冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题22与基本不等式有关的应用题含解析

专题22 与基本不等式有关的应用题
【自主热身，归纳总结】
1、某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，
一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .
【答案】 30
【解析】 总费用≥240，当且仅当，即时等号成立.即时取得．故当米时，有最大值，的最大值为立方米．
2、用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为米，盖子边长为米．设容器的容积为V立方米，则当为________时，V最大．
【解析】 设为正四棱锥的斜高．由已知解得，进而得，因为≥，所以≤．等式当且仅当，
3、某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2)．
(1) 求S关于x的函数关系式；
(2) 求S的最大值．



【解析】 (1) 由题设得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．(6分)
(2) 因为8当且仅当x＝60时等号成立．(10分)
从而S≤676.(12分)
答：当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.(14分)
4、如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2m.怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积．



在利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意验证基本不等式成立的三个条件，即一正二定三相等．如果等号成立的条件不具备，就应该研究函数的单调性来求函数的最值．
5、某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.
(1) 该小组已测得一组α，β的值，tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；
(2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？



【解析】 (1) 由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，得＋＝，
解得H＝＝＝124.
因此算出的电视塔的高度H是124 m.
(2) (1) 由题知d＝AB，则tanα＝.
由AB＝AD－BD＝－，得tanβ＝，所以
tan(α－β)＝＝≤，
当且仅当d＝＝＝55时取等号．
又0<α－β<，所以当d＝55时，tan(α－β)的值最大．
因为0<β<α<，
所以当d＝55时，α－β的值最大．
6、如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km.某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1) 求炮的最大射程；
(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．


【解析】 (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10km.
(2) 因为a>0，所以炮弹可击中目标等价于存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立，
即关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根，
所以判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0，
解得a≤6，所以0所以当a不超过6km时，炮弹可击中目标．

【问题探究，变式训练】
例1、 如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为6cm，上栏和下栏的框内高度（不含铝合金部分）的比为，此铝合金窗占用的墙面面积为28800，设该铝合金窗的宽和高分别为，，铝合金的透光部分的面积为.

（1）试用表示；
（2）若要使最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？

【解析】（1）①
又设上栏框内高度为h（cm），下栏框内高度为2h（cm）.
则3h+18=b，
透光部分的面积

（2）
当且仅当9a=8b时等号成立，此时代入①式得，a=160，从而b=180，
即当a=160，b=180时，S取得最小值.
答：铝合金窗的宽度为160㎝，高为180㎝时，可使透光部分的面积最大。
【变式1】、 某市近郊有一块400?m×400?m正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建造一个总面积为3?000 m2的矩形场地(如图所示) ．图中，阴影部分是宽度为2 m的通道，三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小矩形场地形状、大小相同），塑胶运动场地总面积为S m2．

（1）求S关于x的函数关系式，并给出定义域；
（2）当x为何值时S取得最大值，并求最大值．





【变式2】、

【解析】：（1）在Rt△PAE中，由题意可知，AP=8，则．
所以． ………………………………………2分
同理在Rt△PBF中，，PB＝1，则，
所以． ………………………………………………4分
故△PAE与△PFB的面积之和为 …………………………5分
=8，
当且仅当，即时，取“＝”，
故当AE=1km， BF=8km时，△PAE与△PFB的面积之和最小．………………6分
（2）在Rt△PAE中，由题意可知，则．
同理在Rt△PBF中，，则．
令，， ………………………………8分
则， ………………………………10分
令，得，记，，

－ 0 ＋
↘ 极小值 ↗
所以当时，函数取极小值，这个极小值就是函数的最小值，
所以时，取得最小值， …………………………………12分
此时，．
所以当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小． ……………………14分
【关联1】、在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b.
(1) 当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；
(2) 试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．


