2019年高考数学真题分类汇编专题17：平面解析几何（综合题）
文档属性
| 名称 | 2019年高考数学真题分类汇编专题17：平面解析几何（综合题） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 509.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-14 16:25:52 | ||
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文档简介
2019年高考数学真题分类汇编专题17：平面解析几何（综合题）
一、解答题
1.（2019?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: 的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l ， 在x轴的上方，l与圆F2: 交于点A ， 与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B ， 连结BF2交椭圆C于点E ， 连结DF1 ． 已知DF1= ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
2.（2019?浙江）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1 ， S2.
（1）求P的值及抛物线的准线方程.
（2）求 的最小值及此时点G点坐标.
3.（2019?天津）设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 （ 为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心 在直线 上，且 ，求椭圆的方程.
4.（2019?天津）设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率.
5.（2019?全国Ⅲ）已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A ， B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.
6.（2019?卷Ⅱ）已知 是椭圆C： ? 的两个焦点， 为 上的点， 为坐标原点。
（1）若 为等边三角形，求 的离心率；
（2）如果存在点P，使得 ，且 的面积等于16，求 的值和a的取值范围。
7.（2019?卷Ⅱ）已知点A(?2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为? .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
（ii）求 面积的最大值.
8.（2019?北京）已知椭圆C： 的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
9.（2019?北京）已知抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1）.
（I）求抛物线C的方程及其准线方程；
（II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
10.（2019?卷Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切。
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙ M的半径。
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由。
11.（2019?卷Ⅰ）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。
（1）若|AF|+|BF|=4,求l的方程：
（2）若 ,求|AB|。
答案解析部分
一、解答题
1.【答案】 （1）解：设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1= ，AF2⊥x轴，所以DF2= ，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
由b2=a2-c2 ， 得b2=3.
因此，椭圆C的标准方程为 （2）解：解法一：
由（1）知，椭圆C： ，a=2，
因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4).
又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
由 ，得 ，
解得 或 .
将 代入 ，得???? ，
因此 .又F2(1，0)，所以直线BF2： .
由 ，得 ，解得 或 .
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 .
将 代入 ，得 .因此 .
解法二：
由（1）知，椭圆C： .如图，连结EF1.
因为BF2=2a ， EF1+EF2=2a ， 所以EF1=EB ，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B ， 所以∠A=∠B ，
所以∠A=∠BF1E ， 从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
因为F1(-1，0)，由 ，得 .
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 .
因此 .
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （1） 利用焦距求出c的值，再利用DF1= ，AF2⊥x轴，结合勾股定理和椭圆的定义得出a的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。（2）利用两种方法求出点E的坐标，利用椭圆的标准方程求出 的值和焦点 坐标，再利用 的值求出圆F2: 的标准方程，再利用过F2作x轴的垂线l ， 求出直线l的方程，再利用直线l与圆F2: 交于点A ， 联立二者方程求出交点A的坐标，再利用直线l与椭圆C交于点D ， 联立二者方程求出交点D的坐标，连结AF1并延长交圆F2于点B ， 从而求出交点B的坐标，连结BF2交椭圆C于点E ， 再利用两点距离公式或角之间的关系式，从而求出交点E的坐标。
2.【答案】 （1）由题意得 ，即p=2.
所以，抛物线的准线方程为x=?1.
（2）设 ，重心 .令 ，则 .
由于直线AB过F ， 故直线AB方程为 ，代入 ，得
，
故 ，即 ，所以 .
又由于 及重心G在x轴上，故 ，得 .
所以，直线AC方程为 ，得 .
由于Q在焦点F的右侧，故 .从而
.
令 ，则m>0，
.
当 时， 取得最小值 ，此时G（2，0）.
【考点】抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据焦点坐标求出p，即可得到抛物线的准线方程； （2）设出相应点的坐标及直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理，结合换元法，即可求出相应的最小值.
3.【答案】 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，由已知有 ，又由 ，消去 得 ，解得 .
所以，椭圆的离心率为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ?，故椭圆方程为 .由题意， ，则直线 的方程为 .点P的坐标满足 ，消去 并化简，得到 ，解得 ，代入到 的方程，解得 .因为点 在 轴上方，所以 .由圆心 在直线 上，可设 .因为 ，且由（Ⅰ）知 ，故 ，解得 .因为圆 与 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆 与 相切，得 ，可得 .
