不等式选讲
【2019年高考考纲解读】
本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．
【重点、难点分析】
1．含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|
0)?－a(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．
2．含有绝对值的不等式的性质
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.此性质可用来解不等式或证明不等式．
3．基本不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
4．柯西不等式
(1)设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．
(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则()≥(ibi)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．
5．绝对值不等式
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.需要灵活地应用．
6．不等式的性质，特别是基本不等式链
≤≤≤ (a>0，b>0)，在不等式的证明和求最值中经常用到．
7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.
【题型示例】
题型一 含绝对值不等式的解法
【例1】（2018年全国Ⅱ卷理数） [选修4－5：不等式选讲]
设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）,(2)
【解析】（1）当时，
可得的解集为．
（2）等价于．
而，且当时等号成立．故等价于．
由可得或，所以的取值范围是．
【变式探究】已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
【解析】(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝|x－2|＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，
得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当2当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|，
得2x－6≥4，解得x≥5.
故不等式的解集为{x|x≤1或x≥5}．
(2)令h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，
则h(x)＝
由|h(x)|≤2，
当x≤0或x≥a时，显然不成立．
当0解得≤x≤.
又知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
所以于是a＝3.
【感悟提升】(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤
①求零点；②划区间、去绝对值符号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
2．用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
3．求解绝对值不等式恒成立问题的解析
(1)可利用绝对值不等式的性质求最值或去掉绝对值号转化为分段函数求最值．
(2)结合“a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min”求字母参数的取值范围．
【举一反三】已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．
(1)求实数a，b的值；
(2)求＋的最大值．
解 (1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，
则解得a＝－3，b＝1.
(2)＋
＝＋≤
＝2＝4，
当且仅当＝，
即t＝1时等号成立，
故(＋)max＝4.
【举一反三】已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为
.
(2)由题设可得，
f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
题型二 不等式的证明
【例2】已知函数f(x)＝|x－1|＋.
(1)解不等式f(x)≤x＋1；
(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a，b满足a>0，b>0，a＋b＝c，求证：＋≥1.
(2)证明 由绝对值不等式的性质，
得|x－1|＋≥＝2，
当且仅当(x－1)(x－3)≤0，即1≤x≤3时，等号成立，
∴c＝2，即a＋b＝2.
令a＋1＝m，b＋1＝n，则m>1，n>1，a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，
＋＝＋＝m＋n＋＋－4＝≥＝1，
当且仅当m＝n＝2时，等号成立，∴原不等式得证．
【感悟提升】(1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．
(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．
【变式探究】已知函数f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|，M为不等式f(x)<6的解集．
(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，求证：|ab＋1|>|a＋b|.
(1)解 f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|<6.
当x<－时，f(x)＝－3x－1－3x＋1＝－6x，
由－6x<6，解得x>－1，∴－1当－≤x≤时，f(x)＝3x＋1－3x＋1＝2，
又2<6恒成立，
∴－≤x≤；
当x>时，f(x)＝3x＋1＋3x－1＝6x，
由6x<6，解得x<1，∴综上，f(x)<6的解集M＝{x|－1(2)证明 2－(a＋b)2＝a2b2＋2ab＋1－(a2＋b2＋2ab)
＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)．
由a，b∈M，得|a|<1，|b|<1，
∴a2－1<0，b2－1<0，
∴(a2－1)(b2－1)>0，
∴>|a＋b|.
【变式探究】【2017课标II，理23】已知。证明：
（1）；
（2）。
(2)若f(x)≤2x的解集包含，求a的取值范围．
【解析】(1)当a＝1时，不等式f(x)≥2可化为|x＋1|＋|2x－1|≥2，
①当x≥时，不等式为3x≥2，解得x≥，故x≥；
②当－1≤x＜时，不等式为2－x≥2，解得x≤0，
故－1≤x≤0；
③当x<－1时，不等式为－3x≥2，
解得x≤－，
故x＜－1.
综上，原不等式的解集为.
(2)f(x)≤2x的解集包含，
不等式可化为|x＋a|≤1，
解得－a－1≤x≤－a＋1，
由已知得
解得－≤a≤0，
所以a的取值范围是.
