(共48张PPT)
不等式的性质及解法
考点(一)
给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断
特殊值
验证法
当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断
函数单
调性法
把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断
不等式
性质法
考点(二)
基本不等式及其应用
考点(三)
简单的线性规划问题
一等奖奖品
二等奖奖品
甲
500
400
乙
800
600
甲
乙
原料限额
A/吨
3
2
12
B/吨
1
2
8
必备知能·自主补缺
“课时跟踪检测”见
“课时跟踪检测(二十三)”
单击进入电子文档
凑项
通过调整项的符号,配凑项的系数,使其积
或和为定值
若无法直接运用基本不等式求解,通过凑系
凑系数
数后可得到和或积为定值,从而可利用基本
不等式求最值
分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将
换元
一式子分开或将分母换元后将式子分开,再利
用基本不等式求最值
作
出约束条件所确定的可行域和目标函数所表示的
面直线系中的任意一条直线L
移/将平行移动,以确定最优解所对应的点的位置有
需要对目标函数L和可行域边界的斜率的大小进行比较
求值解有关方程组求出最优解的坐标,再代入目标函数
求出目标函数的最值第三讲
小题考法——不等式
考点(一)不等式的性质及解法
主要考查利用不等式的性质比较大小以及一元二次不等式的求解，有时会考查含参不等式恒成立时参数值 或范围 的求解.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·岳阳模拟)若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2
B．abC．a＋b<0
D．|a|＋|b|>|a＋b|
(2)(2018·河北正定期中)关于x的一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则不等式ax2＋bx－2<0的解集为( )
A．(－3,1)
B．∪(2，＋∞)
C.
D．(－1,2)
(3)若不等式x2＋x－1[解析] (1)由<<0，知a<0，且b<0，则a＋b<0.而－＝>0，又ab>0，故b(2)由关于x的一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，可知方程x2＋ax＋b＝0的两实数根分别为－3,1，则解得
所以不等式ax2＋bx－2<0可化为2x2－3x－2<0，即(2x＋1)(x－2)<0，
解得－(3)原不等式可化为(1－m2)x2＋(1＋m)x－1<0.
①若1－m2＝0，则m＝1或－1.
当m＝－1时，不等式可化为－1<0，显然不等式恒成立；
当m＝1时，不等式可化为2x－1<0，解得x<，此时不等式的解集不是R，不符合题意．
②若1－m2≠0，由不等式恒成立可得
即解得m<－1或m>.
综上，m的取值范围为(－∞，－1]∪.
[答案] (1)D (2)C (3)(－∞，－1]∪
[方法技巧]
1．判断关于不等式的命题真假的3种方法
不等式性质法
把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断
函数单调性法
当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断
特殊值验证法
给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断
2.一元二次不等式恒成立问题的解题方法
(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立 f(x)min>a;
f(x)(2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立 f(x)的图象在g(x)的图象的上方或[f(x)－g(x)]min>0(x∈I)．
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常结合函数单调性、基本不等式等解题．
[演练冲关]
1．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )
A．pB．p≤q
C．p>q
D．p≥q
解析：选B p－q＝＋－a－b＝＋
＝(b2－a2)＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0，若a＝b，则p－q＝0，此时p＝q，若a≠b，则p－q<0，此时p2．(2018·湖北荆州月考)已知不等式x2－3x<0的解集是A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＝( )
A．－2
B．1
C．－1
D．2
解析：选A 解不等式x2－3x<0，得A＝{x|03．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值是________．
解析：由于x>0，则由已知可得a≥－x－在x∈上恒成立，而当x∈时，max＝－，∴a≥－，故a的最小值为－.
答案：－
考点(二)基本不等式及其应用
主要考查利用基本不等式求最值，常与函数等知识交汇命题.
[典例感悟]
[典例] (1)(2019届高三·湘中名校联考)若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为( )
A．2
B．
C.
D．1＋
(2)已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值为________．
(3)已知x＋3y＝1(x>0，y>0)，则xy的最大值是________．
[解析] (1)由a，b为正数，且＋＝1，得b＝＞0，所以a－1＞0，
所以＋＝＋＝＋≥2＝2，
当且仅当＝和＋＝1同时成立，
即a＝b＝3时等号成立，
所以＋的最小值为2.
(2)由已知得log2(m－2)＋log2(2n－2)＝3，
即log2[(m－2)(2n－2)]＝3，
因此于是n＝＋1.
所以m＋n＝m＋＋1＝m－2＋＋3≥2＋3＝7.
