2019年高考全国Ⅰ卷 理数 真题试卷（解析版）

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2019年高考理数真题试卷（全国Ⅰ卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
（2019?卷Ⅰ）已知集合M=，N=，则MN=（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】【解答】
M=，利用交集的运算法则借助数轴得：
故答案为：C
【分析】由一元二次不等式求解集的方法求出集合N，再由交集的运算法则借助数轴得集合.
2.
（2019?卷Ⅰ）设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】【解答】设复数为
复数z在复平面内对应的点为(x，y)，
故答案为：C
【分析】利用复数的加减运算法则求出复数再利用复数的实部和虚部表示复数的模，再利用复数的几何意义表示出复数z在复平面内对应的点的轨迹方程。
3.
（2019?卷Ⅰ）己知a=log20.2，b=，c=,则（
）
A.
aB.
aC.
cD.
b【答案】B
【解析】【解答】因为函数中底数为2，又利用增函数的性质，
因为函数中底数为2，又利用增函数的性质，
因为函数中底数为0.2，又利用减函数的性质，
故答案为：B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性结合a,b,c与特殊值的大小关系式，判断出a,b,c的大小关系。
4.
（2019?卷Ⅰ）古希腊吋期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯“便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（
）
A.165cm
B.175cm
C.185cm
D.190cm
【答案】B
【解析】【解答】因为头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，成为黄金分割比例），此外，头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是，所以设咽喉到肚脐的长度为厘米，肚脐到腰的长度为厘米，依题意得：
所以身高为所以最接近的身高是175厘米。
故答案为：B
【分析】利用黄金比例的概念结合对应边成比例求出某人满足要求最接近的身高。
5.
（2019?卷Ⅰ）函数f(x)=在[-，]。的图像大致为（
）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】【解答】函数
利用奇函数的定义，得出函数f(x)为奇函数，
∴排除A
∴排除B，C
故答案为：D
【分析】利用函数的奇偶性和特殊的函数值排除错误的选项，从而选出正确的函数图象。
6.
（2019?卷Ⅰ）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“--"，下图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】【解答】设该重卦恰有3个阳爻的事件为A，
根据题意，所有重卦的种数有种，满足该重卦恰有3个阳爻的情况有种，利用古典概型求概率的公式,该重卦恰有3个阳爻的概率为：。
故答案为：A
【分析】利用实际问题的已知条件结合古典概型求概率的公式，从而求出该重卦恰有3个阳爻的概率。
7.
（2019?卷Ⅰ）已知非零向量，满足||=2||，且，则与的夹角为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】【解答】设与的夹角为
∵θ为两向量的夹角，
【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系，用数量积公式结合已知条件和两向量间夹角的取值范围求出与的夹角。
8.
（2019?卷Ⅰ）下图是求的程序框图，图中空白框中应填入（
）
A.A=
B.A=2+
C.A=
D.A=1+
【答案】A
【解析】【解答】
第一步:
第二步：
第三步：
因为输出的A的值满足题意输得的结果，所以判断框里应该填
【分析】利用已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构求出满足要求的结果，从而确定判断框里所填的选项。
9.
（2019?卷Ⅰ）记Sn为等差数列的前n项和。已知=0，=5，则（
）
A.an=2n-5
B.
an=3n-10
C.
Sn=2n2-8n
D.
Sn=n2-2n
【答案】A
【解析】【解答】利用等差数列通项公式和等差数列前n项和公式得，
①
②
①②联立求出:
【分析】利用等差数列通项公式和等差数列前n项和公式结合已知条件求出等差数列的首项和公差，从而求出等差数列的通项公式。
10.
（2019?卷Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F1（-1,0），F2（1,0）。过F2的直线与C交于A，B两点。若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为（
）
A.
+y2=1
B.
+=1
C.
+=1
D.
+=1
【答案】B
【解析】【解答】如图，
对角B用两次余弦定理，得：
得:
【分析】利用双曲线和三角形的图象的位置关系，结合双曲线的定义，对角B用两次余弦定理求出的值，从而求出双曲线的标准方程。
11.
