第三讲 小题考法——三角恒等变换与解三角形
考点(一)
三角恒等变换与求值
主要考查利用三角恒等变换解决化简求值或求角问题.多涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式.
[典例感悟]
[典例] (1)已知α∈，β∈，满足cos α＝，sin β＝，则α＋β的值为( )
A. B.或
C. D.＋2kπ
(2)已知m＝，若sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，则m＝( )
A. B.
C. D．2
(3)若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝( )
A. B．－
C. D．－
[解析] (1)∵0<α<，0<β<，
满足cos α＝，sin β＝，
∴sin α＝＝，cos β＝＝，
则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－，
∵0<α<，0<β<，
∴0<α＋β<π，∴α＋β＝，故选C.
(2)设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A＋B,2β＝A－B，因为sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，即sin Acos B＋cos Asin B＝3(sin Acos B－cos Asin B)，即2cos Asin B＝sin Acos B，所以tan A＝2tan B，所以m＝＝2.
(3)∵0<α<，∴<α＋<.
∵cos＝，
∴sin＝.
∵－<β<0，∴<－<.
∵cos＝，
∴sin＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
[答案] (1)C (2)D (3)C
[方法技巧]
1．三角恒等变换的策略
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
2．解决条件求值问题的关注点
(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．
(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．
(3)求解三角函数中的给值求角问题时，要根据已知求这个角的某个三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．
[演练冲关]
1．(2018·湖州期末)已知sin θ＋cos θ＝，则sin 2θ等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B ∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝，
∴1＋sin 2θ＝，∴sin 2θ＝－.
2．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，且α为第二象限角，则tan＝( )
A．7 B．
C．－7 D．－
解析：选B sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝－[cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β]＝－cos(α－β＋β)＝－cos α＝，即cos α＝－.又α为第二象限角，∴tan α＝－，∴tan＝＝.
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sin的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±，所以tan 2θ＝＝－，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝，所以sin＝(sin 2θ＋cos 2θ)＝×＝，故选D.
考点(二)
利用正、余弦定理解三角形
主要考查利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解三角形的边长、角以及面积，有时也与三角恒等变换相结合考查.
[典例感悟]
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝( )
A． B．
C． D．
(2)(2018·下城区校级模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，且sin B＝cos C，则下列结论中正确的是( )
A．A＝ B．c＝2a
C．C＝ D．△ABC是等边三角形
(3)(2018·洛阳统考)在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则BC＝________.
[解析] (1)因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，
所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，
所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0，
所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，
因为A∈(0，π)，所以A＝，
由正弦定理得sin C＝＝＝，
又0＜C＜，所以C＝.
(2)在△ABC中，由a2＝b2＋c2－bc，
得cos A＝＝，∴A＝60°.
∵sin B＝cos C，∴sin(120°－C)＝cos C，
可得cos C＋sin C＝cos C，即tan C＝.
∴C＝60°.∴△ABC是等边三角形．
(3)依题意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝2·sin∠ACD＝4，sin∠ACD＝.
又∠ACD是锐角，因此cos∠ACD＝ ＝.在△ACD中，
AD＝ ＝4，
＝，则sin A＝＝.
在△ABC中，＝，则BC＝＝4.
[答案] (1)B (2)D (3)4
[方法技巧]
解三角形问题的求解策略
已知条件
解题思路
两角A，B与一边a
由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c
两边b，c及其夹角A
由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C
三边a，b，c
由余弦定理可求出角A，B，C
两边a，b及其中一边的对角A
由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况
[演练冲关]
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝( )
A. B．
C. D．
解析：选A 因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝，所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝×＝.
2．(2019届高三·杭州七校联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，△ABC面积的最大值为，则角B的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 由余弦定理得4＝a2＋c2－2accos B≥2ac－2accos B＝2ac(1－cos B)，当且仅当a＝c时取等号，所以ac≤，S△ABC＝acsin B≤×＝，即＝，所以B为.
3．(2018·台州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A＝，a＝7，b＝5，点D满足＝2，则c＝________；|AD|＝________.
解析：如图，∵∠A＝，a＝7，b＝5，
∴由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得72＝52＋c2－2×5×c×，
整理解得c＝8或－3(舍去)．
∴cos B＝＝＝，
∵点D满足＝2，可得BD＝a＝，
∴在△ABD中，由余弦定理可得，AD2＝BD2＋c2－2BD·c·cos B＝2＋64－2××8×＝.
