(共49张PPT)
函数、不等式、导数
专题六
攻重点
高考考什么，怎么考——4讲破小题，1讲攻大题
扫盲点
何处易失分，欠缺什么能力——5层面优化提升
考点(一)
函数的概念及表示
2．分段函数问题的3种常见类型及解题策略
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程
求参数
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提
解不等式
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算
求函数值
解题策略
常见类型
考点(二)
函数的图象及应用
当方程与基本初等函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标
研究方程
根的个数
当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解
研究不等式
对于已知或易画出图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系
研究函数
的性质
考点(三)
函数的性质及应用
利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解
周期性
可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性，求参数的取值范围或值
单调性
具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上的图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上
奇偶性
必备知能·自主补缺
则f(x)是周期函数，T＝2a
若函数f(x)满足f(x＋a)＝
则f(x)是周期函数，T＝2a
若函数f(x)满足f(x＋a)＝
－f(x)
则f(x)是周期函数，T＝2a
若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)
结论
条件
则函数f(x)的图象关于直线
x＝
对称
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)
则f(x)的图象关于点(a,0)对称
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝
－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)
则f(x)的图象关于直线x＝a对称
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)
结论
条件
“课时跟踪检测”见
“课时跟踪检测(二十一)”
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课时跟踪检测（二十一）
函数的图象与性质（小题练）
A级——12＋4提速练
一、选择题
1．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A.
B.
C.
D．[0,1)
解析：选D 要使函数有意义，需即0≤x<1.
2．(2018·合肥模拟)已知函数f(x)＝则f[f(1)]＝( )
A．－
B．2
C．4
D．11
解析：选C ∵f(1)＝12＋2＝3，∴f
[f(1)]＝f(3)＝3＋＝4.故选C.
3．函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为( )
解析：选A 令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2
4．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)是偶函数
B．函数f(x)是减函数
C．函数f(x)是周期函数
D．函数f(x)的值域为[－1，＋∞)
解析：选D 由函数f(x)的解析式，知f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos
1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数．当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且f(x)>1；当x≤0时，f(x)＝cos
x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且f(x)
∈[－1,1]．所以函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.
5．(2018·贵阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝( )
A．2
B．4
C．－2
D．－4
解析：选C 由题意，知f(－6)＝－f(6)＝－(log28－1)＝－3＋1＝－2，故选C.
6．(2018·武汉调研)已知奇函数f(x)在R上单调递增，若f(1)＝1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2]
B．[－1,1]
C．[0,4]
D．[1,3]
解析：选D 因为f(x)为奇函数，且f(1)＝1，所以f(－1)＝－1，故f(－1)＝－1≤f(x－2)≤1＝f(1)，又函数f(x)在R上单调递增，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3，故选D.
7．函数f(x)＝的单调递增区间为( )
A.
B．
C.
D.
解析：选A 由x2－x－1≥0，可得函数f(x)的定义域为.令t＝，则y＝t，该指数函数在定义域内为减函数．根据复合函数的单调性，要求函数f(x)＝的单调递增区间，即求函数t＝的单调递减区间，易知函数t＝的单调递减区间为.所以函数f(x)＝的单调递增区间为，故选A.
8．(2019届高三·河北五个一名校联考)已知奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，若当x∈(－1,1)时，f(x)＝lg，且f(2
018－a)＝1，则实数a的值可以是( )
A.
B．
C．－
D．－
解析：选A ∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(2－x)，又函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)为周期函数，周期为4.当x∈(－1，1)时，令f(x)＝lg＝1，得x＝，又f(2
018－a)＝f(2－a)＝f(a)，∴a可以是，故选A.
9．(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1]
B．[1，＋∞)
C．(0,1)
D．(－∞，1]
解析：选A 画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需0≤1－a<1，即00时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上010．(2018·成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是( )
A．f(log27)B．f(log27)C．f(－5)D．f(－5)解析：选C f(x＋2)＋f(x)＝0 f(x＋2)＝－f(x) f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．
又f(－x)＝－f(x)，且有f(2)＝－f(0)＝0，
所以f(－5)＝－f(5)＝－f(1)＝－log22＝－1，f(6)＝f(2)＝0.