所以，椭圆的方程为
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由 |得， ，又 ，即可求椭圆的离心率；
（Ⅱ）点斜式设出直线 的方程，由离心率的值设出椭圆的方程，将这两个方程联立方程组，应用根与系数的关系，用 表示出点P,再由圆心 在直线 上，设 ，由 ，列出关于等式 ，求出 ，再由圆 与 轴相切求出 ，即可求出椭圆的方程．
4.【答案】 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ， .
所以，椭圆的方程为 .
（Ⅱ）由题意，设 .设直线 的斜率为 ，又 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 整理得 ，可得 ，代入 得 ，进而直线 的斜率 .在 中，令 ，得 .由题意得 ，所以直线 的斜率为 .由 ，得 ，化简得 ，从而 .
所以，直线 的斜率为 或
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查直线与圆锥曲线方程和圆锥曲线的性质。
（Ⅰ）由椭圆的短轴长，离心率，即可求 ，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由已知条件写出直线 的点斜式，把直线 的方程跟椭圆的方程联立，用 表示出P点的坐标，进而求出 ,在通过已知条件求出 ，由 ，得出 求出 的值，进而得出直线 的斜率。
5.【答案】 （1）解：设 ，则 .
由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 ?.
整理得 ?
设 ，同理可得 .
故直线AB的方程为 .
所以直线AB过定点 . （2）由（1）得直线AB的方程为 .
由 ，可得 .
于是 .
设M为线段AB的中点，则 .
由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 .解得t=0或 .
当 =0时， =2，所求圆的方程为 ；
当 时， ， 所求圆的方程为 .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先求导，分别得到切线DA和DB的方程，可得直线AB的方程，即可证明直线AB过定点；（2）由（1）中直线AB的方程与抛物线方程联立，由 与向量 平行列式，解出t的值，即可求出该圆的方程.
6.【答案】 （1）解：连结 ，由 为等边三角形可知在 中， ， ， ，于是 ，故 的离心率是 . （2）由题意可知，满足条件的点 存在当且仅当 ， ， ，即 ，①
，②
，③
由②③及 得 ，又由①知 ，故 .
由②③得 ，所以 ，从而 故 .
当 ， 时，存在满足条件的点P.
所以 ， 的取值范围为 .
【考点】圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）首先设出椭圆的坐标，再由等边三角形可得出边之间的关系，利用勾股定理再结合解三角形的知识即可求出离心率的值。（2）结合已知求出三角形面积公式的代数式，结合椭圆的定义以及直角三角形的边的关系，求出b的值再由椭圆的几何意义进而求出a的取值范围即可。
7.【答案】 （1）解：由题设得 ，化简得 ，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i）设直线PQ的斜率为k ， 则其方程为 ．
由 得 ．
记 ，则 ．
于是直线 的斜率为 ，方程为 ．
由 得
．①
设 ，则 和 是方程①的解，故 ，由此得 ．
从而直线 的斜率为 ．
所以 ，即 是直角三角形．
（ii）由（i）得 ， ，
所以△PQG的面积 ．
设t=k+ ，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．
因为 在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为 ．
因此，△PQG面积的最大值为 ．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据AM，BM斜率之积为 ，列出等式，即可得到曲线C为焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设出PQ解析式，联立PQ解析式与曲线C，得到P、Q两点坐标，即可得到E点坐标，根据Q、E两点坐标得到QE的解析式，联立QE与曲线C，可得G点坐标，再根据G、P点坐标，得到PG斜率。化简可得 ，得证 为直角三角形。
（ii）由（i）知， ，所以， ，由（i）分别求出， ， 化简S可得关于K的函数表达式，考虑K的取值范围，即可得出S的最大值。
8.【答案】 解：（I）根据焦点为（1,0），可知c=1，
根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故 ，
所以椭圆的方程为 ；
（II）设 ，
则直线 ，直线 ，
解得 ,
故 ，
将直线y=kx+t与椭圆方程联立，
得 ，
故 ，所以 ，
故 ，
解得t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（0,0）.
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（I）根据焦点坐标和A点坐标，求出a和b，即可得到椭圆的标准方程；
（II）设出P和Q的坐标，表示出M和N的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM与ON，根据 ，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）.
9.【答案】 解：（I）将（2，-1）代入抛物线方程，
得 ，解得p=2，故抛物线方程为 ，其准线方程为y=1；
（II）过焦点（0，-1）作直线l，由于直线与抛物线有两个交点，故直线l的斜率存在，
设l：y=kx-1， ，
将直线方程与抛物线方程联立，得 ，
由韦达定理 ，
则 ，
令y=-1，则 ，
设以AB为直径的圆上点P（a，b），则 ，
，
整理得 ，
令a=0，则 ，所以b=1或b=-3，
即以AB为直径的圆经过y轴的两个定点（0,1）和（0，-3）.
