2019年高考数学真题分类汇编专题15：概率与统计（综合题）

2019年高考数学真题分类汇编专题15：概率与统计（综合题）
一、解答题
1.（2019?江苏）设 .已知 .
（1）求n的值；
（2）设 ，其中 ，求 的值.
2.（2019?江苏）在平面直角坐标系xOy中，设点集 ，
令 .从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.
3.（2019?天津）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为 .享受情况如右表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率.
4.（2019?天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 发生的概率.
5.（2019?全国Ⅲ）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
6.（2019?卷Ⅱ）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表。
y的分组
[-0.20，0)
[0，0.20)
[0.20，0.40)
[0.40，0.60)
[0.60，0.80)
企业数
2
24
53
14
7
附：
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）
7.（2019?卷Ⅱ）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
8.（2019?北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额
支付方式
不大于2000元
大于2000元
仅使用A
27人
3人
仅使用B
24人
1人
（I）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（II）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.
9.（2019?北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额（元）
支付方式
（0，1000]
（1000，2000]
大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
（I）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（II）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化。现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元，根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.
10.（2019?卷Ⅰ）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2=
P（K2≧ k）
0.050? 0.010? 0.001
k
3.841? 6.635? 10.828
11.（2019?卷Ⅰ）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分：若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分：若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X。
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效“的概率，则P0=0，P8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2，…，7),其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)。假设α=0.5，β=0.8。
(i)证明： （i=0,1,2，…，7）为等比数列；
(ii)求P4 ， 并根据P4的值解释这种试验方案的合理性。

答案解析部分
一、解答题
1.【答案】 （1）解：因为 ，
所以 ，
．
因为 ，
所以 ，
解得 （2）解：由（1）知， ．


．
解法一：
因为 ，所以 ，
从而 ．
解法二：

．
因为 ，所以 ．
因此
【考点】组合及组合数公式，二项式定理的应用
【解析】【分析】利用二项式定理结合已知条件求出展开式中通项公式，再利用展开式中的通项公式求出系数，再利用 结合组合数公式求出 的值。（2）由（1）知， 。
（2）用两种方法求出 的值，利用二项式定理求出展开式中通项公式，再利用展开式中的通项公式求出系数，再结合已知条件求出 的值。
2.【答案】 （1）解：当 时， 的所有可能取值是 ．
的概率分布为 ，
（2）解：设 和 是从 中取出的两个点．
因为 ，所以仅需考虑 的情况．
①若 ，则 ，不存在 的取法；
②若 ，则 ，所以 当且仅当 ，此时 或 ，有2种取法；
③若 ，则 ，因为当 时， ，所以 当且仅当 ，此时 或 ，有2种取法；
④若 ，则 ，所以 当且仅当 ，此时 或 ，有2种取法．
综上，当 时， 的所有可能取值是 和 ，且
．
因此，
【考点】离散型随机变量及其分布列，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【分析】利用已知条件求出离散型随机变量 的概率分布。（2）设 和 是从 中取出的两个点．
因为 ，所以仅需考虑 的情况，再利用分类讨论的方法结合求最值的方法得出a,c的取值的取法，从而求出当 时， 的所有可能取值是 和 ，且 ，
因此，求出用n表示的概率P（X≤n）为： 。
3.【答案】 解：（1）由已知，老、中、青员工人数之比为 ， 由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员中分别抽取6人，9人，10人.
（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
，共15种.(公式显示不全)
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
，共11种.
所以，事件 发生的概率
【考点】分层抽样方法，列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（Ⅰ）根据老、中、青员工人数之比为 ， 采用分层抽样，从中抽取25人调查，分别求出应从老、中、青员工中分别抽取的人数；
（Ⅱ）（ⅰ）根据题意列举出从6人中随机抽取2人接受采访可能出现的结果；
（ⅱ）根据表格所给条件求出事件M出现的情况有多少种，进而求出事件M发生的概率。

4.【答案】 解：（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为 ，故 ，从而 .
所以，随机变量 的分布列为

0
1
2
3





随机变量 的数学期望 .
（Ⅱ）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为 ，则 ，且 .由题意知事件 与 互斥，且事件 与 ，事件 与 均相互独立，从而由（Ⅰ）知


