分类讨论思想、转化与化归思想
【高考题型示例】
题型一、概念、定理分类整合
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.
例1.若一条直线过点(5，2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为( )
A.x＋y－7＝0
B.2x－5y＝0
C.x＋y－7＝0或2x－5y＝0
D.x＋y＋7＝0或2y－5x＝0
答案 C
解析 设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，求得a＝7，则直线方程为x＋y－7＝0.
例2. 已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S5－S4的值为( )
A.8 B.10 C.16 D.32
答案 D
例3.已知集合A＝，B＝{x|mx－1＝0，m∈R}，若A∩B＝B，则所有符合条件的实数m组成的集合是( )
A.{0，－1，2} B.
C.{－1，2} D.
答案 A
解析 因为A∩B＝B，所以B?A.若B为?，则m＝0；
若B≠?，则－m－1＝0或m－1＝0，解得m＝－1或2.综上，m∈{0，－1，2}.故选A.
例4.设函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则实数a的所有可能取值的集合是________.
答案
解析 f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.
由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.
当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，所以a＝1.
当－1
所以πa2＝2kπ＋(k∈Z)，
所以a2＝2k＋(k∈Z)，k只能取0，此时a2＝.
因为－1则实数a的取值集合为.
题型二、图形位置、形状分类整合
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.
例5.已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )
A. B.4 C. D.4或
答案 D
解析 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×××4＝4 ；
当长、宽分别为4和6时，体积V＝×××6＝.
例6.已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于( )
A.－ B. C.0 D.0或－
答案 D
解析 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足.
结合图形可知斜率k的值为0或－.
例7.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率为________.
答案 或
解析 不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t>0.
若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，
|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；
若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，
|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝.
综上，曲线C的离心率为或.
例8.抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为________.
答案 4
解析 当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在.事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝，
若＝p，则有x2－2px＋y2＝0，
又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，
当x＝0时，不构成三角形.当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾.
∴符合要求的点P有4个.
题型三、含参问题分类整合
某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等. 解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.
例9.已知实数a，x，a>0且a≠1，则“ax>1”的充要条件为( )
A.01，x>0 C.(a－1)x>0 D.x≠0
答案 C
解析 由ax>1知，ax>a0，当01时，x>0.
故“ax>1”的充要条件为“(a－1)x>0”.
例10.若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞)
C.(－∞，0) D.(0，＋∞)
答案 B
例11.设函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f(x0)<0和g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围为( )
A.(7，＋∞) B.(－∞，－2)∪(6，＋∞)
C.(－∞，－2) D.(－∞，－2)∪(7，＋∞)
答案 A
解析 由f(x)＝x2－ax＋a＋3知，f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在x0∈R，使得f(x0)<0，所以Δ＝a2－4(a＋3)>0，解得a<－2或a>6.又g(x)＝ax－2a的图象恒过点(2，0)，故当a>6时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示，当a<－2时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图2所示.
由函数的图象知，当a>6时，若g(x0)<0，则x0<2，
∴要使f(x0)<0，则需解得a>7.
当a<－2时，若g(x0)<0，则x0>2，此时函数f(x)＝x2－ax＋a＋3的图象的对称轴x＝<－1，
故函数f(x)在区间上为增函数，
又f(1)＝4，∴f(x0)<0不成立.
综上，实数a的取值范围为(7，＋∞).
题型四、特殊与一般的转化
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路.
例1.据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1，a2，a3，…，an和b1，b2，b3，…，bn，令M＝{m|am＜bm，m＝1，2，…，n}，若M中元素个数大于n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：A＜B，现有三种蔬菜A，B，C，下列说法正确的是( )
A.若A＜B，B＜C，则A＜C
B.若A＜B，B＜C同时不成立，则A＜C不成立
C.A＜B，B＜A可同时不成立
D.A＜B，B＜A可同时成立
答案 C
解析 特例法：例如蔬菜A连续10天价格分别为1，2，3，4，…，10，蔬菜B连续10天价格分别为10，9，…，1时，A＜B，B＜A同时不成立，故选C.
