2019年高考浙江卷数学真题试卷（解析版）

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2019年高考数学真题试卷（浙江卷）原卷+解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1.（2019?浙江）已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则
=（
??）
A.?{-1}????B.?{0，1}????C.?{-1，2，3}????D.?{-1，0，1，3}
【答案】
A
【考点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：
，所以
={-1}.
故答案为：A.
【分析】根据集合的补写出
即可得到
.
2.（2019?浙江）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（
??）
A.???????B.?1?????C.?????????D.?2
【答案】
C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：根据双曲线的渐近线方程，得
，所以离心率e=
.
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的渐近线方程，得到
，即可求出离心率e.
3.（2019?浙江）若实数x，y满足约束条件
，则z=3x+2y的最大值是（
??）
A.?-1???????B.?1???????C.?10?????????D.?12
【答案】
C
【考点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】作出可行域和目标函数相应的直线，
平移该直线，可知当过（2,2）时，目标函数取最大值10.
故答案为：C.
【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值.
4.（2019?浙江）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=sh，其中s是柱体的底面积，h是柱体的高。若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（
??）
A.?158?
??B.?162?????C.?182??
?D.?32
【答案】
B
【考点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】根据三视图，确定几何体为五棱柱，
其底面积
,
所以体积V=27
.
故答案为：B.
【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，根据祖暅原理，即可求出相应的体积.
5.（2019?浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（
??）
A.?充分不必要条件???
B.?必要不充分条件???????????
C.?充分必要条件?????
D.?既不充分也不必要条件
【答案】
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】作出直线y=4-x和函数
的图象，结合图象的关系，可确定“a+b≤4“是“ab≤4”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】作出函数的图象，结合图象确定充分必要性即可.
6.（2019?浙江）在同一直角坐标系中，函数y=
，y=loga(x+
），（a>0且a≠0）的图像可能是（
??）
A????
?
B?
C??????
?D?
【答案】
D
【考点】函数的图象
【解析】【解答】当a>1时，y=
的底数大于0小于1，故过（0,1）单调递减；
y=loga(x+
）过（
，0）单调递增，没有符合条件的图象；
当0的底数大于1，故过（0,1）单调递增；
y=loga(x+
）过（
，0）单调递减；
故答案为：D.
【分析】对a的取值分类讨论，结合指数函数和对数函数的特点，确定函数的图象即可.
7.（2019?浙江）设0＜a＜1随机变量X的分布列是
X
0
a
1
P
则当a在（0，1）内增大时（
??）
A.?D（X）增大??
B.?D（X）减小?
C.?D（X）先增大后减小??
?D.?D（X）先减小后增大
【答案】
D
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：E（X）=
，
，
根据二次函数的单调性，可知D（X）先减小后增大；
故答案为：D.
【分析】根据期望的公式求出E(X),结合方差的计算公式及二次函数的性质即可确定D（X）先减小后增大.
8.（2019?浙江）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点，（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α.直线PB与平面ABC所成角为β.二面角P-AC-B的平面角为γ。则（
??）
A.?β＜γ，a
＜γ???
B.?β＜α，β＜γ??????
C.?β＜α，γ＜α?????D.?α＜β
，
γ＜β
【答案】
B
【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法
【解析】【解答】如图
为
中点，
在底面
的投影为
，则
在底面投影
在线段
上，过
作
垂直
，
易得
，过
作
交
于
，过
作
，交
于
，则
，则
，即
，
，即
，综上所述，
B正确.
故答案为：B
【分析】根据异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.应用三角函数知识求解，进而比较大小即可.
9.（2019?浙江）设a，b∈R
，
函数f（x）=
，若函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点，则（
??）
A.?a＜-1，b＜0???B.?a＜-1，b>0???C.?
a＞-1，b＞0???D.?a>-1，b>0
【答案】
C
【考点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】原题可转化为
与
，有三个交点.
当
时，
，且
，则
⑴当
时，如图
与
不可能有三个交点（实际上有一个），
排除A，B
⑵当
时，分三种情况，如图
与
若有三个交点，则
，答案选D
下面证明：
时，
时
，
，则
，才能保证至少有两个零点，即
，若另一零点在
.
故答案为：C
【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析.
10.（2019?浙江）设a，b∈R
，
数列{an}，满足an
=a，an+1=
an2+b，b∈N
，
则（
??）
A.?当b=
时，a10>10?
?
B.?当b=
时，a10>10
C.?当b=-2时，a10>10????
?D.?当b=-4时，a10>10
【答案】
A
【考点】数列的函数特性
【解析】【解答】选项B：不动点满足
时，如图，若
，
排除
如图，若
为不动点
则
选项C：不动点满足
，不动点为
，令
，则
，
排除
选项D：不动点满足
，不动点为
，令
，则
，排除.
故答案为：A
【分析】遇到此类问题，可以利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论
的可能取值，利用“排除法”求解.
