019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案与详细解析
趣
解析
log2
O
解
178(cm),最接近的答案是1
析:f(x)+f(-x)=0,奇函数,排除
排除B,
解
解
解析
第一次结果
第二次结果
判断出空白框应填A
解析:易知前四项
解析
对角B用两次余弦定理
4
得
(x),偶函数,①对
(a)=sin
lac
2
作出f(x)在
的图像,可知②③错,④对.
P
则C
在△AC
线定理A
√2
e--->>C
又
解得
所以
填
3X解析:y=3(x2
切线方程y=3X
a=a2a5,a2=1所以前5项为,1
则S5
18解析:因为甲以4:1获胜,所以只需看前5场
主客客主
概率
√√√
概率
解
题作出草图,可知OB
易证得
则∠BC
正三角形,OB
解
(一)必考
(1)(sin
B
Bsin
c
弦定理得,
余弦定理得,cosA
由正弦
B
C
代入A得,cos
√2
丌
√6+√2
解(纯空间向量做法)
C
建立如图空间直角坐标系,点N在底面投影为
(1)证明:易知M(2
轴上坐标都是0,且(
g平
平
何法,证MN
即可(借用
证明)
4),MA=(
平面
的法
MA
取X=1得其中
易知平面AMA的一个法向量为
10)
所以二面角A-MA-N的正弦值为
A(X,y),B(X2,y2)
的方程
得y1=-3y2,联立上式
(1)f(x)=COS
X
√2
在X∈(0,)使f"(X)=0
极大亻
所
在区间(-1-)存在唯
0时,f(X)=Cosx
减,又f(0)
当X1f(x)…f(
综上,f(X)有且仅有2个零点
(1-a)
a)(1-B)+aB
所以X的分布
1,2
0,1…,7)为等比数
(p
(p
表示在初始4分的情况下,甲药累计得分为4时
为甲药比更有效的概率仅为(<0.01)
而事实上确实如此因为乙药的治愈率大于甲药(08>0
故这种试验方案是合理的
意到(1
所以x2+(
1即C的直角坐标方程为
直线的直角坐标方程为:2X+√3y
(2)设C上的点为cosO,2inO),O为参数
点到直线l的距离
0+2
所以C上的点到距离的最小值为√7
证明
(1)a
式相加得
a
1时取等号
C=1时取等号绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则=
A．
B．
C．
D．
2．设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A．
B．
C．
D．
3．已知，则
A．
B．
C．
D．
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105
cm，头顶至脖子下端的长度为26
cm，则其身高可能是
A．165
cm
B．175
cm
C．185
cm
D．190
cm
5．函数f(x)=在的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“—
—”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A．
B．
C．
D．
7．已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为
A．
B．
C．
D．
8．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入
A．A=
B．A=
C．A=
D．A=
9．记为等差数列的前n项和．已知，则
A．
B．
C．
D．
10．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为
A．
B．
C．
D．
11．关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点
④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为____________．
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．(12分)
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
18．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
19．（12分）
已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
20．（12分）
已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
21．（12分）
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