又2f(log27)＋f(log27－2)＝0 f(log27)＝－f(log27－2)＝－f＝－log2＝－log2，又1所以f(－5)11．若函数y＝f(x)的图象上的任意一点P的坐标(x，y)满足条件|x|≥|y|，则称函数f(x)具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是( )
A．f(x)＝ex－1
B．f(x)＝ln(x＋1)
C．f(x)＝sin
x
D．f(x)＝tan
x
解析：选C 不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图中阴影部分所示，函数f(x)具有性质S，则函数图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，f(x)＝ex－1的图象分布在区域①和③内，f(x)＝ln(x＋1)的图象分布在区域②和④内，f(x)＝sin
x的图象分布在区域①和②内，f(x)＝tan
x在每个区域都有图象，故选C.
12．(2018·吉林省实验中学模拟)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(x)>0，满足f(x·y)＝f(x)·f(y)，且在区间(0，＋∞)上单调递增，若m满足f(log3m)＋feq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(logm))≤2f(1)，则实数m的取值范围是( )
A．[1,3]
B．
C.∪(1,3]
D.∪(1,3]
解析：选D 由于f(x·y)＝f(x)·f(y)，f(x)>0，则令x＝y＝1可得f(1)＝[f(1)]2，即f(1)＝1.令x＝y＝－1，则f(1)＝[f(－1)]2＝1，即f(－1)＝1.令y＝－1，则f(－x)＝f(x)f(－1)＝f(x)，即f(x)为偶函数．由f(log3m)＋feq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(logm))＝2f(1)得2f(log3m)≤2f(1)，得f(|log3m|)≤f(1)．由于f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，则|log3m|≤1，且log3m≠0，解得m∈∪(1,3]．
二、填空题
13．若f(x)＝2x＋2－xlg
a是奇函数，则实数a＝________.
解析：∵函数f(x)＝2x＋2－xlg
a是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，即2x＋2－xlg
a＋2－x＋2xlg
a＝0，(2x＋2－x)(1＋lg
a)＝0，∴lg
a＝－1，∴a＝.
答案：
14．已知a>0，函数f(x)＝若f>－，则实数t的取值范围为________．
解析：当x∈[－1,0)时，函数f(x)＝sinx单调递增，且f(x)∈[－1,0)，当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)＝ax2＋ax＋1，此时函数f(x)单调递增且f(x)≥1，综上，当x∈[－1，＋∞)时，函数f(x)单调递增，由f(x)＝sinx＝－得x＝－，解得x＝－，则不等式f>－，等价于f>f，∵函数f(x)是增函数，∴t－>－，即t>0.故t的取值范围为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
15．(2018·山东潍坊模拟)已知奇函数f(x)满足对任意的x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，且f(1)＝1，f(2)＝2，则f(2
017)＋f(2
018)＝________.
解析：因为f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，所以当x＝－3时，有f(3)＝f(－3)＋f(3)，即f(－3)＝0，又f(x)为奇函数，所以f(3)＝0，所以f(x＋6)＝f(x)，函数f(x)是以6为周期的周期函数，f(2
017)＋f(2
018)＝f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)＝f(1)＋f(2)＝3.
答案：3
16．(2018·济宁模拟)已知函数f(x)＝min{2，|x－2|}，其中min{a，b}＝若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，且它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1·x2·x3的最大值是________．
解析：因为函数f(x)＝min{2，|x－2|}
＝
作出其大致图象如图所示，若直线y＝m与函数f(x)的图象有三个不同的交点，则0答案：1
B级——难度小题强化练
1．(2018·山东临沂模拟)函数f(x)＝ln的图象可能是( )
解析：选A 易知函数f(x)是偶函数，故其图象关于y轴对称，排除选项C.函数的定义域是x≠0，排除选项D.＝＝>1，所以f(x)>0，排除选项B.故选A.
