2019年高考天津卷理数真题试卷（解析版）

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2019年高考理数真题试卷（天津卷）原卷+解析
一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。
1.（2019?天津）设集合
，则
（
??）
A.?????B.????C.?????D.?
【答案】
D
【考点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】
，
故答案为：D
【分析】利用集合交并运算性质即可得出答案。
2.（2019?天津）设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值为（
??）
A.?2?????B.?3????C.?5??????D.?6
【答案】
C
【考点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】作出不等式对应的平面区域，由
得
，平移直线
，可知当直线
经过直线
与
的交点时，直线
的截距最大，此时
最大
由
解得
此时直线
与
的交点为
此时
的最大值为
故答案为：C
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可得出
的最大值。
3.（2019?天津）设
，则“
”是“
”的（
??）
A.?充分而不必要条件????
B.?必要而不充分条件???????????
C.?充要条件??????????D.?既不充分也不必要条件
【答案】
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由
得，
由
得
由“小范围”推出“大范围”得出
可推出
故“
”是“
”的必要而不充分条件。
故答案为：B
【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可。
4.（2019?天津）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出
的值为（
??）
A.?5????
B.?8?????C.?24?????D.?29
【答案】
B
【考点】程序框图
【解析】【解答】该程序框图共运行3次：第1次，
，1非偶数，
，
；第2次，
，2是偶数，
，
，
；
，3非偶数，
，
成立，结束循环，故输出
。
故答案为：B
【分析】本题考查当型循环结构的程序框图，由算法的功能判断
值的变化规律以及对应的赋值语句即可得出答案。
5.（2019?天津）已知抛物线
的焦点为
，准线为
，若
与双曲线
的两条渐近线分别交于点
和点
，且
（
为原点），则双曲线的离心率为（
??）
?A.??????B.??????C.???????D.?
【答案】
D
【考点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】抛物线
的准线
：
抛物线
的准线为F，
∵抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线分别交于A，B两点，且
，
∴
，
，
将A点坐标代入双曲线渐近线方程得
，
∴
，
∴
，
即
，
∴
.
故答案为：D.
【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标，
得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合
的关系式得出出
的关系，即可求得离心率。
6.（2019?天津）已知
，
，
，则
的大小关系为（
??）
A.????B.????C.?????D.?
【答案】
A
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】
且
，
，
故
故答案为：A
【分析】利用对数和指数的运算性质，找出中间特殊值，确定
的大小关系即可。
7.（2019?天津）已知函数
是奇函数，将
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为
.若
的最小正周期为
，且
，则
（
??）
A.?????B.??
??C.????????D.?
【答案】
A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由函数
是奇函数，得
，即
得
由
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为
.若
的最小正周期为
，
得
的最小正周期为
，
故
由
得
即
故
故答案为：C
【分析】由奇函数得
，即
得
,由
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为
的最小正周期为
，
得
的最小正周期为
，求出ω，进而得出
，
，再代入
求出A的值，进而得出
。
8.（2019?天津）已知
，设函数
若关于
的不等式
在
上恒成立，则
的取值范围为（
??）
A.????B.?????C.????D.?
【答案】
C
【考点】函数恒成立问题
【解析】【解答】∵
的对称轴为
又∵
∴
∵
在R上恒成立
∴
∴当
时，
得
解得
；
当
时，
得
解得
。
综上所述，
故答案为：C
【分析】分段讨论
和
时，求最小值的问题，关于
的不等式
在
上恒成立，解不等式即可得出
的取值范围。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.（2019?天津）
是虚数单位，则
的值为________.
【答案】
【考点】复数求模
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】本题考查复数的除法运算，分子分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数求模即可得出答案。
10.（2019?天津）
是展开式中的常数项为________.
【答案】
28
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】展开式的通项公式为
令
可得
故展开式中的常数项为
故答案为：28
【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数。
11.（2019?天津）已知四棱锥的底面是边长为
的正方形，侧棱长均为
.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________.
【答案】
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】【解答】∵四棱锥的底面是边长为
的正方形，侧棱长均为
连接
，
设四棱锥的高为
，
是底面的中心。
∴
，
在
中，
∵圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，
∴圆柱底面的半径
，圆柱的高
∴圆柱的体积
??????
【分析】本题主要考查圆柱的体积，通过求出四棱锥的高，底面的对角线，进而得出圆柱底面的半径及圆柱的高，最后求出圆柱的体积。?????????????????????????????????????????
