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课时跟踪检测（二十四）
导数的简单应用（小题练）
A级——12＋4提速练
一、选择题
1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝3，则a＝( )
A.
B.
C.
D．3
解析：选D ∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6，
∵f′(－1)＝3，∴3a－6＝3，解得a＝3.故选D.
2．(2018·合肥模拟)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切，其中e为自然对数的底数，则实数a的值是( )
A．e
B．2e
C．1
D．2
解析：选C ∵y＝aex＋x，∴y′＝aex＋1，设直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切的切点坐标为(m，n)，则y′|x＝m＝aem＋1＝2，得aem＝1，又n＝aem＋m＝2m＋1，∴m＝0，a＝1，故选C.
3．(2018·成都模拟)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选A 如图，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，且在点x＝c附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，所以在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A.
4．(2018·重庆调研)若函数f(x)＝(x＋a)ex在(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，0)
C．(－1,0)
D．[－1，＋∞)
解析：选A f′(x)＝ex(x＋a＋1)，由题意，知方程ex(x＋a＋1)＝0在(0，＋∞)上至少有一个实数根，即x＝－a－1＞0，解得a＜－1.
5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )
A．0
B．－5
C．－10
D．－37
解析：选D 由题意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)在[－2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，由条件知f(0)＝m＝3，∴f(2)＝－5，f(－2)＝－37，∴最小值为－37.
6．(2018·广州模拟)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为( )
A．(0,0)
B．(1，－1)
C．(－1,1)
D．(1，－1)或(－1,1)
解析：选D 由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率为f′(x0)＝3x＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且解得a＝±2，x0＝－.所以当时，点P的坐标为(1，－1)；当时，点P的坐标为(－1,1)，故选D.
7．(2018·昆明检测)若函数f(x)＝e2x＋ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．[－1，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．[－2，＋∞)
D．(－2，＋∞)
解析：选C ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f′(x)＝2e2x＋a，∴f′(x)＝2e2x＋a≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≥－2e2x在(0，＋∞)上恒成立，又x∈(0，＋∞)时，－2e2x＜－2，∴a≥－2.
8．(2018·陕西模拟)设函数f(x)＝x3－12x＋b，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增
B．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减
C．若b＝－6，则函数f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝10
D．若b＝0，则函数f(x)的图象与直线y＝10只有一个公共点
解析：选C 对于选项A，B，根据函数f(x)＝x3－12x＋b，可得f′(x)＝3x2－12，令3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，故函数f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，所以选项A，B都不正确；对于选项C，当b＝－6时，f′(－2)＝0，f(－2)＝10，故函数f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝10，选项C正确；对于选项D，当b＝0时，f(x)的极大值为f(－2)＝16，极小值为f(2)＝－16，故直线y＝10与函数f(x)的图象有三个公共点，选项D错误．故选C.
9．已知定义在上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)cos
x－1＝ln
x－f(x)sin
x，则下列不等式成立的是( )
A.f
B．fC.fD.f>f
解析：选D 令g(x)＝，则g′(x)＝＝，由解得>，所以g>g，所以>，即f>f，B错，D正确．同理因为>>，所以g>g，所以>，即f>f，C错．因为>>，所以g>g，所以>，即f>f，A错．故选D.
10．已知函数f(x)(x∈R)为奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)＝ln
x－m2x，当x∈[－2,0)时，f(x)的最小值为3，则m的值为( )
A．1
B．2
C．e
D．e2
解析：选C ∵f(x)在R上是奇函数，当x∈[－2,0)时，f(x)的最小值为3，∴f(x)在(0,2]上的最大值为－3.∵当x∈(0,2]时，f′(x)＝－m2，令f′(x)＝0，解得x＝m－2；由m>知00，f(x)单调递增，当x∈(m－2,2]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝m－2时，f(x)在(0,2]上取得最大值－3.∴f(m－2)＝ln
m－2－m2·m－2＝ln
m－2－1＝－3，解得m＝e.故选C.
11．已知函数f(x)＝－ln
x＋ax，g(x)＝(x＋a)ex，a<0，若存在区间D，使函数f(x)和g(x)在区间D上的单调性相同，则a的取值范围是( )
A.
B．(－∞，0)
C.