2．(2018·洛阳模拟)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1) x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2) x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.给出下列四个函数，
①f(x)＝sin
x；②f(x)＝－2x3；
③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(＋x)．
其中为“优美函数”的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选B 由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调减函数．
对于①，f(x)＝sin
x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.
3．已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝0，f(x)＋f(1－x)＝1，f＝f(x)，且当0≤x1A.
B．
C.
D.
解析：选C 在f(x)＋f(1－x)＝1中，令x＝1，得f(1)＝1，令x＝，得f
＝，在f
＝f(x)中，令x＝1，得f
＝，由此得f
＝f
，再根据当0≤x1＝f(x)，可得f(x)＝f(3x)，故f
＝f
＝f
＝f＝…＝f
.设≤≤，即≤3n≤1
009，由36＝729,37＝2
187，得n＝6，所以f＝f
＝×＝.
4.(2018·安庆二模)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1
m的圆O沿l1以1
m/s的速度匀速竖直向上移动，且在t＝0时，圆O与l2相切于点A，圆O被直线l2所截得到的两段圆弧中，位于l2上方的圆弧的长记为x，令y＝cos
x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( )
解析：选B 如图所示，设∠MON＝α，由弧长公式知x＝α，在Rt△AOM中，|AO|＝1－t，cos
＝＝1－t，∴y＝cos
x＝2cos2－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．故其对应的大致图象应为B.
5．对于实数a，b，定义运算“ ”：a b＝设f(x)＝(x－4) ，若关于x的方程|f(x)－m|＝1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意得，f(x)＝(x－4) ＝画出函数f(x)的大致图象如图所示．
因为关于x的方程|f(x)－m|＝1(m∈R)，即f(x)＝m±1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根，所以两直线y＝m±1(m∈R)与曲线y＝f(x)共有四个不同的交点，则或或得2答案：(－1,1)∪(2,4)
6．已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈R)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈R)，y＝h(x)满足：对任意的x∈R，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．
解析：根据“对称函数”的定义可知，＝3x＋b，即h(x)＝6x＋2b－，h(x)>g(x)恒成立，等价于6x＋2b－>
，即3x＋b>恒成立，设y1＝3x＋b，y2＝，作出两个函数对应的图象如图所示，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝＝2，即|b|＝2，
∴b＝2或b＝－2(舍去)，若要使h(x)>g(x)恒成立，则b>2，即实数b的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)[全国卷3年考情分析]
第一讲
小题考法——函数的图象与性质
考点(一)
函数的概念及表示
主要考查函数的定义域、分段函数求值或已知函数值 取值范围 求参数的值 取值范围 等.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·重庆模拟)函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是( )
A．(2,3)
B．(2，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(2,3)∪(3，＋∞)
(2)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1]
B．(0，＋∞)
C．(－1,0)
D．(－∞，0)
[解析] (1)由题意，得解得x>2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选D.
(2)法一：①当即x≤－1时，
f(x＋1)即－(x＋1)<－2x，解得x<1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1f(x＋1)因此不等式的解集为(－1,0)．
④当即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)法二：∵f(x)＝
∴函数f(x)的图象如图所示．
结合图象知，要使f(x＋1)∴x<0，故选D.
[答案] (1)D (2)D
[方法技巧]
1．函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．
2．分段函数问题的3种常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
求函数值
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算
解不等式
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提
求参数
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程
[演练冲关]
1．(2018·福州模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝( )
A．－
B．3
C．－或3
D．－或3
解析：选A 当a>0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a>0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.故选A.
