概率与统计
【2019年高考考纲解读】
1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.
2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注．
3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.
4.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．
5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.
6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现．
【重点、考点剖析】
一、排列组合与计数原理的应用
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．
2.
名称 排列 组合
相同点 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复
不同点 ①排列与顺序有关；②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 ①组合与顺序无关；②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同
二、二项式定理
1．通项与二项式系数
Tr＋1＝Can－rbr，其中C(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．
2．各二项式系数之和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.
三、古典概型与几何概型
1．古典概型的概率公式
P(A)＝＝.
2．几何概型的概率公式
P(A)＝
.
四、相互独立事件和独立重复试验
1．条件概率
在A发生的条件下B发生的概率：
P(B|A)＝.
2．相互独立事件同时发生的概率
P(AB)＝P(A)P(B)．
3．独立重复试验、二项分布
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为
Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
五、离散型随机变量的分布列、均值与方差
1．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； 站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )
A．24 B．18
C．16 D．10
解析：分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C·A种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A＋C·A＝10.选D.
答案：D
【变式探究】某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )
A．120种 B．156种
C．188种 D．240种
解析：解法一 记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法种数分别为AA，AA，CAA，CAA，CAA，故总编排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120(种)．
解法二 记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．
答案：A
【变式探究】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )
A．120种 B．156种
C．188种 D．240种
答案 A
解析 当“数”排在第一节时有A·A＝48(种)排法，当“数”排在第二节时有A·A·A＝36(种)排法，当“数”排在第三节时，若“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有A·A＝12(种)排法；若“射”和“御”两门课程排在后三节时有A·A·A＝24(种)排法，所以满足条件的共有48＋36＋12＋24＝120(种)排法．
(2)若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如：32是“开心数”．因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“开心数”，因为23＋24＋25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为( )
A．9 B．10 C．11 D．12
答案 D
解析 根据题意个位数需要满足要求：
n＋(n＋1)＋(n＋2)<10，即n<2.3，
∴个位数可取0,1,2三个数，
∵十位数需要满足：3n<10，∴n<3.3，
∴十位可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4＝12(个)．
【感悟提升】(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
【变式探究】 (1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )
A．18种 B．24种
C．36种 D．48种
答案 C
解析 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12(种)抢法；
若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12(种)抢法；
若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有AC＝6(种)抢法；
若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A＝6(种)抢法．
根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种．
(2)(2018·百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有( )
1 2 3 4
A.9种 B．18种
C．12种 D．36种
答案 B
解析 若种植2块西红柿，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，所以共有3×2＝6(种)种植方式；
若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共有6×3＝18(种)种植方式．
题型二 二项式定理
例2、(1)[2018·全国卷Ⅲ]5的展开式中x4的系数为( )
A．10 B．20
C．40 D．80
【解析】 5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C5·(x2)5－r·r＝C5·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C5·22＝40.
故选C.
【答案】C
【变式探究】(2017·浙江)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.
答案 16 4
解析 a4是x项的系数，由二项式的展开式得
a4＝C·C·2＋C·C·22＝16.
a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C·C·22＝4.
【变式探究】(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
答案 660
【变式探究】若(1－3x)2 018＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018的值为( )
A．22 018－1 B．82 018－1
C．22 018 D．82 018
【解析】由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝82 018－a0＝82 018－1，故选B.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
题型五 离散型随机变量的分布列、均值与方差
例5、[2018·北京卷]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率．
(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1,2,3,4,5,6)．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．
【解析】(1)解：由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50，
故所求概率为＝0.025.
(2)解：设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)(1－P(B))＋(1－P(A))P(B)．
由题意知P(A)估计为0.25，P(B)估计为0.2.
故所求概率估计为0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35.
(3)解：Dξ1>Dξ4>Dξ2＝Dξ5>Dξ3>Dξ6.
【方法技巧】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：
(1)明确随机变量可能取哪些值．
(2)结合事件特点选取恰当的计算方法，并计算这些可能取值的概率值．
(3)根据分布列和期望、方差公式求解.
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；
(3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；
②“性价比”大的产品更具可购买性．
解析：(1)∵EX1＝6，∴5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2，又0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5，
∴由得
(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，
∴其性价比为＝1，
∵乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，
∴其性价比为＝1.2，
又1.2＞1，∴乙厂的产品更具可购买性．
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概率与统计
1．在新一轮的素质教育要求下，各地高中陆陆续续开展了选课走班的活动，已知某高中学校提供了3门选修课供该校学生选择，现有5名同学参加该校选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则这5名同学选课的种数为( )
A．120 B．150
C．240 D．540
答案 B
解析 因为将5个人分成3组有两种情形，
5＝3＋1＋1,5＝2＋2＋1，
所以这5名同学选课的种数为·A＝150，故选B.
2．某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为( )
A．4 B．8 C．12 D．24
3．将A，B，C，D，E这5名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法有( )
A．18种 B．20种
C．21种 D．22种
答案 B
解析 当A，C之间为B时，看成一个整体进行排列，共有A·A＝12(种)，当A，C之间不是B时，先在A，C之间插入D，E中的任意一个，然后B在A之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有C·A·A＝8(种)，所以共有20种不同的排法．
4． 3的展开式中的常数项为( )
A．－6 B．6 C．12 D．18
答案 D
解析 由二项式3的通项公式为Tk＋1＝C3k·x3－2k，
当3－2k＝1时，解得k＝1，当3－2k＝－1时，解得k＝2，
所以展开式中的常数项为－C·31＋C·32＝－9＋27＝18.