解得AD＝.
答案：8
考点(三)
正、余弦定理的实际应用
主要是以实际生活为背景所命制的与测量和几何计算有关的问题，考查正弦、余弦定理等知识和方法的运用.
[典例感悟]
[典例] (1)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1，≈1.414，≈2.236)．
(2)(2019届高三·安徽名校联考)已知在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．轮船沿BC行驶一段时间后，到达海岛的正西方向的D处，此时轮船距岛A有________千米．
[解析] (1)因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v.在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，即(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos 135°，所以v＝≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.
(2)由已知可求得AB＝，AC＝，BC＝，
∴sin∠ACB＝，cos∠ACB＝，则∠ACB为锐角，∠ACD为钝角，且sin∠ACD＝，cos∠ACD＝－.
在△ACD中，sin∠ADC＝sin(∠ACD＋∠DAC)＝sin∠ACDcos∠DAC＋sin∠DACcos∠ACD＝，
由正弦定理可求得AD＝＝.
[答案] (1)22.6 (2)
[方法技巧]
解三角形实际问题的常见类型及解题思路
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解已知条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
[演练冲关]
1.为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为( )
A. km2 B. km2
C. km2 D. km2
解析：选D 如图，连接AC，根据余弦定理可得AC＝，故△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，从而△ADC为等腰三角形，且∠ADC＝150°，设AD＝DC＝x，根据余弦定理得x2＋x2＋x2＝3，即x2＝＝3(2－)．所以所求小区的面积为×1×＋×3(2－)×＝＝(km2)．
2．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取 ＝1.4, ＝1.7)
解析：如图，作CD垂直于AB交AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°.又在△ABC中，AB＝50×420＝21 000，由正弦定理，得＝，
∴BC＝×sin 15°＝10 500(－)．
∵CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10 500(－)×＝10 500(－1)＝7 350.故山顶的海拔高度h＝10 000－7 350＝2 650(m)．
答案：2 650
(一) 主干知识要记牢
1．两组三角公式
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
②cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β.
③tan(α±β)＝ .
辅助角公式：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)．
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式
①sin 2α＝2sin αcos α.
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
降幂公式：sin2α＝，cos2α＝.
③tan 2α＝ .
2．正弦定理
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝；
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
3．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
4．三角形面积公式
S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.
(二) 二级结论要用好
1．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
2．△ABC中，内角A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.
3．△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列．
4．S△ABC＝(R为△ABC外接圆半径)．
(三) 易错易混要明了
1．对于三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调的函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．
[针对练1] 若α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α＋β＝________.
解析：∵α，β为锐角，sin α＝，sin β＝，
∴cos α＝，cos β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.又0<α＋β<π，
∴α＋β＝.
答案：
2．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数，可能有一解、两解或无解．在△ABC中，A>B?sin A>sin B.
[针对练2] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，A＝，则b＝________.
解析：由＝，得sin C＝＝，得C＝或.当C＝时，B＝，可得b＝2；当C＝时，B＝，可得b＝1.
答案：2或1
A组——10＋7提速练
一、选择题
1．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1
C． D．
解析：选D 由正弦定理＝，得＝，即＝，所以b＝，故选D.
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，则sin B＝( )
A. B．
C. D．
解析：选A 由bsin B－asin A＝asin C，得b2－a2＝ac，∵c＝2a，∴b＝a，∴cos B＝＝＝，则sin B＝ ＝.
3．(2019届高三·温州十校联考)在△ABC中，若tan Atan B>1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
解析：选A 因为A和B都为三角形中的内角，
由tan Atan B>1，得1－tan Atan B<0，
且tan A>0，tan B>0，即A，B为锐角，
所以tan(A＋B)＝<0，
则A＋B∈，即C为锐角，
所以△ABC是锐角三角形．
4．已知sin β＝，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )
A．－2 B．2
C．－ D．
解析：选A ∵sin β＝，且<β<π，
∴cos β＝－，tan β＝－.
∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α，
∴tan α＝－，
∴tan(α＋β)＝＝－2.
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asin A＝(2sin B＋sin C)b＋(2c＋b)sin C，则A＝( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
解析：选B 由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得cos A＝－，又A为三角形的内角，故A＝120°.