D．(－∞，－1)
解析：选D f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋a＝.由a<0可得f′(x)<0，即f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减．g′(x)＝ex＋(x＋a)ex＝(x＋a＋1)ex，令g′(x)＝0，解得x＝－(a＋1)，当x∈(－∞，－a－1)时，g′(x)<0，当x∈(－a－1，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)的单调递减区间为(－∞，－a－1)，单调递增区间为(－a－1，＋∞)．因为存在区间D，使f(x)和g(x)在区间D上的单调性相同，所以－a－1>0，即a<－1，故a的取值范围是(－∞，－1)，选D.
12．(2018·张家界模拟)已知函数f(x)在定义域R上的导函数为f′(x)，若方程f′(x)＝0无解，且f[f(x)－2
017x]＝2
017，若g(x)＝sin
x－cos
x－kx在上与f(x)在R上的单调性相同，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－1]
B．(－∞，
]
C．[－1，]
D．[，＋∞)
解析：选A 若方程f′(x)＝0无解，则f′(x)>0或f′(x)<0恒成立，∴f(x)为R上的单调函数．若 x∈R，都有f[f(x)－2
017x]＝2
017，则f(x)－2
017x为定值，设t＝f(x)－2
017x，则f(x)＝t＋2
017x，易知f(x)为R上的增函数．∵g(x)＝sin
x－cos
x－kx，∴g′(x)＝cos
x＋sin
x－k＝sin－k.又g(x)在上与f(x)在R上的单调性相同，∴g(x)在上单调递增，则当x∈时，g′(x)≥0恒成立，则k≤min.当x∈时，x＋∈，sin∈，sin∈[－1,2]，故k≤－1，选A.
二、填空题
13．(2018·福州四校联考)已知曲线C：y＝x2＋2x在点(0,0)处的切线为l，则由C，l以及直线x＝1围成的区域的面积等于________．
解析：因为y′＝2x＋2，所以曲线C：y＝x2＋2x在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝2，所以切线方程为y＝2x，所以由C，l以及直线x＝1围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S＝(x2＋2x－2x)dx＝x2dx＝＝.
答案：
14．(2018·太原二模)若函数f(x)＝sin
x＋ax为R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f′(x)＝cos
x＋a，由题意可知，f′(x)≤0对任意的x∈R都成立，∴a≤－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
15．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，解得a＝－3.
答案：－3
16．已知定义在(0，＋∞)上的单调函数f(x)，对任意的x∈(0，＋∞)，都有f[f(x)－log3x]＝4，则函数f(x)的图象在x＝处的切线的斜率为________．
解析：由题意，设f(x)－log3x＝m>0，则f(x)＝log3x＋m，由f[f(x)－log3x]＝4可得f(m)＝log3m＋m＝4，即m＝34－m，解得m＝3，所以f(x)＝log3x＋3，f′(x)＝，从而f′＝1，即所求切线的斜率为1.
答案：1
B级——难度小题强化练
1．(2018·西安八校联考)已知函数f(x)＝ln
x－ax2，若f(x)恰有两个不同的零点，则a的取值范围为( )
A.
B．
C.
D.
解析：选C 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2ax＝.当a≤0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则函数f(x)不存在两个不同的零点．当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝，当00，函数f(x)单调递增，当x>时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以f(x)的最大值为f＝ln－a2＝－ln
2a－，于是要使函数f(x)恰有两个不同的零点，则需满足－ln
2a－>0，即ln
2a<－1，所以0<2a<，即02．已知f′(x)为f(x)(x∈R)的导函数，当x≠0时，f′(x)＋>2，则方程f(x)＋＝x的根的个数为( )
A．1
B．1或2
C．0
D．0或1
解析：选C 由题意知，方程f(x)＋＝x的根，即为＝0的根．记g(x)＝xf(x)－x2＋1，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)－2x.
当x≠0时，由f′(x)＋>2得>0，故当x>0时，xf′(x)＋f(x)－2x>0，即g′(x)>0，
当x<0时，xf′(x)＋f(x)－2x<0，即g′(x)<0.
所以函数g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(0)＝0×f(0)－02＋1＝1.
故函数g(x)＝xf(x)－x2＋1没有零点，即方程f(x)＋＝x无根．故选C.
