冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题23与三角函数有关的应用题含解析

专题23 与三角函数有关的应用题
【自主热身，归纳总结】
1、如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD＝________m.

【答案】 18　
【解析】：设BD＝x m，作AH⊥CD，垂足为H，记∠HAC＝α，∠HAD＝β，则α＋β＝45°.
因为tanα＝，tanβ＝，且tan(α＋β)＝1，得＝1，
即x2－15x－54＝0，即(x＋3)(x－18)＝0，解得x＝18.

在解方程的过程中，若记＝t，则5t＝1－6t2，因为方程中出现的系数较小，所以更易解出方程的根．
2.如图1，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.

【答案】 150　
【解析】 根据图示，AC＝100 m.在△MAC中，
∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝?AM＝100 m.在△AMN中，＝sin 60°，∴MN＝100×＝150(m)．
3.如图2，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.

【答案】

4、如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB为直径)，现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2.设∠AOC＝x rad.
(1) 写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；
(2) 试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值？

思路分析 对于(1)，面积S由两部分组成，一个是扇形面积，根据扇形面积公式S＝αr2可得，另一个是△OCD的面积，根据三角形的面积公式absinC可得；对于(2)，注意到所研究的函数不是基本初等函数，因此，采用导数法来研究它的最值．
【解析】： (1) 因为扇形AOC的半径为40 m，∠AOC＝x rad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x,0＜x＜π.(2分)
在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，
所以△COD的面积S△COD＝OC·OD·sin∠COD＝1 600sin(π－x)＝1 600sinx，(4分)
从而S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x,0＜x＜π.(6分)

【问题探究，变式训练】
例1、如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC分成AD，CD两段，其中两固定点A，B间距离为1米，AB与杆AC的夹角为60°，杆AC长为1米．若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD的成本是4a元/米．设∠ADB＝α，制作整个支架的总成本记为S元．
(1) 求S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
(2) 问AD段多长时，S最小？

【解析】： (1) 在△ABD中，由正弦定理得＝＝，(1分)
所以BD＝，AD＝＋，(3分)
则S＝a＋2a＋4a＝a，α∈.(7分)
(2) 令S′＝a·＝0，设cosα0＝.(9分)

α α0
cosα
S′ － 0 ＋
S 单调递减 极小 单调递增

(11分)
所以当cosα＝时，S最小，此时sinα＝，AD＝＋＝.(12分)
答：(1)S关于α的函数表达式为S＝a，且α∈；
(2)当AD＝时，S最小．(14分)
【变式1】、 如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC＝.计划在上再建一座观赏亭P，记∠POB＝θ.
(1) 当θ＝时，求∠OPQ的大小；
(2) 当∠OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．


设∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的关系式．
【解析】： 因为∠AQC＝，所以∠AQO＝.又OA＝OB＝3，所以OQ＝.(2分)
在△OPQ中，OQ＝，OP＝3，∠POQ＝－θ，设∠OPQ＝α，则∠PQO＝－α＋θ.
由正弦定理，得＝，即sinα＝cos(α－θ)．(4分)
展开并整理，得tanα＝，其中θ∈.(8分)
(1) 当θ＝时，tanα＝.因为α∈(0，π)，所以α＝.
答：当θ＝时，∠OPQ＝.(10分)
(2) 解法1 设f(θ)＝，θ∈.则f′(θ)＝＝.
令f′(θ)＝0，得sinθ＝，记锐角θ0满足sinθ0＝.(13分)
列表如下：

θ (0，θ0) θ0
f′(θ) ＋ 0 －
f(θ) ? ?
　　由上表可知，f(θ0)＝是极大值，也是最大值．
因为tanα＝f(θ)>0，且α∈(0，π)，所以当tanα取最大值时，α也取得最大值．
答：游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，sinθ＝.(16分)
解法2 记T＝，θ∈，则T＝cosθ＋Tsinθ＝(1，T)·(cosθ，sinθ)≤，得T≤，当且仅当tanθ＝，即sinθ＝时取等号．(13分)
所以tanα的最大值为.显然tanα>0，所以当tanα＝时，α取最大值．
答：游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，sinθ＝.(16分)
【变式2】、 ））(2017苏锡常镇调研（一））（C13,17. (本小题满分14分)
某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图)．设计要求彩门的面积为S(单位：m2)，高为h(单位：m)(S，h为常数)．彩门的下底BC固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度之和记为l.
(1) 请将l表示成关于α的函数l＝f(α)；
(2) 问：当α为何值时l最小，并求最小值．




