函数与方程思想、数形结合思想
【2019年高考考纲解读】
数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.
【高考题型示例】
题型一、函数与方程思想在不等式中的应用
函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.
例1.若0A.>ln x2－ln x1
B.C.
D.
答案 C
解析 设f(x)＝ex－ln x(0则f′(x)＝ex－＝.
令f′(x)＝0，得xex－1＝0.
根据函数y1＝ex与y2＝的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x0∈(0，1)，因此函数f(x)在(0，1)上不是单调函数，故A，B选项不正确；
设g(x)＝(0又0∴函数g(x)在(0，1)上是减函数.
又0g(x2)，
∴，故选C.
例2.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x)，满足g′(x)－g(x)<0，若函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，且g(4)＝1，则不等式>1的解集为________.
答案 (－∞，0)
例3.已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，则x的取值范围是__________________.
答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 ∵t∈[，8]，∴f(t)∈.
问题转化为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立，
当x＝2时，不等式不成立，∴x≠2.
令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈.
问题转化为g(m)在上恒大于0，
则即
解得x>2或x<－1.
例4.若x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是______.
答案 [－6，－2]
解析 当－2≤x<0时，不等式转化为a≤.
令f(x)＝(－2≤x<0)，
则f′(x)＝＝，
故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，
此时有a≤f(x)min＝f(－1)＝＝－2.
当x＝0时，不等式恒成立.
当0则f(x)在(0，1]上单调递增，此时有a≥f(x)max＝f(1)＝＝－6.
综上，实数a的取值范围是[－6，－2].
题型二、函数与方程思想在数列中的应用
数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.
例5. 已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d等于( )
A.－ B.－ C. D.
答案 D
解析 设等差数列的首项为a1，公差为d，则即
解得d＝.
例6.已知在数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝an，则的最大值为( )
A.－3 B.－1 C.3 D.1
答案 C
解析 当n≥2时，Sn＝an，Sn－1＝an－1，
两式作差可得an＝an－an－1，
即＝＝1＋.
由函数y＝1＋在(1，＋∞)上是减函数，可得在n＝2时取得最大值3.
例7.在等差数列{an}中，若a1<0，Sn为其前n项和，且S7＝S17，则Sn取最小值时n的值为____.
答案 12
解析 由已知得， 等差数列{an}的公差d>0，
设Sn＝f(n)，则f(n)为二次函数，
又由f(7)＝f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n＝12对称，
故Sn取最小值时n的值为12.
例8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－2，S6＝3，则nSn的最小值为________.
答案 －9
题型三、函数与方程思想在解析几何中的应用
解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.
例9.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 B
解析 不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆的方程设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，
又可设A(x0，2)，D，
点A(x0，2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①
点A(x0，2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②
点D在圆x2＋y2＝r2上，∴5＋2＝r2，③
联立①②③，解得p＝4(负值舍去)，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.
例10.如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若∠PAQ＝60°，且＝3，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|，
所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，设|AQ|＝2R，
又＝3，则|OP|＝|PQ|＝R.
双曲线C的渐近线方程是y＝x，A(a，0)，
所以点A到直线y＝x的距离d＝＝，
所以2＝(2R)2－R2＝3R2，
即a2b2＝3R2(a2＋b2)，
在△OQA中，由余弦定理得，
|OA|2＝|OQ|2＋|QA|2－2|OQ||QA|cos 60°＝(3R)2＋(2R)2－2×3R×2R×＝7R2＝a2.
由得
所以双曲线C的离心率为e＝＝＝＝＝＝.
例11.设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.若＝6，则k的值为________.
答案 或
解析 依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0).如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1
由＝6知，x0－x1＝6(x2－x0)，
得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝ .
由点D在AB上知x0＋2kx0＝2，得x0＝.
所以＝，
化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝或k＝.
例12.已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x交于不同的两点A，B，且以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F，则k＝________.
答案 或－
解析 点F的坐标为(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＝k(x1＋1)，y2＝k(x2＋1)，
当k＝0时，l与C只有一个交点，不合题意，因此k≠0.
将y＝k(x＋1)代入y2＝4x，
消去y，得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0，①
依题意知，x1，x2是①的不相等的两个实根，
则
由以AB为直径的圆过F，得AF⊥BF，
即kAF·kBF＝－1，
所以·＝－1，即x1x2＋y1y2－(x1＋x2)＋1＝0，
所以x1x2＋k2(x1＋1)(x2＋1)－(x1＋x2)＋1＝0，
所以(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋1＋k2＝0，③
把x1＋x2＝，x1x2＝1代入③得2k2－1＝0，解得k＝±，
经检验k＝±适合②式.
综上所述，k＝±.
题型四、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用
讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.
例1.函数f(x)＝2x－的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 在同一平面直角坐标系下，作出函数y1＝2x和y2＝的图象，如图所示.
函数f(x)＝2x－的零点个数等价于2x＝的根的个数，
等价于函数y1＝2x和y2＝图象的交点个数.