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝2，且C＝，则△ABC的面积为( )
A．＋1 B．＋1
C．2 D．
解析：选B 由正弦定理＝，得sin B＝＝，又c>b，且B∈(0，π)，所以B＝，所以A＝，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×2sin＝×2×2×＝＋1.
7．(2018·衢州期中)在△ABC中，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝( )
A．2 B．2
C. D．1
解析：选B 在△ABC中，∵B＝2A，a＝1，b＝，
∴由正弦定理＝，
可得＝＝，
∴cos A＝，∴A＝，B＝，C＝π－A－B＝，
∴c＝＝2.
8．在△ABC中，A＝60°，BC＝，D是AB边上不同于A，B的任意一点，CD＝，△BCD的面积为1，则AC的长为( )
A．2 B．
C． D．
解析：选D 由S△BCD＝1，可得×CD×BC×sin∠DCB＝1，即sin∠DCB＝，所以cos∠DCB＝或cos∠DCB＝－，又∠DCB<∠ACB＝180°－A－B＝120°－B<120°，所以cos∠DCB>－，所以cos∠DCB＝.在△BCD中，cos∠DCB＝＝，解得BD＝2，所以cos∠DBC＝＝，所以sin∠DBC＝.在△ABC中，由正弦定理可得AC＝＝，故选D.
9．(2019届高三·台州中学检测)在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为c＝AB＝1，a＝BC＝2，b＝AC.根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知110．(2018·济南外国语学校月考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin 2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是( )
A． B．3
C．或1 D．或3
解析：选A ∵在△ABC中，C＝，∴B＝－A，B－A＝－2A，∵sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin 2A，∴sin C＋sin＝2sin 2A，即sin C＋cos 2A＋sin 2A＝2sin 2A，整理得sin＝sin C＝，∴sin＝.又A∈，∴2A－＝或，解得A＝或.当A＝时，B＝，tan C＝＝＝，解得a＝，∴S△ABC＝acsin B＝；当A＝时，B＝，tan C＝＝＝，解得b＝，∴S△ABC＝bc＝.综上，△ABC的面积是.
二、填空题
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，△ABC的面积为，且sin A＋sin C＝2sin B，则b的值为________．
解析：由已知可得acsin 30°＝，解得ac＝6.因为sin A＋sin C＝2sin B，所以由正弦定理可得a＋c＝2b.由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－ac＝4b2－12－6，解得b2＝4＋2，∴b＝1＋或b＝－1－(舍去)．
答案：1＋
12．(2018·温州期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，cos B＝，则c＝________；△ABC的面积S＝________.
解析：∵a＝1，b＝2，cos B＝，
∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，可得22＝12＋c2－2×1×c×，整理得2c2－c－6＝0，
解得c＝2(负值舍去)，
又∵sin B＝＝，
∴S△ABC＝acsin B＝×1×2×＝.
答案：2
13．(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.
解析：在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，
则sin∠ABC＝sin∠CBD＝，
所以S△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝×2×2×＝.
因为BD＝BC＝2，所以∠CDB＝∠ABC，
则cos∠CDB＝ ＝.
答案：
14．在△ABC中，AD为边BC上的中线，AB＝1，AD＝5，∠ABC＝45°，则sin∠ADC＝________，AC＝________.
解析：在△ABD中，由正弦定理，得＝，所以sin∠ADB＝×sin∠ABC＝×sin 45°＝，
所以sin∠ADC＝sin(180°－∠ADB)＝sin∠ADB＝.
由余弦定理，
得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，
所以52＝12＋BD2－2BDcos45°，得BD＝4，
因为AD为△ABC的边BC上的中线，
所以BC＝2BD＝8.
在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝12＋(8)2－2×1×8×cos 45°＝113，所以AC＝.
答案：
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，b＝，△ABC的面积为，则c＝________，B＝________.
解析：由S△ABC＝bcsin A＝××c×＝，得c＝1＋.在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝6＋(4＋2)－2×(＋1)×＝4，则a＝2.由正弦定理＝，可得sin B＝，因为b答案：1＋
16．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝________.
解析：由题意可得AB·BC·sin B＝，又AB＝1，BC＝，所以sin B＝，所以B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°.由余弦定理可得AC＝＝.
