直线与圆
【2019年高考考纲解读】
考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)．此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现．
【重点、难点分析】
一、直线的方程及应用
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．求直线方程
要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
3．两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，
l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝(A2＋B2≠0)．
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝(A2＋B2≠0)．
二、圆的方程及应用
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
三、直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．
(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr?直线与圆相离．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离?Δ<0，直线与圆相切?Δ＝0，直线与圆相交?Δ>0.
2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：
(1)d>r1＋r2?两圆外离．
(2)d＝r1＋r2?两圆外切．
(3)|r1－r2|(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)?两圆内切．
(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)?两圆内含．
【高考题型示例】
题型一、直线的方程及应用
例1、已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0
【解析】由题意知直线l与直线PQ垂直，所以kl＝－＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.
【答案】A
【方法技巧】
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.
【变式探究】(1)已知直线l1：x·sin α＋y－1＝0，直线l2：x－3y·cos α＋1＝0，若l1⊥l2，则sin 2α等于( )
A. B．± C．－ D.
答案 D
解析 因为l1⊥l2，
所以sin α－3cos α＝0，
所以tan α＝3，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝.
(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．
答案 3
【感悟提升】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况．
(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．
【变式探究】(1)直线ax＋(a－1)y＋1＝0与直线4x＋ay－2＝0互相平行，则实数a＝________.
答案 2
解析 当a≠0时，＝≠，解得a＝2.
当a＝0时，两直线显然不平行．故a＝2.
(2)圆x2＋y2－2x－4y＋3＝0的圆心到直线x－ay＋1＝0的距离为2，则a等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 B
解析 因为(x－1)2＋2＝2，
所以＝2，所以a＝0.
题型二 圆的方程及应用
例2、(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．
答案 x2＋y2－2x＝0
解析 方法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
∴解得
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
方法二 画出示意图如图所示，
则△OAB为等腰直角三角形，
故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，
即x2＋y2－2x＝0.
【变式探究】(1)圆心为(2,0)的圆C与圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0相外切，则C的方程为( )
A．x2＋y2＋4x＋2＝0
B．x2＋y2－4x＋2＝0
C．x2＋y2＋4x＝0
D．x2＋y2－4x＝0
答案 D
解析 圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0，
即(x＋2)2＋(y－3)2＝9，
圆心为(－2,3)，半径为3.
设圆C的半径为r.
由两圆外切知，圆心距为＝5＝3＋r，
所以r＝2.
故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，
展开得x2＋y2－4x＝0.
(2)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A.2＋(y－1)2＝1
B.2＋2＝1
C.2＋2＝1
D.2＋(y－1)2＝1
答案 C
解析 到两直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立方程组解得两平行线之间的距离为2，所以半径为1，从而圆M的方程为2＋2＝1.故选C.
【感悟提升】解决与圆有关的问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
【变式探究】已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
答案 (－2，－4) 5
解析 由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．
【变式探究】已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a,2)，B(－4，a)，C(2a＋2,2)，则△ABC的外接圆的方程是( )
A．x2＋(y－3)2＝5 B．x2＋(y＋3)2＝5
C．(x－3)2＋y2＝5 D．(x＋3)2＋y2＝5
解析：由题意得2a＝－4，∴a＝－2，
∴圆的半径为＝＝，圆心为(－3,0)，
∴圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5，故选D.
答案：D
题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系
例3、(1)[2018·全国卷Ⅰ]直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
【解析】由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.
∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.
圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝2.
【答案】2
(2)[2016·山东卷]已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
【解析】方法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．
∵圆M截直线所得线段长度为2，
∴＝2.又a>0，∴a＝2.
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交．
方法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)?x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴M(0，a)，r1＝a.依题意，有＝，解得a＝2.
以下同方法一．
【答案】B
【举一反三】[2018·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________．
解析：设A(a,2a)，则a＞0.
又B(5,0)，故以AB为直径的圆的方程为(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0.
由题意知C.
由
解得或∴D(1,2)．
又·＝0，＝(5－a，－2a)，＝(1－，2－a)，
∴(5－a，－2a)·(1－，2－a)＝a2－5a－＝0，
解得a＝3或a＝－1.