(2) f′(α)＝h·＝h·，(8分)
令f′(α)＝h·＝0，得α＝.(9分)
当α变化时，f′(α)，f(α)的变化情况如下表：
α
f′(α) － 0 ＋
f(α) ? 极小值 ?
所以lmin＝f＝h＋.(12分)
答：(1) l表示成关于α的函数为l＝f(α)＝＋h；
(2) 当α＝时，l有最小值，为h＋.(14分)
【变式3】、 在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE中，CD＝10米；三角形水域ABC的面积为400平方米．设∠BAC＝θ．
（1）求BC的长（用含θ的式子表示）；
（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．

【解析】：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB＝AC．
在△ABC中，S△ABC＝AB?AC?sinθ＝400，
所以AC2＝ ． …………………… 3分
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB?AC?cosθ，
＝4AC2－2AC2 cosθ．
＝(4－2cosθ) ，
即BC＝ eq \r((4－2cosθ)?) ＝40 eq \r( eq \f(2－cosθ,sinθ))．
所以 BC＝40 eq \r( eq \f(2－cosθ,sinθ)) ，θ∈(0，π)． …………………… 7分
（2）设表演台的总造价为W万元．
因为CD＝10m，表演台每平方米的造价为0.3万元，
所以W＝3BC＝120 eq \r( eq \f(2－cosθ,sinθ)) ，θ∈(0，π)． …………………… 9分
记f(θ)＝ eq \f(2－cosθ,sinθ)，θ∈(0，π)．
则f ′(θ)＝ eq \f(－2cosθ,sin2θ)． …………………… 11分
由f ′(θ)＝0，解得θ＝．
当θ∈(0，)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(，π)时，f ′(θ)＞0．
故f(θ)在(0，)上单调递减，在(，π)上单调递增，
从而当θ＝ 时，f(θ)取得最小值，最小值为f()＝1．
所以Wmin＝120(万元)．
答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分
例2、如图，海上有A，B两个小岛相距10km，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为60°，现从船O上派下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且OC＝BO.设AC＝xkm.
(1) 用x分别表示OA2＋OB2和OA·OB，并求出x的取值范围；
(2) 晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线CA的距离为BD，求BD的最大值．

【解析】： (1) 在△OAC中，∠AOC＝120°，AC＝x.
由余弦定理得OA2＋OC2－2OA·OC·cos120°＝x2.
又OC＝BO，所以
OA2＋OB2－2OA·OB·cos120°＝x2　①.(2分)
在△OAB中，AB＝10，∠AOB＝60°.由余弦定理得
OA2＋OB2－2OA·OB·cos60°＝100　②.(4分)
①＋②得OA2＋OB2＝.
①－②得4OA·OB·cos60°＝x2－100，即OA·OB＝.(6分)
又OA2＋OB2≥2OA·OB，所以≥2×，即x2≤300.又OA·OB＝>0，即x2>100，所以10(2) 易知S△OAB＝S△OAC，故
S△ABC＝2S△OAB＝2··OA·OBsin60°＝.(10分)
又S△ABC＝·AC·BD，设BD＝f(x)，所以f(x)＝，x∈(10,10]．(12分)
又f′(x)＝>0，(14分)
则f(x)在(10,10]上是单调增函数，所以f(x)的最大值为f(10)＝10，即BD的最大值为10.(16分)
(利用单调性定义证明f(x)在(10,10上是单调增函数，同样给满分；如果直接说出f(x)在(10,10]上是增函数，但未给出证明，扣2分)
【变式1】、如图，某生态农庄内有一直角梯形区域，∥，，百米，百米．该区域内原有道路，现新修一条直道（宽度忽略不计），点
在道路上（异于两点），．
（1）用表示直道的长度；
（2）计划在△区域内种植观赏植物，在△区域内种植经济作物．已知种植
观赏植物的成本为每平方百米万元，种植经济作物的成本为每平方百米万元，
新建道路的成本为每百米万元，求以上三项费用总和的最小值．


【解析】： （1）过点作垂直于线段，垂足为．
在直角中，因为AB⊥BC，，，所以．
在直角中，因为，，所以，则，
故，
又，所以．…… 2分
在中，由正弦定理得，
所以，． …… 6分
（2）在中，由正弦定理得，
所以．
所以．
又．
所以． ………………………… 8分
设三项费用总和为，
则
，，
，．………………………………… 10分
所以，
令，则．

? 0 ?

