冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题16圆锥曲线的基本量问题含解析

专题16 圆锥曲线的基本量问题
【自主热身，归纳总结】
1、双曲线－＝1的渐近线方程为________．
【答案】： x±2y＝0　
把双曲线方程中等号右边的1换为0，即得渐近线方程．
该双曲线的渐近线方程为－＝0，即x±2y＝0.
2、 已知椭圆C的焦点坐标为F1(?4，0)，F2(4，0)，且椭圆C过点A(3，1)，则椭圆C的标准方程为 ?．
【解析】 AF1+ AF2=，椭圆C的标准方程为．
3、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x2－＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，)，则双曲线C的焦距为________．
【答案】. 4　
解法1 与双曲线x2－＝1有公共的渐近线的双曲线C的方程可设为x2－＝λ，又它经过点P(－2，)，故4－1＝λ，即λ＝3，所以双曲线C的方程为－＝1，故a2＝3，b2＝9，c2＝a2＋b2＝12，c＝2，2c＝4.
解法2 因为双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，且双曲线C过点P(－2，)，它在渐近线y＝－x的下方，而双曲线C与x2－＝1具有共同的渐近线，所以双曲线C的焦点在x轴上，设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，从而解得从而c＝2，故双曲线C的焦距为4.
4、若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 ?．
【解析】 由，得．
【变式2】、已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，若P，Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ经过焦点F，则该椭圆的离心率为________．
【答案】 －1
　解法1　由抛物线方程可得，焦点为F；由椭圆方程可得，上焦点为(0，c)．故＝c，将y＝c代入椭圆方程可得x＝±.又抛物线通径为2p，所以2p＝＝4c，所以b2＝a2－c2＝2ac，即e2＋2e－1＝0，解得e＝－1.
解法2　由抛物线方程以及直线y＝可得，Q.又＝c，即Q(2c，c)，代入椭圆方程可得＋＝1，化简可得e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－2，e2＝3＋2＞1(舍去)，即e＝＝－1(负值舍去)．

解后反思 本题是典型的在两种曲线的背景下对圆锥曲线的几何性质的考查．这类问题首先要明确不同曲线的几何性质对应的代数表示．本题有两个解法，解法1将直线y＝c与抛物线、椭圆相交所得弦长求出后，利用等量关系求离心率，其所得等量关系比解法2简单．

【变式3】、如图，已知过椭圆的左顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为 .

【答案】：
思路分析1：由于，故可将Q点的坐标用A，P的坐标表示出来，利用点Q在椭圆上，得到关于的一个等式关系，求出椭圆的离心率。
解法1因为是等腰三角形，所以，故，又，所以，由点在椭圆上得，解得，故离心率。
思路分析2：由于点Q是直线AP与椭圆的交点，故将直线AP方程与椭圆的方程联立成方程组，求出点Q的坐标，再由得到点Q的坐标，由此得到关于的一个等式关系，求出椭圆的离心率。
解法2 因为是等腰三角形，所以，故设直线与椭圆方程联立并消去得：，从而，即，又由，得，故，即，故。
【关联1】、在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋y＋1＝0与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．
【答案】. (1，)　
【解析】：双曲线的渐近线为y＝x，y＝－x，依题意有－>－1，即b【关联2】、设点P是有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e2＝3e1，则e1＝________.

【关联3】、如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，圆O：x2＋y2＝b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：y＝kx＋b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P，Q，设＝λ.
(1) 若点P(－3,0)，点Q(－4，－1)，求椭圆C的方程；
(2) 若λ＝3，求椭圆C的离心率e的取值范围．


