算法、复数
【2019年高考考纲解读】
1.对于复数要掌握复数的概念、纯虚数、复数相等、复数的模、共轭复数等，以及复数的几何意义及四则运算(重点考查复数的乘除)．
2.对于程序框图要掌握基本算法语句尤其是含循环结构的程序框图，往往与分段函数的求值、数列求和或求积、统计等有规律的重复计算问题放在一起考查，读题审题要仔细．
【重点、难点分析】
一、复数的概念与运算
1．复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．
【变式探究】执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a的值为( )
A．4 B．2
C． D．－1
【解析】S和n依次循环的结果如下：S＝，n＝2；S＝1－，n＝4.所以1－＝2，a＝－1.故选D．
【答案】D
【变式探究】若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
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算法、复数
1．已知z＝1＋2i，则复数的虚部是( )
A． B．－
C．i D．－i
【解析】＝＝＝－i，该复数的虚部为－.故选B．
【答案】B
2．若复数z＝1＋2i，则等于( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
【解析】＝＝i.故选C．
【答案】C
3．已知z(＋i)＝－i(i是虚数单位)，那么复数z对应的点位于复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】z＝＝＝＝－－，z对应的点位于复平面内的第三象限．故选C．
【答案】C
4．下列推理是演绎推理的是( )
A．由于f(x)＝ccosx满足f(－x)＝－f(x)对任意的x∈R都成立，推断f(x)＝ccosx为奇函数
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜出数列{an}的前n项和的表达式
C．由圆x2＋y2＝1的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质
【解析】由特殊到一般的推理过程，符合归纳推理的定义；由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，符合类比推理的定义；由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义．A是演绎推理，B是归纳推理，C和D为类比推理，故选A．
【答案】A
5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x＝3，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )
A．8 B．17
C．29 D．83
6．用反证法证明命题：“已知a，b是自然数，若a＋b≥3，则a，b中至少有一个不小于2”．提出的假设应该是( )
A．a，b至少有两个不小于2
B．a，b至少有一个不小于2
C．a，b都小于2
D．a，b至少有一个小于2
【解析】根据反证法可知提出的假设为“a，b都小于2”．故选C．
【答案】C
7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )
A．56 B．54
C．36 D．64
8．执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是( )
A． B．－1
C．2008 D．2
【解析】模拟程序的运行，可知S＝2，k＝0；S＝－1，k＝1；S＝，k＝2；S＝2，k＝3；…，可见S的值每3个一循环，易知k＝2008对应的S值是第2009个，又2009＝3×669＋2，∴输出的S值是－1，故选B．
【答案】B
9．如图，给出的是计算1＋＋＋…＋的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )
A．i>100，n＝n＋1 B．i<34，n＝n＋3
C．i>34，n＝n＋3 D．i≥34，n＝n＋3
【解析】算法的功能是计算1＋＋＋…＋的值，易知1,4,7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为n＝n＋3，令1＋(i－1)×3＝100，解得i＝34，∴终止程序运行的i值为35，∴判断框内(1)处应为i>34，故选C．
【答案】C
10．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【解析】由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．
【答案】B
11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S的值为1，则判断框内为( )
A．i>6? B．i>5?
C．i≥3? D．i≥4?
12．祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )
A．①② B．①③
C．②④ D．①④
【解析】设截面与底面的距离为h，则①中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为π(R2－h2)；②中截面圆的半径为R－h，则截面圆的面积为π(R－h)2；③中截面圆的半径为R－，则截面圆的面积为π(R－)2；④中截面圆的半径为，则截面圆的面积为π(R2－h2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D．
【答案】D
13．给出30个数：1，2，4，7，11，16，…，要计算这30个数的和，如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可分别填入( )
A．i≤30？和p＝p＋i－1
B．i≤31？和p＝p＋i＋1
C．i≤31？和p＝p＋i
D．i≤30？和p＝p＋i
【答案】D.
