2019年高考天津卷文数真题试卷（解析版）

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2019年高考文数真题试卷（天津卷）原卷+解析
一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。
1.（2019?天津）设集合
，
?，
?，则
（
??）
A.?{2???B.?{2，3}???C.?{-1，2，3}?
??D.?{1，2，3，4}
【答案】
D
【考点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】
，
故答案为：D
【分析】利用集合交并运算性质即可得出答案。
2.（2019?天津）设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值为（
??）
A.?2??????B.?3????????C.?5???????D.?6
【答案】
C
【考点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】作出不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示，
?
??
由
得
，平移直线
，可知当直线
，经过直线
与
的交点时，直线
的截距最大，此时
最大
由
解得
此时直线
与
的交点为
此时
的最大值为
故答案为：C
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可得出
的最大值。
3.（2019?天津）设
，则“
”是“
”的（
??）
A.?充分而不必要条件???????
B.?必要而不充分条件???????????
C.?充要条件???????????
D.?既不充分也不必要条件
【答案】
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由
得，
由“小范围”推出“大范围”得出
可推出
故“
”是“
”的必要而不充分条件。
故答案为：B
【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可。
4.（2019?天津）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出
的值为（
??）
A.?5????B.?8????C.?24????D.?29
【答案】
B
【考点】程序框图
【解析】【解答】该程序框图共运行3次：第1次，
，1非偶数，
，
；第2次，
，2是偶数，
，
，
；
，3非偶数，
，
成立，结束循环，故输出
。
故答案为：B
【分析】本题考查当型循环结构的程序框图，由算法的功能判断
值的变化规律以及对应的赋值语句即可得出答案。
5.（2019?天津）已知
，则
的大小关系为（
??）
A.??????B.?????C.?????D.?
【答案】
A
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】
，
，
且
故
故答案为：A
【分析】利用对数和指数的运算性质，找出中间特殊值，确定
的大小关系即可。
6.（2019?天津）已知抛物线
的焦点为F，准线为l.若与双曲线
的两条渐近线分别交于点A和点B
，
且
（O为原点），则双曲线的离心率为（
??）
A.????B.?????C.?2?????D.?
【答案】
D
【考点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】抛物线
的准线
：
抛物线
的准线为F，
∵抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线分别交于A，B两点，且
，
∴
，
，
将A点坐标代入双曲线渐近线方程得
，
∴
，
∴
，
即
，
∴
.
故答案为：D.
【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标，
得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合
的关系式得出出
的关系，即可求得离心率。
7.（2019?天津）已知函数
是奇函数，且
的最小正周期为
，将
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为
.若
，则
（
??）
A.?-2??????B.?-
?????C.???????D.?2
【答案】
C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由函数
是奇函数，得
，即
得
由
的最小正周期为
，得
，
将
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得
由
得
即
故
故答案为：C
【分析】由奇函数得
，即
得
,由周期求出ω，再根据函数
的图象变换规律，得出
，再代入
求出A的值，进而得出
的值。
8.（2019?天津）已知函数
若关于
的方程
恰有两个互异的实数解，则
的取值范围为（
??）
A.??
?B.?????C.?????D.?
【答案】
D
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】令
∵方程
恰有两个互异的实数解???
即
与
仅有两个交点。
当
过
时，即
，解得
；
当
过
时，即
，解得
；
当
，
与
有两个交点，满足题意；
另外当
与
相切时也符合，此时
即
解得
综上所述
的取值范围为
故答案为：D
【分析】本题考查数形结合的思想应用及分段函数的应用，同时考查了函数与方程的关系应用。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.（2019?天津）
是虚数单位，则的值
的值为________.
【答案】
【考点】复数求模
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】本题考查复数的除法运算，分子分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数求模即可得出答案。
10.（2019?天津）设
，使不等式
成立的
的取值范围为________.
【答案】
【考点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】由
得
，解得
故答案为：
【分析】本题考查一元二次不等式的解法。
11.（2019?天津）曲线
在点
处的切线方程为________.
【答案】
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】函数
的导数为
，
，及切线斜率
所以切线方程为
：
即
故答案为：
【分析】本题考查函数在某点处的切线方程的求法，函数导数与切线斜率的关系，属于导数的应用。
12.（2019?天津）已知四棱锥的底面是边长为
的正方形，侧棱长均为
.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________.
【答案】
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】【解答】∵四棱锥的底面是边长为
的正方形，侧棱长均为
连接
，
设四棱锥的高为
，
是底面的中心。
∴
，
在
中，
∵圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，
∴圆柱底面的半径
，圆柱的高
∴圆柱的体积
??????