例2.过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点.若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋等于( )
A.2a B. C.4a D.
答案 C
解析 抛物线y＝ax2(a>0)的标准方程为x2＝y(a>0)，焦点F.
过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝，∴＋＝4a.
例3.已知函数f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－1] B.[12，＋∞)
C.[－1，12] D.
答案 D
例4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝________.
答案
解析 令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，且cos A＝cos C＝，
代入所求式子，得＝＝.
五、命题的等价转化
将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化.
例5.由命题“存在x0∈R，使－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是( )
A.(－∞，1) B.(－∞，2)
C.1 D.2
答案 C
解析 命题“存在x0∈R，使－m≤0”是假命题，
可知它的否定形式“任意x∈R，e|x－1|－m>0”是真命题，
可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.
例6.如图所示，已知三棱锥P－ABC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥P－ABC的体积为( )
A.40 B.80
C.160 D.240
答案 C
解析 因为三棱锥P－ABC的三组对棱两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P－ABC补成一个长方体AEBG－FPDC，
可知三棱锥P－ABC的各棱分别是此长方体的面对角线.
不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，
则由已知，可得解得
从而知VP－ABC＝VAEBG－FPDC－VP－AEB－VC－ABG－VB－PDC－VA－FPC＝VAEBG－FPDC－4VP－AEB＝6×8×10－4××6×8×10＝160.
例7.对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是________________.
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，
则当x＝1时，f(p)＝0，所以x≠1.
f(p)在[0，4]上恒为正等价于
即解得x>3或x<－1.
例8.如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝1，那么的取值范围是________.
答案
解析 设k＝，则y表示点P(1，－3)和圆(x－2)2＋y2＝1上的点的连线的斜率(如图).从图中可知，当过P的直线与圆相切时斜率取最值，此时对应的直线斜率分别为kPB和kPA，其中kPB不存在.由圆心C(2，0)到直线y＝kx－(k＋3)的距离＝r＝1，解得k＝，所以的取值范围是.
题型六、 函数、方程、不等式之间的转化
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的协作.
例9.已知函数f(x)＝lg，若对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________.
答案 (2，＋∞)
解析 根据题意，得x＋－2>1在[2，＋∞)上恒成立，即a>－x2＋3x在[2，＋∞)上恒成立，
又当x＝2时，(－x2＋3x)max＝2，所以a>2.
例10.在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________.
答案 [－5，1]
解析 方法一 因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，
所以设P点坐标为(x，±)(－5≤x≤5).
因为A(－12，0)，B(0，6)，
所以＝(－12－x，－)或＝(－12－x，)，
＝(－x，6－)或＝(－x，6＋).
因为·≤20，先取P(x，)进行计算，
所以(－12－x)·(－x)＋(－)(6－)≤20，即2x＋5≤.
当2x＋5<0，即x<－时，上式恒成立.
当2x＋5≥0，即x≥－时，(2x＋5)2≤50－x2，
解得－≤x≤1，故x≤1.
同理可得P(x，－)时，x≤－5.
又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1.
故点P的横坐标的取值范围为[－5，1].
方法二 设P(x，y)，
则＝(－12－x，－y)，＝(－x，6－y).
∵·≤20，
∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，
即2x－y＋5≤0.
如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，
∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，
∴点P在上.
由得F点的横坐标为1，
又D点的横坐标为－5，
∴P点的横坐标的取值范围为[－5，1].
例11.已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数.对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________.
例12.已知函数f(x)＝ln x.若不等式mf(x)≥a＋x对所有m∈[0，1]，x∈都成立，则实数a的取值范围为________.
答案 (－∞，－e2]
解析 由题意得，a≤mln x－x对所有的m∈[0，1]，x∈都成立，
令H(m)＝ln x·m－x，m∈[0，1]，x∈是关于m的一次函数，
因为x∈，所以－1≤ln x≤2，
所以所以所以
令g(x)＝ln x－x，所以g′(x)＝，
所以函数g(x)在上是增函数，在[1，e2]上是减函数，
所以g(x)min＝g(e2)＝2－e2，所以a≤2－e2.