【变式探究】已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．
(1)求a的值；
(2)若≤k恒成立，求k的取值范围．
【规律方法】解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值．
【变式探究】 已知非负实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＋x＋2y＋3z＝，求x＋y＋z的最大值．
【解析】条件可化为2＋(y＋1)2＋2＝，
则2≤3
＝，
从而x＋y＋z≤，当且仅当x＋＝y＋1＝z＋＝时，等号成立．所以，当x＝1，y＝，z＝0时，x＋y＋z取得最大值.
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不等式选讲
1．不等式|x－4|＋|x－3|≤a有实数解的充要条件是________．
解析 a≥|x－4|＋|x－3|有解?a≥(|x－4|＋|x－3|)min＝1.
答案 a≥1
2．设x，y，z∈R，2x＋2y＋z＋8＝0则(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2的最小值为________．
解析(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2](22＋22＋12)≥[2(x－1)＋2(y＋2)＋(z－3)]2＝(2x＋2y＋z－1)2＝81.
答案 9
3．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．
解析 ∵不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，
即－2，3是方程f(x)＝6的两个根，即|6－a|＋a＝6，|a＋4|＋a＝6，∴|6－a|＝6－a，|a＋4|＝6－a，即|6－a|＝|a＋4|，解得a＝1.
答案 1
4．若不等式|x＋|>|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵|x＋|≥2，
∴|a－2|＋1<2，即|a－2|<1，
解得1答案 (1，3)
5．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，则m的取值范围为________．
解析 ∵|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，
∴不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，
只需|m－1|≤4.即－3≤m≤5.
答案 [－3，5]
6．设f(x)＝x2－bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(－1，3)，若f(7＋|t|)>f(1＋t2)，则实数t的取值范围是________．
解析 ∵x2－bx＋c<0的解集是(－1，3)，
∴>0且－1，3 是x2－bx＋c＝0的两根，则函数f(x)＝x2－bx＋c图象的对称轴方程为x＝＝1，
且f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
又∵7＋|t|≥7>1，1＋t2≥1，
则由f(7＋|t|)>f(1＋t2)，
得7＋|t|>1＋t2，
即|t|2－|t|－6<0，
亦即(|t|＋2)(|t|－3)<0，
∴|t|<3，即－3答案 (－3，3)
8．设函数f(x)＝|x－a|＋1，a∈R.
(1)当a＝4时，解不等式f(x)<1＋|2x＋1|；
(2)若f(x)≤2的解集为[0,2]，＋＝a(m>0，n>0)，求证：m＋2n≥3＋2.
(2)依题可知|x－a|≤1?a－1≤x≤a＋1，所以a＝1，即＋＝1(m>0，n>0)，所以m＋2n＝(m＋2n)·＝3＋＋≥3＋2
当且仅当m＝1＋，n＝1＋时取等号．
9．设函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|(a>0)，g(x)＝x＋2.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤g(x)的解集；
(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，|2x－1|＋|2x＋1|≤x＋2
?无解，
?0≤x<，
?≤x≤
综上，不等式的解集为.
(2)|2x－a|＋|2x＋1|≥x＋2，转化为|2x－a|＋|2x＋1|－x－2≥0.
令h(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|－x－2，
因为a>0，所以h(x)＝，
在a>0下易得h(x)min＝－1，
令－1≥0，得a≥2.
10．已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若f(x)≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a，m的值；
(2)当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．
解 (1)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a.
∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，
∴a＝2，m＝3.
(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可化为|x－2|＋t≥|x|.
当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，
∵0≤t≤2，∴x∈(－∞，0)；
当x∈[0,2)时，2－x＋t≥x，x≤1＋，0≤x≤1＋，
∵1≤1＋≤2，∴0≤x≤1＋；
当x∈[2，＋∞)时，x－2＋t≥x，t≥2，
当0≤t<2时，无解，
当t＝2时，x∈[2，＋∞)．
∴当0≤t<2时原不等式的解集为；
当t＝2时x∈[2，＋∞)．
11．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)>2的解集；
(2)?x∈R，使f(x)≥t2－t，求实数t的取值范围．
(2)易得f(x)min＝－，若?x∈R都有f(x)≥t2－t恒成立，
则只需f(x)min＝－≥t2－，
解得≤t≤5.
12．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x＋5|.