【分析】本题主要考查圆柱的体积，通过求出四棱锥的高，底面的对角线，进而得出圆柱底面的半径及圆柱的高，最后求出圆柱的体积。?
13.（2019?天津）设
，则
的最小值为________.
【答案】
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵
∴
即
，
∴
当且仅当
时，即当
时，等号成立。
∴
的最小值为
。
故答案为：
【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。
14.（2019?天津）在四边形
中，
，点
在线段
的延长线上，且
，则
________.
【答案】
-1
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】∵
,
,
，点
在线段
的延长线上，
作
∴
，
?
∴在
中，
，
∴
????????????
???????????????????
故答案为：-1???
【分析】本题考查向量加法的三角形法则，向量内积，需注意向量内积所成的夹角，必须共用一起点所成的角才可以。
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
15.（2019?天津）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有
人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为
.享受情况如右表，其中“
”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设
为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件
发生的概率.
【答案】
解：（1）由已知，老、中、青员工人数之比为
，
由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员中分别抽取6人，9人，10人.
（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
，共15种.(公式显示不全)
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
，共11种.
所以，事件
发生的概率
【考点】分层抽样方法，列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（Ⅰ）根据老、中、青员工人数之比为
，
采用分层抽样，从中抽取25人调查，分别求出应从老、中、青员工中分别抽取的人数；
（Ⅱ）（ⅰ）根据题意列举出从6人中随机抽取2人接受采访可能出现的结果；
（ⅱ）根据表格所给条件求出事件M出现的情况有多少种，进而求出事件M发生的概率。
16.（2019?天津）在
中，内角
所对的边分别为
.已知
，
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值.
【答案】
解：在
中，由正弦定理
，得
，又由
，得
，即
.又因为
，得到
，
.由余弦定理可得
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，从而
，
，故
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）利用正余弦定理即可求得
（Ⅱ）利用
，求得
，进而根据二倍角公式求出
，
，再利用两角和的正弦即可求得答案。
本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的公式、倍角公式、正余弦定理等知识。
17.（2019?天津）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
为等边三角形，平面
平面
，
，
，
（Ⅰ）设
分别为
的中点，求证：
平面
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】
解：（Ⅰ）证明：连接
，易知
，
.又由
，故
，又因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
（Ⅱ）证明：取棱
的中点
，连接
.依题意，得
，又因为平面
平面
，平面
平面
，所以
平面
，交
平面
，故
.又已知
，
，所以
平面
.
（Ⅲ）解：连接
，由（Ⅱ）中
平面
，可知
为直线
与平面
所成的角，
因为
为等边三角形，
且
为
的中点，所以
.又
，
在
中，
.
所以，直线
与平面
所成角的正弦值为
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角
【解析】【分析】（Ⅰ）欲证
平面
，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证
与平面
内一直线平行，由三角形中位线可得
，即可证得；
（Ⅱ））欲证
平面
，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证
与平面
内两相交直线垂直，由平面
平面
，
，得出
平面
，进而得出
，再由
，即可证得
平面
；
（Ⅲ）连接
，构造直角三角形
，可知
为直线
与平面
所成的角，解直角三角形，求出
的大小，即可得出直线
与平面
所成的角。
18.（2019?天津）设
是等差数列，
是等比数列，公比大于0，已知
，
?，
.
（Ⅰ）求
和
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
满足
求
.
【答案】
解：（Ⅰ）解：设等差数列
的公差为d，等比数列
的公比为q依题意，得
，解得
，故
.
所以，
的通项公式为
，
的通项公式
为
.
（Ⅱ）解：
=
.?
①
，??
②
②-①得，
.
所以，
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和
【解析】【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出，设
的公差为
，
的公比为
，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得
和
，进而可得
、
的通项公式；
（II）数列
的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前
项和
．．
19.（2019?天津）设椭圆
的左焦点为
，左顶点为
，顶点为B.已知
（
为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点
且斜率为
的直线
与椭圆在
轴上方的交点为
，圆
同时与
轴和直线
相切，圆心
在直线
上，且
，求椭圆的方程.
【答案】
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为
，由已知有
，又由
，消去
得
，解得
.
