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课时跟踪检测（二十二）
基本初等函数、函数与方程
（小题练）
A级——12＋4提速练
一、选择题
1．(2018·河北监测)设a＝log32，b＝ln
2，c＝5，则( )
A．a
B．bC．cD．c解析：选C 因为c＝5＝<，a＝log32＝2＝b，a＝log32>log3＝，所以c2．(2018·郑州质量预测)已知函数f(x)＝x－cos
x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C 作出g(x)＝x与h(x)＝cos
x的图象(图略)，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.
3．若函数f(x)＝(x2＋1)·是奇函数，则m的值是( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析：选B 设g(x)＝x2＋1，h(x)＝，易知g(x)＝x2＋1是偶函数，则依题意可得h(x)＝是奇函数，故h(－x)＝＝－h(x)＝－，化简得2x＋m＝m·2x＋1，解得m＝1.选B.
4．若函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(0，＋∞)
解析：选A ∵函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点，∴方程m＋log2x＝0在x≥1时有解，∴m＝－log2x≤－log21＝0.
5．已知实数a＝log23，b＝2，c＝log，则它们的大小关系为( )
A．a>c>b
B．c>a>b
C．a>b>c
D．b>c>a
解析：选B 由对数函数的性质知1log＝3>2，
又b＝2＝<1，从而c>a>b.故选B.
6．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )
A．(0,1)
B．(0,1)∪(1,2)
C．(1,2)
D．[2，＋∞)
解析：选C 当a>1时，若y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0中Δ<0，即a2－4<0，∴2>a>1.当1>a>0时，若y有最小值，则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，选C.
7．若a＝2x，b＝logx，则“a>b”是“x>1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 如图，x＝x0时，a＝b，∴若a>b，则得到x>x0，且x0<1，∴a>b不一定得到x>1，充分性不成立；若x>1，则由图象得到a>b，必要性成立．∴“a>b”是“x>1”的必要不充分条件．故选B.
8．(2018·广东汕头模拟)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f(x)－f(－x)＝0，当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若g(x)＝f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上有三个零点，则a的取值范围为( )
A．[3,5]
B．[4,6]
C．(3,5)
D．(4,6)
解析：选C ∵f(x)－f(－x)＝0，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f(x)的图象如图所示：
∵g(x)＝f(x)－logax在(0，＋∞)上有三个零点，
∴y＝f(x)和y＝logax的图象在(0，＋∞)上有三个交点，作出函数y＝logax的图象，如图，
∴解得39．(2018·郑州模拟)设m∈N，若函数f(x)＝2x－m＋10存在整数零点，则符合条件的m的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：选C 由f(x)＝0得m＝
.又m∈N，因此有解得－5≤x<10，x∈Z，∴x＝－5，－4，－3，…，1,2,3，…，8,9，将它们分别代入m＝，一一验证得，符合条件的m的取值为0,4,11,28，共4个，故选C.
10．(2018·唐山模拟)奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝( )
A．3
B．7
C．10
D．14
解析：选C 由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，g＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，f＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7.又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3.所以m＋n＝10，选C.
11．(2018·成都模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[1,2]时，f(x)＝ln
x．则直线x－5y＋3＝0与曲线y＝f(x)的交点个数为(参考数据：ln
2≈0.69，ln
3≈1.10)( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选B 由f(1－x)＝f(1＋x)知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又当x∈[1,2]时，f(x)＝ln
x，则当x∈[0,1]时，f(x)＝ln(2－x)．由f(x)是定义在R上的偶函数，得f(－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝f(x)，于是f(x)是周期为2的周期函数，值域为[0，ln
2]，从而可以画出函数f(x)的大致图象(如图所示)，
然后画出直线y＝g(x)＝x＋.当x＝－3时，f(－3)＝f(3)＝f(1)＝0，g(－3)＝×(－3)＋＝0，此时有一个交点；当x＝0时，f(0)＝f(2)＝ln
2≈0.69，g(0)＝＝0.6，g(0)2≈0.69，g(2)＝1，g(2)>f(2)，于是根据图象，直线x－5y＋3＝0与曲线y＝f(x)的交点个数为4，故选B.