又a＞0，∴a＝3.
答案：3
【方法技巧】弦长的求解方法
(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．
(2)根据公式：l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)．
(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解.
【变式探究】(1)设圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与圆C2的位置关系是( )
A．外离 B．外切
C．相交 D．内含
答案 A
解析 圆心距为＝2>1＋1，
故两圆外离．
(2)已知直线4x－3y＋a＝0与⊙C：x2＋y2＋4x＝0相交于A，B两点，且∠ACB＝120°，则实数a的值为( )
A．3 B．10
C．11或21 D．3或13
答案 D
解析 圆的方程整理为标准方程即(x＋2)2＋y2＝4，
作CD⊥AB于点D，由圆的性质可知△ABC为等腰三角形，其中|CA|＝|CB|，
则|CD|＝|CA|×sin 30°＝2×＝1，
即圆心(－2,0)到直线4x－3y＋a＝0的距离为d＝1，
据此可得＝1，
即|a－8|＝5，解得a＝3或a＝13.
【感悟提升】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．
【变式探究】(1)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为________．
答案 6π
(2)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3)
C．[1,1] D．[－3，－1]∪[1,3]
答案 D
解析 圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，圆上的点到原点的距离为d.因为圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为，则圆(x－a)2＋(y－a)2＝8与圆x2＋y2＝2有公共点，r′＝，所以r－r′≤|a|≤r＋r′，即1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1，所以实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3].
【变式探究】已知⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，M(－2,0)是⊙C外一点，则过点M的圆C的切线的方程是( )
A．x＋2＝0或7x－24y＋14＝0
B．y＋2＝0或7x＋24y＋14＝0
C．x＋2＝0或7x＋24y＋14＝0
D．y＋2＝0或7x－24y＋14＝0
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直线与圆
1．若<α<2π，则直线＋＝1必不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 令x＝0，得y＝sin α<0，令y＝0，得x＝cos α>0，直线过(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不过第二象限．
2．设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，P，Q分别为l1，l2上任意两点，点M为P，Q的中点，若|AM|＝|PQ|，则m的值为( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
答案 A
解析 根据题意画出图形，如图所示．
直线l1：x－2y＋1＝0 与直线l2：mx＋y＋3＝0 的交点为A，M 为PQ 的中点，
若|AM|＝|PQ|，则PA⊥QA，
即l1⊥l2，∴1×m＋(－2)×1＝0，解得m＝2.
3．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( )
A．x＋(－1)y－＝0 B．(1－)x－y＋＝0
C．x－(＋1)y＋＝0 D．(－1)x－y＋＝0
答案 C
解析 如图所示可知A(，0)，
B(1,1)，C(0，)，D(－1,1)，
所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝(x－)，
y＝(1－)x＋，
y＝(－1)x＋
整理为一般式即
x＋y－＝0，
x－y＋＝0，
x－y＋＝0，
故选C.
4．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋2＝2 B．(x－1)2＋2＝4
C．(x－1)2＋2＝2 D．(x＋1)2＋2＝4
答案 C
5．已知点P是直线l：x＋y－b＝0上的动点，由点P向圆O：x2＋y2＝1引切线，切点分别为M，N，且∠MPN＝90°，若满足以上条件的点P有且只有一个，则b等于( )
A．2 B．±2 C. D．±
答案 B
解析 由题意得∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，
|MO|＝|ON|＝1，
∴四边形PMON是正方形，∴|PO|＝，
∵满足以上条件的点P有且只有一个，
∴OP垂直于直线x＋y－b＝0，
∴＝，∴b＝±2.
6．在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2＋y2＝4，直线l的方程为y＝k(x＋2)，若在圆O上至少存在三点到直线l的距离为1，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 根据直线与圆的位置关系可知，若圆O：x2＋y2＝4上至少存在三点到直线l：y＝k(x＋2)的距离为1，则圆心(0,0)到直线kx－y＋2k＝0的距离d应满足d≤1，即≤1，解得k2≤，即－≤k≤，故选B.
7．已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直线恒过定点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
8．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为( )
A.2＋y2＝
B.2＋y2＝
C．x2＋2＝
D．x2＋2＝
答案 C
解析 由已知得圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对的圆心角为.设圆心坐标为(0，a)，半径为r，
则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，
即r2＝，|a|＝，即a＝±，
故圆C的方程为x2＋2＝.