当且仅当m－2＝，
即m＝4时等号成立，此时m＋n取得最小值7.
(3)∵x>0，y>0，∴xy＝·x·3y≤2＝，当且仅当x＝3y＝时，等号成立，故xy的最大值是.
[答案] (1)A (2)7 (3)
[方法技巧]
利用基本不等式求最值的3种解题技巧
[演练冲关]
1．(2018·贵阳一模)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3
B．4
C.
D.
解析：选B 由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－2，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4，即x＋2y的最小值为4.
2．(2017·山东高考)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．
解析：∵直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，∴＋＝1，∵a＞0，b＞0，∴2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，∴2a＋b的最小值为8.
答案：8
3．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
解析：因为ab>0，所以≥
＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.
答案：4
4．(2018·温州一模)已知2a＋4b＝2(a，b∈R)，则a＋2b的最大值为________．
解析：2a＋4b＝2a＋22b＝2≥2，当且仅当a＝2b时，等号成立，则2a＋2b≤1＝20，所以a＋2b≤0，所以a＋2b的最大值为0.
答案：0
考点(三)简单的线性规划问题
主要考查线性约束条件、可行域等概念，考查在约束条件下最值的求法，以及已知最优解或可行域的情况求参数的值或取值范围.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
(2)(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．
(3)甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费如下表所示，则组委会定做该工艺品的费用总和最低为________元.
奖品收费(元/件)工厂
一等奖奖品
二等奖奖品
甲
500
400
乙
800
600
[解析] (1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．
由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.
作直线l0：y＝－x.平移直线l0，当直线y＝－x＋过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
(2)画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由解得∴zmin＝－5.
(3)设甲厂生产一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，x，y∈N，则乙厂生产一等奖奖品(3－x)件，二等奖奖品(6－y)件．则x，y满足设费用为z元，则z＝500x＋400y＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x－200y＋6
000，
作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示．由图象知当直线经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z最小．由解得即A(3，1)，故组委会定做该工艺品的费用总和最低为zmin＝－300×3－200×1＋6
000＝4
900(元)．
[答案] (1)6 (2)－5 (3)4
900
[方法技巧]
解决线性规划问题的3步骤
[演练冲关]
1．(2018·唐山模拟)设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋y的最小值为( )
A.
B．2
C．4
D．6
解析：选A 作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．当直线y＝－2x＋z过点C时，在y轴上的截距最小，此时z最小，
由得所以C，zmin＝2×＋＝，选择A.
2．(2019届高三·福州四校联考)设x，y满足约束条件其中a>0，若的最大值为2，则a的值为( )
A.
B．
C.
D.
解析：选C 设z＝，则y＝x，当z＝2时，y＝－x，作出x，y满足的约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，
作出直线y＝－x，易知此直线与区域的边界线2x－2y－1＝0的交点为，当直线x＝a过点时a＝，又此时直线y＝x的斜率＝－1＋的最小值为－，即z的最大值为2，符合题意，所以a的值为，故选C.
3．(2019届高三·河北五个一名校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A/吨
3
2
12
B/吨
1
2
8
A．15万元
B．16万元
C．17万元
D．18万元
解析：选D 设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知，z＝3x＋4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点M时，z＝3x＋4y取得最大值，由得∴M(2,3)，故z＝3x＋4y的最大值为18，故选D.
4．(2019届高三·山西八校联考)若实数x，y满足不等式组且3(x－a)＋2(y＋1)的最大值为5，则a＝________.
解析：设z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由z＝3(x－a)＋2(y＋1)得y＝－x＋，作出直线y＝－x，平移该直线，易知当直线过点A(1,3)时，z取得最大值，又目标函数的最大值为5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2.
答案：2
[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干
[主干知识要记牢]
1．不等式的性质
(1)a＞b，b＞c a＞c；
(2)a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；
(3)a＞b a＋c＞b＋c；
(4)a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(5)a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
(6)a＞b＞0，n∈N，n＞1 an＞bn，＞.
2．简单分式不等式的解法
(1)＞0 f(x)g(x)＞0，＜0 f(x)g(x)＜0.