12．(2019届高三·福州四校联考)已知函数f(x)＝若F(x)＝f[f(x)＋1]＋m有两个零点x1，x2，则x1·x2的取值范围是( )
A．[4－2ln
2，＋∞)
B．(，＋∞)
C．(－∞，4－2ln
2]
D．(－∞，)
解析：选D 因为函数f(x)＝所以F(x)＝由F(x)＝0得，x1＝ee－m－1，x2＝4－2e－m，由得m，所以x1·x2＝2et－1(2－t)，设g(t)＝2et－1·(2－t)，则g′(t)＝2et－1(1－t)，因为t>，所以g′(t)＝2et－1(1－t)<0，即函数g(t)＝2et－1(2－t)在区间上是减函数，所以g(t)二、填空题
13．(2018·南宁、柳州模拟)已知函数f(x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x≤0，,logx，x>0，))则f＋f＝________.
解析：由题可知f＝log＝2，因为log2<0，所以f＝＝2log26＝6，故f＋f＝8.
答案：8
14．(2018·福建模拟)已知函数f(x)＝有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：当x<1时，令ln(1－x)＝0，解得x＝0，故f(x)在(－∞，1)上有1个零点，
∴f(x)在[1，＋∞)上有1个零点．
当x≥1时，令－a＝0，得a＝≥1.
∴实数a的取值范围是[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
15．已知函数f(x)为偶函数且f(x)＝f(x－4)，又在区间[0,2]上f(x)＝函数g(x)＝|x|＋a，若F(x)＝f(x)－g(x)恰有2个零点，则a＝________.
解析：由题意可知f(x)是周期为4的偶函数，画出函数f(x)与g(x)的大致图象，如图，由图可知若F(x)＝f(x)－g(x)恰有2个零点，则有g(1)＝f(1)，解得a＝2.
答案：2
16．(2018·贵州模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg
A－lg
A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．
解析：根据题意有lg
A＝lg
A0＋lg
10M＝lg(A0·10M)，所以A＝A0·10M，则＝100.
答案：100
B级——难度小题强化练
1．(2018·武汉模拟)已知x，y∈R，且x>y>0，若a>b>1，则一定有( )
A.>
B．sin
ax>sin
by
C．logax>logby
D．ax>by
解析：选D 对于A选项，不妨令x＝8，y＝3，a＝5，b＝4，显然＝<＝，A选项错误；
对于B选项，不妨令x＝π，y＝，a＝2，b＝，此时sin
ax＝sin
2π＝0，sin
by＝sin＝，显然sin
axby，B选项错误；
对于C选项，不妨令x＝5，y＝4，a＝3，b＝2，此时logax＝log35，logby＝log24＝2，显然logax对于D选项，∵a>b>1，∴当x>0时，ax>bx，又x>y>0，∴当b>1时，bx>by，∴ax>by，D选项正确．
综上，选D.