12.（2019?天津）设
，直线
和圆
（
为参数）相切，则
的值为________.
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】把圆的参数方程化为普通方程得：
∴圆心的坐标为
，半径
∵直线
和圆相切，
∴圆心到直线的距离
即
解得：
故答案为：
【分析】将圆的参数方程化为普通方程，利用圆心
到直线
的距离等于半径即可得出答案。
13.（2019?天津）设
，则
的最小值为________.
【答案】
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵
∴
当且仅当
，即当
或
时，等号成立。
故答案为：
【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。
14.（2019?天津）在四边形
中，
，点
在线段
的延长线上，且
，则
________.
【答案】
-1
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】∵
,
,
，点
在线段
的延长线上，
作
∴
，
∴在
中，
，
∴
故答案为：-1
【分析】本题考查向量加法的三角形法则，向量内积，需注意向量内积所成的夹角，必须共用一起点所成的角才可以。
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
15.（2019?天津）在
中，内角
所对的边分别为
.已知
，
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值.
【答案】
解：在
中，由正弦定理
，得
，又由
，得
，即
.又因为
，得到
，
.由余弦定理可得
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，从而
，
，故
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）利用正余弦定理即可求得
（Ⅱ）利用
，求得
，进而根据二倍角公式求出
，
，再利用两角和的正弦即可求得答案。
本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的公式、倍角公式、正余弦定理等知识。
16.（2019?天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为
.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用
表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量
的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设
为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件
发生的概率.
【答案】
解：（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为
，故
，从而
.
所以，随机变量
的分布列为
0
1
2
3
随机变量
的数学期望
.
（Ⅱ）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为
，则
，且
.由题意知事件
与
互斥，且事件
与
，事件
与
均相互独立，从而由（Ⅰ）知
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【分析】本题主要考查随机变量及其分布列和数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式。
（Ⅰ）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为
，利用
分别求出相应的概率，即可求出随机变量X的数学期望。
（Ⅱ）先列出发生事件M的几种情况，，由题意知事件
与
互斥，且事件
与
，事件
与
均相互独立，由此即可求出事件M发生的概率。
17.（2019?天津）如图，
平面
，
，
.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角
的余弦值为
，求线段
的长.
【答案】
解：依题意，可以建立以
为原点，分别以
的方向为
轴，
轴，
轴正方向的空间直角坐标系（如图），
可得
，
.设
，则
.
（Ⅰ）证明：依题意，
是平面
的法向量，又
，可得
，又因为直线
平面
，所以
平面
.
（Ⅱ）依题意，
.
设
为平面
的法向量，则
即
不妨令
，
可得
.因此有
.
所以，直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（Ⅲ）设
为平面
的法向量，则
即
不妨令
，可得
.
由题意，有
，解得
.经检验，符合题意.
所以，线段
的长为
【考点】用向量证明平行，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】本题主要考查空间向量的应用，直线与平面平行判定定理、二面角、直线与平面所成的角等知识。
（Ⅰ）欲证
平面
，需证出
与平面
的法向量垂直，由
是平面
的法向量，又
，可得
，进而得出
平面
；
（Ⅱ）要求直线
与平面
所成角的正弦值，只要找出
与平面
的法向量所成的角的余弦值即可。
（Ⅲ）设出平面
的法向量
，根据
求出
，再根据
，求出线段CF的长。
18.（2019?天津）设椭圆
的左焦点为
，上顶点为
.已知椭圆的短轴长为4，离心率为
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点
在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点
为直线
与
轴的交点，点
在
轴的负半轴上.若
（
为原点），且
，求直线
的斜率.
【答案】
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为
，依题意，
，又
，可得
，
.
所以，椭圆的方程为
.
（Ⅱ）由题意，设
.设直线
的斜率为
，又
，则直线
的方程为
，与椭圆方程联立
整理得
，可得
，代入
得
，进而直线
的斜率
.在
中，令
，得
.由题意得
，所以直线
的斜率为
.由
，得
，化简得
，从而
.
所以，直线
的斜率为
或
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查直线与圆锥曲线方程和圆锥曲线的性质。
（Ⅰ）由椭圆的短轴长，离心率，即可求
，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由已知条件写出直线
的点斜式，把直线
的方程跟椭圆的方程联立，用
表示出P点的坐标，进而求出
,在通过已知条件求出
，由
，得出
求出
的值，进而得出直线
的斜率。
19.（2019?天津）设
是等差数列，
是等比数列.已知
.