(2)≥0 ≤0
(3)对于形如＞a(≥a)的分式不等式要采取：“移项—通分—化乘积”的方法转化为(1)或(2)的形式求解．
[二级结论要用好]
1．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
2．基本不等式的重要结论
(1)≥(a＞0，b＞0)．
(2)ab≤2(a，b∈R)．
(3)
≥≥(a＞0，b＞0)．
3．线性规划中的两个重要结论
(1)点M(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0(B＞0)上方(或下方) Ax0＋By0＋C＞0(或＜0)．
(2)点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l：Ax＋By＋C＝0同侧(或异侧) (Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0(或＜0)．
[易错易混要明了]
1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错．
2．解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视对系数a符号的讨论导致漏解或错解．
[针对练1] 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为(－，0)，(，0)，则ax2＋bx＋c>0的解的情况是( )
A．{x|－B．{x|x>或x<－}
C．{x|x≠±}
D．不确定，与a的符号有关
解析：选D 当a>0时，解集为x>或x<－；当a<0时，解集为－3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.
[针对练2] 不等式≥0的解集为________．
解析：≥0即解得x≥1或x<－2.
答案：{x|x≥1或x<－2}
4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值时，就不能利用基本不等式求解；求函数y＝x＋(x<0)的最值时，应先转化为y＝－再求解．
A级——12＋4提速练
一、选择题
1．(2019届高三·南宁、柳州联考)设a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确的是( )
A．ac2>bc2
B.>1
C．a－c>b－c
D．a2>b2
解析：选C a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；a>b，若b<0，则<1，故B错；a>b，不论c取何值，都有a－c>b－c，故C正确；a>b，若a，b都小于0，则a22．已知f(n)＝－n，g(n)＝n－，φ(n)＝，n∈N
，n>2，则f(n)，g(n)，φ(n)的大小关系是( )
A．φ(n)B．φ(n)≤f(n)C．f(n)<φ(n)D．f(n)≤φ(n)解析：选C f(n)＝－n＝<，g(n)＝n－＝>，所以f(n)<φ(n)3．(2018·日照二模)已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，则＋的最小值为( )
A．24
B．25
C．26
D．27
解析：选B 因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，所以2a＋3b－1＝0，a>0，b>0，即2a＋3b＝1，所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2
＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25.
4．(2018·陕西模拟)若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，可知当直线过点A(2，－1)时，z＝2x＋y取得最大值，且zmax＝2×2－1＝3.
5．不等式>0的解集为( )
A．{x|－23}
B．{x|－32}
C．{x|x<－3，或－1D．{x|x<－3，或x>2}
解析：选B >0 或解得－32.选B.
6．若函数f(x)＝则“0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当0若f(x)<0，则或解得0“07．(2018·重庆模拟)若实数x，y满足约束条件则2x＋y的最小值为( )
A．3
B．4
C．5
D．7
解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2x＋y，作出直线2x＋y＝0并平移该直线，易知当直线经过点A(1,2)时，目标函数z＝2x＋y取得最小值，且zmin＝2×1＋2＝4，故选B.
8．(2018·广东模拟)已知函数f(x)＝若f(3－a2)A．(1,3)
B．(－3,1)
C．(－2,0)
D．(－3,2)
解析：选B 如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减，∵f(3－a2)2a，解得－39．(2018·山东青岛模拟)已知a为正的常数，若不等式≥1＋－对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
解析：选C 原不等式可化为≥1＋－，令＝t，t≥1，则x＝t2－1.所以≥1＋－t＝＝对t≥1恒成立，所以≥对t≥1恒成立．又a为正的常数，所以a≤[2(t＋1)2]min＝8，故a的最大值是8.
10．(2018·池州摸底)已知a＞b＞1，且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为( )
A．3
B．
C．2
D.
解析：选A 令logab＝t，由a＞b＞1得0＜t＜1,2logab＋3logba＝2t＋＝7，得t＝，即logab＝，a＝b2，所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝2时取等号．故a＋的最小值为3.
11．(2019届高三·湖北八校联考)已知关于x的不等式ax2－ax－2a2>1(a>0，a≠1)的解集为(－a,2a)，且函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围为( )
A．(－1,0)
B．[－1,0]
C．(0,1]
D．[－1,1]
解析：选B 当a>1时，由题意可得x2－ax－2a2>0的解集为(－a,2a)，这显然是不可能的．当0x2＋2mx－m≥0，即x2＋2mx－m≥0恒成立，故对于方程x2＋2mx－m＝0，有Δ＝4m2＋4m≤0，解得－1≤m≤0.
12．(2018·郑州模拟)若变量x，y满足条件则xy的取值范围是( )
A．[0,5]
B．
C.
D．[0,9]
解析：选D 依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，xy的最小值为0(当x＝1，y＝0时取得)；xy≤x(6－x)≤2＝9，即xy≤9，当x＝3，y＝3时取等号，即xy的最大值为9，故选D.