5．若n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是( )
A．－462 B．462
C．792 D．－792
6．二项式40的展开式中，其中是有理项的共有( )
A．4项 B．7项
C．5项 D．6项
答案 B
解析 二项式40的展开式中，
通项公式为Tk＋1＝C·40－k·k
＝C·，
0≤k≤40，
∴当k＝0,6,12,18,24,30,36 时满足题意，共7个．
7．《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有( )
A．144种 B．288种
C．360种 D．720种
答案 A
解析 《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词进行全排列共有A种排法，满足《将进酒》排在《望岳》的前面的排法共有种，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在4个空里(最后一个空不排)，有A种排法．《将进酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有×A＝144(种)．
8．已知m＝?3cosdx，则(x－2y＋3z)m的展开式中含xm－2yz项的系数等于( )
A．180 B．－180 C．－90 D．15
答案 B
解析 由于m＝?3cosdx＝?3sin xdx
＝(－3cos x)|＝6，
所以(x－2y＋3z)m＝(x－2y＋3z)6＝[(x－2y)＋3z]6，
其展开式的通项为C(x－2y)6－k(3z)k，
当k＝1时，展开式中才能含有x4yz项，这时(x－2y)5的展开式的通项为C·x5－S(－2y)S，
当s＝1时，含有x4y项，系数为－10，
故(x－2y＋3z)6的展开式中含x4yz项的系数为
C·(－10)×3＝－180.
9．为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生中不同的朗诵顺序的种数为( )
A．720 B．768
C．810 D．816
答案 B
解析 由题意知结果有三种情况．(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有CA＝96(种)情况，其中甲、乙相邻的有CAA＝48(种)情况，所以当甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻的有96－48＝48(种)情况；(2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有CCA＝288(种)情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有CCA＝432(种)情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有288＋432＋48＝768(种)情况，故选B.
10．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设“第一次摸出新球”为事件A，“第二次摸出新球”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
P(B|A)＝＝.
11.某游戏中一个珠子从图中的通道(图中实线表示通道)由上至下滑下，从最下面的六个出口(如图所示1,2,3,4,5,6)出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从3号出口出来，那么你取胜的概率为( )
A. B.
C. D．以上都不对
答案 A
解析 我们把从A到3的路线图(图略)单独画出来：分析可得，
从A到3共有C＝10(种)走法，每一种走法的概率都是5，所以珠子从出口3出来的概率是C5＝.
12．我校高三8个学生参加数学竞赛的得分用茎叶图表示，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是( )
A．91,9.5 B．91,9 C．92,8.5 D．92,8
答案 A
解析 由题意，根据茎叶图，可得平均数＝(2×80＋6×90＋8＋5＋1＋5＋4＋2＋0＋3)＝91，
方差s2＝[(88－91)2＋(85－91)2＋…＋(93－91)2]＝×76＝9.5.
13．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率：先利用计算器产生0～9之间整数值的随机数，并用0,1,2,3,4,5,6表示没有强浓雾，用7,8,9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
402 978 191 925 273 842 812 479 569 683
231 357 394 027 506 588 730 113 537 779
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由随机数表可知，满足题意的数据为978,479,588,779，据此可知，这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为P＝＝.
14．在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中，下列说法正确的是( )
A．若K2的观测值k＝6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺癌
B．由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺癌
C．若从随机变量中求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，是指有1%的可能性使得判断出现错误
D．以上三种说法都不正确
15． “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是( )
A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差
D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
答案 D
解析 根据走势图可知，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不呈周期性变化，A错；这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度增减不确定，B错；从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的搜索指数的稳定性小于11 月份的搜索指数的稳定性，所以去年10月份的方差大于11 月份的方差，C错；从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，D正确．
16．下列说法中正确的是( )
①相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越接近于1，相关性越弱；
②回归直线＝x＋一定经过样本点的中心(，)；
③随机误差e满足E(e)＝0，其方差D(e)的大小用来衡量预报的精度；
④相关指数R2用来刻画回归的效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好．
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
答案 D
解析 ①线性相关系数r是衡量两个变量之间线性关系强弱的量，|r|越接近于1，这两个变量线性相关关系越强，|r|越接近于0，线性相关关系越弱，①错误；②回归直线＝x＋一定通过样本点的中心，②正确；③随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E(e)＝0，③正确；④相关指数R2用来刻画回归的效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，④不正确，故选D.
X的分布列为
X 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
所以E(X)＝0×0.1＋1×0.6＋2×0.3＝1.2.
(2)由已知可得，2×2列联表为
A机器生产的产品 B机器生产的产品 总计
良好以上(含良好) 6 12 18
合格 14 8 22
总计 20 20 40
K2＝
＝＝≈3.636<3.841，
所以不能在误差不超过0.05的情况下，认为B机器生产的产品比A机器生产的产品好．
(3)A机器每生产10万件的利润为10×(12×0.1＋10×0.2＋5×0.7)－20＝47(万元)，
B机器每生产10万件的利润为10×(12×0.15＋10×0.45＋5×0.4)－30＝53(万元)，
所以53－47＝6>5，
所以该工厂不会仍然保留原来的两台机器，应该会卖掉A机器，同时购买一台B机器．
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