3．已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为y＝f′(x)，当x≠1时，f′(x)－>0，若函数y＝f(x＋1)的图象关于原点对称，a＝－f，b＝－3f(－2)，c＝2f(3)，则a，b，c的大小关系是( )
A．aB．bC．aD．c解析：选C 由函数y＝f(x＋1)的图象关于原点对称可得函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称，即f(2－x)＝－f(x)．设g(x)＝(x－1)f(x)，则g(2－x)＝[(2－x)－1]f(2－x)＝(1－x)[－f(x)]＝(x－1)f(x)＝g(x)，所以函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称．由已知当x≠1时，f′(x)－>0可得f′(x)＋>0，即>0，即>0.当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．而a＝g，b＝g(－2)，c＝g(3)．由函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称可得a＝g＝g，b＝g(－2)＝g(4)，因为<3<4，所以a4．(2018·胶州模拟)若方程ln(x＋1)＝x2－x＋a在区间[0,2]上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是( )
A.
B．[ln
2－1，ln
3－1)
C．[ln
2－1，ln
2]
D.
解析：选A 令f(x)＝ln(x＋1)－x2＋x－a，则f′(x)＝－2x＋＝.当x∈[0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1,2]时，f′(x)<0，f(x)单调递减．由于方程ln(x＋1)＝x2－x＋a在区间[0,2]上有两个不同的实数根，即f(x)＝0在区间[0,2]上有两个不同的实数根，则解得ln
3－1≤a2＋.所以方程ln(x＋1)＝x2－x＋a在区间[0,2]上有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是.
5．已知函数f(x)＝x(ln
x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝ln
x－ax＋x＝ln
x－2ax＋1，令f′(x)＝ln
x－2ax＋1＝0，得ln
x＝2ax－1，因为函数f(x)＝x(ln
x－ax)有两个极值点，所以f′(x)＝ln
x－2ax＋1有两个零点，等价于函数y＝ln
x与y＝2ax－1的图象有两个交点．在同一平面直角坐标系中作出它们的图象，如图所示，过点(0，－1)作曲线y＝ln
x的切线，设切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝，所以切线方程为y＝x－1，又切点在切线上，所以y0＝－1＝0，又切点在曲线y＝ln
x上，则ln
x0＝0，解得x0＝1，所以切点为(1,0)，所以切线方程为y＝x－1.再由直线y＝2ax－1与曲线y＝ln
x有两个交点，知直线y＝2ax－1位于两直线y＝－1和y＝x－1之间，其斜率2a满足0<2a<1，解得实数a的取值范围是.
答案：
6．已知函数g(x)＝a－x2与h(x)＝2ln
x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是________．
解析：因为函数g(x)＝a－x2与h(x)＝2ln
x的图象上存在关于x轴对称的点，所以方程a－x2＝－2ln
x，即－a＝2ln
x－x2在上有解．令f(x)＝2ln
x－x2，则f′(x)＝－2x＝，因为≤x≤e，所以f(x)在x＝1处有唯一的极大值点．因为f＝－2－，f(e)＝2－e2，f(x)的极大值为f(1)＝－1，且f(e)x－x2在上有解等价于2－e2≤－a≤－1，即1≤a≤e2－2，故实数a的取值范围是[1，e2－2]．
答案：[1，e2－2](共43张PPT)
考点(一)
导数的几何意义
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程
已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程
已知切线的斜率为k，求
y＝f(x)的切线方程
求出该曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程
已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程
考点(二)
利用导数研究函数的单调性
考点(三)
利用导数研究函数的极值、最值
必备知能·自主补缺
“课时跟踪检测”见
“课时跟踪检测(二十四)”
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构造函数
利用己知条件联想导数法则构造新的函数
寻找性质
对所构造的函数判断单调性与奇偶性
细审还原
细审比较的各式,还原到新构造的函数
比较大
用函数的单调性
得大小关系第四讲
小题考法——导数的简单应用
考点(一)导数的几何意义
主要考查利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程或已知切线方程求参数.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x
B．y＝－x
C．y＝2x
D．y＝x
(2)(2018·成都模拟)若曲线y＝f(x)＝ln
x＋ax2－2x(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是________．
[解析] (1)易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.
(2)f′(x)＝＋2ax－2＝(x>0)，
由题意得f′(x)≥0在x>0时恒成立，
所以2ax2－2x＋1≥0在x>0时恒成立，
即2a≥－＝－＋1＝－2＋1，所以a≥，所以a的取值范围为.
