2019年高考数学真题分类汇编专题10：平面解析几何（基础题）

2019年高考数学真题分类汇编专题10：平面解析几何（基础题）
一、单选题
1.（2019?浙江）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（ ??）
A.?????????????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2
2.（2019?天津）已知抛物线 的焦点为F，准线为l.若与双曲线 的两条渐近线分别交于点A和点B ， 且 （O为原点），则双曲线的离心率为（ ??）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?
3.（2019?天津）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 和点 ，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为（ ??）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
4.（2019?全国Ⅲ）已知F是双曲线C： 的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若 ，则 的面积为（ ??）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
5.（2019?全国Ⅲ）双曲线 的右焦点为F,点P 在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为（ ??）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
6.（2019?卷Ⅱ）设F为双曲线C： 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的圆与圆 交于P，Q两点.若 ，则C的离心率为（ ??）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?
7.（2019?卷Ⅱ）若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 的一个焦点，则p=（ ??）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?8
8.（2019?北京）已知双曲线 （a>0）的离心率是 ，则a=（ ??）
A.???????????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?
9.（2019?北京）已知椭圆 （a>b>0）的离心率为 ，则（ ??）
A.?a2=2b2???????????????????????????????B.?3a2=4b2???????????????????????????????C.?a=2b???????????????????????????????D.?3a=4b
10.（2019?北京）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任一点到原点的距离都不超过 ；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是（ ??）
A.?①??????????????????????????????????????B.?②??????????????????????????????????????C.?①②??????????????????????????????????????D.?①②③
11.（2019?卷Ⅰ）双曲线C： （a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（?? ）
A.?2sin40°????????????????????????????B.?2cos40°????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
12.（2019?卷Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F1（-1,0），F2（1,0）。过F2的直线与C交于A，B两点。若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为（?? ）
A.? +y2=1???????????????????B.? + =1???????????????????C.? + =1???????????????????D.? + =1
二、填空题
13.（2019?江苏）在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________.
14.（2019?江苏）在平面直角坐标系 中，P是曲线 上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是________.
15.（2019?浙江）已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r，若直线2x-y+3=0与圆相切于点A(-2，-1）则m=________，r=________
16.（2019?浙江）已知椭圆 的左焦点为F，点P在椭圆且在x轴上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________
17.（2019?天津）设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为________.
18.（2019?全国Ⅲ）设F1 ， F2为椭圆C： 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________。
19.（2019?北京）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________.
20.（2019?卷Ⅰ）已知双曲线C： （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点。若 = ， · =0,则C的离心率为________。

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：根据双曲线的渐近线方程，得 ，所以离心率e= .
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的渐近线方程，得到 ，即可求出离心率e.
2.【答案】 D
【考点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】抛物线 的准线 ：
抛物线 的准线为F，

∵抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于A，B两点，且 ，
∴ ， ，
将A点坐标代入双曲线渐近线方程得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标， 得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合 的关系式得出出 的关系，即可求得离心率。
3.【答案】 D
【考点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】抛物线 的准线 ：
抛物线 的准线为F，