2．已知函数f(x)＝则f(f(x))<2的解集为( )
A．(1－ln
2，＋∞)
B．(－∞，1－ln
2)
C．(1－ln
2,1)
D．(1,1＋ln
2)
解析：选B 因为当x≥1时，f(x)＝x3＋x≥2，当x<1时，f(x)＝2ex－1<2，所以f(f(x))<2等价于f(x)<1，即2ex－1<1，解得x<1－ln
2，所以f(f(x))<2的解集为(－∞，1－ln
2)．
3．若函数f(x)＝则函数f(log26)的值为________．
解析：因为2＝log24答案：12
考点(二)
函数的图象及应用
主要考查根据函数的解析式选择图象或利用函数的图象选择解析式、利用函数的图象研究函数的性质、方程的解以及解不等式、比较大小等问题.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为( )
(2)(2018·石家庄模拟)已知f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为( )
A．{x|02}
B．{x|x<0或x>2}
C．{x|x<0或x>3}
D．{x|x<－1或x>1}
(3)已知f(x)＝则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0解的个数是________．
[解析] (1)∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，
∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．
当x＝1时，f(1)＝e－>0，排除D选项．
又e>2，∴<，
∴e－>1，排除C选项．故选B.
(2)因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x－1)>0可转化为－11，解得02，故选A.
(3)方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知方程解的个数为5.
[答案] (1)B (2)A (3)5
[方法技巧]
1．根据函数解析式识辨函数图象的策略
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，偶函数的图象关于y轴对称，在对称的区间上单调性相反；
(4)从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点；
(5)从特殊点出发，排除不符合要求的选项，如f(0)的值，当x>0时f(x)的正负等．
2．函数图象应用的3个类型
研究函数的性质
对于已知或易画出图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系
研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解
研究方程根的个数
当方程与基本初等函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标
[演练冲关]
1．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )
解析：选D 法一：令f(x)＝－x4＋x2＋2，
则f′(x)＝－4x3＋2x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±，
则f′(x)>0的解集为∪，
f(x)单调递增；f′(x)<0的解集为∪，f(x)单调递减，结合图象知选D.
法二：当x＝1时，y＝2，所以排除A、B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝－＋＋2＝2>2，所以排除C选项．故选D.
2．已知定义在D＝[－4,4]上的函数f(x)＝对任意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最大值与最小值之和为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
解析：选C 作出函数f(x)的图象如图所示，由任意x∈D，f(x1)≤f(x)≤f(x2)知，f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，由图可知|x1－x2|max＝8，|x1－x2|min＝1，所以|x1－x2|的最大值与最小值之和为9，故选C.
3.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6
cm，BC＝8
cm，点P以1
cm/s的速度沿A→B→C的路径向C移动，点Q以2
cm/s的速度沿B→C→A的路径向A移动，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止移动．记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为S＝f(t)，则f(t)的图象大致为( )
解析：选A 当0≤t≤4时，点P在AB上，点Q在BC上，此时PB＝6－t，CQ＝8－2t，则S＝f(t)＝QC×BP＝(8－2t)×(6－t)＝t2－10t＋24；
当4＜t≤6时，点P在AB上，点Q在CA上，此时AP＝t，P到AC的距离为t，CQ＝2t－8，则S＝f(t)＝QC×t＝(2t－8)×t＝(t2－4t)；
当6＜t≤9时，点P在BC上，点Q在CA上，此时CP＝14－t，QC＝2t－8，
则S＝f(t)＝QC×CPsin∠ACB＝(2t－8)(14－t)×＝(t－4)(14－t)．
综上，函数f(t)对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A.
考点(三)函数的性质及应用
主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及其应用.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·武汉调研)函数f(x)＝loga(x2－4x－5)(a>1)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2)
B．(－∞，－1)
C．(2，＋∞)
D．(5，＋∞)
(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50
B．0
C．2
D．50
[解析] (1)由x2－4x－5>0，解得x>5或x<－1，
又函数f(u)＝logau(a>1)在(0，＋∞)上是增函数，
而函数u(x)＝x2－4x－5＝(x－2)2－9在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，
结合定义域，可知函数f(x)＝loga(x2－4x－5)(a>1)的单调递增区间为(5，＋∞)．故选D.