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11.（2019?浙江）复数
（i为虚数单位），则|z|=________
【答案】
【考点】复数求模
【解析】【解答】解：
，故|z|
；
故答案为
.
【分析】根据复数的除法运算求出z，即可得到|z|.
12.（2019?浙江）已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r，若直线2x-y+3=0与圆相切于点A(-2，-1）则m=________，r=________
【答案】
-2；
【考点】圆的切线方程
【解析】【解答】解：圆心与切点连线与直线2x-y+3=0垂直，
所以
，解得m=-2；
根据两点间的距离公式，可得r=
.
【分析】根据圆心与切点连线与切线垂直，结合直线的斜率求出m，根据两点间距离公式求出r即可.
13.（2019?浙江）在二项式（
+x）9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________
【答案】
；5
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：展开式的通项
，
当9-r=0，即r=9时，得展开式的常数项为
；
当r=0,2,4,6,8时，展开式的系数为有理数.
【分析】写出展开式的通项，令x的次数为0，即可求出常数项，令r为偶数，则展开式的系数为有理数.
14.（2019?浙江）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若∠BDC=45°，则BD=________.COS∠ABD=________
【答案】
；
【考点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：在△BCD中，
根据正弦定理
即
解得BD=
；
COS∠ABD=sin
.
【分析】在△BCD中，根据正弦定理即可求出BD；根据两角差的正弦公式，即可求出相应的三角函数值.
15.（2019?浙江）已知椭圆
的左焦点为F，点P在椭圆且在x轴上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________
【答案】
【考点】椭圆的应用
【解析】【解答】解：设P（m，n），则
?????
（1）
根据椭圆的方程，得F（-2,0），故PF的中点为（
），
根据中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，得
????
（2）
将（1）和（2）联立得
，
故直线PF的斜率为
.
故答案为.
【分析】根据椭圆的方程F的坐标，设出P，结合题意，求出P点坐标，即可得到PF的斜率.
16.（2019?浙江）已知a∈R
，
函数f（x）=ax3-x，若存在t∈R
，
使得|f(t+2）-f（t）|≤
，则实数a的最大值是________
【答案】
【考点】绝对值三角不等式
【解析】【解答】，
使得令
，则原不等式转化为存在
，由折线函数，如图
只需
，即
，即
的最大值是
【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，从研究
入手，令
，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.
17.（2019?浙江）已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi（i=1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1
+λ2
+λ3
+λ4
+λ5
+λ6
|的最小值是________，最大值是________
【答案】
0；
【考点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】
要使
的最小，只需要
，此时只需要取
此时
等号成立当且仅当
均非负或者均非正，并且
均非负或者均非正。
比如
则
.
【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
18.（2019?浙江）设函数f（x）=sinx，x
R。
（1）已知θ=[0，2x），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值
（2）求函数y=[f（x）+
]2+[f（x+
）]2的值域
【答案】
（1）因为
是偶函数，所以，对任意实数x都有
，
即
，
故
，
所以
．
又
，因此
或
．
（2）
．
因此，函数的值域是
．
【考点】正弦函数的奇偶性，正弦函数的定义域和值域
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求出余弦值，即可确定角的大小；
（2）根据余弦的二倍角公式，结合辅助角公式及余弦函数的有界性，即可求出函数的值域.
19.（2019?浙江）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1
，
平面A1AC1C⊥平面ABC，∠ABC=90°.∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点
?
（1）证明：EF⊥BC
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
【答案】
（1）连接A1E
，
因为A1A=A1C
，
E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC
，
A1E
平面A1ACC1
，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC
，
所以，A1E⊥平面ABC
，
则A1E⊥BC.
又因为A1F∥AB
，
∠ABC=90°，故BC⊥A1F.
所以BC⊥平面A1EF.
因此EF⊥BC.
（2）取BC中点G
，
连接EG
，
GF
，
则EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC
，
故AE1⊥EG
，
所以平行四边形EGFA1为矩形．
由（I）得BC⊥平面EGFA1
，
则平面A1BC⊥平面EGFA1
，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
连接A1G交EF于O
，
则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.
不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2
，EG=
.
由于O为A1G的中点，故
，
所以
．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是
．
方法二：
连接A1E
，
因为A1A=A1C
，
E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC
，
A1E
平面A1ACC1
，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC
，
所以，A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC
，
EA1为y
，
z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz.
不妨设AC=4，则
A1（0，0，2
），B（
，1，0），
，
，C(0，2，0).
因此，
，
．
由
得
．
【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，即可得到线线垂直；
（2）
通过线面垂直，找到直线与平面所成的角，结合余弦定理，求出相应的角即可.
