圆锥曲线的综合问题
【2019年高考考纲解读】
1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.
2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．
【重点、难点分析】
一、 范围、最值问题
圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．
二、定点、定值问题
1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
(1)求E的方程；
(2)设E与y轴正半轴的交点为B，过点B的直线l的斜率为k(k≠0)，l与E交于另一点P.若以点B为圆心，以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点，求k的取值范围．
【解析】解法一 (1)设点M(x，y)，由2＝，得A(x,2y)，
由于点A在圆C：x2＋y2＝4上，则x2＋4y2＝4，
即动点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知，E的方程为＋y2＝1，
因为E与y轴正半轴的交点为B，所以B(0,1)，
所以过点B且斜率为k的直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．
由得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，
设B(x1，y1)，P(x2，y2)，因此x1＝0，x2＝－，
|BP|＝|x1－x2|＝.
由于以点B为圆心，线段BP长为半径的圆与椭圆E的公共点有4个，由对称性可设在y轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P，T，满足|BP|＝|BT|，此时直线BP的斜率k＞0，
记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k，
则|BT|＝，
故＝，所以－＝0，
即(1＋4k2)＝(1＋4k)，
所以(k2－k)(1＋k2＋k－8k2k)＝0，
由于k1≠k，因此1＋k2＋k－8k2k＝0，
故k2＝＝＋.
因为k2＞0，所以8k－1＞0，所以k2＝＋＞.
又k＞0，所以k＞.
又k1≠k，所以1＋k2＋k2－8k2k2≠0，
所以8k4－2k2－1≠0.又k＞0，解得k≠，
所以k∈∪.
根据椭圆的对称性，k∈∪也满足题意．
综上所述，k的取值范围为∪∪∪.
解法二 (1)设点M(x，y)，A(x1，y1)，则Q(x1,0)．
因为2＝，所以2(x1－x，－y)＝(0，－y1)，所以解得
因为点A在圆C：x2＋y2＝4上，所以x2＋4y2＝4，
所以动点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知，E的方程为＋y2＝1，所以B的坐标为(0,1)，易得直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．
由得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，
设B(x1，y1)，P(x2，y2)因此x1＝0，x2＝－，
|BP|＝|x1－x2|＝.
则点P的轨迹方程为x2＋(y－1)2＝，
由得3y2＋2y－5＋＝0(－1＜y＜1)． (*)
依题意，得(*)式在y∈(－1,1)上有两个不同的实数解．
设f(x)＝3x2＋2x－5＋(－1＜x＜1)，
易得函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－，
要使函数f(x)的图象在(－1,1)内与x轴有两个不同的交点，
则
整理得
即所以
得k∈∪∪∪
，
所以k的取值范围为∪∪
∪.
【方法技巧】
1．解决圆锥曲线中范围问题的方法
一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．
由∠MQO＝∠NQO，得直线MQ与NQ的斜率之和为零，易知x1或x2等于0时，不满足题意，故＋＝＋＝＝0，
即2kx1x2＋(x1＋x2)＝2k·＋·＝＝0，当k≠0时，m＝6，所以存在定点(0,6)，使得∠MQO＝∠NQO；当k＝0时，定点(0,6)也符合题意．
易知当直线MN的斜率不存在时，定点(0,6)也符合题意．
综上，存在定点(0,6)，使得∠MQO＝∠NQO.
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圆锥曲线的综合问题
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y2＝4x的焦点重合．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，求|AC|＋|BD|的最小值．
解 (1)抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以c＝1，
又因为e＝＝＝，所以a＝，
所以b2＝2，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)①当直线BD的斜率k存在且k≠0时，
直线BD的方程为y＝k(x＋1)，
代入椭圆方程＋＝1，
并化简得(3k2＋2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
Δ＝36k4－4(3k2＋2)(3k2－6)＝48(k2＋1)>0恒成立．
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
|BD|＝·|x1－x2|
＝
＝.
由题意知AC的斜率为－，
所以|AC|＝＝.
|AC|＋|BD|＝4
＝≥
＝＝.
当且仅当3k2＋2＝2k2＋3，即k＝±1时，上式取等号，
故|AC|＋|BD|的最小值为.
②当直线BD的斜率不存在或等于零时，
可得|AC|＋|BD|＝>.
综上，|AC|＋|BD|的最小值为.