9．设m，n为正实数，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－4＝0与圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0相切，则mn( )
A．有最小值1＋，无最大值
B．有最小值3＋2，无最大值
C．有最大值3＋2，无最小值
D．有最小值3－2，最大值3＋2
答案 B
解析 由直线(m＋1)x＋(n＋1)y－4＝0与圆(x－2)2＋(y－2)2＝4相切，可得＝2，整理得m＋n＋1＝mn.由m，n为正实数可知，m＋n≥2(当且仅当m＝n时取等号)，令t＝，则2t＋1≤t2，因为t>0，所以t≥1＋，所以mn≥3＋2.故mn有最小值3＋2，无最大值．故选B.
10．已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)且|AB|＝2，过点A任作一条直线与圆O：x2＋y2＝1相交于M，N两点，下列三个结论：①＝；②－＝2；③＋＝2.其中正确结论的序号是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
答案 D
解析 根据题意，利用圆中的特殊三角形，求得圆心及半径，即得圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝2，并且可以求得A(0，－1)，B(0，＋1)，
因为M，N在圆O：x2＋y2＝1上，
所以可设M(cos α，sin α)，
N(cos β，sin β)，
所以|NA|＝
＝，
|NB|＝
＝，
所以＝－1，
同理可得＝－1，
所以＝，
－＝－(－1)＝2，
＋＝2，
故①②③都正确．
11．若对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－4 B．－4≤a≤6
C．a≤－4或a≥6 D．a≥6
答案 D
解析 表示圆上的点到直线l1：3x－4y－9＝0的距离的5倍，表示圆上的点到直线l2：3x－4y＋a＝0的距离的5倍，
所以的取值与x，y无关，即圆上的点到直线l1，l2的距离与圆上点的位置无关，所以直线3x－4y＋a＝0与圆相离或相切，并且l1和l2在圆的两侧，所以d＝≥1，并且a>0，解得a≥6，故选D.
12．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为2，则a＝________.
押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路．
答案
解析 联立两圆方程
可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，
故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为
＝(a>0)．
故2＝2，
解得a2＝，
因为a>0，所以a＝.
13．直线x＋ysin α－3＝0(α∈R)的倾斜角的取值范围是_____．
答案
14．若过点(2,0)有两条直线与圆x2＋y2－2x＋2y＋m＋1＝0相切，则实数m的取值范围是________．
答案 (－1,1)
解析 由题意过点(2,0)有两条直线与圆x2＋y2－2x＋2y＋m＋1＝0相切，
则点(2,0)在圆外，即22－2×2＋m＋1>0，解得m>－1；
由方程x2＋y2－2x＋2y＋m＋1＝0表示圆，
则(－2)2＋22－4(m＋1)>0，解得m<1.
综上，实数m的取值范围是(－1,1)．
15．已知直线l：mx－y＝1.若直线l与直线x－my－1＝0平行，则m的值为________；动直线l被圆x2＋2x＋y2－24＝0截得的弦长的最小值为________．
答案 －1 2
解析 当m＝0时，两直线不平行；
当m≠0时，由题意得＝，
所以m＝±1.
当m＝1时，两直线重合，所以m＝1舍去，故m＝－1.
因为圆的方程为x2＋2x＋y2－24＝0，
所以(x＋1)2＋y2＝25，
所以它表示圆心为C(－1,0)，半径为5的圆．
由于直线l：mx－y－1＝0过定点P(0，－1)，
所以过点P且与PC垂直的弦长最短，
且最短弦长为2＝2.
答案
解析 由圆的方程C：x2＋(y－1)2＝1，
可得圆心C(0,1)，半径r＝1，
则圆心到直线2x＋y＋4＝0的距离为d＝＝，
设|PC|＝m，则m≥，
则S△PAB＝|PA|2sin 2∠APC
＝|PA|2sin∠APCcos∠APC
＝|PA|2··＝，
令S＝，m≥，
所以S′＝
＝>0，
所以函数S在上单调递增，
所以Smin＝S＝.即(S△PAB)min＝.
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