【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【分析】本题主要考查随机变量及其分布列和数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式。
（Ⅰ）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为 ，利用 分别求出相应的概率，即可求出随机变量X的数学期望。
（Ⅱ）先列出发生事件M的几种情况，，由题意知事件 与 互斥，且事件 与 ，事件 与 均相互独立，由此即可求出事件M发生的概率。
5.【答案】 （1）解：由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．
b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．
【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）由已知利用频率分布直方图，百分比不低于5.5的估计值为0.70列式，即可求出a，b的值；（2）由频率分布直方图平均数的计算公式，利用区间的中点值为代表列式，即可求出平均值.
6.【答案】 （1）解：根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为 .
产值负增长的企业频率为 .
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.（2） ，


，
，
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.
【考点】极差、方差与标准差，用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【分析】（1）由已知的产值增长率频数分布表可计算出结果，再由样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.（2）首先算出100个样本中生产值增长率的平均值和标准差，再用样本估计总体即可估计出这类企业产值增长率的平均值和标准差。
7.【答案】 （1）解： X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）第一问要求 的概率，即把可能出现的情况列举出来，有两种情况分别为：①甲连赢两球，②乙连赢两球，再将两种情况的概率相加求和即可。（2）第二问与第一问类似，把可能出现的情况列举出来，有两种情况分别为：
①甲赢第一球，乙赢第二球，甲赢第三球和第四球，
②乙赢第一球，甲赢第二、第三和第四球，再将两种情况的概率相加求和即可。
8.【答案】 解：（I）据估计，100人中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为400人；
（II）该校学生上个月仅使用B支付的共25人，其中支付金额大于2000的有一人，故概率为 ；
（III）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到法机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付抄过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化.
【考点】用样本的频率分布估计总体分布，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（I）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可；
（II）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率；
（III）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.
9.【答案】 解：（I）抽取的100人中，A，B两种支付方式都使用的人数为100-5-18-9-3-10-14-1=40，
设A，B两种支付方式都使用为事件A，则P（A）= ，
即A，B两种支付方式都使用的概率为 ；
（II）X的可能取值为0,1,2；
其中P（X=0）= ，P（X=1）= ,
P（X=2）= ，
所以分布列为
X
0
1
2
P
（III）不能认为样本仅使用A支付的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，因为概率是在大量重复试验下得到的一个预测结合，不能确定是不是一定发生。
【考点】用样本的频率分布估计总体分布，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（I）求出相应的人数，结合古典概型求出相应的概率即可；
（II）求出离散型随机变量X的可能取值和相应的概率，即可得到相应的分布列；
（III）根据概率的含义，从统计的角度进行分析即可.
10.【答案】 （1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 ，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．
女顾客中对该商场服务满意的比率为 ，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2） ．
由于 ，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【考点】独立性检验
【解析】【分析】（1）根据实际问题的已知条件结合 的列联表，用 的公式估计出男、女顾客对该商场服务满意的概率。（2）根据实际问题的已知条件结合 的列联表，用独立性检验的方法判断出有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异。
11.【答案】 （1）解：
所以X的分布列为：
X
-1
0
1
P
（2）（i）证明： 则
利用等比数列的定义证出：数列 （i=0,1,2，…，7）为等比数列。
（ii）
表示在初始4分的情况下，甲药累计得分为4时，
认为甲药比乙药更有效的概率仅为
而事实上确实如此，因为乙药的治愈率大于甲药 故这种试验方案是合理的。
【考点】等比数列，离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件求出离散型随机变量的分布列。(2)（i）利用实际问题的已知条件结合离散型随机变量的分布列，将实际问题转化为等比数列的问题，再利用等比数列的定义证出：数列 （i=0,1,2，…，7）为等比数列;
(ii)由（i）证出的数列 （i=0,1,2，…，7）为等比数列求出等比数列 的通项公式，再利用累加法变形结合等比数列前n项和公式求出 的值,再利用 的值结合甲药比乙药更有效的概率仅为 得出乙药的治愈率大于甲药 故这种试验方案是合理的。