选择题、填空题的解法
【2019年高考考纲解读】
高考选择题、填空题绝大部分属于低中档题目，一般按由易到难的顺序排列，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力.
(1)解题策略:选择题、填空题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解题的基本策略是充分利用题干所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后一般，先间接后直接，另外对选择题可以先排除后求解.
(2)解决方法:选择题、填空题属“小”题，解题的原则是“小”题巧解，“小”题不能大做.主要分直接法和间接法两大类.具体的方法有:直接法，等价转化法，特值、特例法，数形结合法，构造法，对选择题还有排除法(筛选法)等.
【高考题型示例】
方法一、 直接法?
直接法就是利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论.这种策略多用于一些定性的问题，是解题最常用的方法.
例1、(1)已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则 的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
(2)已知M(x0，y0)是双曲线C:-y2=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若<0，则y0的取值范围是 .?
4.作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力.
方法六、直接法
直接法就是从题干给出的条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，直接得出结论.
例/6、(2018全国Ⅱ，文16)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为 .?
答案:8π
解析:∵SA⊥SB，
∴S△SAB=·SA·SB=8.
∴SA=4.过点S连接底面圆心O，则∠SAO=30°.
∴SO=2，OA=2.
∴V=πr2h=×π×(2)2×2=8π.
【变式探究】设向量a=(1，0)，b=(-1，m).若a⊥(ma-b)，则m= .?
答案 -1
解析 由题意，得ma-b=(m，0)-(-1，m)=(m+1，-m).
∵a⊥(ma-b)，∴a·(ma-b)=0，即m+1=0，
∴m=-1.
方法七、特例法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值进行处理，从而得出待求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.
例7、(1)如图，在△ABC中，点M是BC的中点，过点M的直线与直线 AB，AC分别交于不同的两点P，Q，若=λ=μ，则= .?
(2)若函数f(x)=是奇函数，则m= .?
答案:(1)2 (2)2
解析:(1)由题意可知，的值与点P，Q的位置无关，而当直线BC与直线PQ重合时，有λ=μ=1，所以=2.
(2)显然f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，
∴令x=1，x=-1，
则f(-1)+f(1)= =0，m=2.
(方法一)·=·()=··
=··()=·+2·，
∵AP⊥BD，∴·=0.
∵·=||||cos∠BAP=||2，
∴·=2||2=2×9=18.
(方法二)把平行四边形ABCD看成正方形，则点P为对角线的交点，AC=6，则·=18.
方法八、数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性迅速做出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.
例8、已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是 .?
答案：15
解析:画出直线2x+y-4=0和x+3y-6=0以及圆x2+y2=1，如图.
由于整个圆在两条直线的左下方，
所以当x2+y2≤1时，有
所以|2x+y-4|+|6-x-3y|
=-2x-y+4+6-x-3y
=-3x-4y+10.
令t=-3x-4y+10，
则3x+4y+t-10=0，
所以x2+y2≤1与直线3x+4y+t-10=0有公共点，
所以圆心(0，0)到直线的距离d=≤1 ，解得5≤t≤15.所以t的最大值为15，即|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值为15.
【变式探究】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种.则该网店
(1)第一天售出但第二天未售出的商品有 种;?
(2)这三天售出的商品最少有 种.?
答案 (1)16 (2)29
方法九、构造法
填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.
例9、如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC= ，则球O的体积等于 .?
答案：π
解析：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|==2R，所以R=，故球O的体积V=π.
【变式探究】已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为 .?
【解析】先求出△ABC的中心，再求出高，建立方程求解.如图，作PM⊥平面ABC，设PA=a，则AB=a，PM=a，MC=a.
设球的半径为R，所以=R2，
将R=代入上式，解得a=2，
所以d=.
【归纳总结】
1.解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果.
2.解填空题不要求求解过程，结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面:
(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确;
(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论;
(3)要重视对所求结果的检验.
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选择题、填空题的解法
1．已知集合M＝{x|log2x<3}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，则M∩N等于( )
A．(0,8) B．{3,5,7}
C．{0,1,3,5,7} D．{1,3,5,7}
答案 D
解析 ∵M＝{x|0
∴M∩N＝{1,3,5,7}，故选D.
2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质
B．所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电
C．高一参加军训的有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人
D．在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋1(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
3．1设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S13>0，S14<0，若ak·ak＋1<0，则k等于( )
A．6 B．7 C．13 D．14
答案 B
解析 因为{an}为等差数列，S13＝13a7，S14＝7(a7＋a8)，
所以a7>0，a8<0，a7·a8<0，所以k＝7.
4．已知集合A＝{y|y＝sin x，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg x}，则(?RA)∩B为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．[－1,1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 C
解析 因为A＝{y|y＝sin x，x∈R}＝[－1,1]，
B＝{x|y＝lg x}＝(0，＋∞)，
所以(?RA)∩B＝(1，＋∞)．
5．若a>b>1,0A．acC．alogbc答案 C
解析 对于A：由于0∴函数y＝xc在(1，＋∞)上单调递增，
则a>b>1?ac>bc，故A错；
对于B：由于－1∴函数y＝xc－1在(1，＋∞)上单调递减，
∴a>b>1?ac－1对于C：要比较alogbc和blogac，
只需比较和，只需比较和，
只需比较bln b和aln a.