二、填空题
13．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
解析：由x>a，知x－a>0，则2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2
＋2a＝4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，解得a≥，即实数a的最小值为.
答案：
14．(2018·长春模拟)已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．
解析：设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n－m)β，则解得因为－<α－β<，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.
答案：(－π，2π)
15．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x＋y＝z过点A时z取得最大值．
由得点A(5,4)，∴zmax＝5＋4＝9.
答案：9
16．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的图象在x轴上方，且与x轴相切，因此有Δ＝a2－4b＝0，即b＝，∴f(x)＝x2＋ax＋b＝x2＋ax＋＝2.∴f(x)＝2答案：9
B级——难度小题强化练
1．(2018·合肥二模)若关于x的不等式x2＋ax－2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：选A 法一：因为x∈[1,4]，则不等式x2＋ax－2＜0可化为a＜＝－x，设f(x)＝－x，x∈[1,4]，由题意得只需a＜f(x)max，因为函数f(x)为区间[1,4]上的减函数，所以f(x)max＝f(1)＝1，故a＜1.
法二：设g(x)＝x2＋ax－2，函数g(x)的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g(x)＜0在区间[1,4]上有解，所以g(1)＜0，解得a＜1.
2．(2018·衡水二模)若关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最小值是( )
A.
B．
C.
D.
解析：选C ∵关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，∴Δ＝16a2－12a2＝4a2＞0，又x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝，当且仅当a＝时取等号．∴x1＋x2＋的最小值是.
3．(2018·沈阳一模)设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A [1,3]，则a的取值范围为( )
A.
B．
C.
D．[－1,3]
解析：选A 设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A [1,3]，所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0，若A＝ ，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－14．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克，B原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )
A．1
800元
B．2
100元
C．2
400元
D．2
700元
解析：选C 设生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，每天的利润为z元．根据题意，有z＝300x＋400y.作出所表示的可行域，
如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A(0,6)时，z有最大值，zmax＝400×6＝2
400，故选C.
5．当x∈(0,1)时，不等式≥m－恒成立，则m的最大值为________．
解析：由已知不等式可得m≤＋，∵x∈(0,1)，∴1－x∈(0,1)，∵x＋(1－x)＝1，∴＋＝[x＋(1－x)]＝5＋＋≥5＋2
＝9，当且仅当＝，即x＝时取等号，∴m≤9，即实数m的最大值为9.
答案：9
6．(2018·洛阳尖子生统考)已知x，y满足条件则的取值范围是________．
解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，＝1＋2×，表示可行域中的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率．由图可知，当x＝0，y＝3时，取得最大值，且max＝9.因为点P(－1，－1)在直线y＝x上，所以当点(x，y)在线段AO上时，取得最小值，且min＝3.所以的取值范围是[3,9]．
答案：[3,9]PAGE
课时跟踪检测（二十三）
不
等
式（小题练）
A级——12＋4提速练
一、选择题
1．(2019届高三·南宁、柳州联考)设a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确的是( )
A．ac2>bc2
B.>1
C．a－c>b－c
D．a2>b2
解析：选C a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；a>b，若b<0，则<1，故B错；a>b，不论c取何值，都有a－c>b－c，故C正确；a>b，若a，b都小于0，则a22．已知f(n)＝－n，g(n)＝n－，φ(n)＝，n∈N
，n>2，则f(n)，g(n)，φ(n)的大小关系是( )
A．φ(n)B．φ(n)≤f(n)C．f(n)<φ(n)D．f(n)≤φ(n)解析：选C f(n)＝－n＝<，g(n)＝n－＝>，所以f(n)<φ(n)3．(2018·日照二模)已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，则＋的最小值为( )
A．24
B．25
C．26
D．27
解析：选B 因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，所以2a＋3b－1＝0，a>0，b>0，即2a＋3b＝1，所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2
＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25.
4．(2018·陕西模拟)若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，可知当直线过点A(2，－1)时，z＝2x＋y取得最大值，且zmax＝2×2－1＝3.
5．不等式>0的解集为( )
A．{x|－23}
B．{x|－32}
C．{x|x<－3，或－1D．{x|x<－3，或x>2}
解析：选B >0 或解得－32.选B.
6．若函数f(x)＝则“0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当0若f(x)<0，则或解得0“07．(2018·重庆模拟)若实数x，y满足约束条件则2x＋y的最小值为( )
A．3
B．4
C．5
D．7
解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2x＋y，作出直线2x＋y＝0并平移该直线，易知当直线经过点A(1,2)时，目标函数z＝2x＋y取得最小值，且zmin＝2×1＋2＝4，故选B.