[答案] (1)D (2)
[方法技巧]
1．求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法
已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程
求出该曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程
已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程
已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程
2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数
已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．
[演练冲关]
1．(2018·广州模拟)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xln
x相切，则实数k的值为( )
A．ln
2
B．1
C．1－ln
2
D．1＋ln
2
解析：选D 由y＝xln
x知y′＝ln
x＋1，设切点为(x0，x0ln
x0)，则切线方程为y－x0ln
x0＝(ln
x0＋1)(x－x0)，因为切线y＝kx－2过定点(0，－2)，所以－2－x0ln
x0＝(ln
x0＋1)(0－x0)，解得x0＝2，故k＝1＋ln
2，选D.
2．曲线y＝与其在点(0，－1)处的切线及直线x＝1所围成的封闭图形的面积为( )
A．1－ln
2
B．2－2ln
2
C．2ln
2－1
D．ln
2
解析：选C 因为y＝，所以y′＝′＝，则曲线y＝在(0，－1)处的切线的斜率k＝2，切线方程为y＝2x－1，则曲线y＝与其在点(0，－1)处的切线及直线x＝1所围成的封闭图形的面积S＝dx＝dx＝[x2－2x＋2ln(x＋1)]＝2ln
2－1，选C.
3．(2018·金华十校联考)若函数f(x)＝ln
x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围为________．
解析：函数f(x)＝ln
x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，
又f′(x)＝＋a，即＋a＝2在(0，＋∞)上有解，
即a＝2－在(0，＋∞)上有解，
因为x＞0，所以2－＜2，
所以实数a的取值范围是(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
考点(二)利用导数研究函数的单调性
主要考查利用导数来研究函数的单调性或由函数的单调性求某参数值 或取值范围 .
[典例感悟]
[典例] (1)已知函数f(x)＝－ln
x＋＋3，则函数f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，0)
B．(0,1)
C．(0，＋∞)
D．(1，＋∞)
(2)(2018·益阳、湘潭模拟)π是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，eπ，π3,3π，πe六个数中，最小的数与最大的数分别是( )
A．3e,3π
B．3e，eπ
C．e3，π3
D．πe,3π
(3)(2018·邯郸二模)已知函数f(x)＝x2－ln
x＋在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内不是单调函数，则实数a的取值范围是________．
[解析] (1)已知函数f(x)＝－ln
x＋＋3，定义域为(0，＋∞)．则f′(x)＝－＋x.由得0(2)构造函数f(x)＝，f(x)的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝，
当f′(x)>0，即0当f′(x)<0，即x>e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．
∵e<3<π，∴eln
3π，πln
e<πln
3，即ln
3eπe，ln
eπ3π.
又函数y＝ln
x，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增，
故3e<πe<π3，e3故这六个数中的最大数为π3或3π，
由e<3<π及函数f(x)＝的单调性，得f(π)即<<，
由<，得ln
π33π，
∴3π>π3，在3e，e3，eπ，π3,3π，πe六个数中的最大的数是3π，故排除B，C，D.
同理得最小的数为3e.故选A.
(3)法一：由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∵函数f(x)＝x2－ln
x＋在区间(a－1，a＋1)上不单调，
∴f′(x)＝2x－＝在区间(a－1，a＋1)上有零点．
由f′(x)＝0，得x＝，则
解得1≤a＜.
法二：由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝，令f′(x)＞0得x＞，令f′(x)＜0得0＜x＜，即函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.若函数f(x)在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内是单调函数，则a－1≥或即a≥，因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以a≥1，所以函数f(x)在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内不是单调函数，需满足1≤a＜.
[答案] (1)B (2)A (3)
[方法技巧]
1．利用单调性比较大小的4步骤
2．由函数的单调性求参数取值范围的策略
(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；
(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，即f′(x)max＞0(或f′(x)min＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
[演练冲关]
1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，不等式f(x)＋xf′(x)＜0成立，若a＝3f(3)，b＝－2f(－2)，c＝f(1)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c
B．c＞b＞a
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b
解析：选A 令函数F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)＜0，∴F(x)＝xf(x)在(－∞，0)上单调递减，∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴F(x)为偶函数．∵a＝3f(3)，b＝－2f(－2)，c＝f(1)，∴a＝F(－3)，b＝F(－2)，c＝F(1)＝F(－1)，∴F(－3)＞F(－2)＞F(－1)，即a＞b＞c.
2．(2018·成都模拟)已知函数f(x)＝x3－ax在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．(－∞，1]
D．(－∞，3]
解析：选B ∵f(x)＝x3－ax，∴f′(x)＝3x2－a.又f(x)在(－1,1)上单调递减，∴3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3，故选B.
