
2．已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则函数f(x)的单调递增区间为________．
解析：由f(α)＝－，f(β)＝，|α－β|的最小值为，知＝，即T＝3π＝，所以ω＝，所以f(x)＝sin＋.由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
答案：，k∈Z
3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，则ω＝________，若f(x)>1对任意的x∈恒成立，则φ的取值范围是________．
解析：∵函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，∴＝2π，ω＝1，f(x)＝2sin(x＋φ)．
∵当x∈，即x＋φ∈时，f(x)>1恒成立，
∴当x＋φ∈时，sin(x＋φ)>恒成立，又|φ|≤，∴－＋φ≥，且＋φ≤，解得≤φ≤.
答案：1
考点(三)
三角函数的值域与最值问题
主要考查求三角函数的值域或最值，以及根据函数的值域或最值求参数.
[典例感悟]
[典例] (1)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
(2)函数f(x)＝sin在上的值域为________．
(3)(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
[解析] (1)∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，
又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1.
当2x＋＝，即x＝时，f(x)min＝－，
∴f(x)∈.
(3)由x∈，知x＋∈.
∵x＋∈时，f(x)的值域为，
∴由函数的图象知≤a＋≤，∴≤a≤π.
[答案] (1)B (2) (3)
[方法技巧]
求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法
三角函数类型
求值域(最值)方法
y＝asin x＋bcos x＋c
先化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)
y＝asin2x＋bsin x＋c
可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数，再求值域(最值)
y＝asin xcos x＋
b(sin x±cos x)＋c
可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数，再求值域(最值)
y＝
一般可看成过定点的直线与圆上动点连线的斜率问题，利用数形结合求解
[演练冲关]
1．已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是( )
A．2 B．3
C.＋2 D．2－
解析：选B 因为x∈，所以cos x∈，故y＝2cos x的值域为[－2,1]，所以b－a＝3.
2．当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．
解析：y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝22＋.
∵x∈，∴sin x∈.
∴当sin x＝时，ymin＝，
当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.
答案： 2
3．(2018·南宁模拟)已知函数f(x)＝cos，其中x∈，若f(x)的值域是，则m的取值范围是________．
解析：由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，∵f＝cos＝－，且f＝cos π＝－1，∴要使f(x)的值域是，需要π≤3m＋≤，即≤m≤.
答案：
(一) 主干知识要记牢
1．三角函数的图象及常用性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
单调性
在(k∈Z)上单调递增；在(k∈Z)上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减
在(k∈Z)上单调递增
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)
2.三角函数的两种常见的图象变换
(二) 二级结论要用好
1．sin α－cos α＞0?α的终边在直线y＝x上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．
2．sin α＋cos α＞0?α的终边在直线y＝－x上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．
(三) 易错易混要明了
求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间．
如求函数f(x)＝2sin的单调减区间，应将函数化为f(x)＝－2sin，转化为求函数y＝sin的单调增区间．
A组——10＋7提速练
一、选择题
1．函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B 由kπ－<2x－2．为了得到函数y＝3sin 2x＋1的图象，只需将y＝3sin x的图象上的所有点( )
A．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度
B．横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度
C．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度
D．横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度
解析：选B 将y＝3sin x的图象上的所有点的横坐标缩短倍得到y＝3sin 2x的图象，再将y＝3sin 2x的图象再向上平移1个单位长度即得y＝3sin 2x＋1的图象，故选B.
3.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin
解析：选A 由题图可知， 函数f(x)的最小正周期为T＝＝×4＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋φ)．又函数f(x)的图象经过点，所以sin＝1，则＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，即函数f(x)＝sin，故选A.
4．(2018·宁波模拟)将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
解析：选A 将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin＝sin的图象，令2x＋＝kπ＋，求得x＝＋，k∈Z，可得所得函数图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z，令k＝1，可得所得函数图象的一条对称轴方程为x＝，故选A.
5．已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f＝( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析：选B ∵函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，∴φ＝，f(x)＝－4sin ωx.∵A(a,0)，B(b，0)是其图象上两点，|a－b|的最小值是1，∴×＝1，∴ω＝π，f(x)＝－4sin πx，则f＝－4sin＝－2.