8．(2018·广东模拟)已知函数f(x)＝若f(3－a2)A．(1,3)
B．(－3,1)
C．(－2,0)
D．(－3,2)
解析：选B 如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减，∵f(3－a2)2a，解得－39．(2018·山东青岛模拟)已知a为正的常数，若不等式≥1＋－对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
解析：选C 原不等式可化为≥1＋－，令＝t，t≥1，则x＝t2－1.所以≥1＋－t＝＝对t≥1恒成立，所以≥对t≥1恒成立．又a为正的常数，所以a≤[2(t＋1)2]min＝8，故a的最大值是8.
10．(2018·池州摸底)已知a＞b＞1，且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为( )
A．3
B．
C．2
D.
解析：选A 令logab＝t，由a＞b＞1得0＜t＜1,2logab＋3logba＝2t＋＝7，得t＝，即logab＝，a＝b2，所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝2时取等号．故a＋的最小值为3.
11．(2019届高三·湖北八校联考)已知关于x的不等式ax2－ax－2a2>1(a>0，a≠1)的解集为(－a,2a)，且函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围为( )
A．(－1,0)
B．[－1,0]
C．(0,1]
D．[－1,1]
解析：选B 当a>1时，由题意可得x2－ax－2a2>0的解集为(－a,2a)，这显然是不可能的．当012．(2018·郑州模拟)若变量x，y满足条件则xy的取值范围是( )
A．[0,5]
B．
C.
D．[0,9]
解析：选D 依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，xy的最小值为0(当x＝1，y＝0时取得)；xy≤x(6－x)≤2＝9，即xy≤9，当x＝3，y＝3时取等号，即xy的最大值为9，故选D.
二、填空题
13．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
解析：由x>a，知x－a>0，则2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2
＋2a＝4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，解得a≥，即实数a的最小值为.
答案：
14．(2018·长春模拟)已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．
解析：设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n－m)β，则解得因为－<α－β<，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.
答案：(－π，2π)
15．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x＋y＝z过点A时z取得最大值．
由得点A(5,4)，∴zmax＝5＋4＝9.
答案：9
16．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的图象在x轴上方，且与x轴相切，因此有Δ＝a2－4b＝0，即b＝，∴f(x)＝x2＋ax＋b＝x2＋ax＋＝2.∴f(x)＝2答案：9
B级——难度小题强化练
1．(2018·合肥二模)若关于x的不等式x2＋ax－2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：选A 法一：因为x∈[1,4]，则不等式x2＋ax－2＜0可化为a＜＝－x，设f(x)＝－x，x∈[1,4]，由题意得只需a＜f(x)max，因为函数f(x)为区间[1,4]上的减函数，所以f(x)max＝f(1)＝1，故a＜1.
法二：设g(x)＝x2＋ax－2，函数g(x)的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g(x)＜0在区间[1,4]上有解，所以g(1)＜0，解得a＜1.
2．(2018·衡水二模)若关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最小值是( )
A.
B．
C.
D.
解析：选C ∵关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，∴Δ＝16a2－12a2＝4a2＞0，又x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝，当且仅当a＝时取等号．∴x1＋x2＋的最小值是.
3．(2018·沈阳一模)设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A [1,3]，则a的取值范围为( )
A.
B．
C.
D．[－1,3]
解析：选A 设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A [1,3]，所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0，若A＝ ，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－14．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克，B原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )
A．1
800元
B．2
100元
C．2
400元
D．2
700元
解析：选C 设生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，每天的利润为z元．根据题意，有z＝300x＋400y.作出所表示的可行域，
如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A(0,6)时，z有最大值，zmax＝400×6＝2
400，故选C.
5．当x∈(0,1)时，不等式≥m－恒成立，则m的最大值为________．
解析：由已知不等式可得m≤＋，∵x∈(0,1)，∴1－x∈(0,1)，∵x＋(1－x)＝1，∴＋＝[x＋(1－x)]＝5＋＋≥5＋2
＝9，当且仅当＝，即x＝时取等号，∴m≤9，即实数m的最大值为9.
答案：9
6．(2018·洛阳尖子生统考)已知x，y满足条件则的取值范围是________．
解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，＝1＋2×，表示可行域中的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率．由图可知，当x＝0，y＝3时，取得最大值，且max＝9.因为点P(－1，－1)在直线y＝x上，所以当点(x，y)在线段AO上时，取得最小值，且min＝3.所以的取值范围是[3,9]．
答案：[3,9]