3．(2018·河北五个一名校联考)函数f(x)＝x2－2ln
x的单调递减区间是________．
解析：函数f(x)＝x2－2ln
x的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－＝<0，得0答案：(0,1)
考点(三)利用导数研究函数的极值、最值
主要考查利用函数的极值与导数的关系，求函数的极值、最值或由极值的情况求参数.
[典例感悟]
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )
A．－1
B．－2e－3
C．5e－3
D．1
(2)(2018·郑州模拟)若对于任意的正实数x，y都有·ln≤成立，则实数m的取值范围为( )
A.
B．
C.
D.
[解析] (1)因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)·ex－1.令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，令f′(x)<0，解得－2(2)因为x>0，y>0，·ln≤，所以两边同时乘以，可得·ln≤，令＝t(t>0)，令f(t)＝(2e－t)·ln
t(t>0)，则f′(t)＝－ln
t＋(2e－t)·＝－ln
t＋－1，令g(t)＝－ln
t＋－1(t>0)，则g′(t)＝－－<0，因此g(t)即f′(t)在(0，＋∞)上单调递减，又f′(e)＝0，所以函数f(t)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，因此f(t)max＝f(e)＝(2e－e)·ln
e＝e，所以e≤，得0[答案] (1)A (2)D
[方法技巧]
利用导数研究函数极值、最值的方法
(1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．
(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．
(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的极值进行比较得到函数的最值．
[演练冲关]
1．(2018·沈阳模拟)设函数f(x)＝xex＋1，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
解析：选D 由题意得，f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，所以x＝－1为f(x)的极小值点，故选D.
2．(2018·山东淄博模拟)已知函数f(x)＝ax3＋ax2－3ax＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围为________________．
解析：因为f(x)＝ax3＋ax2－3ax＋1，所以f′(x)＝ax2＋2ax－3a＝a(x2＋2x－3)＝a(x＋3)(x－1)．当a＝0时，f(x)＝1，显然不满足题意；当a≠0时，f(－3)，f(1)分别为函数f(x)的两个极值，因为函数f(x)＝ax3＋ax2－3ax＋1的图象经过四个象限，所以函数f(x)的两个极值的符号相反，即f(－3)·f(1)<0，所以(－9a＋9a＋9a＋1)·<0，即(9a＋1)(5a－3)>0，解得a>或a<－，所以实数a的取值范围为∪.
答案：∪
3．(2018·德州模拟)已知函数f(x)＝2(x＋1)，g(x)＝x＋ln
x，A，B两点分别为f(x)，g(x)的图象上的点，且始终满足A，B两点的纵坐标相等，则A，B两点间的最短距离为________．
解析：不妨设A(m，a)，B(n，a)(n>0)，则2(m＋1)＝a，得m＝－1.又a＝n＋ln
n，则|AB|＝|m－n|＝＝，设F(n)＝－＋1(n>0)，则F′(n)＝－＝，令F′(n)＝0，得n＝1，故当n∈(0,1)时，F′(n)<0；当n∈(1，＋∞)时，F′(n)>0，所以F(n)min＝F(1)＝，所以|AB|≥，所以|AB|的最小值为.
答案：
[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干
[主干知识要记牢]
1.导数公式及运算法则
(1)基本导数公式
①c′＝0(c为常数)；
②(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；
③(sin
x)′＝cos
x；
④(cos
x)′＝－sin
x；
⑤(ax)′＝axln
a(a>0且a≠1)；
⑥(ex)′＝ex；
⑦(logax)′
＝(a>0且a≠1)；
⑧(ln
x)′＝.
(2)导数的四则运算
①(u±v)′＝u′±v′；
②(uv)′＝u′v＋uv′；
③′＝(v≠0)．
2．导数与极值、最值
(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负” f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正” f(x)在x0处取极小值．
(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最大者”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最小者”．
[二级结论要用好]
1．常用函数的求导
(1)[xnf(x)]′＝nxn－1f(x)＋xnf′(x)；
(2)′＝；
(3)[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]；
(4)′＝.