2．(2018·南昌调研)已知函数f(x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝ln
x－，若f(x1)＝g(x2)＝0，则( )
A．0B．f(x2)C．f(x2)<0D．g(x1)<0解析：选D 易知f(x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝ln
x－在各自的定义域内是增函数，而f(0)＝e－1＋0－4＝－4<0，f(1)＝e0＋4×1－4＝1>0，g(1)＝ln
1－＝－1<0，g(2)＝ln
2－＝ln>ln
1＝0.又f(x1)＝g(x2)＝0，所以0f(1)>0，g(x1)3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(log x＋1 ，x∈[0，1 ，,1－|x－3|，x∈[1，＋∞ ，))则关于x的函数f(x)＝f(x)－a(0A．2a－1
B．2－a－1
C．1－2－a
D．1－2a
解析：选D 因为f(x)为R上的奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(－log －x＋1 ，x∈ －1，0 ，,－1＋|－x－3|，x∈ －∞，－1]，))画出函数y＝f(x)的图象和直线y＝a(0由图可知，函数y＝f(x)与直线y＝a(04．(2019届高三·湘东五校联考)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且满足①f(4)＝0；②曲线y＝f(x＋1)关于点(－1,0)对称；③当x∈(－4,0)时f(x)＝log2.若y＝f(x)在x∈[－4,4]上有5个零点，则实数m的取值范围为( )
A．[－3e－4,1)
B．[－3e－4,1)∪{－e－2}
C．[0,1)∪{－e－2}
D．[0,1)
解析：选B ∵曲线y＝f(x＋1)关于点(－1,0)对称，∴曲线y＝f(x)关于点(0,0)对称，∴f(x)在R上是奇函数，则f(0)＝0.又f(4)＝0，∴f(－4)＝0，而y＝f(x)在x∈[－4,4]上有5个零点，故当x∈(－4,0)时，f(x)＝log2有1个零点，而此时f(x)＝log2＝log2＝log2(xex＋ex－m＋1)，故xex＋ex－m＋1＝1在x∈(－4，0)上有1个解．令g(x)＝xex＋ex－m，则g′(x)＝ex＋xex＋ex＝ex(x＋2)，故g(x)在(－4，－2)上是减函数，在(－2,0)上是增函数．而g(－4)＝－4e－4＋e－4－m＝－3e－4－m，g(0)＝1－m，g(－2)＝－2e－2＋e－2－m＝－e－2－m，而g(－4)5．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．
解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，
当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，
因此函数f(x)的最小值为－.
答案：－
6．已知函数f(x)＝在[0,1]上单调递增，则a的取值范围为________．
解析：令2x＝t，t∈[1,2]，则y＝在[1,2]上单调递增．当a＝0时，y＝|t|＝t在[1,2]上单调递增显然成立；当a>0时，函数y＝，t∈(0，＋∞)的单调递增区间是[，＋∞)，此时≤1，即0答案：[－1,1]第二讲
小题考法——基本初等函数、函数与方程
考点(一)基本初等函数的图象与性质
主要考查指数函数、对数函数、幂函数的图象辨析以及指数式、对数式的 比较大小问题.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·武汉华中师大附中诊断)已知函数f(x)＝则f(1－x)的大致图象是( )
(2)(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( )
A．a＋b
B．abC．a＋b<0D．ab<0[解析] (1)画出函数f(x)＝的图象(图略)，可知f(1－x)的图象与函数f(x)的图象关于直线x＝对称，利用对称性即可求得选项D正确．
(2)∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，b＝log20.3∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，
∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，
∴0<<1，∴ab[答案] (1)D (2)B
[方法技巧]
3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题
(1)底数相同，指数不同的幂函数值用指数函数的单调性进行比较．
(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较．
(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．
[演练冲关]
1．(2017·北京高考)已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)( )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
解析：选A 因为f(x)＝3x－x，且定义域为R，
所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－x在R上是增函数．
2．(2018·洛阳模拟)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c>b>a
B．b>c>a
C．a>c>b
D．a>b>c
解析：选D 因为a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，因为log32>log52>log72，所以a>b>c，故选D.
3．已知函数f(x)＝·x，m，n为实数，则下列结论中正确的是( )
A．若－3≤mB．若mC．若f(m)D．若f(m)解析：选C ∵f(x)的定义域为R，其定义域关于原点对称，f(－x)＝·(－x)＝·x＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数，又x>0时，2x－与x是增函数，且函数值为正，∴函数f(x)＝·x在(0，＋∞)上是增函数，由偶函数的性质知，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值越小，函数值就越小，反之也成立．对于选项A，无法判断m，n离原点的远近，故A错误；对于选项B，|m|>|n|，∴f(m)>f(n)，故B错误；对于选项C，由f(m)4.(2018·西安八校联考)如图所示，已知函数y＝log24x图象上的两点A，B和函数y＝log2x图象上的点C，线段AC平行于y轴，当△ABC为正三角形时，点B的横坐标为________．
解析：依题意，当AC∥y轴，△ABC为正三角形时，|AC|＝log24x－log2x＝2，点B到直线AC的距离为，设点B(x0,2＋log2x0)，则点A(x0＋，3＋log2x0)．由点A在函数y＝log24x的图象上，得log2[4(x0＋)]＝3＋log2x0＝log28x0，则4(x0＋)＝8x0，x0＝，即点B的横坐标是.