所以，椭圆的离心率为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
?，故椭圆方程为
.由题意，
，则直线
的方程为
.点P的坐标满足
，消去
并化简，得到
，解得
，代入到
的方程，解得
.因为点
在
轴上方，所以
.由圆心
在直线
上，可设
.因为
，且由（Ⅰ）知
，故
，解得
.因为圆
与
轴相切，所以圆的半径为2，又由圆
与
相切，得
，可得
.
所以，椭圆的方程为
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由
|得，
，又
，即可求椭圆的离心率；
（Ⅱ）点斜式设出直线
的方程，由离心率的值设出椭圆的方程，将这两个方程联立方程组，应用根与系数的关系，用
表示出点P,再由圆心
在直线
上，设
，由
，列出关于等式
，求出
，再由圆
与
轴相切求出
，即可求出椭圆的方程．
20.（2019?天津）设函数
，其中
.
（Ⅰ）若
，讨论
的单调性；
（Ⅱ）若
，
（i）证明
恰有两个零点
（ii）设
为
的极值点，
为
的零点，且
，证明
.
【答案】
解：（Ⅰ）解：由已知，
的定义域为
，且
因此当
时，
?，从而
，所以
在
内单调递增.
（Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）知
.令
，由
，
可知
在
内单调递减，又
，且
.
故
在
内有唯一解，从而
在
内有唯一解，不妨设为
，则
.当
时，
，所以
在
内单调递增；当
时，
，所以
在
内单调递减，因此
是
的唯一极值点.
令
，则当
时，
，故
在
内单调递减，从而当
时，
?，所以
.从而
，
又因为
，所以
在
内有唯零点.又
在
内有唯一零点1，从而，
）在
内恰有两个零点.
（ii）由题意，
即
，从而
，即
.因为当
时，
?，又
，故
，两边取对数，得
，于是
，
整理得
.
【考点】利用导数研究函数的单调性，不等式的证明，函数零点的判定定理
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式求出导函数，通过当
时，判断
，得到函数的单调性；
（Ⅱ）（ⅰ）求导，分析导函数可得函数
的单调性和极值点，再根据极值点的取值范围分析函数在不同区间的正负，即可得函数
的零点个数。
（ⅱ）根据
为
的极值点，
为
的零点可列出等式，化简整理得
，由（ⅰ）可得
，两边取对数，即可得
，整理即可得。
试卷分析部分
1.
试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布
客观题（占比）
40（26.7%）
主观题（占比）
110（73.3%）
题量分布
客观题（占比）
8（40.0%）
主观题（占比）
12（60.0%）
2.
试卷题量分布分析
大题题型
题目量（占比）
分值（占比）
选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。
8（40.0%）
40（26.7%）
填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
6（30.0%）
30（20.0%）
解答题：本大题共6小题，共80分.
6（30.0%）
80（53.3%）
3.
试卷难度结构分析
序号
难易度
占比
1
容易
20%
2
普通
70%
3
困难
10%
4.
试卷知识点分析
序号
知识点（认知水平）
分值（占比）
对应题号
1
交、并、补集的混合运算
5（1.8%）
1
2
简单线性规划的应用
5（1.8%）
2
3
必要条件、充分条件与充要条件的判断
5（1.8%）
3
4
程序框图
5（1.8%）
4
5
不等式比较大小
5（1.8%）
5
6
圆锥曲线的综合
5（1.8%）
6
7
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
5（1.8%）
7
8
分段函数的应用
5（1.8%）
8
9
复数求模
5（1.8%）
9
10
一元二次不等式的解法
5（1.8%）
10
11
利用导数研究曲线上某点切线方程
5（1.8%）
11
12
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
5（1.8%）
12
13
基本不等式在最值问题中的应用
5（1.8%）
13
14
平面向量数量积的运算
5（1.8%）
14
15
分层抽样方法
13（4.6%）
15
16
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
13（4.6%）
15
17
余弦定理
13（4.6%）
16
18
三角函数的恒等变换及化简求值
13（4.6%）
16
19
正弦定理
13（4.6%）
16
20
直线与平面所成的角
13（4.6%）
17
21
直线与平面平行的判定
13（4.6%）
17
22
直线与平面垂直的判定
13（4.6%）
17
23
等差数列的通项公式
13（4.6%）
18
24
等比数列的通项公式
13（4.6%）
18
25
数列的求和
13（4.6%）
18
26
椭圆的标准方程
14（4.9%）
19
27
直线与圆锥曲线的综合问题
14（4.9%）
19
28
函数零点的判定定理
14（4.9%）
20
29
利用导数研究函数的单调性
14（4.9%）
20
30
不等式的证明
14（4.9%）
20
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精品试卷·第
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