2．不等式恒成立(或有解)问题的常用结论
(1)恒成立问题
a>f(x)恒成立 a>f(x)max；a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；a(2)有解问题
a>f(x)有解 a>f(x)min；a≥f(x)有解 a≥f(x)min；
a[易错易混要明了]
1．不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x0，f(x0))既在切线上，又在函数图象上，导致某些求导数的问题不能正确解出．
2．易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的充分条件．
[针对练1] 函数f(x)＝x4－x3的极值点是________．
解析：f′(x)＝x3－x2，由f′(x)＝0得x＝0或x＝1.
显然f(x)在(－∞，0)，(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，所以f(x)存在极小值点x＝1.
答案：x＝1
3．如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦然．
[针对练2] 函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：f(x)＝ax3－x2＋x－5的导数f′(x)＝3ax2－2x＋1.由f′(x)≥0恒成立，得解得a≥.而当a＝时，f′(x)＝(x－1)2≥0，且只有x＝1时，f′(x)＝0，∴a＝符合题意，故a的取值范围是.
答案：
4．求曲线的切线方程时，要注意题目条件中的已知点是否为切点．
[针对练3] 抛物线f(x)＝x2过点P的切线方程为____________________________．
解析：显然点P不在抛物线上，设此切线过抛物线上的点(x0，x)．由f′(x)＝2x知，此切线的斜率为2x0.又因为此切线过点P和点(x0，x)，所以＝2x0，即x－5x0＋6＝0，解得x0＝2或x0＝3，即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)或点(3,9)，所以切线方程为y－4＝4(x－2)和y－9＝6(x－3)，即4x－y－4＝0和6x－y－9＝0.
答案：4x－y－4＝0和6x－y－9＝0
A级——12＋4提速练
一、选择题
1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝3，则a＝( )
A.
B.
C.
D．3
解析：选D ∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6，∵f′(－1)＝3，∴3a－6＝3，解得a＝3.故选D.
2．(2018·合肥模拟)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切，其中e为自然对数的底数，则实数a的值是( )
A．e
B．2e
C．1
D．2
解析：选C ∵y＝aex＋x，∴y′＝aex＋1，设直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切的切点坐标为(m，n)，则y′|x＝m＝aem＋1＝2，得aem＝1，又n＝aem＋m＝2m＋1，∴m＝0，a＝1，故选C.
3．(2018·成都模拟)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选A 如图，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，且在点x＝c附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，所以在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A.
4．(2018·重庆调研)若函数f(x)＝(x＋a)ex在(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，0)
C．(－1,0)
D．[－1，＋∞)
解析：选A f′(x)＝ex(x＋a＋1)，由题意，知方程ex(x＋a＋1)＝0在(0，＋∞)上至少有一个实数根，即x＝－a－1＞0，解得a＜－1.
5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )
A．0
B．－5
C．－10
D．－37
解析：选D 由题意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)在[－2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，由条件知f(0)＝m＝3，∴f(2)＝－5，f(－2)＝－37，∴最小值为－37.
6．(2018·广州模拟)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为( )
A．(0,0)
B．(1，－1)
C．(－1,1)
D．(1，－1)或(－1,1)
解析：选D 由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率为f′(x0)＝3x＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且解得a＝±2，x0＝－.所以当时，点P的坐标为(1，－1)；当时，点P的坐标为(－1,1)，故选D.
7．(2018·昆明检测)若函数f(x)＝e2x＋ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．[－1，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．[－2，＋∞)
D．(－2，＋∞)
解析：选C ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f′(x)＝2e2x＋a，∴f′(x)＝2e2x＋a≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≥－2e2x在(0，＋∞)上恒成立，又x∈(0，＋∞)时，－2e2x＜－2，∴a≥－2.
8．(2018·陕西模拟)设函数f(x)＝x3－12x＋b，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增
B．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减
C．若b＝－6，则函数f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝10
D．若b＝0，则函数f(x)的图象与直线y＝10只有一个公共点
解析：选C 对于选项A，B，根据函数f(x)＝x3－12x＋b，可得f′(x)＝3x2－12，令3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，故函数f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，所以选项A，B都不正确；对于选项C，当b＝－6时，f′(－2)＝0，f(－2)＝10，故函数f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝10，选项C正确；对于选项D，当b＝0时，f(x)的极大值为f(－2)＝16，极小值为f(2)＝－16，故直线y＝10与函数f(x)的图象有三个公共点，选项D错误．故选C.