答案：
17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的中线长为2，高线长为，且btan A＝(2c－b)tan B，则bc的值为________．
解析：因为btan A＝(2c－b)tan B，所以＝－1，所以1＋＝，根据正弦定理，得1＋＝，即＝.因为sin(A＋B)＝sin C≠0，sin B≠0，所以cos A＝，所以A＝.设BC边上的中线为AM，则AM＝2，因为M是BC的中点，所以＝(＋)，即2＝(2＋2＋2·)，所以c2＋b2＋bc＝32 ①.设BC边上的高线为AH，由S△ABC＝AH·BC＝bc·sin A，得bc＝，即bc＝2a ②，根据余弦定理，得a2＝c2＋b2－bc ③，联立①②③得2＝32－2bc，解得bc＝8或bc＝－16(舍去)．
答案：8
B组——能力小题保分练
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选C 因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，结合面积公式与余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，即＝4，所以＝4，解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)，故选C.
2．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)·sin C．若a＝，则b2＋c2的取值范围是( )
A．(5,6] B．(3,5)
C．(3,6] D．[5,6]
解析：选A 由正弦定理可得，(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，则A＝.又＝＝＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，所以b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4sin2B＋sin2(A＋B)]＝4＋＝sin 2B－cos 2B＋4＝2sin＋4.又△ABC是锐角三角形，所以B∈，则2B－∈，所以sin∈，所以b2＋c2的取值范围是(5,6]，故选A.
3．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝________.
解析：如图，AD为△ABC中BC边上的高．设BC＝a，由题意知AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a.
在Rt△ABD中，AB＝ ＝a.
在Rt△ACD中，AC＝ ＝a.
∵S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝BC·AD，
即×a×a·sin∠BAC＝a·a，
∴sin∠BAC＝.
答案：
4.如图，在△ABC中，AB＝，点D在边BC上，BD＝2DC，cos∠DAC＝，cos∠C＝，则AC＝________.
解析：因为BD＝2DC，设CD＝x，AD＝y，则BD＝2x，因为cos∠DAC＝，cos∠C＝，所以sin∠DAC＝，sin∠C＝，在△ACD中，由正弦定理可得＝，即＝，即y＝x.又cos∠ADB＝cos(∠DAC＋∠C)＝×－×＝，则∠ADB＝.在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD×ADcos，即2＝4x2＋2x2－2×2x×x×，即x2＝1，所以x＝1，即BD＝2，DC＝1，AD＝，在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD×ADcos＝5，得AC＝.
答案：
5．已知△ABC中，AC＝，BC＝，△ABC的面积为.若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC＝，则CD＝________.
解析：因为S△ABC＝AC·BC·sin∠BCA，即＝×××sin∠BCA，所以sin∠BCA＝.因为∠BAC>∠BDC＝，所以∠DAC<，又∠DAC＝∠ABC＋∠ACB，所以∠ACB<，则∠BCA＝，所以cos∠BCA＝.在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝2＋6－2×××＝2，所以AB＝＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝，在△BCD中，＝，即＝，解得CD＝.
答案：
6．(2018·嘉兴测试)设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a2＋2b2＝c2，则＝________；tan B的最大值为________．
解析：由正弦定理可得＝·＝·，再结合余弦定理可得＝·＝··＝.由a2＋2b2＝c2，得＝＝－3.由已知条件及大边对大角可知0＜A＜＜C＜π，从而由A＋B＋C＝π可知tan B＝－tan(A＋C)＝－＝－＝，因为＜C＜π，所以＋(－tan C)≥2＝2(当且仅当tan C＝－时取等号)，从而tan B≤＝，即tan B的最大值为.
答案：－3
课件43张PPT。三角恒等变换与解三角形小题考法——三讲第考点(一) 三角恒等变换与求值考点(二) 利用正、余弦定理解三角形 考点(三) 正、余弦定理的实际应用必备知能·自主补缺
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A组——10＋7提速练
一、选择题
1．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1
C． D．
解析：选D 由正弦定理＝，得＝，即＝，所以b＝，故选D.
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝
asin C，则sin B＝( )
A. B．
C. D．
解析：选A 由bsin B－asin A＝asin C，得b2－a2＝ac，∵c＝2a，∴b＝a，
∴cos B＝＝＝，则sin B＝ ＝.