（2019?卷Ⅰ）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间单调递增
③f(x)在[-π，π]有4个零点
④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（
）
A.①②④
B.②④
C.①④
D.①③
【答案】C
【解析】【解答】函数f(x)=sin|x|+|sinx|，
所以函数为偶函数，①对，
根据分段函数的图象可知②③错，④对。
【分析】根据偶函数的定义结合分段函数的图象找出正确的选项。
12.
（2019?卷Ⅰ）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，?ABC是边长为2的正三角形，E、F，分别是PA，AB的中点，CEF=90°，则球O的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】【解答】设则
在中，由中线定理得：
利用勾股定理，得：
求出所以
【分析】利用三棱锥P-ABC的结构特征结合三棱锥与球O的位置关系，再利用中线定理和勾股定理求出球O的半径，再利用球的体积公式结合球的半径求出球O的体积。
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.
（2019?卷Ⅰ）曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程为
.
【答案】
【解析】【解答】设曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程为：
因为曲线y=3(x2+x)ex
，
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程。
14.
（2019?卷Ⅰ）记Sn为等比数列{an}的前n项和。若a1=，，则S5=
【答案】
【解析】【解答】利用等比数列通项公式得，
①
②
①②联立求出:
【分析】利用等比数列通项公式和等比数列前n项和公式结合已知条件求出等比数列的公比，从而利用等比数列的首项和公比求出等比数列的前5项的和。
15.
（2019?卷Ⅰ）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是
【答案】0.18
【解析】【解答】因为甲以获胜，所以只需看前五场，用√表示甲胜，用×表示甲败。
第一种情况是：主×主√客√客√主√，概率为：
第二种情况是：主√主×客√客√主√，概率为：
第三种情况是：主√主√客×客√主√，概率为：
第四种情况是：主√主√客√客×主√，概率为：
所以甲队以4：1获胜的概率是这四种情况的概率之和为：
【分析】根据实际问题的已知条件结合分类计数原理和分步计数原理求概率的方法，求出甲队以4：1获胜的概率。
16.
（2019?卷Ⅰ）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点。若=，·=0,则C的离心率为
。
【答案】2
【解析】【解答】由题作出草图，
可知又则
易证得
则为正三角形，
【分析】利用双曲线的标准方程求出焦点坐标和两条渐近线方程，再利用点斜式求出过F1的直线的方程，再利用过F1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，联立二者的方程求出交点坐标，再利用向量相等和向量垂直，用全等三角形的判断方法和结论，证出为正三角形，再利用正三角形的性质求出a,c的关系式，再利用离心率公式变形求出双曲线的离心率。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.
（2019?卷Ⅰ）?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC。
(1)求A；
【答案】解：
由正弦定理得：
由余弦定理得：
在三角形中，
(2)若,求sinC.
【答案】解：由正弦定理得：
代入A得：
【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合正弦定理和余弦定理求出角A的余弦值。（2）利用实际问题的已知条件结合正弦定理和辅助角公式求出从而求出角C的值，再利用两角和的正弦公式求出角C的正弦值。
18.
（2019?卷Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点
(1)
证明：MN∥平面C1DE；
【答案】解：连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.
由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面.
(2)求二面角A-MA1-N的正弦值。
【答案】解：建立空间直角坐标系，点N在底面投影为点F，
设平面的法向量为
由取得其中一个法向量
易知平面的一个法向量为
所以二面角的正弦值为
【分析】（1）利用直四棱柱的结构特征结合已知条件，用中点作中位线证线线平行，再利用线线相等结合平行四边形的定义证出四边形MNDE为平行四边形，再利用平行四边形的定义证出另一组线线平行，从而用线线平行结合线面平行的判定定理证出线面平行。（2）利用直四棱柱的结构特征结合已知条件找出二面角的平面角，再利用空间向量的方法求出二面角的平面角的正弦值。
19.