9．已知定义在上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)cos
x－1＝ln
x－f(x)sin
x，则下列不等式成立的是( )
A.fB．fC.fD.f>f
解析：选D 令g(x)＝，则g′(x)＝＝，由解得>，所以g>g，所以>，即f>f，B错，D正确．同理因为>>，所以g>g，所以>，即f>f，C错．因为>>，所以g>g，所以>，即f>f，A错．故选D.
10．已知函数f(x)(x∈R)为奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)＝ln
x－m2x，当x∈[－2,0)时，f(x)的最小值为3，则m的值为( )
A．1
B．2
C．e
D．e2
解析：选C ∵f(x)在R上是奇函数，当x∈[－2,0)时，f(x)的最小值为3，∴f(x)在(0,2]上的最大值为－3.∵当x∈(0,2]时，f′(x)＝－m2，令f′(x)＝0，解得x＝m－2；由m>知00，f(x)单调递增，当x∈(m－2,2]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝m－2时，f(x)在(0,2]上取得最大值－3.∴f(m－2)＝ln
m－2－m2·m－2＝ln
m－2－1＝－3，解得m＝e.故选C.
11．已知函数f(x)＝－ln
x＋ax，g(x)＝(x＋a)ex，a<0，若存在区间D，使函数f(x)和g(x)在区间D上的单调性相同，则a的取值范围是( )
A.
B．(－∞，0)
C.
D．(－∞，－1)
解析：选D f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋a＝.由a<0可得f′(x)<0，即f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减．g′(x)＝ex＋(x＋a)ex＝(x＋a＋1)ex，令g′(x)＝0，解得x＝－(a＋1)，当x∈(－∞，－a－1)时，g′(x)<0，当x∈(－a－1，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)的单调递减区间为(－∞，－a－1)，单调递增区间为(－a－1，＋∞)．因为存在区间D，使f(x)和g(x)在区间D上的单调性相同，所以－a－1>0，即a<－1，故a的取值范围是(－∞，－1)，选D.
12．(2018·张家界模拟)已知函数f(x)在定义域R上的导函数为f′(x)，若方程f′(x)＝0无解，且f[f(x)－2
017x]＝2
017，若g(x)＝sin
x－cos
x－kx在上与f(x)在R上的单调性相同，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－1]
B．(－∞，
]
C．[－1，]
D．[，＋∞)
解析：选A 若方程f′(x)＝0无解，则f′(x)>0或f′(x)<0恒成立，∴f(x)为R上的单调函数．若 x∈R，都有f[f(x)－2
017x]＝2
017，则f(x)－2
017x为定值，设t＝f(x)－2
017x，则f(x)＝t＋2
017x，易知f(x)为R上的增函数．∵g(x)＝sin
x－cos
x－kx，∴g′(x)＝cos
x＋sin
x－k＝sin－k.又g(x)在上与f(x)在R上的单调性相同，∴g(x)在上单调递增，则当x∈时，g′(x)≥0恒成立，则k≤min.当x∈时，x＋∈，sin∈，sin∈[－1,2]，故k≤－1，选A.
二、填空题
13．(2018·福州四校联考)已知曲线C：y＝x2＋2x在点(0,0)处的切线为l，则由C，l以及直线x＝1围成的区域的面积等于________．
解析：因为y′＝2x＋2，所以曲线C：y＝x2＋2x在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝2，所以切线方程为y＝2x，所以由C，l以及直线x＝1围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S＝(x2＋2x－2x)dx＝x2dx＝＝.
答案：
14．(2018·太原二模)若函数f(x)＝sin
x＋ax为R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f′(x)＝cos
x＋a，由题意可知，f′(x)≤0对任意的x∈R都成立，∴a≤－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
15．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，解得a＝－3.
答案：－3
16．已知定义在(0，＋∞)上的单调函数f(x)，对任意的x∈(0，＋∞)，都有f[f(x)－log3x]＝4，则函数f(x)的图象在x＝处的切线的斜率为________．
解析：由题意，设f(x)－log3x＝m>0，则f(x)＝log3x＋m，由f[f(x)－log3x]＝4可得f(m)＝log3m＋m＝4，即m＝34－m，解得m＝3，所以f(x)＝log3x＋3，f′(x)＝，从而f′＝1，即所求切线的斜率为1.
答案：1
B级——难度小题强化练
1．(2018·西安八校联考)已知函数f(x)＝ln
x－ax2，若f(x)恰有两个不同的零点，则a的取值范围为( )
A.
B．
C.
D.