由图可知只有一个交点，所以有一个零点.故选B.
例2.若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为________.
答案
解析 x＝0是方程的一个实数解；
当x≠0时，方程＝kx2
可化为＝(x＋4)|x|，x≠－4，k≠0，
设f(x)＝(x＋4)|x|(x≠－4且x≠0)，y＝，
则两函数图象有三个非零交点.
f(x)＝(x＋4)|x|＝的大致图象如图所示，
由图可得0<<4， 解得k>.
所以k的取值范围为.
例3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解之和为________.
答案 －7
解析 因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2.
又当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1＝f(x)与y2＝|cos πx|的图象如图所示.
由图象知关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的实数解有7个.
不妨设x1则由图得x1＋x2＝－4，x3＋x5＝－2，x4＝－1，x6＋x7＝0，
所以方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.
例4.已知函数f(x)则方程f(x)＝ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是________.
答案
解析 画出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，要使直线y＝ax与函数f(x)有两个交点，当y＝ax与y＝＋1平行时，显然有两个交点，此时a＝.当a>时，只需求出当直线y＝ax和曲线y＝ln x相切时的斜率即可.由于相切时交点只有1个，故结合图象知，实数a的取值范围是.
题型五、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用
构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.
5.(2018·全国Ⅰ )设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是( )
A.(－∞，－1] B.(0，＋∞)
C.(－1，0) D.(－∞，0)
答案 D
解析 方法一 ①当即x≤－1时，
f(x＋1)＜f(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.
因此不等式的解集为(－∞，－1].
②当时，不等式组无解.
③当即－1＜x≤0时，f(x＋1)＜f(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.
因此不等式的解集为(－1，0).
④当即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意.
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0).
故选D.
方法二 ∵f(x)＝
∴函数f(x)的图象如图所示.
由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x.
此时x≤－1.
当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，满足f(x＋1)＜f(2x).
此时－1＜x＜0.
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0).故选D.
例6.设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A?B成立的实数m的取值范围是________.
答案 [－1，＋∞)
解析 集合A是圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A?B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有＝1，又m>0，所以m＝－1，故m的取值范围是[－1，＋∞).
例7.若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.
答案
解析 作出y1＝|x－2a|和y2＝x＋a－1的简图，如图所示.
依题意得故a≤.
例8.已知函数f(x)＝若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，则实数a的取值范围为________.
答案 [0，＋∞)
解析 根据题意知f(x)是一个分段函数，当x≥1时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为x＝a；当x<1时，是一个一次函数.当a>1时，如图(1)所示，符合题意；当0≤a≤1时，如图(2)所示，符合题意；当a<0时，如图(3)所示，此时函数在R上单调递减，不满足题意.综上所述，可得a≥0.
题型六、数形结合思想在解析几何中的应用
在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围； 常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
例9.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
答案 B
例10.设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
答案 D
解析 如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，
则OQ⊥PF2.
又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，
所以|PF1|＝2|OQ|＝2a.
又|PF2|－|PF1|＝2a，
所以|PF2|＝4a.
在Rt△F1PF2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得4a2＋16a2＝20a2＝4c2，即e＝＝.
例11.已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________.
答案
解析 因为(－2)2<8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，
如图，设抛物线的准线为l，
过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，
由抛物线的定义可知，△APF的周长为
|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因为A(－2，4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，
代入x2＝8y，得y0＝.
故使△APF的周长最小的点P的坐标为.
例12.已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________.
答案 2
解析 连接PC，由题意知圆的圆心C(1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt△PAC的面积S△PAC＝|PA||AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；
当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB有唯一的最小值，此时|PC|＝＝3，从而|PA|＝＝2，所以(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2.
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函数与方程思想、数形结合思想
1.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′(x)>1，设a＝f(2)－1，b＝e[f(3)－1]，则a，b的大小关系为( )
A.ab
C.a＝b D.无法确定
答案 A
解析 令g(x)＝exf(x)－ex，
则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0，
即g(x)在R上为增函数.
所以g(3)>g(2)，
即e3f(3)－e3>e2f(2)－e2，
整理得e[f(3)－1]>f(2)－1，即a2.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有( )
A.f?C.f?答案 C
解析 因为f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又T＝4，作图，由图知f?
3.在三棱锥A－BCD中，△ABC为等边三角形，AB＝2，∠BDC＝90°，二面角A－BC－D的大小为150°，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为( )
A.7π B.12π C.16π D.28π
答案 D
解析 满足题意的三棱锥A－BCD如图所示，设三棱锥A－BCD的外接球的球心为O，半径为R，△BCD，△ABC的外接圆的圆心分别为O1，O2，可知O，O1，O2在同一平面内，由二面角A－BC－D的大小为150°，得∠OO1O2＝150°－90°＝60°.
4.过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作直线y＝－x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若＝2，则该双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
答案 C
解析 设F(c，0)，则直线AB的方程为y＝(x－c)，代入双曲线渐近线方程y＝－x，得A.由＝2，可得B，把B点坐标代入－＝1，得－＝1，
∴c2＝5a2，
∴离心率e＝＝.