6．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析：选A 法一：由f＝2，
得ω＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，①
由f＝0，得ω＋φ＝k′π(k′∈Z)，②
由①②得ω＝－＋(k′－2k)．
又最小正周期T＝>2π，所以0<ω<1，ω＝.
又|φ|<π，将ω＝代入①得φ＝.选项A符合．
法二：∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴－＝(2m＋1)，m∈N，
∴T＝，m∈N，
∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.故选A.
7．若把函数y＝2cos x(cos x－sin x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 法一：y＝2cos x(cosx－sin x)＝2cos2x－2sin xcos x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2sin，该函数的图象向左平移m个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝1＋2sin＝1＋2sin，由题意知2m＋＝＋kπ，k∈Z，解得m＝－，k∈Z，取k＝1，得到m的最小值为，故选A.
法二：y＝2cos x(cos x－sin x)＝2cos2x－2sin xcos x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2sin，令2x＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝－，k∈Z，则原函数的图象在x轴右侧且离y轴最近的一条对称轴为直线x＝.因为原函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到的图象关于y轴对称，所以m的最小值为，故选A.
8．(2019届高三·温州期中)设α是三角形的一个内角，在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的值的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选A ∵α是三角形的一个内角，
若0<α<，则0<<，0<2α<π.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的是cos 2α与tan 2α；
若α＝，则＝，2α＝π.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中为负数的是cos 2α；
若<α≤，则<≤，π<2α≤.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的是cos α与cos 2α；
若<α<π，则<<，<2α<2π.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的是cos α与tan 2α.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的值的个数是2个．故选A.
9．已知x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在上的最小值为( )
A．－2 B．－1
C．－ D．－
解析：选B f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin.∵x＝是f(x)＝2sin图象的一条对称轴，∴2×＋＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝，则f(x)＝2sin，∴g(x)＝2sin＝－2sin，则g(x)在上的最小值为g＝－1，故选B.
10．(2019届高三·浙江六校联考)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋θ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数f(x)＝3sin(ωx＋θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的一个可能值是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由函数f(x)＝3sin(ωx＋θ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得函数f(x)的最小正周期为π，则π＝，所以ω＝2，函数f(x)＝3sin(2x＋θ)的图象向右平移φ个单位长度，得到g(x)＝3sin(2x＋θ－2φ)的图象，因为f(x)，g(x)的图象都经过点P，所以sin θ＝，sin(θ－2φ)＝，又－<θ<，所以θ＝，所以sin＝，所以－2φ＝2kπ＋(k∈Z)或－2φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝－kπ(k∈Z)或φ＝－kπ－(k∈Z)，因为φ>0，所以结合选项知φ的一个可能值是.故选D.
二、填空题
11．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意的x都有f＝f，则f＝________.
解析：函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意的x都有f＝f，则其图象的一条对称轴为x＝，所以f＝±2.
答案：±2
12．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2,4]上单调，且f(2)＝1，f(4)＝－1，则ω＝________，f(x)在区间上的值域是________．
解析：由题意知f(x)的最小正周期T＝4，∴ω＝，
∴f(x)＝sin.又f(2)＝sin(π＋φ)＝1，
∴π＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<π，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.
由x∈，得x－∈，
∴sin∈，
即f(x)在区间上的值域为.
答案：
13．(2018·金华模拟)已知函数f(x)＝4sin xsin，则函数f(x)的最小正周期T＝________，在区间上的值域为________．
解析：函数f(x)＝4sin xsin ＝4sin x＝2sin2x＋2sin xcos x＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1，
函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
∵x∈，∴2x－∈.
∴－∴0∴值域为(0,3]．
答案：π (0,3]
14．设P为函数f(x)＝sinx的图象上的一个最高点，Q为函数g(x)＝cosx的图象上的一个最低点，则|PQ|的最小值是________．
解析：由题意知两个函数的周期都为T＝＝4，由正、余弦函数的图象知，f(x)与g(x)的图象相差个周期，设P，Q分别为函数f(x)，g(x)图象上的相邻的最高点和最低点，设P(x0,1)，则Q(x0＋1，－1)，则|PQ|min＝＝.