3．(2019届高三·温州十校联考)在△ABC中，若tan Atan B>1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
解析：选A 因为A和B都为三角形中的内角，
由tan Atan B>1，得1－tan Atan B<0，
且tan A>0，tan B>0，即A，B为锐角，
所以tan(A＋B)＝<0，
则A＋B∈，即C为锐角，
所以△ABC是锐角三角形．
4．已知sin β＝，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )
A．－2 B．2
C．－ D．
解析：选A ∵sin β＝，且<β<π，
∴cos β＝－，tan β＝－.
∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α，
∴tan α＝－，
∴tan(α＋β)＝＝－2.
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asin A＝(2sin B＋sin C)b＋(2c＋b)sin C，则A＝( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
解析：选B 由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得cos A＝－，又A为三角形的内角，故A＝120°.
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝2，且C＝，则△ABC的面积为( )
A．＋1 B．＋1
C．2 D．
解析：选B 由正弦定理＝，得sin B＝＝，又c>b，且B∈(0，π)，所以B＝，所以A＝，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×2sin＝×2×2×＝＋1.
7．(2018·衢州期中)在△ABC中，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝( )
A．2 B．2
C. D．1
解析：选B 在△ABC中，∵B＝2A，a＝1，b＝，
∴由正弦定理＝，
可得＝＝，
∴cos A＝，∴A＝，B＝，C＝π－A－B＝，
∴c＝＝2.
8．在△ABC中，A＝60°，BC＝，D是AB边上不同于A，B的任意一点，CD＝，△BCD的面积为1，则AC的长为( )
A．2 B．
C． D．
解析：选D 由S△BCD＝1，可得×CD×BC×sin∠DCB＝1，即sin∠DCB＝，所以cos∠DCB＝或cos∠DCB＝－，又∠DCB<∠ACB＝180°－A－B＝120°－B<120°，所以cos∠DCB>－，所以cos∠DCB＝.在△BCD中，cos∠DCB＝＝，解得BD＝2，所以cos∠DBC＝＝，所以sin∠DBC＝.
在△ABC中，由正弦定理可得AC＝＝，故选D.
9．(2019届高三·台州中学检测)在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为c＝AB＝1，a＝BC＝2，b＝AC.根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知110．(2018·济南外国语学校月考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin 2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是( )
A． B．3
C．或1 D．或3
解析：选A ∵在△ABC中，C＝，∴B＝－A，B－A＝－2A，∵sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin 2A，∴sin C＋sin＝2sin 2A，即sin C＋cos 2A＋sin 2A＝2sin 2A，整理得sin＝sin C＝，∴sin＝.又A∈，∴2A－＝或，解得A＝或.当A＝时，B＝，tan C＝＝＝，解得a＝，∴S△ABC＝acsin B＝；当A＝时，B＝，tan C＝＝＝，解得b＝，∴S△ABC＝bc＝.综上，△ABC的面积是.
二、填空题
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，△ABC的面积为，且sin A＋sin C＝2sin B，则b的值为________．
解析：由已知可得acsin 30°＝，解得ac＝6.因为sin A＋sin C＝2sin B，所以由正弦定理可得a＋c＝2b.由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－ac＝4b2－12－6，解得b2＝4＋2，∴b＝1＋或b＝－1－(舍去)．
答案：1＋
12．(2018·温州期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，cos B＝，则c＝________；△ABC的面积S＝________.
解析：∵a＝1，b＝2，cos B＝，
∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，可得22＝12＋c2－2×1×c×，整理得2c2－c－6＝0，
解得c＝2(负值舍去)，
又∵sin B＝＝，
∴S△ABC＝acsin B＝×1×2×＝.
答案：2
13．(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.
解析：在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，
则sin∠ABC＝sin∠CBD＝，
所以S△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝×2×2×＝.
因为BD＝BC＝2，所以∠CDB＝∠ABC，
则cos∠CDB＝ ＝.
答案：
14．在△ABC中，AD为边BC上的中线，AB＝1，AD＝5，∠ABC＝45°，则sin∠ADC＝________，AC＝________.
解析：在△ABD中，由正弦定理，得＝，所以sin∠ADB＝×sin∠ABC＝×sin 45°＝，
所以sin∠ADC＝sin(180°－∠ADB)＝sin∠ADB＝.