构造函数f(x)＝xln x(x>1)，
则f′(x)＝ln x＋1>1>0，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
因此f(a)>f(b)>0?aln a>bln b>0?<，
又由0∴>?blogac>alogbc，故C正确；
对于D：要比较logac和logbc，
只需比较和，
而函数y＝ln x在(1，＋∞)上单调递增，
故a>b>1?ln a>ln b>0?<，
又由0∴>?logac>logbc，故D错，故选C.
6．设有两个命题，命题p：关于x的不等式(x－3)·≥0的解集为{x|x≥3}；命题q：若函数y＝kx2－kx－8的值恒小于0，则－32A．“p且q”为真命题 B．“p或q”为真命题
C．“綈p”为真命题 D．“綈q”为假命题
答案 C
解析 不等式(x－3)·≥0的解集为{x|x≥3或x＝1}，所以命题p为假命题．若函数y＝kx2－kx－8的值恒小于0，则－327．不等式组的解集记为D，z＝，有下面四个命题：
p1：?(x，y)∈D，z≥1; p2：?(x0，y0)∈D，z≥1；
p3：?(x，y)∈D，z≤2; p4：?(x0，y0)∈D，z<0.
其中为真命题的是( )
A．p1，p2 B．p1，p3
C．p1，p4 D．p2，p3
答案 D
8．设命题甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；命题乙：0A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由命题甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R可知，当a＝0时，原式＝1>0恒成立，
当a≠0时，需满足
解得0所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选C.
9．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为( )
A．4 B．16 C．9 D．3
答案 B
解析 依题意得m≤(3a＋b)＝10＋＋，
由a>0，b>0得10＋＋≥16，故m≤16(当且仅当＝，即a＝b时，等号成立)，即m的最大值为16.
10．若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )
A．4 B．9 C．10 D．12
答案 C
解析 满足条件
的可行域如图阴影部分(包括边界)所示，
x2＋y2是可行域上的动点(x，y)到原点(0,0)距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取得最大值，最大值为10.故选C.
11．复数z满足z(2－i)＝1＋7i，则复数z的共轭复数为( )
A．－1－3i B．－1＋3i
C．1＋3i D．1－3i
答案 A
解析 ∵z(2－i)＝1＋7i，
∴z＝＝＝＝－1＋3i，
共轭复数为－1－3i.
12．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z2＝3＋2i，则z1·z2等于( )
A．13i B．－13i
C．13＋12i D．12＋13i
答案 A
解析 由题意得z1＝2＋3i，
故z1·z2＝(2＋3i)(3＋2i)＝13i.
13．z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上的点不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 z＝＝，
由于m－130．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，其图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为，若f(x)>0对x∈恒成立，则φ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由已知得函数f(x)的最小正周期为，则ω＝，
当x∈时，x＋φ∈，
因为f(x)>0，即cos>，
所以(k∈Z)，
解得－＋2kπ≤φ≤－＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，所以－<φ≤－，故选B.
31．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f?的值为________．
答案 1
解析 根据图象可知，A＝2，＝－，
所以周期T＝π，ω＝＝2.又函数过点，
所以sin＝1，又0<φ<π，
所以φ＝，则f(x)＝2sin，
因此f?＝2sin＝1.
32．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．
答案
解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2，
所以f(x)＝3sin，
那么当x∈时，－≤2x－≤，
所以－≤sin≤1，故f(x)∈.
33．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，角B为锐角，且sin2B＝8sin A·sin C，则的取值范围为____________．
答案
34．已知集合M＝，若3∈M,5?M，则实数a的取值范围是______________．
答案 ∪(9,25]
解析 ∵集合M＝，
得(ax－5)(x2－a)<0，
当a＝0时，显然不成立，
当a>0时，原不等式可化为(x－)(x＋)<0，
若<，只需满足解得1≤a<；
若>，只需满足
解得9综上，a的取值范围为∪(9,25]．
35．在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.猜想若正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是_______________________．
答案 S＋S＋S＝S
解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S.
36．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．
答案 32
解析 由题意得log2＝log2(n＋1)－log2(n＋2)，由程序框图的计算公式，可得
S＝(log22－log23)＋(log23－log24)＋…＋[log2n－log2(n＋1)]＝1－log2(n＋1)，由S<－4，可得1－log2(n＋1)<－4?log2(n＋1)>5，解得n>31，
所以输出的n为32.
37．已知平面内三个单位向量，，，〈，〉＝60°，若＝m＋n，则m＋n的最大值是______．
答案
解析 由已知条件＝m＋n，两边平方可得1＝m2＋mn＋n2＝(m＋n)2－mn，∴(m＋n)2－1＝mn，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m，n>0，∴(m＋n)2－1＝mn≤(m＋n)2，当且仅当m＝n时取等号，
∴(m＋n)2≤1，则m＋n≤，即m＋n的最大值为.
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