20.（2019?浙江）设等差数列{an}的前n项和为Sn
，
a3=4.a4=S3
，
数列{bn}满足：
对每个n∈N
，
Sn+bn
，
Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比数列
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）记Cn=
，n∈N
，
证明：C1+C2+…+Cn＜2
，n∈N
【答案】
（1）设数列
的公差为d
，
由题意得
，
解得
．
从而
．
由
成等比数列得
．
解得
．
所以
．
（2）．
我们用数学归纳法证明．
⑴当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
⑵假设
时不等式成立，即
．
那么，当
时，
?
．
即当
时不等式也成立．
根据（1）和（2），不等式
对任意
成立．
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数学归纳法
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，解方程，结合等比中项，即可求出相应的表达式；
（2）采用数学归纳法，现在n=1时式子成立，假设n=k时式子成立，再证n=k+1时式子也成立即可.
21.（2019?浙江）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1
，
S2.
（1）求P的值及抛物线的准线方程.
（2）求
的最小值及此时点G点坐标.
【答案】
（1）由题意得
，即p=2.
所以，抛物线的准线方程为x=?1.
（2）设
，重心
.令
，则
.
由于直线AB过F
，
故直线AB方程为
，代入
，得
，
故
，即
，所以
.
又由于
及重心G在x轴上，故
，得
.
所以，直线AC方程为
，得
.
由于Q在焦点F的右侧，故
.从而
.
令
，则m>0，
.
当
时，
取得最小值
，此时G（2，0）.
【考点】抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据焦点坐标求出p，即可得到抛物线的准线方程；
（2）设出相应点的坐标及直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理，结合换元法，即可求出相应的最小值.
22.（2019?浙江）已知实数a≠0，设函数f（x）=alnx+
.x>0
（1）当a=-
时，求函数f（x）的单调区间
（2）对任意x∈[
，+∞）均有f（x）≤
，求a的取值范围
【答案】
（1）当
时，
．
，
所以，函数
的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+
）．
（2）由
，得
．
当
时，
等价于
．
令
，则
．
设
?，则
．
（i）当
?时，
，则
．
记
，则
.
故
1
0
+
单调递减
极小值
单调递增
所以，
?．
因此，
．
（ii）当
时，
．
令
?，则
，
故
在
上单调递增，所以
．
由（i）得
．
所以，
．
因此
．
由（i）（ii）得对任意
，
，
即对任意
，均有
．
综上所述，所求a的取值范围是
．
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）将a=-代入，求导数，结合导数确定函数的单调性即可；
（2）采用换元法，构造函数，求导数，结合导数确定函数的单调性，求出函数的最值，即可求出不等式成立时相应的实数a的取值范围.
试卷分析部分
1.
试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布
客观题（占比）
40（26.7%）
主观题（占比）
110（73.3%）
题量分布
客观题（占比）
10（45.5%）
主观题（占比）
12（54.5%）
2.
试卷题量分布分析
大题题型
题目量（占比）
分值（占比）
选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
10（45.5%）
40（26.7%）
填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
7（31.8%）
36（24.0%）
解答题：本大题共5小题，共74分。
5（22.7%）
74（49.3%）
3.
试卷难度结构分析
序号
难易度
占比
1
容易
18.2%
2
普通
72.7%
3
困难
9.1%
4.
试卷知识点分析
序号
知识点（认知水平）
分值（占比）
对应题号
1
交、并、补集的混合运算
4（1.6%）
1
2
双曲线的简单性质
4（1.6%）
2
3
简单线性规划的应用
4（1.6%）
3
4
由三视图求面积、体积
4（1.6%）
4
5
必要条件、充分条件与充要条件的判断
4（1.6%）
5
6
函数的图象
4（1.6%）
6
7
离散型随机变量的期望与方差
4（1.6%）
7
8
直线与平面所成的角
19（7.7%）
8,19
9
异面直线及其所成的角
4（1.6%）
8
10
二面角的平面角及求法
4（1.6%）
8
11
函数的零点与方程根的关系
4（1.6%）
9
12
数列的函数特性
4（1.6%）
10
13
复数求模
4（1.6%）
11
14
圆的切线方程
6（2.4%）
12
15
二项式定理的应用
6（2.4%）
13
16
余弦定理的应用
6（2.4%）
14
17
椭圆的应用
4（1.6%）
15
18
绝对值三角不等式
4（1.6%）
16
19
向量在几何中的应用
6（2.4%）
17
20
正弦函数的奇偶性
14（5.7%）
18
21
正弦函数的定义域和值域
14（5.7%）
18
22
直线与平面垂直的判定
15（6.1%）
19
23
数学归纳法
15（6.1%）
20
24
等差数列的通项公式
15（6.1%）
20
25
等比数列的通项公式
15（6.1%）
20
26
直线与圆锥曲线的综合问题
15（6.1%）
21
27
抛物线的应用
15（6.1%）
21
28
利用导数研究函数的单调性
15（6.1%）
22
29
利用导数研究函数的极值
15（6.1%）
22
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精品试卷·第
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