（Ⅰ）求
和
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
满足
其中
.
（i）求数列
的通项公式；
（ii）求
.
【答案】
解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
.依题意得
解得
故
.
所以，
的通项公式为
的通项公式为
.
（Ⅱ）（i）
.
所以，数列
的通项公式为
.
（ii）
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和
【解析】【分析】本题主要考查等差数列、等比数列以及通项公式及其前项和公式。
（Ⅰ）由
，根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，即可求
和
的通项公式；
（Ⅱ）由（ⅰ）
的通项公式为
的通项公式为
，
得出数列
的通项公式；
（ⅱ）将
代值并化简即可求值。
20.（2019?天津）设函数
为
的导函数.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）当
时，证明
；
（Ⅲ）设
为函数
在区间
内的零点，其中
，证明
.
【答案】
解：（Ⅰ）由已知，有
.因此，当
时，有
，得
，则
单调递减；当
时，有
，得
，则
单调递增.
所以，
的单调递增区间为
的单调递减区间为
.
（Ⅱ）证明：记
.依题意及（Ⅰ），有
，从而
.当
时，
，故
.
因此，
在区间
上单调递减，进而
.
所以，当
时，
.
（Ⅲ）证明：依题意，
，即
.记
，则
，且
.
由
及（Ⅰ），得
.由（Ⅱ）知，当
时，
，所以
在
上为减函数，因此
.又由（Ⅱ）知，
，故
.
所以，
【考点】利用导数研究函数的单调性，不等式的证明，反证法与放缩法
【解析】【分析】本题主要考导数的计算、不等式证明及导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ）对函数
求导可求出
的单调递增区间和单调递减区间；
（Ⅱ）先构造函数
，再对（Ⅰ）
求导，找出
的单调递减区间，结论得以证明；
（Ⅲ）由已知条件
得出
，进而得出
，
，结合（Ⅱ）
在
为减函数，即可得到
，再由（Ⅱ）可知
，利用单调性即可证得结论。
试卷分析部分
1.
试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布
客观题（占比）
40（26.7%）
主观题（占比）
110（73.3%）
题量分布
客观题（占比）
8（40.0%）
主观题（占比）
12（60.0%）
2.
试卷题量分布分析
大题题型
题目量（占比）
分值（占比）
选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。
8（40.0%）
40（26.7%）
填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
6（30.0%）
30（20.0%）
解答题：本大题共6小题，共80分.
6（30.0%）
80（53.3%）
3.
试卷难度结构分析
序号
难易度
占比
1
容易
20%
2
普通
70%
3
困难
10%
4.
试卷知识点分析
序号
知识点（认知水平）
分值（占比）
对应题号
1
交、并、补集的混合运算
5（1.7%）
1
2
简单线性规划的应用
5（1.7%）
2
3
必要条件、充分条件与充要条件的判断
5（1.7%）
3
4
程序框图
5（1.7%）
4
5
圆锥曲线的综合
5（1.7%）
5
6
不等式比较大小
5（1.7%）
6
7
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
5（1.7%）
7
8
函数恒成立问题
5（1.7%）
8
9
复数求模
5（1.7%）
9
10
二项式定理的应用
5（1.7%）
10
11
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
5（1.7%）
11
12
直线与圆的位置关系
5（1.7%）
12
13
基本不等式在最值问题中的应用
5（1.7%）
13
14
平面向量数量积的运算
5（1.7%）
14
15
余弦定理
13（4.4%）
15
16
三角函数的恒等变换及化简求值
13（4.4%）
15
17
正弦定理
13（4.4%）
15
18
二项分布与n次独立重复试验的模型
13（4.4%）
16
19
离散型随机变量及其分布列
13（4.4%）
16
20
离散型随机变量的期望与方差
13（4.4%）
16
21
用向量证明平行
13（4.4%）
17
22
用空间向量求直线与平面的夹角
13（4.4%）
17
23
用空间向量求平面间的夹角
13（4.4%）
17
24
椭圆的标准方程
13（4.4%）
18
25
直线与圆锥曲线的综合问题
13（4.4%）
18
26
等差数列的通项公式
14（4.7%）
19
27
等比数列的通项公式
14（4.7%）
19
28
数列的求和
14（4.7%）
19
29
利用导数研究函数的单调性
14（4.7%）
20
30
不等式的证明
14（4.7%）
20
31
反证法与放缩法
14（4.7%）
20
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精品试卷·第
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（共
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