(2)法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
法二：由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
[答案] (1)D (2)C
[方法技巧]
函数3个性质的应用
奇偶性
具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上的图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上
单调性
可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性，求参数的取值范围或值
周期性
利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解
[演练冲关]
1．已知函数f(x)＝－x＋log2＋1，则f
＋f
的值为( )
A．2
B．－2
C．0
D．2log2
解析：选A f(x)的定义域为(－1,1)，由f(－x)－1＝1－f(x)知f(x)－1为奇函数，则f
－1＋f
－1＝0，所以f
＋f
＝2.
2．(2018·开封模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2
019)＝( )
A．5
B．
C．2
D．－2
解析：选D 由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2
019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.
3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若A.
B．(0，e)
C.
D．(e，＋∞)
解析：选C ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(ln
x)－f＝f(ln
x)－f(－ln
x)＝f(ln
x)＋f(ln
x)＝2f(ln
x)，∴x)|x<1，解得4．(2019届高三·山西八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________.
解析：∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f＝f，又2≤x≤3时，f(x)＝x，∴f＝，∴f＝.
答案：
[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干
[主干知识要记牢]
函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
[二级结论要用好]
1．函数单调性和奇偶性的重要结论
(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)为增(减)函数．
(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．
(3)f(x)为奇函数 f(x)的图象关于原点对称；
f(x)为偶函数 f(x)的图象关于y轴对称．
(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．
(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0.
(6)f(x)＋f(－x)＝0 f(x)为奇函数；
f(x)－f(－x)＝0 f(x)为偶函数．
2．抽象函数的周期性与对称性的结论
(1)函数的周期性
条件
结论
若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)
则f(x)是周期函数，T＝2a
若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)
则f(x)是周期函数，T＝2a
若函数f(x)满足f(x＋a)＝
则f(x)是周期函数，T＝2a
(2)函数图象的对称性
条件
结论
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)
则f(x)的图象关于直线x＝a对称
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)
则f(x)的图象关于点(a,0)对称
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)
则函数f(x)的图象关于直线x＝对称
3．函数图象平移变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c＞0时向左移，c＜0时向右移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数)．
(2)把y＝f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b＜0时向下移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数)．
[易错易混要明了]
1．求函数的定义域时，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被
开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不能遗漏．
2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，不能用集合或不等式代替．
3．判断函数的奇偶性时，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
4．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．
[针对练1] 已知函数f(x)满足f(cos
x)＝sin2x，则f(x)＝________________.
解析：令t＝cos
x，且t∈[－1,1]，则f(t)＝1－t2，t∈[－1，1]，即f(x)＝1－x2，x∈[－1,1]．
答案：1－x2，x∈[－1,1]
5．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
[针对练2] 已知函数f(x)＝则f＝________.
解析：f
＝ln＝－1，f
＝f(－1)＝e－1＝.
答案：
A级——12＋4提速练
一、选择题
1．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A.
B.
C.
D．[0,1)
解析：选D 要使函数有意义，需即0≤x<1.
2．(2018·合肥模拟)已知函数f(x)＝则f[f(1)]＝( )
A．－
B．2
C．4
D．11
解析：选C ∵f(1)＝12＋2＝3，∴f
[f(1)]＝f(3)＝3＋＝4.故选C.
3．函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为( )
解析：选A 令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－24．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)是偶函数
B．函数f(x)是减函数
C．函数f(x)是周期函数
D．函数f(x)的值域为[－1，＋∞)
解析：选D 由函数f(x)的解析式，知f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos
1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数．当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且f(x)>1；当x≤0时，f(x)＝cos
x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且f(x)
∈[－1,1]．所以函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.
5．(2018·贵阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝( )
A．2
B．4
C．－2
D．－4
解析：选C 由题意，知f(－6)＝－f(6)＝－(log28－1)＝－3＋1＝－2，故选C.