【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（I）将点的坐标代入，即可求出抛物线的方程和准线；
（II）将直线方程与抛物线方程联立，表示点的坐标，结合圆的特点，求出圆的方程，即可求出相应定点坐标.
10.【答案】 （1）解：因为 过点 ，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线 上，且 关于坐标原点O对称，所以M在直线 上，故可设 .
因为 与直线x+2=0相切，所以 的半径为 .
由已知得 ，又 ，故可得 ，解得 或 .
故 的半径 或 .
（2）存在定点 ，使得 为定值.
理由如下：
设 ，由已知得 的半径为 .
由于 ，故可得 ，化简得M的轨迹方程为 .
因为曲线 是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，所以 .
因为 ，所以存在满足条件的定点P.
【考点】圆的标准方程，圆锥曲线的综合
【解析】【分析】(1)因为 过点 ，利用垂直平分线的性质推出圆心M在AB的垂直平分线上，再由点A在直线 上，结合点与点关于点对称的性质和求解方法推出点M在直线 上，故可设 ，再利用直线与圆相切的位置关系的判断方法求出 的半径与 的关系式，再由已知得 ，结合两向量垂直，用勾股定理求出 的值，从而求出 的半径。（2）设 ，由已知得 的半径为
再由两向量垂直，用勾股定理求出点M的轨迹方程 ，从而判断出点M的轨迹为抛物线，因为曲线 是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，再利用抛物线的定义得出 因为 ，所以存在满足条件的定点 使得 为定值。
11.【答案】 （1）解：设直线 的方程为：
的方程为： （2）解： ，
由 得： 联立上式得
【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由抛物线求出焦点坐标，再利用斜截式设出斜率为 的直线l的方程，再利用直线l与抛物线的交点为A，B，联立二者方程求出交点坐标，再利用抛物线的定义求出b的值，再利用斜率和b的值求出直线 的方程。（2）利用斜截式设出斜率为 的直线l的方程，再利用直线l与x轴的交点为P，联立二者方程求出交点P的坐标，再由共线定理的坐标表示求出b的值和交点A,B的纵坐标，再利用直线的斜率结合韦达定理与交点坐标的关系式，用弦长公式求出弦长AB的值。
一、解答题
1.（2019?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: 的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l ， 在x轴的上方，l与圆F2: 交于点A ， 与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B ， 连结BF2交椭圆C于点E ， 连结DF1 ． 已知DF1= ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
2.（2019?浙江）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1 ， S2.
（1）求P的值及抛物线的准线方程.
（2）求 的最小值及此时点G点坐标.
3.（2019?天津）设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 （ 为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心 在直线 上，且 ，求椭圆的方程.
4.（2019?天津）设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率.
5.（2019?全国Ⅲ）已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A ， B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.
6.（2019?卷Ⅱ）已知 是椭圆C： ? 的两个焦点， 为 上的点， 为坐标原点。
（1）若 为等边三角形，求 的离心率；
（2）如果存在点P，使得 ，且 的面积等于16，求 的值和a的取值范围。
7.（2019?卷Ⅱ）已知点A(?2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为? .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
（ii）求 面积的最大值.
8.（2019?北京）已知椭圆C： 的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
9.（2019?北京）已知抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1）.
（I）求抛物线C的方程及其准线方程；
（II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
10.（2019?卷Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切。
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙ M的半径。
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由。
11.（2019?卷Ⅰ）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。
（1）若|AF|+|BF|=4,求l的方程：
（2）若 ,求|AB|。
答案解析部分
一、解答题
1.【答案】 （1）解：设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1= ，AF2⊥x轴，所以DF2= ，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
由b2=a2-c2 ， 得b2=3.
因此，椭圆C的标准方程为 （2）解：解法一：
由（1）知，椭圆C： ，a=2，
因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4).
又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
由 ，得 ，
解得 或 .
将 代入 ，得???? ，
因此 .又F2(1，0)，所以直线BF2： .
由 ，得 ，解得 或 .
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 .
将 代入 ，得 .因此 .
解法二：
由（1）知，椭圆C： .如图，连结EF1.
因为BF2=2a ， EF1+EF2=2a ， 所以EF1=EB ，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B ， 所以∠A=∠B ，
所以∠A=∠BF1E ， 从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
因为F1(-1，0)，由 ，得 .