思路分析 (1) 纸盒侧面积S(x)是关于x的函数，即求S(x)max.
(2) 先猜想并证明a＝b时，底面积取最大，这样问题变为求体积关于x的函数的最大值．
【解析】(1) 当a＝90时，b＝40，纸盒的底面矩形的长为90－2x，宽为40－2x，周长为260－8x.
所以纸盒的侧面积S(x)＝(260－8x)x＝－8x2＋260x，其中x∈(0,20)，(3分)
故S(x)max＝S＝.
答：当a＝90时，纸盒侧面积的最大值为平方厘米．(6分)
(2) 纸盒的体积V＝(a－2x)(b－2x)x，其中x∈，a≥b＞0，且ab＝3 600.(8分)
因为(a－2x)(b－2x)＝ab－2(a＋b)x＋4x2≤ab－4x＋4x2＝4(x2－60x＋900)，当且仅当a＝b＝60时取等号，
所以V≤4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30)．(10分)
记f(x)＝4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30)，
则f′(x)＝12(x－10)(x－30)，
令f′(x)＝0，得x＝10，列表如下：
x (0,10) 10 (10,30)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? 极大值 ?
由上表可知，f(x)的极大值是f(10)＝16 000，也是最大值．(12分)
答：当a＝b＝60，且x＝10时，纸盒的体积最大，最大值为16 000 立方厘米．(14分)
解后反思 因为a＝，所以第(2)题实际上是体积V关于两个变量b，x的最值问题．
先固定x，处理变量b，再处理x.
另外，对于求f(x)的最大值，学习过《不等式选讲》的学生也可用下面的解法．
因为x∈(0,30)，所以f(x)＝4x(30－x)2＝2·2x(30－x)(30－x)≤23＝16 000，当且仅当x＝10时取等号．

【关联2】、某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口．
(1) 若窗口ABCD为正方形，且面积大于 m2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；
(2) 若四根木条总长为6 m，求窗口ABCD面积的最大值．
　
第(1)问，注意到四边形ABCD为正方形，所以四根木条的长度相等，以木条的长度x为自变量，将正方形的面积表示为x的函数，根据四边形ABCD的面积的要求，以及“四根木条将圆分成9个区域”来求出四根木条的总长度的取值范围；第(2)问，由于四根木条的总长为6m，所以AB，BC所在的木条的长度之和为3m，因此，可以选择AB所在的木条的长度为自变量a，求出四边形ABCD的面积的表达式，应用导数法来求出它的最大值；或者，选择双变量，即AB，BC所在的木条的长度为自变量a，b，建立四边形ABCD的面积的表达式，应用基本不等式来求它的最大值．
规范解答 (1) 设一根木条长为xm，
则正方形的边长为2＝m.(2分)
因为S四边形ABCD>，所以4－x2>，即x<.(4分)
又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x>，所以4<4x<2.
答：四根木条总长的取值范围为.(6分)

列表如下：
a
f′(a) ＋ 0 －
f(a) ? 极大值

所以当a＝时，f(a)max＝f＝，即Smax＝.
答：窗口ABCD面积的最大值为 m2.(16分)
解法2 设AB所在的木条长为am，BC所在的木条长为bm.由条件知，2a＋2b＝6，即a＋b＝3.
因为a，b∈(0,2)，所以b＝3－a∈(0,2)，从而a，b∈(1,2)．(8分)
由于AB＝2，BC＝2，
S矩形ABCD＝4·＝·，(10分)
因为·≤≤＝，(14分)
当且仅当a＝b＝∈(1,2)时，S矩形ABCD＝.
答：窗口ABCD面积的最大值为 m2.(16分)
第(1)问中，最容易出错的地方是忽略“四根木条将圆分成9个区域”这一条件，从而导致变量的取值范围出错．
本题的本质是直线与圆的位置关系问题，第(1)问是由圆心到直线的距离的要求来求弦长的范围；而第(2)问是已知弦长的要求来求圆心到直线的距离的范围，弄清这一本质，问题就很容易求解．
【关联3】、一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F(不与正方形的顶点重合)，连结AE，EF，FA，使得∠EAF＝45°. 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF部分规划为蜂巢区，△CEF部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？


解法1　设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.
则T＝2×105·S＋105·(1－S)＝105·(S＋1)，从而只要求S的最小值即可．(2分)
设∠EAB＝α(0°<α<45°)，在△ABE中，因为AB＝1，∠B＝90°，所以BE＝tanα，
则S△ABE＝AB·BE＝tanα，(4分)
又∠DAF＝45°－α，同理得S△ADF＝tan(45°－α)，(6分)
所以S＝[tanα＋tan(45°－α)]＝tanα＋，(8分)
令x＝tanα∈(0,1)，
S＝
＝＝(10分)
＝≥(2－2)＝－1，
当且仅当x＋1＝，即x＝－1时取等号．(12分)
从而三个区域的总投入T的最小值约为×105元．(14分)
(说明：这里S的最小值也可以用导数来求解：
因为S′＝，则由S′＝0，得x＝－1.
当x∈(0，－1)时，S′<0，S递减；
当x∈(－1,1)时，S′>0，S递增．
所以当x＝－1时，S取得最小值－1.
解法2 设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.
则T＝2×105·S＋105·(1－S)＝105·(S＋1)，
从而只要求S的最小值即可．(2分)
如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，