6．(2018·武汉调研)已知奇函数f(x)在R上单调递增，若f(1)＝1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2]
B．[－1,1]
C．[0,4]
D．[1,3]
解析：选D 因为f(x)为奇函数，且f(1)＝1，所以f(－1)＝－1，故f(－1)＝－1≤f(x－2)≤1＝f(1)，又函数f(x)在R上单调递增，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3，故选D.
7．函数f(x)＝的单调递增区间为( )
A.
B．
C.
D.
解析：选A 由x2－x－1≥0，可得函数f(x)的定义域为.令t＝，则y＝t，该指数函数在定义域内为减函数．根据复合函数的单调性，要求函数f(x)＝的单调递增区间，即求函数t＝的单调递减区间，易知函数t＝的单调递减区间为.所以函数f(x)＝的单调递增区间为，故选A.
8．(2019届高三·河北五个一名校联考)已知奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，若当x∈(－1,1)时，f(x)＝lg，且f(2
018－a)＝1，则实数a的值可以是( )
A.
B．
C．－
D．－
解析：选A ∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(2－x)，又函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)为周期函数，周期为4.当x∈(－1，1)时，令f(x)＝lg＝1，得x＝，又f(2
018－a)＝f(2－a)＝f(a)，∴a可以是，故选A.
9．(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1]
B．[1，＋∞)
C．(0,1)
D．(－∞，1]
解析：选A 画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需0≤1－a<1，即00时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上010．(2018·成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是( )
A．f(log27)B．f(log27)C．f(－5)D．f(－5)解析：选C f(x＋2)＋f(x)＝0 f(x＋2)＝－f(x) f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．
又f(－x)＝－f(x)，且有f(2)＝－f(0)＝0，
所以f(－5)＝－f(5)＝－f(1)＝－log22＝－1，f(6)＝f(2)＝0.
又2f(log27)＋f(log27－2)＝0 f(log27)＝－f(log27－2)＝－f＝－log2＝－log2，又1所以f(－5)11．若函数y＝f(x)的图象上的任意一点P的坐标(x，y)满足条件|x|≥|y|，则称函数f(x)具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是( )
A．f(x)＝ex－1
B．f(x)＝ln(x＋1)
C．f(x)＝sin
x
D．f(x)＝tan
x
解析：选C 不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图中阴影部分所示，函数f(x)具有性质S，则函数图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，f(x)＝ex－1的图象分布在区域①和③内，f(x)＝ln(x＋1)的图象分布在区域②和④内，f(x)＝sin
x的图象分布在区域①和②内，f(x)＝tan
x在每个区域都有图象，故选C.
12．(2018·吉林省实验中学模拟)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(x)>0，满足f(x·y)＝f(x)·f(y)，且在区间(0，＋∞)上单调递增，若m满足f(log3m)＋feq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(logm))≤2f(1)，则实数m的取值范围是( )
A．[1,3]
B．
C.∪(1,3]
D.∪(1,3]
解析：选D 由于f(x·y)＝f(x)·f(y)，f(x)>0，则令x＝y＝1可得f(1)＝[f(1)]2，即f(1)＝1.令x＝y＝－1，则f(1)＝[f(－1)]2＝1，即f(－1)＝1.令y＝－1，则f(－x)＝f(x)f(－1)＝f(x)，即f(x)为偶函数．由f(log3m)＋feq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(logm))＝2f(1)得2f(log3m)≤2f(1)，得f(|log3m|)≤f(1)．由于f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，则|log3m|≤1，且log3m≠0，解得m∈∪(1,3]．
二、填空题
13．若f(x)＝2x＋2－xlg
a是奇函数，则实数a＝________.
解析：∵函数f(x)＝2x＋2－xlg
a是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，即2x＋2－xlg
a＋2－x＋2xlg
a＝0，(2x＋2－x)(1＋lg
a)＝0，∴lg
a＝－1，∴a＝.