答案：
15．已知函数f(x)＝cos xsin x(x∈R)，则下列四个结论中正确的是________．(填序号)
①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；
②f(x)的最小正周期是2π；
③f(x)在区间上是增函数；
④f(x)的图象关于直线x＝对称．
解析：因为f(x)＝cos xsin x＝sin 2x，所以f(x)是周期函数，且最小正周期为T＝＝π，所以①②错误；由2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，－≤x≤，此时f(x)是增函数，所以③正确；由2x＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，取k＝1，则x＝，故④正确．
答案：③④
16．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．
解析：f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)
＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．
∵cos x＋1≥0，
∴当cos x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当cos x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴当cos x＝，f(x)有最小值．
又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
∴当sin x＝－时，f(x)有最小值，
即f(x)min＝2××＝－.
答案：－
17．已知函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1的最大值为3，f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝________.
解析：∵函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝A·＋1＝cos(2ωx＋2φ)＋1＋的最大值为3，∴＋1＋＝3，∴A＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即＝4，∴ω＝.再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<，∴2φ＝，φ＝.故函数f(x)的解析式为f(x)＝cos＋2＝－sinx＋2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝－＋2×2 018＝504×0－sin－sin π＋4 036＝0－1－0＋4 036＝4 035.
答案：4 035
B组——能力小题保分练
1．曲线y＝2coscos和直线y＝在y轴右侧的交点的横坐标按从小到大的顺序依次记为P1，P2，P3，…，则|P3P7|＝( )
A．π B．2π
C．4π D．6π
解析：选B y＝2coscos＝cos2x－sin2x＝cos 2x，故曲线对应的函数为周期函数，且最小正周期为π，直线y＝在y轴右侧与函数y＝2cos·cos在每个周期内的图象都有两个交点，又P3与P7相隔2个周期，故|P3P7|＝2π，故选B.
2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．f(x)的图象关于直线x＝－对称
B．f(x)的图象关于点对称
C．若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(－2，－ ]
D．将函数y＝2sin的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象
解析：选C 由题图可知，A＝2，T＝4×＝π，∴ω＝＝2.又f＝2，
∴2sin＝2，＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∵|φ|<，∴φ＝，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin，
∴当x＝－时，2×＋＝－π，
f＝2sin(－π)＝0，
从而f(x)的图象关于点对称，而不是关于直线x＝－对称，故A不正确；
当x＝－时，2×＋＝－，
∴f(x)的图象关于直线x＝－对称，而不是关于点对称，故B不正确；
当x∈时，2x＋∈，f(x)∈[－2, ]，结合正弦函数图象的性质，可知若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(－2，－ ]，故C正确；
根据图象平移变换的法则，可知应将y＝2sin的图象向左平移个单位长度得到f(x)的图象，故D不正确．故选C.
3．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数互为生成函数．给出下列四个函数：
①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝(sin x＋cos x)；
③f(x)＝sin x；④f(x)＝sin x＋.
其中互为生成函数的是( )
A．①② B．①④
C．③④ D．②④
解析：选B 首先化简题中①②两个函数解析式可得：①f(x)＝sin，②f(x)＝2sin，可知③f(x)＝sin x的图象要与其他函数的图象重合，只经过平移不能完成，还必须经过伸缩变换才能实现，∴③f(x)＝sin x不与其他函数互为生成函数；同理①f(x)＝sin(④f(x)＝sin x＋)的图象与②f(x)＝2sin的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f(x)＝sin x＋的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到①f(x)＝sin的图象，∴①④互为生成函数，故选B.