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为点D，右焦点为F2(1,0)，延长DF2交椭圆C于点E，且满足|DF2|＝3|F2E|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A，B两点，设椭圆C的左顶点为点H，且直线HA，HB分别与直线x＝3交于M，N两点，记直线F2M，F2N的斜率分别为k1，k2，则k1与k2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解 (1)椭圆C的上顶点为D(0，b)，右焦点F2(1,0)，点E的坐标为(x，y)．
∵|DF2|＝3|F2E|，可得＝3，
又＝(1，－b)，＝(x－1，y)，
∴代入＋＝1，
可得＋＝1，
又a2－b2＝1，解得a2＝2，b2＝1，
即椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
∴yM＝.
同理可得yN＝，
∴M，N的坐标分别为，，
∴k1k2＝·＝yMyN
＝··
＝
＝
＝＝＝.
∴k1与k2之积为定值，且该定值是.
6．已知平面上动点P到点F的距离与到直线x＝的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设M(m，n)是曲线E上的动点，直线l的方程为mx＋ny＝1.
①设直线l与圆x2＋y2＝1交于不同两点C，D，求|CD|的取值范围；
②求与动直线l恒相切的定椭圆E′的方程，并探究：若M(m，n)是曲线Γ：Ax2＋By2＝1(A·B≠0)上的动点，是否存在与直线l：mx＋ny＝1恒相切的定曲线Γ′？若存在，直接写出曲线Γ′的方程；若不存在，说明理由．
解 (1)设P(x，y)，由题意，得＝.
整理，得＋y2＝1，
∴曲线E的方程为＋y2＝1.
(2)①圆心到直线l的距离d＝，
∵直线与圆有两个不同交点C，D，
∴|CD|2＝4.
又∵＋n2＝1(m≠0)，
∴|CD|2＝4.
∵|m|≤2，∴0∴0<1－≤.
∴|CD|2∈(0，3]，|CD|∈，
即|CD|的取值范围为.
②当m＝0，n＝1时，直线l的方程为y＝1；
当m＝2，n＝0时，直线l的方程为x＝.
根据椭圆对称性，猜想E′的方程为4x2＋y2＝1.
下面证明：直线mx＋ny＝1(n≠0)与4x2＋y2＝1相切，
其中＋n2＝1，即m2＋4n2＝4.
由消去y得
(m2＋4n2)x2－2mx＋1－n2＝0，
即4x2－2mx＋1－n2＝0，
∴Δ＝4m2－16＝4＝0恒成立，从而直线mx＋ny＝1与椭圆E′：4x2＋y2＝1恒相切．
若点M是曲线Γ：Ax2＋By2＝1上的动点，则直线l：mx＋ny＝1与定曲线Γ′：＋＝1恒相切．
7. 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F2(1,0)，点B在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：y＝k(x－4)(k≠0)与椭圆C由左至右依次交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出定直线的方程．
解析：(1)由F2(1,0)，知c＝1，由题意得所以a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)因为y＝k(x－4)，所以直线l过定点(4,0)，由椭圆的对称性知点G在直线x＝x0上．
当直线l过椭圆C的上顶点时，M(0，)，
所以直线l的斜率k＝－，由得或所以N，
由(1)知A1(－2,0)，A2(2,0)，
所以直线lA1M的方程为y＝(x＋2)，直线lA2N的方程为y＝－(x－2)，所以G，所以G在直线x＝1上．
当直线l不过椭圆C的上顶点时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由
得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
所以Δ＝(－32k2)2－4×(3＋4k2)·(64k2－12)＞0，得－＜k＜，
x1＋x2＝，x1·x2＝，
易得直线lA1M的方程为y＝(x＋2)，直线lA2N的方程为y＝(x－2)，当x＝1时，＝得2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝0，
所以－＋＝0显然成立，所以G在直线x＝1上．
8．已知平面直角坐标系内两定点A(－2，0)，B(2，0)及动点C(x，y)，△ABC的两边AC，BC所在直线的斜率之积为－.
(1)求动点C的轨迹E的方程；
(2)设P是y轴上的一点，若(1)中轨迹E上存在两点M，N使得＝2，求以AP为直径的圆的面积的取值范围．
解析：(1)由已知，kAC·kBC＝－，即·＝－，
所以3x2＋4y2＝24，又三点构成三角形，所以y≠0，
所以点C的轨迹E的方程为＋＝1(y≠0)．
(2)设点P的坐标为(0，t)
当直线MN的斜率不存在时，可得M，N分别是短轴的两端点，得到t＝±.
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋t(k≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则由＝2得x1＝－2x2. ①
联立得得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0，
当Δ＞0得64k2t2－4(3＋4k2)(4t2－24)＞0，整理得t2＜8k2＋6.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝， ②
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