建立平面直角坐标系．
设直线AE的方程为y＝kx(0即k＝tan∠EAB，因为∠EAF＝45°，
所以直线AF的斜率为tan(∠EAB＋45°)＝，
从而直线AF方程为y＝x.(6分)
在方程y＝kx中，令x＝1，得E(1，k)，所以S△EAB＝AB·BE＝k；
在方程y＝x中，令y＝1，得F，所以S△ADF＝AD·DF＝·；
从而S＝，k∈(0,1)．(10分)
以下同解法一．(14分)
解法3 设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.
则T＝2×105·S＋105·(1－S)＝105·(S＋1)，从而只要求S的最小值即可．(2分)
设∠DAF＝α，∠BAE＝β(0°<α，β<45°)，则S＝(tanα＋tanβ)．(4分)
因为α＋β＝90°－∠EAF＝45°，所以tan(α＋β)＝＝1，(8分)
所以tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ≥1－2，(10分)
即2S≥1－S2，解得S≥－1，即S取得最小值为－1，
从而三个区域的总投入T的最小值约为×105元．(14分)
例2、某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）．
（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？

法二：，由得，．
故当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
故．
答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．

【变式1】、 某公司生产的某批产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P＝(其中0≤x≤a，a为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本6万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件．
(1) 将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2) 当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？
【解析】 (1) 由题意知，
y＝P－x－6.(3分)
将P＝代入化简得
y＝19－－x(0≤x≤a)．(5分)
(2) y＝22－≤22－3
＝10，
当且仅当＝x＋2，即x＝2时，上式取等号．(8分)
所以当a≥2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；(9分)
由y＝19－－x，得y′＝－，
当x<2时，y′>0，此时函数y在[0,2]上单调递增，
所以当a<2时，函数y在[0，a]上单调递增，(11分)
所以当x＝a时，函数有最大值．
即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．(12分)
综上，当a≥2时，促销费用投入2万元，厂家的利润最大；当a<2时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．(14分)

【变式2】、 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q＝（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完．若每件销售价定为：“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的25%”之和．
（1）试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？
【解析】（1）由题意可得，产品的生产成本为（32Q＋4.5）万元，
每件销售价为×150%＋×25%．
∴年销售收入为(×150%＋×25%)·Q＝(32Q＋)＋x．
∴年利润W＝(32Q＋)＋x－(32Q＋)－x＝(32Q＋)－x＝16Q＋－x
＝16·＋－x，(x≥0) ．
（2）令x＋1＝t（t≥1），则W＝16·＋－(t－1)＝64－＋3－t＝67－3(＋)．
∵t≥1，∴＋≥2 EQ \r( ,·)＝4，即W≤55，
当且仅当＝，即t＝8时，W有最大值55，此时x＝7．
即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为55万元．
【变式3】、 过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只．
(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？
(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x≥9)元，并投入(x－9)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只，则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．
【解析】 (1) 设每只售价为x元，则月销售量为万只．
由已知得(x－6)≥(8－6)×5，(3分)
所以x2－x＋≤0，即2x2－53x＋296≤0.(4分)
解得8≤x≤.(5分)
即每只售价最多为18.5元．(6分)
(2) 下月的月总利润
y＝·(x－6)－(x－9)(9分)
＝－x＋
＝－x＋
＝－＋.(10分)
因为x≥9，所以＋≥2＝，(12分)
当且仅当＝，即x＝10，等号成立，所以ymin＝14.(13分)
答：当x＝10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．(14分)
【变式4】、 某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设f(x)＝t1＋t2.
(1) 求f(x)的【解析】式，并写出其定义域；
(2) 当x等于多少时，f(x)取得最小值？
本题分为两个阶段：建模和解模，建模阶段就是用自变量x表示时间t1，t2.解模阶段就是根据(2) 解法1(基本不等式) f(x)＝1 000(＋)＝10[x＋(100－x)]＝10[10＋＋]．(10分)
因为1≤x≤99，x∈N*，所以＞0，＞0，
所以＋≥2＝6，(12分)
当且仅当＝，即当x＝75时取等号．(13分)
答：当x＝75时，f(x)取得最小值．(14分)
解法2(导数) f′(x)＝＋，令f′(x)＝0得，x＝75，x∈N*(10分)
当x∈(0，75)时，f′(x)<0；当x∈(75，100)时，f′(x)>0，(13分)
故当x＝75时，f(x)取得最小值．(14分)
本题要注意定义域的书写，人只能是正整数个，即x∈N*.一般地，求解函数【解析】式时，必须给出定义域，否则高考阅卷时会扣分，即便在后面列表中有范围，也没有用．






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