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正常数)的最小正周期为π，且当x＝时，函数f(x)取得最小值，则( )
A．f(1)C．f(－1)解析：选C 因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝＝2，故f(x)＝Asin(2x＋φ)，因为当x＝时，函数f(x)取得最小值，所以2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z，又φ>0，故可取k＝1，则φ＝，故f(x)＝Asin，所以f(－1)＝Asin<0，f(1)＝Asin>0，f(0)＝Asin＝A>0，故f(－1)最小．又sin＝sin＝sin>sin，故f(1)>f(0)．综上可得f(－1)5．若函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，则函数f(x)的图象的对称轴为________，φ＝________.
解析：因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即＝，所以ω＝2，故函数f(x)＝2sin.令2x＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，故函数f(x)的图象的对称轴为x＝＋，k∈Z.令2x＋φ＝mπ，m∈Z，则x＝－，m∈Z，故函数g(x)的图象的对称轴为x＝－，m∈Z，故＋－＋＝，m，n，k∈Z，即φ＝(m＋n－k)π－，m，n，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－.
答案：x＝＋，k∈Z －
6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为，若f＝，则函数f(x)在上的最小值为________．
解析：由题意得，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝π＝，解得ω＝2.
因为点在函数f(x)的图象上，
所以Asin＝0，
解得φ＝kπ＋，k∈Z，由0<φ<π，可得φ＝.
因为f＝，所以Asin＝，
解得A＝，所以f(x)＝sin.
当x∈时，2x＋∈，
所以sin∈，
所以f(x)的最小值为－.
答案：－
课件44张PPT。三角函数的图象与性质小题考法——二讲第考点(一) 三角函数的图象及应用考点(二) 三角函数的性质及应用考点(三) 三角函数的值域与最值问题必备知能·自主补缺
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（二） 小题考法——三角函数的图象与性质
A组——10＋7提速练
一、选择题
1．函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B 由kπ－<2x－2．为了得到函数y＝3sin 2x＋1的图象，只需将y＝3sin x的图象上的所有点( )
A．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度
B．横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度
C．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度
D．横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度
解析：选B 将y＝3sin x的图象上的所有点的横坐标缩短倍得到y＝3sin 2x的图象，再将y＝3sin 2x的图象再向上平移1个单位长度即得y＝3sin 2x＋1的图象，故选B.
3.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin
解析：选A 由题图可知， 函数f(x)的最小正周期为T＝＝×4＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋φ)．又函数f(x)的图象经过点，所以sin＝1，则＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，即函数f(x)＝sin，故选A.
4．(2018·宁波模拟)将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
解析：选A 将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin＝sin的图象，令2x＋＝kπ＋，求得x＝＋，k∈Z，可得所得函数图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z，令k＝1，可得所得函数图象的一条对称轴方程为x＝，故选A.
5．已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f ＝( )
A．2 B．－2
C． D．－
解析：选B ∵函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，∴φ＝，f(x)＝－4sin ωx.∵A(a,0)，B(b，0)是其图象上两点，|a－b|的最小值是1，∴×＝1，∴ω＝π，f(x)＝－4sin πx，则f＝－4sin＝－2.
6．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析：选A 法一：由f＝2，
得ω＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， ①
由f＝0，得ω＋φ＝k′π(k′∈Z)， ②
由①②得ω＝－＋(k′－2k)．
又最小正周期T＝>2π，所以0<ω<1，ω＝.
又|φ|<π，将ω＝代入①得φ＝.选项A符合．
法二：∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴－＝(2m＋1)，m∈N，
∴T＝，m∈N，
∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.故选A.
7．若把函数y＝2cos x(cos x－sin x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 法一：y＝2cos x(cosx－sin x)＝2cos2x－2sin xcos x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2sin，该函数的图象向左平移m个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝1＋2sin＝1＋2sin，由题意知2m＋＝＋kπ，k∈Z，解得m＝－，k∈Z，取k＝1，得到m的最小值为，故选A.
法二：y＝2cos x(cos x－sin x)＝2cos2x－2sin xcos x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2sin，令2x＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝－，k∈Z，则原函数的图象在x轴右侧且离y轴最近的一条对称轴为直线x＝.因为原函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到的图象关于y轴对称，所以m的最小值为，故选A.