综上知a≤－e2.
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分类讨论思想、转化与化归思想
1.如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么( )
A.a1a8>a4a5 B.a1a8C.a1＋a8>a4＋a5 D.a1a8＝a4a5
答案 B
解析 取特殊数列1，2，3，4，5，6，7，8，显然只有1×8<4×5成立，即a1a82.设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A. B.[0，1] C. D.[1， ＋∞)
答案 C
解析 由f(f(a))＝2f(a)得f(a)≥1.
当a<1时，有3a－1≥1，
∴a≥，∴≤a<1；
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥，故选C.
3.过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案 C
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是( )
A.等差数列 B.等比数列
C.等差数列或等比数列 D.以上都不对
答案 D
解析 ∵Sn＝pn－1，
∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，
当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列；
当p＝1时，{an}是等差数列；
当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列.
5.如图，在棱长为5的正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，点Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积( )
A.是变量且有最大值
B.是变量且有最小值
C.是变量且有最大值和最小值
D.是常数
答案 D
解析 点Q到棱AB的距离为常数，所以△EFQ的面积为定值.由C1D1∥EF，C1D1?平面EFQ，EF?平面EFQ，可得棱C1D1∥平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数，于是可得四面体PQEF的体积为常数.
6. 设点P(x，y)满足约束条件则－的取值范围是( )
A. B. C. D.[－1，1]
答案 B
解析 作出不等式组所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A(2，1)，B(1，2)，令t＝，f(t)＝t－，根据t的几何意义可知，t为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA，OB，显然OA的斜率最小，OB的斜率2最大，即≤t≤2.由于函数f(t)＝t－在上单调递增，故－≤f(t)≤，即－的取值范围是.
7.已知函数f(x)＝若f(x)－f(－x)＝0有四个不同的实根，则m的取值范围是( )
A.(0，2e) B.(0，e)
C.(0，1) D.
答案 D
8.已知函数f(x)＝x(ex－e－x)－cos x的定义域为[－3，3]，则不等式f(x2＋1)>f(－2)的解集为( )
A.[－，－1] B.[－，]
C.[－，－1)∪(1，] D.(－，－1)∪(1，)
答案 C
解析 因为f(－x)＝－x(e－x－ex)－cos(－x)＝x(ex－e－x)－cos x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，令g(x)＝x，易知g(x)在[0，3]上为增函数，令h(x)＝－cos x，易知h(x)在[0，3]上为增函数，故函数f(x)＝x(ex－e－x)－cos x在[0，3]上为增函数，所以f(x2＋1)>f(－2)可变形为f(x2＋1)>f(2)，所以2f(－2)的解集为[－，－1)∪(1，].
9.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________.
答案 －
解析 当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得无解.当010.设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则的值为________.
答案 或2
解析 若∠PF2F1＝90°，
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
又|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
所以|PF1|＝，|PF2|＝，所以＝.
若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
所以|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，且|PF1|>|PF2|，
所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.
综上知，＝或2.
11.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.
答案 4 2
解析 设a，b的夹角为θ，
∵|a|＝1，|b|＝2，
∴|a＋b|＋|a－b|＝＋＝＋.
令y＝＋，
则y2＝10＋2.
∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0，1]，
∴y2∈[16，20]，
∴y∈[4，2]，即|a＋b|＋|a－b|∈[4，2].
∴|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2.
12.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2＝120°，则椭圆C离心率的取值范围是______________.
答案
解析 当点P在短轴端点时，∠F1PF2达到最大值，
即∠F1BF2≥120°时，椭圆上存在点P使得∠F1PF2＝120°，
当∠F1BF2＝120°时，e＝＝sin 60°＝，
而椭圆越扁，∠F1BF2才可能越大，
椭圆越扁，则其离心率越接近1，
所以椭圆C离心率的取值范围是.
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