答案：
14．已知a>0，函数f(x)＝若f>－，则实数t的取值范围为________．
解析：当x∈[－1,0)时，函数f(x)＝sinx单调递增，且f(x)∈[－1,0)，当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)＝ax2＋ax＋1，此时函数f(x)单调递增且f(x)≥1，综上，当x∈[－1，＋∞)时，函数f(x)单调递增，由f(x)＝sinx＝－得x＝－，解得x＝－，则不等式f>－，等价于f>f，∵函数f(x)是增函数，∴t－>－，即t>0.故t的取值范围为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
15．(2018·山东潍坊模拟)已知奇函数f(x)满足对任意的x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，且f(1)＝1，f(2)＝2，则f(2
017)＋f(2
018)＝________.
解析：因为f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，所以当x＝－3时，有f(3)＝f(－3)＋f(3)，即f(－3)＝0，又f(x)为奇函数，所以f(3)＝0，所以f(x＋6)＝f(x)，函数f(x)是以6为周期的周期函数，f(2
017)＋f(2
018)＝f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)＝f(1)＋f(2)＝3.
答案：3
16．(2018·济宁模拟)已知函数f(x)＝min{2，|x－2|}，其中min{a，b}＝若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，且它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1·x2·x3的最大值是________．
解析：因为函数f(x)＝min{2，|x－2|}
＝
作出其大致图象如图所示，若直线y＝m与函数f(x)的图象有三个不同的交点，则0答案：1
B级——难度小题强化练
1．(2018·山东临沂模拟)函数f(x)＝ln的图象可能是( )
解析：选A 易知函数f(x)是偶函数，故其图象关于y轴对称，排除选项C.函数的定义域是x≠0，排除选项D.＝＝>1，所以f(x)>0，排除选项B.故选A.
2．(2018·洛阳模拟)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1) x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2) x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.给出下列四个函数，
①f(x)＝sin
x；②f(x)＝－2x3；
③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(＋x)．
其中为“优美函数”的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选B 由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调减函数．
对于①，f(x)＝sin
x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.
3．已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝0，f(x)＋f(1－x)＝1，f＝f(x)，且当0≤x1A.
B．
C.
D.
解析：选C 在f(x)＋f(1－x)＝1中，令x＝1，得f(1)＝1，令x＝，得f
＝，在f
＝f(x)中，令x＝1，得f
＝，由此得f
＝f
，再根据当0≤x1＝f(x)，可得f(x)＝f(3x)，故f
＝f
＝f
＝f＝…＝f
.设≤≤，即≤3n≤1
009，由36＝729,37＝2
187，得n＝6，所以f＝f
＝×＝.
4.(2018·安庆二模)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1
m的圆O沿l1以1
m/s的速度匀速竖直向上移动，且在t＝0时，圆O与l2相切于点A，圆O被直线l2所截得到的两段圆弧中，位于l2上方的圆弧的长记为x，令y＝cos
x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( )
解析：选B 如图所示，设∠MON＝α，由弧长公式知x＝α，在Rt△AOM中，|AO|＝1－t，cos
＝＝1－t，∴y＝cos
x＝2cos2－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．故其对应的大致图象应为B.
5．对于实数a，b，定义运算“ ”：a b＝设f(x)＝(x－4) ，若关于x的方程|f(x)－m|＝1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意得，f(x)＝(x－4) ＝画出函数f(x)的大致图象如图所示．
因为关于x的方程|f(x)－m|＝1(m∈R)，即f(x)＝m±1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根，所以两直线y＝m±1(m∈R)与曲线y＝f(x)共有四个不同的交点，则或或得2答案：(－1,1)∪(2,4)
6．已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈R)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈R)，y＝h(x)满足：对任意的x∈R，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．
解析：根据“对称函数”的定义可知，＝3x＋b，即h(x)＝6x＋2b－，h(x)>g(x)恒成立，等价于6x＋2b－>
，即3x＋b>恒成立，设y1＝3x＋b，y2＝，作出两个函数对应的图象如图所示，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝＝2，即|b|＝2，
∴b＝2或b＝－2(舍去)，若要使h(x)>g(x)恒成立，则b>2，即实数b的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)