答案：
考点(二)函数的零点
主要考查利用函数零点存在性定理或数形结合法确定函数零点的个数或其存在范围，以及应用零点求参数的值 或范围 .
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·惠州模拟)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝则函数g(x)＝xf(x)－1在[－6，＋∞)上的所有零点之和为( )
A．8
B．32
C.
D．0
(2)(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．
(3)(2018·沈阳教学质量监测)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝ax＋1恰有一个解，则实数a的取值范围是________________．
[解析] (1)令g(x)＝xf(x)－1＝0，则x≠0，所以函数g(x)的零点之和等价于函数y＝f(x)的图象和y＝的图象的交点的横坐标之和，分别作出x>0时，y＝f(x)和y＝的大致图象，如图所示，
由于y＝f(x)和y＝的图象都关于原点对称，因此函数g(x)在[－6,6]上的所有零点之和为0，而当x＝8时，f(x)＝，即两函数的图象刚好有1个交点，
且当x∈(8，＋∞)时，y＝的图象都在y＝f(x)的图象的上方，
因此g(x)在[－6，＋∞)上的所有零点之和为8.选A.
(2)当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝0.
∵x∈[0，π]，∴3x＋∈，
∴当3x＋取值为，，时，f(x)＝0，
即函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为3.
(3)如图，当直线y＝ax＋1过点B(2,2)时，a＝，方程有两个解；
当直线y＝ax＋1与f(x)＝2(x≥2)的图象相切时，a＝，方程有两个解；
当直线y＝ax＋1过点A(1,2)时，a＝1，方程恰有一个解．
故实数a的取值范围为∪.
[答案] (1)A (2)3 (3)∪
[方法技巧]
1．判断函数零点个数的3种方法
直接法
直接求零点，令f(x)＝0，则方程解的个数即为函数零点的个数
定理法
利用零点存在性定理，利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在，必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点
数形结合法
对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题
2.利用函数零点的情况求参数的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
[演练冲关]
1．函数y＝|log2x|－x的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：选C 令y＝|log2x|－x＝0，即|log2x|＝x，在同一平面直角坐标系中作出y＝|log2x|和y＝x的图象(图略)，由图象可知这两个函数的图象有两个交点，即所求零点个数为2.
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0)
B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：选C 令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.
3．(2018·石家庄模拟)已知M是函数f(x)＝|2x－3|－8sin
πx(x∈R)的所有零点之和，则M的值为( )
A．3
B．6
C．9
D．12
解析：选D 将函数f(x)＝|2x－3|－8sin
πx的零点转化为函数h(x)＝|2x－3|与g(x)＝8sin
πx图象交点的横坐标．在同一直角坐标系中，画出函数h(x)与g(x)的图象，如图，因为函数h(x)与
g(x)的图象都关于直线x＝对称，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f(x)的所有零点之和M＝8×＝12，故选D.
4．已知关于x的方程|2x－10|＝a有两个不同的实根x1，x2，且x2＝2x1，则实数a＝________.
解析：构造函数f(x)＝|2x－10|＝
由已知得10－2x1＝2x2－10.
又x2＝2x1，代入整理得22x1＋2x1－20＝0，
解得x1＝2，
所以a＝|22－10|＝6.