【解析】 (1) 由P在圆O：x2＋y2＝b2上，得b＝3.
又点Q在椭圆C上，得＋＝1，解得a2＝18，
所以椭圆C的方程是＋＝1.(5分)
(2) 解法1 由得x＝0或xP＝－.(7分)
由得x＝0或xQ＝－.(9分)
因为＝λ，λ＝3，所以＝，
所以·＝，即·＝，所以k2＝＝4e2－1.
因为k2＞0，所以4e2＞1，即e＞，又0＜e＜1，所以＜e＜1.(16分)
解法2 A(0，b)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则有x＋y＝b2　①，＋＝1　②.(7分)
又因为＝λ，λ＝3，所以＝，即(x1，y1－b)＝(x2，y2－b)．解得x2＝x1，y2＝y1－b，代入②得＋＝1.(9分)
又x＝b2－y，消去x整理得2(a2－b2)y－a2by1－b2(a2－2b2)＝0，
即[2(a2－b2)y1＋b(a2－2b2)](y1－b)＝0，解得，y1＝或y1＝b(舍去)，因为－b＜y1＜b，所以－b＜＜b，解得＜.(14分)
而e2＝1－＞1－＝，即e＞，又0＜e＜1，所以＜e＜1.(16分)
解后反思 【解析】几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，【解析】几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法．此题的解法1就属于设线法，解法2就属于设点法．一般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷．对于这道题，这两种解法差别不是很大，但对于有些题目方法选择的不同差别会很大，注意从此题的解法中体会设点法和设线法的精妙之处．
所以，
所以， …… 8分
所以，
所以AB的垂直平分线方程为．
因为DA=DB，所以点D为AB的垂直平分线与x轴的交点，所以，
所以． …… 10分
因为椭圆的左准线的方程为，离心率为，
由第二定义得：，得，
同理．
所以． …… 12分
（或直接用弦长公式得：也可）
所以．
综上，得的值为4． …… 14分
方法2：设，，AB的中点为，
① 若直线与x轴重合，； …… 6分
② 若直线不与x轴重合，
设，，AB的中点为，
由得，所以，
所以直线的斜率为， …… 8分
所以AB的垂直平分线方程为．
因为DA=DB，所以点D为AB的垂直平分线与x轴的交点，
所以，所以． …… 10分
同方法一，有， …… 12分
所以．
综上，得的值为4． …… 14分
方法3：① 若直线AB与x轴重合，． …… 6分
② 若直线AB不与x轴重合，设，，则AB的中点为，
所以AB的垂直平分线方程为． 8分
令y=0，得
．
所以． …… 10分
同方法一，有， …… 12分
所以．
综上，得的值为4． …… 14分
【关联4】、在平面直角坐标系xOy中，已知点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．
规范解答 (1)由题意知，＋＝1,2a＝4. (2分)
解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1. (4分)
(2) 解法1 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则ON的中点坐标为，PM的中点坐标为.
因为四边形POMN是平行四边形，所以即(6分)
由点M，N是椭圆C上的两点，
所以(8分)
解得或 (12分)
由得由得
所以点M，点N(2,0)；或点M(－2,0)，
点N.(14分)
解法2 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为四边形POMN是平行四边形，所以＝＋，
所以(x2，y2)＝＋(x1，y1)，即(6分)
由点M，N是椭圆C上的两点，
所以 (8分)
用②－①得x1＋2y1＋2＝0，即x1＝－2－2y1，
代入(1)中得3(－2－2y1)2＋4y＝12，整理得2y＋3y1＝0，所以y1＝0或y1＝－，于是或(12分)
由得由得
所以点M，点N(2,0)；或点M(－2,0)，
点N.(14分)
解法3 因为四边形POMN是平行四边形，所以＝，
因为点P，所以|MN|＝|OP|＝＝，且kMN＝kOP＝，(6分)
设直线MN方程为y＝x＋m(m≠0)，
联立得3x2＋3mx＋m2－3＝0，(*)
所以Δ＝(3m)2－4×3(m2－3)>0，即m2－12<0，从而m∈(－2，0)∪(0,2)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝，(8分)
且|MN|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，
又知|MN|＝，所以·＝，
整理得m2－9＝0，所以m＝3或m＝－3.(12分)






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