（2019?卷Ⅰ）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程：
【答案】解：设直线的方程为：
的方程为：
(2)若,求|AB|。
【答案】解：，
由得：联立上式得
【分析】（1）由抛物线求出焦点坐标，再利用斜截式设出斜率为的直线l的方程，再利用直线l与抛物线的交点为A，B，联立二者方程求出交点坐标，再利用抛物线的定义求出b的值，再利用斜率和b的值求出直线的方程。（2）利用斜截式设出斜率为的直线l的方程，再利用直线l与x轴的交点为P，联立二者方程求出交点P的坐标，再由共线定理的坐标表示求出b的值和交点A,B的纵坐标，再利用直线的斜率结合韦达定理与交点坐标的关系式，用弦长公式求出弦长AB的值。
20.
（2019?卷Ⅰ）已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f’(x)为f(x)的导数。证明：
(1)f’(x)在区间(-1,)存在唯一极大值点；
【答案】证明：
存在使
＋
0
－
极大值
所以在区间存在唯一极大值点。
(2)f(x)有且仅有2个零点。
【答案】证明：
存在
⒈当时，递减，又
⒉当时，
⒊当时，
⒋当时，
综上所述，有且仅有2个零点。
【分析】（1）对函数两次求导，用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，从而证出在区间存在唯一极大值点。（2）用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，再利用零点存在性定理证出有且仅有2个零点。
21.
（2019?卷Ⅰ）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分：若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分：若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X。
(1)求X的分布列；
【答案】解：
所以X的分布列为：
X
-1
0
1
P
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效“的概率，则P0=0，P8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2，…，7),其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)。假设α=0.5，β=0.8。
(i)证明：
（i=0,1,2，…，7）为等比数列；
(ii)求P4，并根据P4的值解释这种试验方案的合理性。
【答案】（i）证明：则
利用等比数列的定义证出：数列（i=0,1,2，…，7）为等比数列。
（ii）
表示在初始4分的情况下，甲药累计得分为4时，
认为甲药比乙药更有效的概率仅为
而事实上确实如此，因为乙药的治愈率大于甲药故这种试验方案是合理的。
【分析】（1）利用实际问题的已知条件求出离散型随机变量的分布列。(2)（i）利用实际问题的已知条件结合离散型随机变量的分布列，将实际问题转化为等比数列的问题，再利用等比数列的定义证出：数列（i=0,1,2，…，7）为等比数列;
(ii)由（i）证出的数列（i=0,1,2，…，7）为等比数列求出等比数列的通项公式，再利用累加法变形结合等比数列前n项和公式求出的值,再利用的值结合甲药比乙药更有效的概率仅为得出乙药的治愈率大于甲药故这种试验方案是合理的。
四、选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.
（2019?卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ=ρsinθ+11=0。
(1)求C和l的直角坐标方程；
【答案】因为，且，
所以C的直角坐标方程为.
(2)求C上的点到l距离的最小值。
【答案】由（1）可设曲线C的参数方程为（为参数，）.
曲线C上的点到的距离为.
当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为.
【分析】（1）利用参数方程转化为直角坐标方程的方法结合极坐标与直角坐标的互化公式求出曲线C和直线的直角坐标方程。（2）利用参数表示满足曲线C上的点的坐标，再利用点到直线的距离公式结合辅助角公式化简转化为三角型函数，再利用还原法将三角型函数转化为余弦函数，再利用余弦函数的图象求出三角型函数的最小值，从而求出曲线C上的点到直线的距离的最小值。
23.
（2019?卷Ⅰ）[选修4—5：不等式选讲](10分)
已知a，b，c为正数，且满足abc=1。证明：
(1)；
【答案】因为，又，故有
.
所以.
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24。
【答案】因为为正数且，故有
=24.
所以.
【分析】（1）利用均值不等式求最值的方法结合已知条件变形证出不等式成立。（2）利用均值不等式求最值的方法结合已知条件变形证出不等式成立。
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精品试卷·第
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