5.记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3，13－x}的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
答案 C
解析 在同一坐标系中作出三个函数y1＝x2＋1，y2＝x＋3，y3＝13－x的图象如图.
由图可知，在实数集R上，min{x2＋1，x＋3，13－x}为y2＝x＋3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC与直线y3＝13－x在点C下方的部分的组合体.显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3，13－x}取得最大值.
解方程组得点C(5，8).
所以f(x)max＝8.
6.已知函数f(x)＝|lg(x－1)|，若1＜a＜b且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围为( )
A.(3＋2，＋∞) B.[3＋2，＋∞)
C.(6，＋∞) D.[6，＋∞)
答案 C
解析 由图象可知b＞2，1＜a＜2，
∴－lg(a－1)＝lg(b－1)，
则a＝，
则a＋2b＝＋2b＝＝＝2(b－1)＋＋3，
由对勾函数的性质知，当b∈时，f(b)＝2(b－1)＋＋3单调递增，
∵b＞2，
∴a＋2b＝＋2b＞6.
7.已知函数f(x)＝若不等式f(x)≥mx恒成立，则实数m的取值范围为( )
A.[－3－2，－3＋2]
B.[－3＋2，0]
C.[－3－2，0]
D.(－∞，－3－2]∪[－3＋2，＋∞)
答案 C
解析 函数f(x)及y＝mx的图象如图所示，由图象可知，当m>0时，不等式f(x)≥mx不恒成立，设过原点的直线与函数f(x)＝x2－3x＋2(x<1)相切于点A(x0，x－3x0＋2)，因为f′(x0)＝2x0－3，所以该切线方程为y－(x－3x0＋2)＝(2x0－3)(x－x0)，因为该切线过原点，所以－(x－3x0＋2)＝－x0(2x0－3)，解得x0＝－，即该切线的斜率k＝－2－3.由图象得－2－3 ≤m≤0.故选C.
8.已知函数f(x)＝＋x＋sin x，若存在x∈[－2，1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)<0成立，则实数k的取值范围是( )
A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(－∞，－1)
答案 A
解析 由题意知函数f(x)＝＋x＋sin x的定义域为R，f(－x)＝＋(－x)＋sin(－x)＝－＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，且f′(x)＝＋1＋cos x>0在R上恒成立，即函数f(x)在R上单调递增.
若?x0∈[－2，1]，使得f(x＋x0)＋f(x0－k)<0成立，
即f(x＋x0)<－f(x0－k)，
所以f(x＋x0)则问题转化为?x0∈[－2，1]，k>x＋2x0，令g(x)＝x2＋2x，x∈[－2，1].
则k>g(x)min＝g(－1)＝－1故实数k的取值范围是(－1，＋∞).
9.已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.
答案 2
解析 如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积V＝a2h＝，
故a2h＝32，即a2＝.
则其侧棱长为l＝＝.
令f(h)＝＋h2，则f′(h)＝－＋2h＝，
令f′(h)＝0，解得h＝2.
当h∈(0，2)时，f′(h)<0，f(h)单调递减；当h∈(2，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)单调递增，
所以当h＝2时，f(h)取得最小值f(2)＝＋22＝12，
故lmin＝＝2.
10.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
答案 (0，2)
解析 由f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，
可得|2x－2|＝b有两个不等的实根，
从而可得函数y1＝|2x－2|的图象与函数y2＝b的图象有两个交点，如图所示.
结合函数的图象，可得011.已知椭圆C1：＋＝1和圆C2：x2＋(y＋1)2＝r2 (r>0)，若两条曲线没有公共点，则r的取值范围是______________.
答案 (0，1)∪
解析 方法一 联立C1和C2的方程，消去x，
得到关于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0，①
方程①可变形为r2＝－y2＋2y＋10，
把r2＝－y2＋2y＋10看作关于y的函数.
由椭圆C1可知，－2≤y≤2，
因此，求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合，等价于在定义域为y∈[－2，2]的情况下，求函数r2＝f(y)＝－y2＋2y＋10的值域.
由f(－2)＝1，f(2)＝9，f?＝，
可得f(y)的值域为，即r∈，
它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合，因此，两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0，1)∪.
则又r>0，解得0因此，两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0，1)∪.
12.若关于x的不等式ex－－1－x≥0在上恰成立，则实数a的取值集合为________.
答案 {2}
解析 关于x的不等式ex－－1－x≥0在上恰成立?函数g(x)＝在上的值域为.
因为g′(x)＝，
令φ(x)＝ex(x－1)－＋1，x∈，
则φ′(x)＝x(ex－1).
因为x≥，
所以φ′(x)>0，
故φ(x)在上单调递增，
所以φ(x)≥φ＝－>0.
因此g′(x)>0，
故g(x)在上单调递增，
则g(x)≥g＝＝2－，
所以a－＝2－，
解得a＝2，
所以a的取值集合为{2}.
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