答案：6
[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干
[主干知识要记牢]
1．指数函数与对数函数的对比表
解析式
y＝ax(a＞0且a≠1)
y＝logax(a＞0且a≠1)
图象
定义域
R
(0，＋∞)
值域
(0，＋∞)
R
单调性
0＜a＜1时，在R上是减函数；a＞1时，在R上是增函数
0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数；a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数
两图象的对称性
关于直线y＝x对称
2.方程的根与函数的零点
(1)方程的根与函数零点的关系
由函数零点的定义，可知函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
(2)函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数根．
[针对练1] 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A.
B．
C.
D.
解析：选C 因为f＝e＋4×－3＝e－2<0，f＝e＋4×－3＝e－1>0，f·f<0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为.
[易错易混要明了]
1．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如讨论函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性时忽视字母a的取值范围，忽视ax>0；研究对数函数y＝logax(a>0，a≠1)时忽视真数与底数的限制条件．
2．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．
3．函数f(x)＝ax2＋bx＋c有且只有一个零点，要注意讨论a是否为零．
[针对练2] 函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围为________．
解析：当m＝0时，f(x)＝－2x＋1，则x＝为函数的零点．当m≠0时，若Δ＝4－4m＝0，即当m＝1时，x＝1是函数唯一的零点．若Δ＝4－4m≠0，即m≠1时，显然x＝0不是函数的零点．这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)＝mx2－2x＋1有一个正根一个负根．因此<0.则m<0.综上知实数m的取值范围是(－∞，0]∪{1}．
答案：(－∞，0]∪{1}
A级——12＋4提速练
一、选择题
1．(2018·河北监测)设a＝log32，b＝ln
2，c＝5，则( )
A．aB．bC．cD．c解析：选C 因为c＝5＝<，a＝log32＝2＝b，a＝log32>log3＝，所以c2．(2018·郑州质量预测)已知函数f(x)＝x－cos
x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C 作出g(x)＝x与h(x)＝cos
x的图象(图略)，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.
3．若函数f(x)＝(x2＋1)·是奇函数，则m的值是( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析：选B 设g(x)＝x2＋1，h(x)＝，易知g(x)＝x2＋1是偶函数，则依题意可得h(x)＝是奇函数，故h(－x)＝＝－h(x)＝－，化简得2x＋m＝m·2x＋1，解得m＝1.选B.
4．若函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(0，＋∞)
解析：选A ∵函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点，∴方程m＋log2x＝0在x≥1时有解，∴m＝－log2x≤－log21＝0.
5．已知实数a＝log23，b＝2，c＝log，则它们的大小关系为( )
A．a>c>b
B．c>a>b
C．a>b>c
D．b>c>a
解析：选B 由对数函数的性质知1log＝3>2，又b＝2＝<1，从而c>a>b.故选B.
6．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )
A．(0,1)
B．(0,1)∪(1,2)
C．(1,2)
D．[2，＋∞)
解析：选C 当a>1时，若y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0中Δ<0，即a2－4<0，∴2>a>1.当1>a>0时，若y有最小值，则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，选C.
7．若a＝2x，b＝logx，则“a>b”是“x>1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 如图，x＝x0时，a＝b，∴若a>b，则得到x>x0，且x0<1，∴a>b不一定得到x>1，充分性不成立；若x>1，则由图象得到a>b，必要性成立．∴“a>b”是“x>1”的必要不充分条件．故选B.
8．(2018·广东汕头模拟)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f(x)－f(－x)＝0，当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若g(x)＝f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上有三个零点，则a的取值范围为( )
A．[3,5]
B．[4,6]
C．(3,5)
D．(4,6)
解析：选C ∵f(x)－f(－x)＝0，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f(x)的图象如图所示：
∵g(x)＝f(x)－logax在(0，＋∞)上有三个零点，
∴y＝f(x)和y＝logax的图象在(0，＋∞)上有三个交点，作出函数y＝logax的图象，如图，
∴解得39．(2018·郑州模拟)设m∈N，若函数f(x)＝2x－m＋10存在整数零点，则符合条件的m的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：选C 由f(x)＝0得m＝
.又m∈N，因此有解得－5≤x<10，x∈Z，∴x＝－5，－4，－3，…，1,2,3，…，8,9，将它们分别代入m＝，一一验证得，符合条件的m的取值为0,4,11,28，共4个，故选C.