由余弦定理，
得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，
所以52＝12＋BD2－2BDcos45°，得BD＝4，
因为AD为△ABC的边BC上的中线，
所以BC＝2BD＝8.
在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝12＋(8)2－2×1×8×cos 45°＝113，所以AC＝.
答案：
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，b＝，△ABC的面积为，则c＝________，B＝________.
解析：由S△ABC＝bcsin A＝××c×＝，得c＝1＋.在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝6＋(4＋2)－2×(＋1)×＝4，则a＝2.由正弦定理＝，可得sin B＝，因为b答案：1＋
16．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝________.
解析：由题意可得AB·BC·sin B＝，又AB＝1，BC＝，所以sin B＝，所以B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°.由余弦定理可得AC＝＝.
答案：
17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的中线长为2，高线长为，且btan A＝(2c－b)tan B，则bc的值为________．
解析：因为btan A＝(2c－b)tan B，所以＝－1，所以1＋＝，根据正弦定理，得1＋＝，即＝.因为sin(A＋B)＝sin C≠0，sin B≠0，所以cos A＝，所以A＝.设BC边上的中线为AM，则AM＝2，因为M是BC的中点，所以＝(＋)，即2＝(2＋2＋2·)，所以c2＋b2＋bc＝32 ①.设BC边上的高线为AH，由S△ABC＝AH·BC＝bc·sin A，得bc＝，即bc＝2a ②，根据余弦定理，得a2＝c2＋b2－bc ③，联立①②③得2＝32－2bc，解得bc＝8或bc＝－16(舍去)．
答案：8
B组——能力小题保分练
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选C 因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，结合面积公式与余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，即＝4，所以＝4，解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)，故选C.
2．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)·sin C．若a＝，则b2＋c2的取值范围是( )
A．(5,6] B．(3,5)
C．(3,6] D．[5,6]
解析：选A 由正弦定理可得，(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，则A＝.又＝＝＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，所以b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋sin2(A＋B)]＝4＝sin 2B－cos 2B＋4＝2sin＋4.又△ABC是锐角三角形，所以B∈，则2B－∈，所以sin∈，所以b2＋c2的取值范围是(5,6]，故选A.
3．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝________.
解析：如图，AD为△ABC中BC边上的高．设BC＝a，由题意知AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a.
在Rt△ABD中，AB＝ ＝a.
在Rt△ACD中，AC＝ ＝a.
∵S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝BC·AD，
即×a×a·sin∠BAC＝a·a，
∴sin∠BAC＝.
答案：
4.如图，在△ABC中，AB＝，点D在边BC上，BD＝2DC，
cos∠DAC＝，cos∠C＝，则AC＝________.
解析：因为BD＝2DC，设CD＝x，AD＝y，则BD＝2x，因为cos∠DAC＝，
cos∠C＝，所以sin∠DAC＝，sin∠C＝，在△ACD中，由正弦定理可得＝，即＝，即y＝x.又cos∠ADB＝cos(∠DAC＋∠C)＝×－×＝，则∠ADB＝.在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD×ADcos，即2＝4x2＋2x2－2×2x×x×，即x2＝1，所以x＝1，即BD＝2，DC＝1，AD＝，在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD×ADcos＝5，得AC＝.
答案：
5．已知△ABC中，AC＝，BC＝，△ABC的面积为.若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC＝，则CD＝________.
解析：因为S△ABC＝AC·BC·sin∠BCA，即＝×××sin∠BCA，所以sin∠BCA＝.因为∠BAC>∠BDC＝，所以∠DAC<，又∠DAC＝∠ABC＋∠ACB，所以∠ACB<，则∠BCA＝，所以cos∠BCA＝.在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝2＋6－2×××＝2，所以AB＝＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝，在△BCD中，＝，即＝，解得CD＝.
答案：
6．(2018·嘉兴测试)设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a2＋2b2＝c2，则＝________；tan B的最大值为________．
解析：由正弦定理可得＝·＝·，再结合余弦定理可得＝·＝··＝.由a2＋2b2＝c2，得＝＝－3.由已知条件及大边对大角可知0＜A＜＜C＜π，从而由A＋B＋C＝π可知tan B＝－tan(A＋C)＝－＝－＝，因为＜C＜π，所以＋
(－tan C)≥2＝2(当且仅当tan C＝－时取等号)，从而tan B≤＝，即tan B的最大值为.
答案：－3