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 .
因此 .
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （1） 利用焦距求出c的值，再利用DF1= ，AF2⊥x轴，结合勾股定理和椭圆的定义得出a的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。（2）利用两种方法求出点E的坐标，利用椭圆的标准方程求出 的值和焦点 坐标，再利用 的值求出圆F2: 的标准方程，再利用过F2作x轴的垂线l ， 求出直线l的方程，再利用直线l与圆F2: 交于点A ， 联立二者方程求出交点A的坐标，再利用直线l与椭圆C交于点D ， 联立二者方程求出交点D的坐标，连结AF1并延长交圆F2于点B ， 从而求出交点B的坐标，连结BF2交椭圆C于点E ， 再利用两点距离公式或角之间的关系式，从而求出交点E的坐标。
2.【答案】 （1）由题意得 ，即p=2.
所以，抛物线的准线方程为x=?1.
（2）设 ，重心 .令 ，则 .
由于直线AB过F ， 故直线AB方程为 ，代入 ，得
，
故 ，即 ，所以 .
又由于 及重心G在x轴上，故 ，得 .
所以，直线AC方程为 ，得 .
由于Q在焦点F的右侧，故 .从而
.
令 ，则m>0，
.
当 时， 取得最小值 ，此时G（2，0）.
【考点】抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据焦点坐标求出p，即可得到抛物线的准线方程； （2）设出相应点的坐标及直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理，结合换元法，即可求出相应的最小值.
3.【答案】 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，由已知有 ，又由 ，消去 得 ，解得 .
所以，椭圆的离心率为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ?，故椭圆方程为 .由题意， ，则直线 的方程为 .点P的坐标满足 ，消去 并化简，得到 ，解得 ，代入到 的方程，解得 .因为点 在 轴上方，所以 .由圆心 在直线 上，可设 .因为 ，且由（Ⅰ）知 ，故 ，解得 .因为圆 与 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆 与 相切，得 ，可得 .
所以，椭圆的方程为
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由 |得， ，又 ，即可求椭圆的离心率；
（Ⅱ）点斜式设出直线 的方程，由离心率的值设出椭圆的方程，将这两个方程联立方程组，应用根与系数的关系，用 表示出点P,再由圆心 在直线 上，设 ，由 ，列出关于等式 ，求出 ，再由圆 与 轴相切求出 ，即可求出椭圆的方程．
4.【答案】 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ， .
所以，椭圆的方程为 .
（Ⅱ）由题意，设 .设直线 的斜率为 ，又 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 整理得 ，可得 ，代入 得 ，进而直线 的斜率 .在 中，令 ，得 .由题意得 ，所以直线 的斜率为 .由 ，得 ，化简得 ，从而 .
所以，直线 的斜率为 或
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查直线与圆锥曲线方程和圆锥曲线的性质。
（Ⅰ）由椭圆的短轴长，离心率，即可求 ，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由已知条件写出直线 的点斜式，把直线 的方程跟椭圆的方程联立，用 表示出P点的坐标，进而求出 ,在通过已知条件求出 ，由 ，得出 求出 的值，进而得出直线 的斜率。
5.【答案】 （1）解：设 ，则 .
由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 ?.
整理得 ?
设 ，同理可得 .
故直线AB的方程为 .
所以直线AB过定点 . （2）由（1）得直线AB的方程为 .
由 ，可得 .
于是 .
设M为线段AB的中点，则 .
由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 .解得t=0或 .
当 =0时， =2，所求圆的方程为 ；
当 时， ， 所求圆的方程为 .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先求导，分别得到切线DA和DB的方程，可得直线AB的方程，即可证明直线AB过定点；（2）由（1）中直线AB的方程与抛物线方程联立，由 与向量 平行列式，解出t的值，即可求出该圆的方程.
6.【答案】 （1）解：连结 ，由 为等边三角形可知在 中， ， ， ，于是 ，故 的离心率是 . （2）由题意可知，满足条件的点 存在当且仅当 ， ， ，即 ，①
，②
，③
由②③及 得 ，又由①知 ，故 .
由②③得 ，所以 ，从而 故 .
当 ， 时，存在满足条件的点P.
所以 ， 的取值范围为 .