8．(2019届高三·温州期中)设α是三角形的一个内角，在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的值的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选A ∵α是三角形的一个内角，
若0<α<，则0<<，0<2α<π.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的是cos 2α与tan 2α；
若α＝，则＝，2α＝π.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中为负数的是cos 2α；
若<α≤，则<≤，π<2α≤.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的是cos α与cos 2α；
若<α<π，则<<，<2α<2π.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的是cos α与tan 2α.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的值的个数是2个．故选A.
9．已知x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在上的最小值为( )
A．－2 B．－1
C．－ D．－
解析：选B f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin.∵x＝是f(x)＝2sin图象的一条对称轴，∴2×＋＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝，则f(x)＝2sin，∴g(x)＝2sin＝－2sin，则g(x)在上的最小值为g＝－1，故选B.
10．(2019届高三·浙江六校联考)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋θ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数f(x)＝3sin(ωx＋θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P ，则φ的一个可能值是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由函数f(x)＝3sin(ωx＋θ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得函数f(x)的最小正周期为π，则π＝，所以ω＝2，函数f(x)＝3sin(2x＋θ)的图象向右平移φ个单位长度，得到g(x)＝3sin(2x＋θ－2φ)的图象，因为f(x)，g(x)的图象都经过点P，所以sin θ＝，sin(θ－2φ)＝，又－<θ<，所以θ＝，所以sin＝，所以－2φ＝2kπ＋(k∈Z)或－2φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝－kπ(k∈Z)或φ＝－kπ－(k∈Z)，因为φ>0，所以结合选项知φ的一个可能值是.故选D.
二、填空题
11．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意的x都有f ＝f ，则f ＝_______.
解析：函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意的x都有f ＝f ，则其图象的一条对称轴为x＝，所以f＝±2.
答案：±2
12．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2,4]上单调，且f(2)＝1，f(4)＝－1，则ω＝________，f(x)在区间上的值域是________．
解析：由题意知f(x)的最小正周期T＝4，∴ω＝，
∴f(x)＝sin.又f(2)＝sin(π＋φ)＝1，
∴π＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<π，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.
由x∈，得x－∈，
∴sin∈，
即f(x)在区间上的值域为.
答案：
13．(2018·金华模拟)已知函数f(x)＝4sin xsin，则函数f(x)的最小正周期T＝________，在区间上的值域为________．
解析：函数f(x)＝4sin xsin ＝4sin x＝2sin2x＋2sin xcos x＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1，
函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
∵x∈，∴2x－∈.
∴－∴0∴值域为(0,3]．
答案：π (0,3]
14．设P为函数f(x)＝sinx的图象上的一个最高点，Q为函数g(x)＝cosx的图象上的一个最低点，则|PQ|的最小值是________．
解析：由题意知两个函数的周期都为T＝＝4，由正、余弦函数的图象知，f(x)与g(x)的图象相差个周期，设P，Q分别为函数f(x)，g(x)图象上的相邻的最高点和最低点，设P(x0,1)，则Q(x0＋1，－1)，则|PQ|min＝＝.
答案：
15．已知函数f(x)＝cos xsin x(x∈R)，则下列四个结论中正确的是________．(填序号)
①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；
②f(x)的最小正周期是2π；
③f(x)在区间上是增函数；
④f(x)的图象关于直线x＝对称．
解析：因为f(x)＝cos xsin x＝sin 2x，所以f(x)是周期函数，且最小正周期为T＝＝π，所以①②错误；由2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，－≤x≤，此时f(x)是增函数，所以③正确；由2x＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，取k＝1，则x＝，故④正确．
答案：③④
16．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．
解析：f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)
＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．
∵cos x＋1≥0，
∴当cos x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当cos x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴当cos x＝，f(x)有最小值．
又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
∴当sin x＝－时，f(x)有最小值，
即f(x)min＝2××＝－.
答案：－
17．已知函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1的最大值为3，f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝________.