10．(2018·唐山模拟)奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝( )
A．3
B．7
C．10
D．14
解析：选C 由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，g＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，f＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7.又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3.所以m＋n＝10，选C.
11．(2018·成都模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[1,2]时，f(x)＝ln
x．则直线x－5y＋3＝0与曲线y＝f(x)的交点个数为(参考数据：ln
2≈0.69，ln
3≈1.10)( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选B 由f(1－x)＝f(1＋x)知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又当x∈[1,2]时，f(x)＝ln
x，则当x∈[0,1]时，f(x)＝ln(2－x)．由f(x)是定义在R上的偶函数，得f(－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝f(x)，于是f(x)是周期为2的周期函数，值域为[0，ln
2]，从而可以画出函数f(x)的大致图象(如图所示)，
然后画出直线y＝g(x)＝x＋.当x＝－3时，f(－3)＝f(3)＝f(1)＝0，g(－3)＝×(－3)＋＝0，此时有一个交点；当x＝0时，f(0)＝f(2)＝ln
2≈0.69，g(0)＝＝0.6，g(0)2≈0.69，g(2)＝1，g(2)>f(2)，于是根据图象，直线x－5y＋3＝0与曲线y＝f(x)的交点个数为4，故选B.
12．(2019届高三·福州四校联考)已知函数f(x)＝若F(x)＝f[f(x)＋1]＋m有两个零点x1，x2，则x1·x2的取值范围是( )
A．[4－2ln
2，＋∞)
B．(，＋∞)
C．(－∞，4－2ln
2]
D．(－∞，)
解析：选D 因为函数f(x)＝所以F(x)＝由F(x)＝0得，x1＝ee－m－1，x2＝4－2e－m，由得m，所以x1·x2＝2et－1(2－t)，设g(t)＝2et－1·(2－t)，则g′(t)＝2et－1(1－t)，因为t>，所以g′(t)＝2et－1(1－t)<0，即函数g(t)＝2et－1(2－t)在区间上是减函数，所以g(t)二、填空题
13．(2018·南宁、柳州模拟)已知函数f(x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x≤0，,logx，x>0，))则f＋f＝________.
解析：由题可知f＝log＝2，因为log2<0，所以f＝＝2log26＝6，故f＋f＝8.
答案：8
14．(2018·福建模拟)已知函数f(x)＝有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：当x<1时，令ln(1－x)＝0，解得x＝0，故f(x)在(－∞，1)上有1个零点，
∴f(x)在[1，＋∞)上有1个零点．
当x≥1时，令－a＝0，得a＝≥1.
∴实数a的取值范围是[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
15．已知函数f(x)为偶函数且f(x)＝f(x－4)，又在区间[0,2]上f(x)＝函数g(x)＝|x|＋a，若F(x)＝f(x)－g(x)恰有2个零点，则a＝________.
解析：由题意可知f(x)是周期为4的偶函数，画出函数f(x)与g(x)的大致图象，如图，由图可知若F(x)＝f(x)－g(x)恰有2个零点，则有g(1)＝f(1)，解得a＝2.
答案：2
16．(2018·贵州模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg
A－lg
A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．
解析：根据题意有lg
A＝lg
A0＋lg
10M＝lg(A0·10M)，所以A＝A0·10M，则＝100.
答案：100
B级——难度小题强化练
1．(2018·武汉模拟)已知x，y∈R，且x>y>0，若a>b>1，则一定有( )
A.>
B．sin
ax>sin
by
C．logax>logby
D．ax>by
解析：选D 对于A选项，不妨令x＝8，y＝3，a＝5，b＝4，显然＝<＝，A选项错误；
对于B选项，不妨令x＝π，y＝，a＝2，b＝，此时sin
ax＝sin
2π＝0，sin
by＝sin＝，显然sin
axby，B选项错误；
对于C选项，不妨令x＝5，y＝4，a＝3，b＝2，此时logax＝log35，logby＝log24＝2，显然logax对于D选项，∵a>b>1，∴当x>0时，ax>bx，又x>y>0，∴当b>1时，bx>by，∴ax>by，D选项正确．
综上，选D.