【考点】圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）首先设出椭圆的坐标，再由等边三角形可得出边之间的关系，利用勾股定理再结合解三角形的知识即可求出离心率的值。（2）结合已知求出三角形面积公式的代数式，结合椭圆的定义以及直角三角形的边的关系，求出b的值再由椭圆的几何意义进而求出a的取值范围即可。
7.【答案】 （1）解：由题设得 ，化简得 ，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i）设直线PQ的斜率为k ， 则其方程为 ．
由 得 ．
记 ，则 ．
于是直线 的斜率为 ，方程为 ．
由 得
．①
设 ，则 和 是方程①的解，故 ，由此得 ．
从而直线 的斜率为 ．
所以 ，即 是直角三角形．
（ii）由（i）得 ， ，
所以△PQG的面积 ．
设t=k+ ，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．
因为 在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为 ．
因此，△PQG面积的最大值为 ．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据AM，BM斜率之积为 ，列出等式，即可得到曲线C为焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设出PQ解析式，联立PQ解析式与曲线C，得到P、Q两点坐标，即可得到E点坐标，根据Q、E两点坐标得到QE的解析式，联立QE与曲线C，可得G点坐标，再根据G、P点坐标，得到PG斜率。化简可得 ，得证 为直角三角形。
（ii）由（i）知， ，所以， ，由（i）分别求出， ， 化简S可得关于K的函数表达式，考虑K的取值范围，即可得出S的最大值。
8.【答案】 解：（I）根据焦点为（1,0），可知c=1，
根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故 ，
所以椭圆的方程为 ；
（II）设 ，
则直线 ，直线 ，
解得 ,
故 ，
将直线y=kx+t与椭圆方程联立，
得 ，
故 ，所以 ，
故 ，
解得t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（0,0）.
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（I）根据焦点坐标和A点坐标，求出a和b，即可得到椭圆的标准方程；
（II）设出P和Q的坐标，表示出M和N的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM与ON，根据 ，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）.
9.【答案】 解：（I）将（2，-1）代入抛物线方程，
得 ，解得p=2，故抛物线方程为 ，其准线方程为y=1；
（II）过焦点（0，-1）作直线l，由于直线与抛物线有两个交点，故直线l的斜率存在，
设l：y=kx-1， ，
将直线方程与抛物线方程联立，得 ，
由韦达定理 ，
则 ，
令y=-1，则 ，
设以AB为直径的圆上点P（a，b），则 ，
，
整理得 ，
令a=0，则 ，所以b=1或b=-3，
即以AB为直径的圆经过y轴的两个定点（0,1）和（0，-3）.
【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（I）将点的坐标代入，即可求出抛物线的方程和准线；
（II）将直线方程与抛物线方程联立，表示点的坐标，结合圆的特点，求出圆的方程，即可求出相应定点坐标.
10.【答案】 （1）解：因为 过点 ，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线 上，且 关于坐标原点O对称，所以M在直线 上，故可设 .
因为 与直线x+2=0相切，所以 的半径为 .
由已知得 ，又 ，故可得 ，解得 或 .
故 的半径 或 .
（2）存在定点 ，使得 为定值.
理由如下：
设 ，由已知得 的半径为 .
由于 ，故可得 ，化简得M的轨迹方程为 .
因为曲线 是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，所以 .
因为 ，所以存在满足条件的定点P.
【考点】圆的标准方程，圆锥曲线的综合
【解析】【分析】(1)因为 过点 ，利用垂直平分线的性质推出圆心M在AB的垂直平分线上，再由点A在直线 上，结合点与点关于点对称的性质和求解方法推出点M在直线 上，故可设 ，再利用直线与圆相切的位置关系的判断方法求出 的半径与 的关系式，再由已知得 ，结合两向量垂直，用勾股定理求出 的值，从而求出 的半径。（2）设 ，由已知得 的半径为
再由两向量垂直，用勾股定理求出点M的轨迹方程 ，从而判断出点M的轨迹为抛物线，因为曲线 是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，再利用抛物线的定义得出 因为 ，所以存在满足条件的定点 使得 为定值。
11.【答案】 （1）解：设直线 的方程为：
的方程为： （2）解： ，
由 得： 联立上式得
【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由抛物线求出焦点坐标，再利用斜截式设出斜率为 的直线l的方程，再利用直线l与抛物线的交点为A，B，联立二者方程求出交点坐标，再利用抛物线的定义求出b的值，再利用斜率和b的值求出直线 的方程。（2）利用斜截式设出斜率为 的直线l的方程，再利用直线l与x轴的交点为P，联立二者方程求出交点P的坐标，再由共线定理的坐标表示求出b的值和交点A,B的纵坐标，再利用直线的斜率结合韦达定理与交点坐标的关系式，用弦长公式求出弦长AB的值。
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