(1)试求使等式f(x)＝|2x＋1|成立的x的取值范围；
(2)若关于x的不等式f(x)解 (1)f(x)＝|x－4|＋|x＋5|＝
又|2x＋1|＝
所以若f(x)＝|2x＋1|，则x的取值范围是(－∞，－5]∪[4，＋∞)．
(2)因为f(x)＝|x－4|＋|x＋5|≥|(x－4)－(x＋5)|＝9，
∴f(x)min＝9.
所以若关于x的不等式f(x)f(x)min＝9，即a的取值范围是(9，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|.
(1)试求f(x)的值域；
(2)设g(x)＝(a>0)，若任意s∈(0，＋∞)，任意t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，试求实数a的取值范围．
解 (1)函数可化为
f(x)＝
∴f(x)∈[－3，3]．
(2)若x>0，则g(x)＝＝ax＋－3≥2－3，即当ax2＝3时，g(x)min＝2－3，
又由(1)知f(x)max＝3.
若?s∈(0，＋∞)，?t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，则有g(x)min≥f(x)max，
∴2－3≥3，
∴a≥3，即a的取值范围是[3，＋∞)．
14．设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥t2－3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．
解 (1)f(x)＝
所以原不等式转化为或或所以原不等式的解集为∪[6，＋∞)．
(2)只要f(x)max＜t2－3t，
由(1)知f(x)max＝－1＜t2－3t解得t＞或t＜.
15．设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a>0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围．
(1)证明 由a>0，有f(x)＝|x＋|＋|x－a|≥|x＋－(x－a)|＝＋a≥2.所以f(x)≥2.
(2)解 f(3)＝|3＋|＋|3－a|.
当a>3时，f(3)＝a＋，
由f(3)<5得3当0由f(3)<5得＜a≤3.
综上，a的取值范围是.
16．已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解 (1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当2当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．
(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，
则h(x)＝
由|h(x)|≤2，
解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以于是a＝3.
17．已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥4；
(2)若?x0，使f(x0)＋|x0－2|<3成立，求a的取值范围．
(2)应用绝对值不等式，可得
f(x)＋|x－2|＝2|x－2|＋|2x＋a|＝|2x－4|＋|2x＋a|≥|2x＋a－(2x－4)|＝|a＋4|.(当且仅当(2x－4)(2x＋a)≤0时等号成立)
因为?x0，使f(x0)＋|x0－2|<3成立，
所以(f(x)＋|x－2|)min<3，
所以|a＋4|<3，解得－7故实数a的取值范围为(－7，－1)．
18．已知x，y∈R＋，x＋y＝4.
(1)要使不等式＋≥|a＋2|－|a－1|恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求证：x2＋2y2≥，并指出等号成立的条件．
解 (1)因为x，y∈R＋，x＋y＝4，
所以＋＝1.
由基本不等式，得
＋＝
＝＋
≥＋ ＝1，
当且仅当x＝y＝2时取等号．
要使不等式＋≥|a＋2|－|a－1|恒成立，
只需不等式|a＋2|－|a－1|≤1成立即可．
构造函数f(a)＝|a＋2|－|a－1|，
则等价于解不等式f(a)≤1.
因为f(a)＝
所以解不等式f(a)≤1，得a≤0.
所以实数a的取值范围为(－∞，0]．
(2)因为x，y∈R＋，x＋y＝4，
所以y＝4－x(0于是x2＋2y2＝x2＋2(4－x)2
＝3x2－16x＋32＝32＋≥，
当x＝，y＝时等号成立．
19．知函数f(x)＝|2x－4|＋|x＋1|，x∈R.
(1)解不等式f(x)≤9；
(2)若方程f(x)＝－x2＋a在区间[0,2]上有解，求实数a的取值范围．
解 (1)f(x)≤9，即|2x－4|＋|x＋1|≤9，
即或或
解得2∴不等式的解集为[－2,4]．
(2)当x∈[0,2]时，f(x)＝5－x.
由题意知，f(x)＝－x2＋a，即a＝x2－x＋5，x∈[0,2]，
故方程f(x)＝－x2＋a在区间[0,2]上有解，即函数y＝a和函数y＝x2－x＋5的图象在区间[0,2]上有交点，
∵当x∈[0,2]时，y＝x2－x＋5∈，
∴a∈.