2．(2018·南昌调研)已知函数f(x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝ln
x－，若f(x1)＝g(x2)＝0，则( )
A．0B．f(x2)C．f(x2)<0D．g(x1)<0解析：选D 易知f(x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝ln
x－在各自的定义域内是增函数，而f(0)＝e－1＋0－4＝－4<0，f(1)＝e0＋4×1－4＝1>0，g(1)＝ln
1－＝－1<0，g(2)＝ln
2－＝ln>ln
1＝0.又f(x1)＝g(x2)＝0，所以0f(1)>0，g(x1)3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(log x＋1 ，x∈[0，1 ，,1－|x－3|，x∈[1，＋∞ ，))则关于x的函数f(x)＝f(x)－a(0A．2a－1
B．2－a－1
C．1－2－a
D．1－2a
解析：选D 因为f(x)为R上的奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(－log －x＋1 ，x∈ －1，0 ，,－1＋|－x－3|，x∈ －∞，－1]，))画出函数y＝f(x)的图象和直线y＝a(0由图可知，函数y＝f(x)与直线y＝a(04．(2019届高三·湘东五校联考)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且满足①f(4)＝0；②曲线y＝f(x＋1)关于点(－1,0)对称；③当x∈(－4,0)时f(x)＝log2.若y＝f(x)在x∈[－4,4]上有5个零点，则实数m的取值范围为( )
A．[－3e－4,1)
B．[－3e－4,1)∪{－e－2}
C．[0,1)∪{－e－2}
D．[0,1)
解析：选B ∵曲线y＝f(x＋1)关于点(－1,0)对称，∴曲线y＝f(x)关于点(0,0)对称，∴f(x)在R上是奇函数，则f(0)＝0.又f(4)＝0，∴f(－4)＝0，而y＝f(x)在x∈[－4,4]上有5个零点，故当x∈(－4,0)时，f(x)＝log2有1个零点，而此时f(x)＝log2＝log2＝log2(xex＋ex－m＋1)，故xex＋ex－m＋1＝1在x∈(－4，0)上有1个解．令g(x)＝xex＋ex－m，则g′(x)＝ex＋xex＋ex＝ex(x＋2)，故g(x)在(－4，－2)上是减函数，在(－2,0)上是增函数．而g(－4)＝－4e－4＋e－4－m＝－3e－4－m，g(0)＝1－m，g(－2)＝－2e－2＋e－2－m＝－e－2－m，而g(－4)5．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．
解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，
当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，
因此函数f(x)的最小值为－.
答案：－
6．已知函数f(x)＝在[0,1]上单调递增，则a的取值范围为________．
解析：令2x＝t，t∈[1,2]，则y＝在[1,2]上单调递增．当a＝0时，y＝|t|＝t在[1,2]上单调递增显然成立；当a>0时，函数y＝，t∈(0，＋∞)的单调递增区间是[，＋∞)，此时≤1，即0答案：[－1,1](共35张PPT)
考点(一)
基本初等函数的图象与性质
考点(二)
函数的零点
对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题
数形
结合法
利用零点存在性定理，利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在，必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点
定理法
直接求零点，令f(x)＝0，则方程解的个数即为函数零点的个数
直接法
必备知能·自主补缺
关于直线y＝x对称
两图象的对称性
0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数；
a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数
0＜a＜1时，在R上是减函数；
a＞1时，在R上是增函数
单调性
R
(0，＋∞)
值域
(0，＋∞)
R
定义域
图象
y＝logax(a＞0且a≠1)
y＝ax(a＞0且a≠1)
解析式
“课时跟踪检测”见
“课时跟踪检测(二十二)”
单击进入电子文档
2
y
01
y
x=1
a>1
0