∵抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于A，B两点，且 ，
∴ ， ，
将A点坐标代入双曲线渐近线方程得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标， 得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合 的关系式得出出 的关系，即可求得离心率。
4.【答案】 B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵双曲线C： ，则 ，∴ ， ，设P在C上，如图：
设 ，过P作 ，∴△POM是直角三角形，∵ =3，∴ ①，
又点P在C上，代入双曲线方程得到 ②，由①②解得 ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】由已知得到 ，过P作 ，得到△POM是直角三角形，由 ，利用勾股定理和点P在C上列式，求出 ，即可求出△PFO的面积.
5.【答案】 A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵双曲线C： =1，则 ，∴ ， ，渐近线方程为 ，
设P在渐进线 上，过P作 ，如图：
∵ ，∴△POF是等腰三角形，∴ ，代入渐进线方程 中，可得 ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】由已知得到 ，过P作 ，由 ，得到△POF是等腰三角形，求出 ，即可求出△PFO的面积.
6.【答案】 A
【考点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】根据题意可以设出以O为圆心圆的方程为 ，联立两个圆的 ,两圆方程相减可得 ,设PQ与x轴交于M点， ,在直角三角形OMP中， ,又|PQ|=|OF|，∴ 即 ,整理化简可得 ,等式两边同时除以 , , ∵ ∴ .
故答案为：A
【分析】首先设出以OF为直径的圆的方程，联立两个圆的方程可求出两圆交点的横坐标，再结合直角三角形中的勾股定理，即可求出a与c的关系式然后再由整体思想求出关于e的方程解出即可。
7.【答案】 D
【考点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】∵抛物线的焦点 ,椭圆的焦点在x轴上则有 , ∴ ，抛物线的焦点是椭圆的焦点∴ ,解出p=8.
故答案为：D
【分析】首先求抛物线的焦点坐标和椭圆的焦点坐标，令两个代数式相等求出结果即可。
8.【答案】 D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的离心率 ，
故 解得 ，
故答案为：D.
【分析】根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a的值.
9.【答案】 B
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆的离心率为 ，所以a=2c
故 ，
所以 ，
因此 ，
故答案为：B.
【分析】根据椭圆的离心率，求出a、b、c的关系，即可确定相应的结论.
10.【答案】 C
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】解：①曲线经过（1,0）、（-1,0）、（0,1）、（0，-1）、（1,1）、（1，-1）共6个整点，故①正确；
②曲线上（1,1）和（1，-1）到原点的距离最远，为 ，故曲线上任意一点到原点的距离都不超过 ，故②正确；
③心形曲线的面积大于（1，1）、（1，-1）、（-1,1）、（-1，-1）四个点为顶点的正方形面积-边长为1的正方形面积，所以 S>3，故③错误；
故答案为：C.
【分析】根据曲线的方程，结合曲线的形状，逐一判断即可.
11.【答案】 D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】
由双曲线的标准方程 （a＞0，b＞0）得双曲线的一条渐近线方程为：
因为双曲线C： （a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，根据直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，得：
利用同角三角函数基本关系式，得：
故答案为：D
【分析】利用双曲线标准方程求出其一条渐近线方程，再利用直线的斜率与倾斜角的关系式找出 与倾斜角的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式结合双曲线中离心率公式变形，用同角三角函数的基本关系式化简求出双曲线的离心率。
12.【答案】 B
【考点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】如图，
对角B用两次余弦定理，得：
得:
故答案为：B
【分析】利用双曲线和三角形的图象的位置关系，结合双曲线的定义，对角B用两次余弦定理求出 的值，从而求出双曲线的标准方程。
二、填空题
13.【答案】
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】
双曲线 经过点（3，4)，
将点（3，4)代入双曲线标准方程中得：
双曲线的标准方程为：
双曲线的焦点再x轴上， 双曲线的渐近线方程为：
又
双曲线的渐近线方程为：
【分析】根据点在双曲线上求出b的值，从而求出双曲线的标准方程，再根据双曲线的标准方程结合焦点的位置，用a,b的值求出双曲线的渐近线方程。
14.【答案】 4
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】
P是曲线 上的一个动点， 设 ,设P到直线x+y=0的距离为
利用点到直线的距离公式，得：
又
利用均值不等式，得:
点P到直线x+y=0的距离的最小值是4。
【分析】利用P是曲线 上的一个动点设出动点P的坐标，再利用点到直线的距离公式结合均值不等式求最值的方法求出点P到直线x+y=0的距离的最小值。
15.【答案】 -2；
【考点】圆的切线方程
【解析】【解答】解：圆心与切点连线与直线2x-y+3=0垂直，
所以 ，解得m=-2；
根据两点间的距离公式，可得r= .
【分析】根据圆心与切点连线与切线垂直，结合直线的斜率求出m，根据两点间距离公式求出r即可.
16.【答案】
【考点】椭圆的应用
【解析】【解答】解：设P（m，n），则 ????? （1）
根据椭圆的方程，得F（-2,0），故PF的中点为（ ），
根据中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，得 ???? （2）
将（1）和（2）联立得 ，
故直线PF的斜率为 .
故答案为.
【分析】根据椭圆的方程F的坐标，设出P，结合题意，求出P点坐标，即可得到PF的斜率.
17.【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】把圆的参数方程化为普通方程得：
∴圆心的坐标为 ，半径
∵直线 和圆相切，
∴圆心到直线的距离
即
解得：
故答案为：
【分析】将圆的参数方程化为普通方程，利用圆心 到直线 的距离等于半径即可得出答案。
18.【答案】
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：∵椭圆C: ，则 ，∴ ， ，
设 ，∴ ①，∵ 为等腰三角形，∴ ，
∴ ②，由①②解得 ，则M的坐标为 ，
故答案为： .
【分析】由已知M为C上一点，得到 ，再由 为等腰三角形，得到 ，利用两点间的距离公式，得到 ，由①②即可解出M的坐标.
19.【答案】
【考点】圆的标准方程，抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标F（1,0），准线方程：x=-1，
焦点F到准线l的距离为2，
故圆心为（1,0），半径为2，
所以圆的方程为 ；
故答案为 .
【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可.
20.【答案】 2
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题作出草图，
可知 又 则
易证得
则 为正三角形，
【分析】利用双曲线的标准方程求出焦点坐标和两条渐近线方程，再利用点斜式求出过F1的直线的方程，再利用过F1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，联立二者的方程求出交点坐标，再利用向量相等和向量垂直，用全等三角形的判断方法和结论，证出 为正三角形，再利用正三角形的性质求出a,c的关系式，再利用离心率公式变形求出双曲线的离心率。