20．f(x)＝|2x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)≤4的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥3a2－3|2－x|恒成立，求a的取值范围．
解 (1)当a＝－2时，由f(x)≤4，
得2|x－1|－|x－2|≤4，
当x≤1时，由2(1－x)－(2－x)≤4，得－4≤x≤1；
当1当x≥2时，由2(x－1)－(x－2)≤4，得2≤x≤4.
综上所述，f(x)≤4的解集为[－4,4]．
(2)由不等式f(x)≥3a2－3|2－x|，
得|2x＋a|－|x－2|＋3|x－2|≥3a2，
即为|2x＋a|＋|4－2x|≥3a2，
即关于x的不等式|2x＋a|＋|2x－4|≥3a2恒成立，
而|2x＋a|＋|2x－4|≥|(2x＋a)－(2x－4)|＝|a＋4|，
当且仅当(2x＋a)(2x－4)≤0时等号成立，
所以|a＋4|≥3a2，
解得a＋4≥3a2或a＋4≤－3a2，
解得－1≤a≤或a∈?.
所以a的取值范围是.
21．函数f(x)＝|2x＋1|.
(1)求不等式f(x)≤8－|x－3|的解集；
(2)若正数m，n满足m＋3n＝mn，求证：f(m)＋f(－3n)≥24.
(1)解 此不等式等价于
或或
即不等式的解集为.
(2)证明 ∵m>0，n>0，m＋3n＝mn，
∴m＋3n＝(m·3n)≤×，
即m＋3n≥12，
当且仅当
即时取等号，
∴f(m)＋f(－3n)＝|2m＋1|＋|－6n＋1|
≥|2m＋6n|，
当且仅当(2m＋1)(－6n＋1)≤0，即n≥时取等号，
又|2m＋6n|≥24，当且仅当m＝6，n＝2时，取等号，
∴f(m)＋f(－3n)≥24.
22．函数f(x)＝|3x－1|－|2x＋1|＋a.
(1)求不等式f(x)>a的解集；
(2)若恰好存在4个不同的整数n，使得f(n)<0，求a的取值范围．
解 (1)由f(x)>a，得|3x－1|>|2x＋1|，
不等式两边同时平方，得9x2－6x＋1>4x2＋4x＋1，
即5x2>10x，解得x<0或x>2.
所以不等式f(x)>a的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
(2)设g(x)＝|3x－1|－|2x＋1|
＝
作出函数g(x)的图象，如图所示，
因为g(0)＝g(2)＝0，g(3)又恰好存在4个不同的整数n，使得f(n)<0，
所以即
故a的取值范围为.
23．函数f(x)＝x2＋|x－2|.
(1)解不等式f(x)>2|x|；
(2)若f(x)≥a2＋2b2＋3c2(a>0，b>0，c>0)对任意x∈R恒成立，求证：·c<.
(1)解 由f(x)>2|x|，得x2＋|x－2|>2|x|，
即或
或
解得x>2或02或x<1.
所以不等式f(x)>2|x|的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
(2)证明 当x≥2时，f(x)＝x2＋x－2≥22＋2－2＝4；
当x<2时，f(x)＝x2－x＋2＝2＋≥，
所以f(x)的最小值为.
因为f(x)≥a2＋2b2＋3c2对任意x∈R恒成立，
所以a2＋2b2＋3c2≤.
又a2＋2b2＋3c2＝a2＋c2＋2(b2＋c2)
≥2ac＋4bc≥4，且等号不能同时成立，
所以4<，即·c<.
24.数f(x)＝|x＋|－|x－|.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥；
(2)若对任意a∈[0,1]，不等式f(x)≥b的解集不为空集，求实数b的取值范围．
(2)∵不等式f(x)≥b的解集不为空集，
∴b≤f(x)max，
∵a∈[0,1]，∴f(x)＝|x＋|－|x－|
≤|x＋－x＋|
＝|＋|＝＋，
∴f(x)max＝＋.
对任意a∈[0,1]，不等式f(x)≥b的解集不为空集，
∴b≤[＋]min，
令g(a)＝＋，
∴g2(a)＝1＋2·＝1＋2＝1＋2.
∴当a∈时，g(a)单调递增，当a∈时，g(a)单调递减，当且仅当a＝0或a＝1时，g(a)min＝1，
∴b的取值范围为(－∞，1]．
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