解析：选C 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2ax＝.当a≤0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则函数f(x)不存在两个不同的零点．当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝，当00，函数f(x)单调递增，当x>时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以f(x)的最大值为f＝ln－a2＝－ln
2a－，于是要使函数f(x)恰有两个不同的零点，则需满足－ln
2a－>0，即ln
2a<－1，所以0<2a<，即02．已知f′(x)为f(x)(x∈R)的导函数，当x≠0时，f′(x)＋>2，则方程f(x)＋＝x的根的个数为( )
A．1
B．1或2
C．0
D．0或1
解析：选C 由题意知，方程f(x)＋＝x的根，即为＝0的根．记g(x)＝xf(x)－x2＋1，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)－2x.
当x≠0时，由f′(x)＋>2得>0，故当x>0时，xf′(x)＋f(x)－2x>0，即g′(x)>0，
当x<0时，xf′(x)＋f(x)－2x<0，即g′(x)<0.
所以函数g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(0)＝0×f(0)－02＋1＝1.
故函数g(x)＝xf(x)－x2＋1没有零点，即方程f(x)＋＝x无根．故选C.
3．已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为y＝f′(x)，当x≠1时，f′(x)－>0，若函数y＝f(x＋1)的图象关于原点对称，a＝－f，b＝－3f(－2)，c＝2f(3)，则a，b，c的大小关系是( )
A．aB．bC．aD．c解析：选C 由函数y＝f(x＋1)的图象关于原点对称可得函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称，即f(2－x)＝－f(x)．设g(x)＝(x－1)f(x)，则g(2－x)＝[(2－x)－1]f(2－x)＝(1－x)[－f(x)]＝(x－1)f(x)＝g(x)，所以函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称．由已知当x≠1时，f′(x)－>0可得f′(x)＋>0，即>0，即>0.当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．而a＝g，b＝g(－2)，c＝g(3)．由函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称可得a＝g＝g，b＝g(－2)＝g(4)，因为<3<4，所以a4．(2018·胶州模拟)若方程ln(x＋1)＝x2－x＋a在区间[0,2]上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是( )
A.
B．[ln
2－1，ln
3－1)
C．[ln
2－1，ln
2]
D.
解析：选A 令f(x)＝ln(x＋1)－x2＋x－a，则f′(x)＝－2x＋＝.当x∈[0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1,2]时，f′(x)<0，f(x)单调递减．由于方程ln(x＋1)＝x2－x＋a在区间[0,2]上有两个不同的实数根，即f(x)＝0在区间[0,2]上有两个不同的实数根，则解得ln
3－1≤a2＋.所以方程ln(x＋1)＝x2－x＋a在区间[0,2]上有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是.
5．已知函数f(x)＝x(ln
x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝ln
x－ax＋x＝ln
x－2ax＋1，令f′(x)＝ln
x－2ax＋1＝0，得ln
x＝2ax－1，因为函数f(x)＝x(ln
x－ax)有两个极值点，所以f′(x)＝ln
x－2ax＋1有两个零点，等价于函数y＝ln
x与y＝2ax－1的图象有两个交点．在同一平面直角坐标系中作出它们的图象，如图所示，过点(0，－1)作曲线y＝ln
x的切线，设切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝，所以切线方程为y＝x－1，又切点在切线上，所以y0＝－1＝0，又切点在曲线y＝ln
x上，则ln
x0＝0，解得x0＝1，所以切点为(1,0)，所以切线方程为y＝x－1.再由直线y＝2ax－1与曲线y＝ln
x有两个交点，知直线y＝2ax－1位于两直线y＝－1和y＝x－1之间，其斜率2a满足0<2a<1，解得实数a的取值范围是.
答案：
6．已知函数g(x)＝a－x2与h(x)＝2ln
x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是________．
解析：因为函数g(x)＝a－x2与h(x)＝2ln
x的图象上存在关于x轴对称的点，所以方程a－x2＝－2ln
x，即－a＝2ln
x－x2在上有解．令f(x)＝2ln
x－x2，则f′(x)＝－2x＝，因为≤x≤e，所以f(x)在x＝1处有唯一的极大值点．因为f＝－2－，f(e)＝2－e2，f(x)的极大值为f(1)＝－1，且f(e)x－x2在上有解等价于2－e2≤－a≤－1，即1≤a≤e2－2，故实数a的取值范围是[1，e2－2]．
答案：[1，e2－2]