冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题21与导数有关的应用题含解析

专题21 与导数有关的应用题
【自主热身，归纳总结】
1\如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知AB为直径，且AB＝2 km，O为圆心，C为圆周上靠近A 的一点，D为圆周上靠近B 的一点，且CD∥AB.现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C到D是线段CD.设∠AOC＝x rad，观光路线总长为y km.
(1) 求y关于x的函数【解析】式，并指出该函数的定义域；
(2) 求观光路线总长的最大值．

【解析】： (1) 由题意知＝x×1＝x，(2分)
CD＝2cosx.(5分)
因为C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，所以0所以y＝x＋2cosx，x∈.(7分)
(2) 记f(x)＝x＋2cosx，则f′(x)＝1－2sinx.(9分)
令f′(x)＝0，得x＝.(11分)
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? 极大值 ?
所以函数f(x)在x＝处取得极大值，这个极大值就是最大值，(13分)
即f＝＋.
答：观光路线总长的最大值为 km.(14分)
2、几名大学毕业生合作开3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元．该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20 000元．假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x∈N*)之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，t(x)＝－a(x＋5)2＋10 050；②当60≤x≤76时，t(x)＝－100x＋7 600.设该店月利润为M(元)(月利润＝月销售总额－月总成本)，求：
(1) M关于销售价格x的函数关系式；
(2) 该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．

(注：写到上一步，不扣分)
(2) 设g(u)＝(－2u2－20u＋10 000)(u－34)－20 000，34≤u<60，u∈R，则g′(u)＝－6(u2－16u－1 780)．
令g′(u)＝0，解得u1＝8－2(舍去)，u2＝8＋2∈(50,51)．(7分)
当340，g(u)单调递增；
当51因为x∈N*，M(50)＝44 000，M(51)＝44 226，所以M(x)的最大值为44 226.(12分)
当60 ≤x≤76时，M(x)＝100(－x2＋110x－2 584)－20 000单调递减，故此时M(x)的最大值为M(60)＝21 600.(14分)
当≤t≤时，＝＝(vt－1,3)；
当≤t≤时，＝＝(12,16－vt)；
当≤t≤2时，＝(12,0)．
记f(t)＝2＝(－)2，
则f(t)＝

因为v>8，所以在相应的t的范围内，v2－v＋36，(v－6)t－1,16－vt,12－6t均为正数，
可知f(t)在和上递增，在和上递减．
即f(t)在上递增，在上递减，所以f(t)max＝f.
令f≤25，得－1≤4，解得8 当分段函数f(t)的图像连续时，整体考虑函数的单调性求最值，可减少很多(无效)计算量．一个小窍门是：分段函数的各个分界点，能用“闭区间”就不用开区间．

【变式1】、某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为 L，其中k为常数，且60≤k≤100.
(1) 若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，欲使每小时的油耗不超过9 L，求x的取值范围；
v (0,2) 2 (2，80)
y′ － 0 ＋
y ? 极小值 ?
在v＝2时，y最小．(13分)
答：以上说明，当0＜a＜1 600时，货车以2 km/h的速度行驶，全程运输成本最小；当a≥1 600时，货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最小．(14分)




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