【解析】由题意，本题求30个数的和，
故在判断框中应填“i≤30？”，由于②处是要计算下一个加数，由规律知应填“p＝p＋i”，故选D.
14．下图的程序框图是把k进制数a(共有n位数)化为十进制数b的程序框图，在该框图中若输入a＝2 134，k＝5，n＝4，则输出b的值为( )
A．290 B．294
C．266 D．274
【答案】B.
【解析】由题意得，模拟执行程序框图，可得程序框图的功能．当输入a＝2 134，k＝5，n＝4时，计算并输出b＝4×50＋3×51＋1×52＋2×53＝294，故选B.
15．已知复数z1＝k2－4＋(k2－5k＋6)i，z2＝3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)．若z1A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
【答案】C.
【解析】由z1解得k＝2或k＝3.故选C.
16．已知复数z＝|(－i)i|＋i5(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为( )
A．2－i B．2＋i
C．4－i D．4＋i
【答案】A.
【解析】由题意知z＝|i＋1|＋i＝＋i＝2＋i，所以z＝2－i.故选A.
17．现定义eiθ＝cos θ＋isin θ，其中i为虚数单位，e为自然对数的底数，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对eiθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋C54cos θsin4θ，b＝C51cos4θsin θ－C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ，那么复数a＋bi等于( )
A．cos 5θ＋isin 5θ
B．cos 5θ－isin 5θ
C．sin 5θ＋icos 5θ
D．sin 5θ－icos 5θ
【答案】A.
【解析】a＋bi＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋C54cos θsin4θ＋
iC51cos4θsin θ－iC53cos2θsin3θ＋iC55sin5θ
＝C50cos5θ＋i2C52cos3θsin2θ＋i4C54cos θsin4θ
＋iC51cos4θsin θ＋i3C53cos2θsin3θ＋i5C55sin5θ
＝＝cos 5θ＋isin 5θ，选A.
18．执行如图所示的程序框图，若输出的y值满足y≤，则输入的x值的取值范围是____________．
【答案】∪.
【解析】由程序框图可知对应的函数为y＝
当x≤0时，y＝2x，
令y≤，即2x≤，
解得x≤－1；
当x>0时，y＝log2x，
令y≤，
即log2x≤，
解得0综上所述，
输入的x值的取值范围是(－∞，－1]∪(0，]．
19．执行右图所示流程框图，若输入x＝10，则输出y的值为____________．
【答案】－
20．运行如图的程序框图，若输出的y随着输入的x的增大而减小，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由程序框图可知，当x<2时，输出y＝(a－2)x；当x≥2时，输出y＝－1.因为，输出的y随着输入的x的增大而减小，即输出的分段函数y＝为减函数，所以a－2<0且(a－2)×2≥－1，解得≤a<2，故答案为.
21．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
【解析】∵(1－2i)(a＋i)＝2＋a＋(1－2a)i为纯虚数，∴解得a＝－2.
【答案】－2
22．如图是一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为________．
【解析】前15行共有＝120(个)数，故所求的数为a122＝＝.
【答案】
23．执行如图所示的程序框图，如果输入m＝30，n＝18，则输出的m的值为________．
【解析】如果输入m＝30，n＝18，第一次执行循环体后，r＝12，m＝18，n＝12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r＝6，m＝12，n＝6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r＝0，m＝6，n＝0，满足输出条件，故输出的m值为6.
【答案】6
24．“求方程x＋x＝1的解”，有如下解题思路：设f(x)＝x＋x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2，类比上述解题思路，可得不等式x6－(x＋2)>(x＋2)3－x2的解集是________．
【解析】因为x6－(x＋2)>(x＋2)3－x2，所以x6＋x2>(x＋2)3＋(x＋2)，所以(x2)3＋x2>(x＋2)3＋(x＋2)．令f(x)＝x3＋x，所以不等式可转化为f(x2)>f(x＋2)．因为f(x)在R上单调递增，所以x2>x＋2，解得x<－1或x>2.故原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)
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