列表：




所以时，．
答：以上三项费用总和的最小值为万元．………………………… 14分
【变式2】、如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：km)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?
(第17题)

答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．(14分)

解法2 (构造直角三角形)
设∠PMB＝θ.当0<θ<时，在△PMD中，因为PM＝2，所以PD＝2sinθ，MD＝2cosθ. (2分)
在△AMN中，∠ANM＝∠PMB＝θ，所以＝，AM＝sinθ，所以AD＝sinθ＋2cosθ.(6分)
AP2＝AD2＋PD2＝2＋(2sinθ)2
＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ(8分)
＝·＋sin2θ＋4
＝sin2θ－cos2θ＋
＝＋sin，θ∈. (12分)
当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.
此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30°.(14分)
解法3 设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α.
在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，
所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN，
即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4.(2分)
因为＝，即＝，所以sinα＝y，
cosα＝＝＝.(6分)
cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y＝.(8分)
在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos∠AMP，即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy.(12分)
因为x2＋y2－xy＝4,4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4.
所以AP2≤12，即AP≤2.
当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值2.
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．(14分)
例3、某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(，为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且．设，透光区域的面积为．

（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；
（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边的长度．
【解析】（1）过点作于点，则，
所以，
．……………………………2分
所以

，………………………………6分
因为，所以，所以定义域为．……………………8分（2）矩形窗面的面积为．
则透光区域与矩形窗面的面积比值为．…10分
设，．
则


，………………………………………………12分
因为，所以，所以，故，
所以函数在上单调减．
所以当时，有最大值，此时 (m)． …14分
答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；
（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1m．………16分
【变式1】、如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线l1排，在路南侧沿直线l2排，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB＝60m，BC＝80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成的小于90°的角为α.
(1) 求矩形区域ABCD内的排管费用W关于α的函数关系式；
(2) 求排管的最小费用及相应的角α.

【解析】 (1) 如图，过E作EM⊥BC，垂足为点M.由题意得∠MEF＝α，故有MF＝60tanα，EF＝，AE＋FC＝80－60tanα.(4分)
所以W＝(80－60tanα)×1＋×2(5分)
＝80－＋
＝80－.(8分)

(2) 解法1 设f(α)＝其中0≤α≤α0<，tanα0＝，
则f′(α)＝＝.(10分)
令f′(α)＝0得1－2sinα＝0，即sinα＝，得α＝.(11分)
列表
α
f′(α) ＋ 0 －
f(α) ? 极大值 ?
所以当α＝时有f(α)max＝－，此时有Wmin＝80＋60.(15分)
答：排管的最小费用为(80＋60)万元，相应的角α＝.(16分)
解法2 f(α)＝＝≥＝，
当且仅当(1－sinα)＝(1＋sinα)时成立，此时sinα＝，α＝.(11分)
以下同解法1.
【变式2】、如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为的中点，其所在圆O的半径为4 dm(圆心O在弓形EMF内)，∠EOF＝.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，AD∥EF，且点A，D在上，设∠AOD＝2θ.
(1) 求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；
(2) 当裁出的矩形铁片ABCD面积最大时，求cosθ的值．

(第18题)

【解析】 (1) 设矩形铁片的面积为S，∠AOM＝θ.
当0＜θ＜时(如图1)，AB＝4cosθ＋2，AD＝2×4sinθ，
S＝AB×AD＝(4cosθ＋2)(2×4sinθ)＝16sinθ(2cosθ＋1)．(3分)
当≤θ＜时(如图2)，AB＝2×4cos θ，AD＝2×4sin θ，故S＝AB×AD＝64sinθcosθ＝32sin 2θ.
综上得，矩形铁片的面积S关于θ的函数关系式为
S＝(7分)


【变式3】、如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB＝20 m，广场的一角是半径为16 m的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN(宽度不计)，点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN(宽度不计)摆放．已知双人靠背直排椅的造价为2a元/m，单人弧形椅的造价为a元/m，记锐角∠NBE＝θ，总造价为W元．
(1) 试将W表示为θ的函数W(θ)，并写出cosθ的取值范围；
(2) 如何选取点M的位置，能使总造价W最小？


【解析】;： (1) 过点N作AB的垂线，垂足为F；过M作NF的垂线，垂足为G.

在Rt△BNF中，BF＝16cosθ，则MG＝20－16cosθ.
在Rt△MNG中，MN＝.(4分)
由题意易得CN＝16，(6分)
因此，W(θ)＝2a·＋16a，(7分)
当点M与点A重合时，cosθ＝＝；
当点M与点D重合时，cosθ＝0，
故cosθ∈.(9分)
(2) W′(θ)＝－16a＋8a·
＝8a·.
令W′(θ)＝0，cosθ＝，因为θ∈，所以θ＝.(12分)
设锐角θ1满足cosθ1＝， θ1∈.当θ∈时，W′(θ)＜0，W(θ)单调递减；
当θ∈时，W′(θ)＞0，W(θ)单调递增．(14分)
所以当θ＝时，总造价W最小，最小值为a元，此时MN＝8，NG＝4，NF＝8，因此当AM＝4 m时，总造价最小．(16分)
易错警示 解决应用题问题，以下几个方面是很容易导致失分的地方，要引起高度重视．一是函数的定义域不能忘；二是有单位的问题，单位不能丢；三是要注意回到实际问题中去，即“答”不可少．




C

B

A

（第17题）

D

P



A



B



C



D



F



E



O





G







H





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