解析：∵函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝A·＋1＝cos(2ωx＋2φ)＋1＋的最大值为3，∴＋1＋＝3，∴A＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即＝4，∴ω＝.再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<，∴2φ＝，φ＝.故函数f(x)的解析式为f(x)＝cos＋2＝－sinx＋2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝－＋2×2 018＝504×0－sin－sin π＋4 036＝0－1－0＋4 036＝4 035.
答案：4 035
B组——能力小题保分练
1．曲线y＝2coscos和直线y＝在y轴右侧的交点的横坐标按从小到大的顺序依次记为P1，P2，P3，…，则|P3P7|＝( )
A．π B．2π
C．4π D．6π
解析：选B y＝2coscos＝cos2x－sin2x＝cos 2x，故曲线对应的函数为周期函数，且最小正周期为π，直线y＝在y轴右侧与函数y＝2cos·cos在每个周期内的图象都有两个交点，又P3与P7相隔2个周期，故|P3P7|＝2π，故选B.
2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．f(x)的图象关于直线x＝－对称
B．f(x)的图象关于点对称
C．若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(－2，－ ]
D．将函数y＝2sin的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象
解析：选C 由题图可知，A＝2，T＝4×＝π，∴ω＝＝2.又f＝2，
∴2sin＝2，＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∵|φ|<，∴φ＝，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin，
∴当x＝－时，2×＋＝－π，
f ＝2sin(－π)＝0，
从而f(x)的图象关于点对称，而不是关于直线x＝－对称，故A不正确；
当x＝－时，2×＋＝－，
∴f(x)的图象关于直线x＝－对称，而不是关于点对称，故B不正确；
当x∈时，2x＋∈，f(x)∈[－2, ]，结合正弦函数图象的性质，可知若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(－2，－ ]，故C正确；
根据图象平移变换的法则，可知应将y＝2sin的图象向左平移个单位长度得到f(x)的图象，故D不正确．故选C.
3．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数互为生成函数．给出下列四个函数：
①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝(sin x＋cos x)；
③f(x)＝sin x；④f(x)＝sin x＋.
其中互为生成函数的是( )
A．①② B．①④
C．③④ D．②④
解析：选B 首先化简题中①②两个函数解析式可得：①f(x)＝sin，②f(x)＝2sin，可知③f(x)＝sin x的图象要与其他函数的图象重合，只经过平移不能完成，还必须经过伸缩变换才能实现，∴③f(x)＝sin x不与其他函数互为生成函数；同理①f(x)＝sin(④f(x)＝sin x＋)的图象与②f(x)＝2sin的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f(x)＝sin x＋的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到①f(x)＝sin的图象，∴①④互为生成函数，故选B.
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正常数)的最小正周期为π，且当x＝时，函数f(x)取得最小值，则( )
A．f(1)C．f(－1)解析：选C 因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝＝2，故f(x)＝Asin(2x＋φ)，因为当x＝时，函数f(x)取得最小值，所以2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z，又φ>0，故可取k＝1，则φ＝，故f(x)＝Asin，所以f(－1)＝Asin<0，f(1)＝Asin>0，f(0)＝Asin＝A>0，故f(－1)最小．又sin＝sin＝sin>sin，故f(1)>f(0)．综上可得f(－1)5．若函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，则函数f(x)的图象的对称轴为________，φ＝________.
解析：因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即＝，所以ω＝2，故函数f(x)＝2sin.令2x＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，故函数f(x)的图象的对称轴为x＝＋，k∈Z.令2x＋φ＝mπ，m∈Z，则x＝－，m∈Z，故函数g(x)的图象的对称轴为x＝－，m∈Z，故＋－＋＝，m，n，k∈Z，即φ＝(m＋n－k)π－，m，n，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－.
答案：x＝＋，k∈Z －
6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为，若f＝，则函数f(x)在上的最小值为________．
解析：由题意得，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝π＝，解得ω＝2.
因为点在函数f(x)的图象上，
所以Asin＝0，
解得φ＝kπ＋，k∈Z，由0<φ<π，可得φ＝.
因为f＝，所以Asin＝，
解得A＝，所以f(x)＝sin.
当x∈时，2x＋∈，
所以sin∈，
所以f(x)的最小值为－.
答案：－
